二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)88203
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函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数
中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32bxaxy（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为
顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
共同点： ⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。 二次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是(40)A，，(20)B，，(08)E，．
07 08 09 动点个数 两个 一个 两个
问题背景 特殊菱形两边上移动 特殊直角梯形三边上移动 抛物线中特殊直角梯形底边上移动
考查难点 探究相似三角形 探究三角形面积函数关系式 探究等腰三角形
考 点 ①菱形性质 ②特殊角三角函数 ③求直线、抛物线解析式 ④相似三角形 ⑤不等式 ①求直线解析式 ②四边形面积的表示 ③动三角形面积函数④矩形性质 ①求抛物线顶点坐标 ②探究平行四边形 ③探究动三角形面积是定值 ④探究等腰三角形存在性
特 点 ①菱形是含60°的特殊菱形； △AOB是底角为30°的等腰三角形。 ②一个动点速度是参数字母。 ③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。 ④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。 ⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。 ①观察图形构造特征适当割补表示面积 ②动点按到拐点时间分段分类 ③画出矩形必备条件的图形探究其存在性 ①直角梯形是特殊的（一底角是45°） ②点动带动线动 ③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA） ④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。 ⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）
①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形； ③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式； （1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式； （2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位
的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA
的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
[解] （1）点(40)A，，点(20)B，，点(08)E，关于原点
的对称点分别为(40)D，，(20)C，，(08)F，． 设抛物线2C的解析式是 2(0)yaxbxca
，
则16404208abcabcc，，．
解得168abc，，． 所以所求抛物线的解析式是268yxx． （2）由（1）可计算得点(31)(31)MN，，，． 过点N作NHAD，垂足为H． 当运动到时刻t时，282ADODt，12NHt． 根据中心对称的性质OAODOMON，，所以四边形MDNA是平行四边形．
所以2ADNSS△．
所以，四边形MDNA的面积2(82)(12)4148Stttt． 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t≤． 所以，所求关系式是24148Stt，t的取值范围是04t≤． （3）781444St，（04t≤）． 所以74t时，S有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求． （4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADMN，，所以当ADMN时四边形MDNA是矩形．
所以ODON．所以2222ODONOHNH．
所以22420tt．解之得126262tt，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t． [点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。 2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线234yxbxc与坐标轴交于ABC，，三点，点A的横坐标为1，过点(03)C，的直线334yxt与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PHOB于点H．若5PBt，且01t． （1）确定bc，的值：__________bc，；
（2）写出点BQP，，的坐标（其中QP，用含t的式子表示）： (______)(______)(______)BQP，，，，，；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使PQB△为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由． [解] （1）94b
（2）(40)B， （3）存在t的值，有以下三种情况 ①当PQPB时 PHOB，则GHHB ②当PBQB时 得445tt ③当PQQB时，如图 解法一：过Q作QDBP，又PQQB 则522BPBDt 又BDQBOC△∽△ 解法二：作RtOBC△斜边中线OE 则522BCOEBEBE，，
此时OEBPQB△∽△ 解法三：在RtPHQ△中有222QHPHPQ 32057tt，（舍去）
又01t 当13t或49或3257时，PQB△为等腰三角形．
解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。 代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析 Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。
[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题
是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的01t矛盾，应舍去 3.如图1，已知直线12yx与抛物线2164yx交于AB，两点． （1）求AB，两点的坐标； （2）求线段AB的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在AB，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与AB，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
[解] （1）解：依题意得216412yxyx解之得12126432xxyy P A 图2 图1 （2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于CD，两点，交AB于M（如图1） 由（1）可知：3525OAOB 过B作BEx⊥轴，E为垂足 由BEOOCM△∽△，得：54OCOMOCOBOE，，
同理：55500242ODCD，，，， 设CD的解析式为(0)ykxbk AB的垂直平分线的解析式为：522yx．
（3）若存在点P使APB△的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线12yxm上，并设该直线与x轴，y轴交于GH，两点（如图2）． 抛物线与直线只有一个交点， 211
4(6)024m
，
在直线12524GHyx：中， 设O到GH的距离为d， P到AB的距离等于O到GH的距离d．
另解：过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h
与PC 夹角固定），则S△PBA最大 → 问题转化为求PC最大值，设P（x, ）,C
（x, ）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。 最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。 [点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小
题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。 4.如图①，正方形ABCD的顶点AB，的坐标分别为01084，，，，顶点CD，在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点40E，出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，PQ，两点同时停止运动，设运动的时
间为t秒．
P A 图2
H G B
图1 D M A
C B
第26题 Ｅ
