2021届安徽省皖江名校联盟高三第二次联考理科数学试题及答案

安徽省皖北五校联盟2024届高三第二次联考数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答題前､考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答題卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，，集合，则集合（）A. B. C. D. 2. 已知为复数且（为虚数单位），则共轭复数的虚部为（ ）A. 2B. C. D. 3. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在锐角中，角的对边分别为，若，则（ ）A.B.C.D.6. 甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在，四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）A. 96种B. 132种C. 168种D. 204种.U =R {}10A x x =+<{}2|log 1B x x =<()U B A ⋂=ð[1,2]-(0,2)[1,)-+∞[1,1)-z ()1i 13i ⋅-=+z i z 2i2-2i-{}n a 0d ≠1a 3a 7a 1a d=24562a =220++=ax y ()110x a y +-+=ABC ,,A B C ,,a b c sin 3,3A c AB AC ==⋅= sin sin b cB C+=+,,,A B C D7. 已知不等式有解，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 8. 已知实数，满足的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 一组数据是公差为等差数列，若去掉首末两项，则（ ）A. 平均数变大B. 中位数没变C. 方差变小D. 极差没变10. 已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ）A. 若，则一定是等腰三角形B. 若，则一定是等边三角形C. 若，则一定是等腰三角形D. 若，则一定是钝角三角形11. 已知正四面体的棱长为3，下列说法正确的是（ ）A. 平面与平面夹角的余弦值为B. 若点满足，则的最小值为C. 在正四面体D. 点在内，且，则点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若为一组从小到大排列的数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是__________.13. 已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相切于点，连接，在中，设，则的值为__________.的e 1ln +>-x ax x x a 21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭x y 13y y x x +=4y +-)42⎡-⎣)44⎡-⎣22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭24⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭1210,,,x x x 2-ABC cos cos a A b B =ABC cos()cos()1A B B C -⋅-=ABC cosC cos a c A c +=ABC cos(2)cos 0B C C ++>ABC O ABC -OAB ABC 13P ()1OP xOA yOB x y OC =++--OP O ABC -Q ABC 2OQ QA =Q n 1,2,4,8,9,1012nx ⎫+⎪⎭2:2(0)C y px p =>F C l x A A C P PF APF sin sin PAF AFP λ∠=∠λ14. 对于函数，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为，求__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数，曲线在点处的切线方程为（1）求a ，b 的值；（2）求在上的最大值和最小值.16. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，∠ABC =60°，四边形ACEF 为正方形，且平面ABCD ⊥平面ACEF ．（1）证明：AB ⊥CF ；（2）求点C 到平面BEF 距离；（3）求平面BEF 与平面ADF 夹角的正弦值．17. 现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为.（1）求首次检验抽到合格产品的概率；（2）在首次检验抽到合格产品条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；（3）将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.18. 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.（1）设动点的轨迹为曲线，求曲线的方程；的的()()cos 0f x x kx x =-≥αβ()()2221sin21cos21ααββαβ+++=-()325f x x ax bx =+++()y f x =(1,(1))P f 31y x =+()y f x =[2,2]-12222150x y x ++-=A l ()10B ,x l A ,C D B AC AD E E C C（2）曲线与轴交于.点在点右侧，直线交曲线于点两点不过点，直线与直线的斜率分别是且，直线和直线交于点.①探究直线是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；②证明：为定值，并求出该定值.19. 在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数”；还有“欧拉质数多项式”：.但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术—DZB 数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数的分子分母分别乘以同一个素数19，就会得到加密数据.这个过程叫加密，逆过程叫解密.（1）数列中经DZB 数据加密协议加密后依次变为.求经解密还原的数据的数值；（2）依据的数值写出数列的通项公式（不用严格证明但要检验符合）.并求数列前项的和；（3）为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数是方程的两个根是的导数.设.证明：对任意的正整数，都有.（本小题数列不同于第（1）（2）小题）的C x 12,A A 2A 1A m C ,M N (m )2A 2MA 2NA 12,k k 1294k k =-1A M 2A N 00(,)P x y m 0x ()221N nn +∈()241N n n n ++∈233857{}n a 123,,a a a 511285458759,,341542786444--123,,a a a 123,,a a a {}n a {}n a n n S ()21,,f x x x αβ=+-()0f x =()(),f x αβ>'()f x ()()()111,1,2,n n n n f a a a a n f a +==-=' n n a α>{}n a。

安徽名校2024年高三下-第二次联考数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4B ．8C ．9D ．272．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．e B ．e 2C ．ln 2D ．2ln 23． “8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 5．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30B ．－40C ．40D ．506．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45-C ．35D ．358．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.9．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交10．设a ，b ，c 是非零向量.若1()2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅，则（ ） A ．()0a b c ⋅+=B ．()0a b c ⋅-=C ．()0a b c +⋅=D ．()0a b c -⋅=11．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=333388=44441515=55552424=以上规律，若10101010n n=“穿墙术”，则n =（ ） A ．48B ．63C ．99D ．12012．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9B ．－9C ．212D ．214-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年安徽省“皖南八校”高三上学期第二次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 是虚数单位，复数z 满足(2−i)z =3−i ，那么z 的虚部是( ) A. 15B. 75C. 75iD. 15i2.已知集合A ={x|x 2−8x −20<0}，B ={x|x−13x−3≤0}，则(∁R B)∩A =( )A. [−2,3]B. (−2,3]C. (−2,3)D. (−2,13]3.已知样本数据x 1，x 2，x 3，x 4的平均数是4，方差为2，现样本加入新数据3，4，5，则加入数据后新样本的方差是( ) A.107B. 4C. 52D. 474.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH ，其中OA =2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GF⃗⃗⃗⃗⃗ )=( )A. 4B. 4√ 2C. 8D. 8√ 25.已知抛物线x 2=2py(p >0)，点A(4,4)在抛物线上，点B(0,3)，若P 点是抛物线上的动点，则|PB|的最小值为( ) A. 8B. 2√ 2C. 9D. 36.已知函数f(x)=x(lnx +ax)的图象与x 轴相切，则a 的值为( ) A. 1eB. −1eC. eD. −e7.已知正方体ABCD −A′B′C′D′的棱长为4，AC′是正方体的一条体对角线，P 为正方体表面上的动点，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，则点P 的轨迹曲线长度总和为( ) A. 2πB. 12πC. 12√ 2πD. 12√ 3π8.若关于x 的方程(cos2x −sinx +2)⋅cosωx =0(ω>0)在[0,2π]上有且仅有3个解，则ω的取值范围为( )A. [34,54)B. [54,74)C. [54,32)∪(32,74)D. [34,1)∪(1,54)二、多选题：本题共3小题，共18分。

2021届安徽省皖江名校联盟高三第二次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--<，{}210B x x =->，则A B =（ ）A ．()3,1-B ．13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】可以先求出集合,A B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】{}2230{|13}A x x x x x =--<=-<<，{}12102B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，∴1,32AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，描述法、区间的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于容易题．2．已知m R ∈，“函数31x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0,上是减函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】B【分析】由31xy m =+-有零点可得1m <，而由log m y x =在()0,∞+上为减函数，得01m <<，再根据集合的关系判断充分必要性即得解. 【详解】由31xy m =+-有零点可得，10m -<，所以1m <； 而由log m y x =在()0,∞+上为减函数，得01m <<，因为{|01}{|1}m m m m ≠<<⊂< 所以“函数31xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,∞+上是减函数”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题主要考查指数对数函数的图象，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知23log 2a =，232b =，223c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a <<【答案】C【分析】先由对数与指数的性质，判定0a <，()>1,0,1b c ∈，即可得出结果.【详解】23log 20a =<，2321b =>，2240139c ⎛⎫<==< ⎪⎝⎭，故a c b <<. 故选：C .【点睛】本题主要考查比较对数式、指数式的大小，常常先判断每一个数与0，1的大小关系，属于中档题. 4．函数cos 22xxy =的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性，进而分析数据即可得出结果. 【详解】令cos 2()2x xf x =，则()()()cos 2cos 22xx x x f x f x ----==≠±， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，排除B ，C 选项，由函数解析式可看出，函数的零点呈周期性出现，且x →+∞时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越来越小，而当x →-∞时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越来越大，故排除A ，所以选项D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，考查奇偶性的判断，考查分析问题能力，属于基础题.5．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3613种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列最接近52361100003的是（ ）（注：lg30.477≈） A ．2510 B ．2610C ．3510D ．3610【答案】D【分析】根据题意，取对数得5236110000lg 35.83≈，得到5235.836110000103≈，分析选项，即可求解.【详解】由题意，对于52361100003，得525236136110000lg lg10000lg3524361lg335.83=-=⨯-⨯≈， 得5235.836110000103≈，可得D 中3610与其最接近. 故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中掌握对数的运算性质是解答的关键，着重考查计算与求解能力，属于基础题. 6．下列命题中，不正确．．．的是（ ） A ．0x R ∃∈，200220x x -+≥B ．设1a >，则“b a <”是“log 1a b <”的充要条件C ．若0a b <<，则11a b> D ．命题“[]1,3x ∀∈，2430x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈，200430x x -+>”【答案】B【分析】由()2200022110x x x -+=-+≥，可判断A ；由对数函数的定义域和对数函数的单调性得充分性不一定成立，必要性成立，可判断B ；运用作差法，判断其差的符号可判断C ；根据全称命题的否定是特称命题可判断D.【详解】由()2200022110x x x -+=-+≥，得A 为真命题；由“b a <”不能推出“log 1a b <”，所以充分性不一定成立，由“log 1a b <”得“b a <”，所以必要性成立，故B 不正确； 由0a b <<，则110b aa b ab --=>，∴11a b>，故C 正确； 根据全称命题的否定是特称命题知D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查判断命题的真假，对数函数的定义域，单调性，全称命题与特称命题的关系，属于中档题．7．若函数()24ln f x x x b x =-++在()0,∞+上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,-+∞D ．[)2,-+∞【答案】A【分析】2()4ln f x x x b x =-++在()0,∞+上是减函数等价于()'0fx ≤在()0,∞+上恒成立，利用分离参数求解即可.【详解】∵2()4ln f x x x b x =-++在()0,∞+上是减函数，所以()'0fx ≤在()0,∞+上恒成立，即'()240bf x x x=-++≤，即224b x x ≤-， ∵22242(1)22x x x -=--≥-，∴2b ≤-， 故选：A.【点睛】本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围. 8．已知命题p ：函数221log 22y x x a ⎛⎫=++⎪⎝⎭的定义域为R ，命题q ：函数()5xy a =--是减函数，若p q ∨和p ⌝都为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤B ．24a <<C ．4a <D ．2a ≤或4a ≥【答案】A【分析】由题意知p 为假命题，q 为真命题.由p 为假命题，即：21202x x a ++>不恒成立，故4202a a ∆=-≥⇒≤ .q 为真命题，即： 514a a ->⇒<.由此便可得出答案.【详解】由p q ∨为真命题，p ⌝为真命题，得p 为假命题，q 为真命题. 由p ：函数221log 22y x x a ⎛⎫=++⎪⎝⎭为假命题得，21202x x a ++>在R 上不恒成立.即4202a a ∆=-≥⇒≤.由q ：函数(5)xy a =--是减函数，即：(5)xy a =-是增函数，即514a a ->⇒<.所以：2a ≤. 故选：A .【点睛】本题主要考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”，命题的真假判断，属于中档题. 9．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()xxf x e =，则满足()()35f f -的值（ ） A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0 D ．无法判断【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数.再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项． 【详解】当1x <时，'1()0x x f x e-=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数. 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，∴()f x 在()1,+∞内是减函数，.∴()()350f f ->. 故选：C ．【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，抽象函数的对称性的应用，以及由函数的单调性比较其函数的大小关系，属于中档题．10．对x R ∀∈，不等式()()21110a x a x -+--<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,1-B ．(]3,1- C ．()4,1-D ．[]4,1-【答案】B【分析】首先根据不等式恒成立，对二次项系数是否为零进行讨论，结合图形的特征，列出式子求得结果.【详解】对x R ∀∈，不等式()()21110a x a x -+--<恒成立，当1a =时，则有10-<恒成立；当10a -≠，10a -<且2(1)4(1)0a a ∆=-+-<， 解得31a -<<.实数a 的取值范围是(]3,1-. 故选：B.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立求参数取值范围的问题，涉及到的知识点有分类讨论思想的应用，一元二次不等式恒成立的条件，属于简单题目.11．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,2x ∈时，()22x f x =-，所以在[]2,6x ∈-上关于x 的方程()()3log 30f x x -+=恰有多少个不同的实数根（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】先利用已知条件求出函数()f x 的周期，把求方程()()3log 30f x x -+=的实数根问题转化为两个函数的交点个数问题，画图观察图像即可得出结果. 【详解】∵()()2f x f x +=-，()()4f x f x +=，∴函数()f x 的周期为4.又()f x 为定义在R 上的偶函数， 当[]0,2x ∈时，()22xf x =-，把求方程()()3log 30f x x -+=的实数根问题转化为两个函数的交点个数问题， 令()y f x =，()()3log 3g x x =+画函数的图像，则满足()()f x g x =，恰有4个交点. 故选：B.【点睛】本题主要考查了求方程的实数根问题，可以转化为两个函数的交点个数问题求解.常用数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.属于中档题.12．函数()y f x =，x ∈R ，()12021f =，对任意的x ∈R ，都有()2'30f x x ->成立，则不等式()32020f x x <+的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】D【分析】结合已知条件分析，需要构造函数()()3h x f x x =-,通过条件可得到''2()()30h x f x x =->,()h x 在R 上为增函数，利用单调性比较，即可得出答案．【详解】设()()3h x f x x =-，则()()''230h x fx x =->，∴()h x 在R 上为增函数，3(1)(1)12020h f =-=，而33()2020()(1)f x x f x x h <+⇔-<，即()()1h x h <，∴1x <.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的应用之解抽象不等式，构造函数是解决本题的关键，运用导函数提出所构造函数的单调性，属于较难题.二、填空题13．已知()()32'0f x x xf =+，则()'1f =_______.【答案】3【分析】先求出()3f x x =，再求导求解.【详解】由题得()()2'32'0f x x f =+，令0x =可得：()'00f =， 则()3f x x =，∴()2'3f x x =，所以()'13f =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14．已知函数()()()()()()12200,11,40x a x f x a a x x ⎧≤⎪=∈⋃+∞⎨⎪->⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是_______. 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】根据分段函数的单调性可得答案.【详解】当0x ≤时，()2xf x a =为减函数知，01a <<；当0x >时，()()1240f x a x x =->为减函数且024a a ≥， 解得10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围,考查了分段函数的性质.15．已知函数()212x x f x x e =++-（e 为自然对数的底数），则()f x 在()()0,0f 处的切线方程为_______. 【答案】0y =【分析】首先对函数求导，求得()00f =，()'00f =，之后利用点斜式求得直线的方程，得到结果.【详解】∵2()12x x f x x e =++-，∴()'1xf x x e =+-；知()00f =，()'00f =， 故可得切线方程为0y =. 故答案为：0y =.【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求函数图象在某个点处的切线方程，属于简单题目.16．已知,a b ∈R ，直线y ax b =-与函数()2f x x =的图象在1x =处相切，设()2x g x e bx a =-+，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数m的最大值是_______. 【答案】1e +【分析】由已知求得a ， b ，得函数()22xg x e x =-+，求导，分析导函数的正负，得出函数()g x 在[]1,2上单调性和最值，由恒等式的思想建立不等式组()()min2max2m g x m g x ⎧≤⎪⎨-≥⎪⎩，解之可求得m 的最大值. 【详解】∵()2f x x =，∴()'2fx x =，∴()'12a f ==，又点()1,1在直线y ax b=-上，∴1b =，∴()22xg x e x =-+，()'2xg x e x =-，设()e 2x h x x =-，则()'2xh x e =-，当[]1,2x ∈时，()()'120h x h e >=->，∴()'g x 在[]1,2上单调递增，∴()()''120g x g e ≥=->，∴()g x 在[]1,2上单调递增，()()()()min 22max 11222m g x g e m g x g e ⎧≤==+⎪⎨-≥==-⎪⎩，解得m e ≤-或1e m e ≤≤+，∴m 的最大值为1e +.故答案为：1e +.【点睛】本题考查导函数的几何意义，运用导函数研究函数的单调性和最值，以及不等式的恒成立思想，属于较难题.三、解答题17．已知p ：函数()()2213f x x a x =-++在()0,∞+上是增函数，q ：x R ∀∈，2230x ax a -+->，若()p q ∧⌝是真命题，求实数a 的取值范围.【答案】(],1a ∈-∞-【分析】根据二次函数的图象与性质，求得命题,p q 为真时，实数a 的取值范围，再结合复合命题的真假，即可求解.【详解】由题意，命题p ：函数()()2213f x x a x =-++在()0,∞+上是增函数，当命题p 真时，可得10a +≤，解得1a ≤-， 由命题q ：x R ∀∈，2230x ax a -+->，当q 真时，可得22()4(23)8120a a a a ∆=---=-+<，解得26a <<，则q ⌝为真时，6a ≥或2a ≤，因为()p q ∧⌝为真，所以p 与q ⌝都为真， 所以1a ≤-，即实数a 的取值范围(],1-∞-.【点睛】本题主要考查利用复合命题的真假求解参数问题，其中解答中结合二次函数的图象与性质求得命题,p q 为真时，实数a 的取值范围是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．已知函数()22g x x x a =-+在[]1,x m ∈时有最大值为1，最小值为0.（1）求实数a 的值； （2）设()()g x f x x=，若不等式()220x xf k -⋅≤在[]0,1x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由题得2()21(1)120g m m m a g a ⎧=-+=⎨=-+=⎩，解方程组即得解；（2）转化为122202xx x k +-⋅≤-在[]0,1x ∈上恒成立，设2x t =，则[]1,2t ∈，2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，再求211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭最大值即得解.【详解】（1）函数22()2(1)1g x x x a x a =-+=-+-，所以()g x 在区间[]1,m 上是增函数， 故2()21(1)120g m m m a g a ⎧=-+=⎨=-+=⎩，解得12a m =⎧⎨=⎩. （2）由已知可得()221g x x x =-+，则()1()2g x f x x x x==+-， 所以不等式()220xxf k -⋅≤，转化为122202xxx k +-⋅≤-在[]0,1x ∈上恒成立， 设2x t =，则[]1,2t ∈，即120t kt t+--≤，在[]1,2t ∈上恒成立，即2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，∵[]1,2t ∈，∴11,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴当112t =时，211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值，最大值为21114t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则14k ≥，所以k 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，考查指数函数的值域的求法，考查二次不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．已知函数()()2xf x x a e =+，其中a 为常数.（1）若函数()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若()3f x e ≥在[]0,1x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a ≥；（2）)3,e ⎡+∞⎣.【分析】（1）由题意可得()(22)xf x x a e '=++，原问题等价于22a x ≥--在区间[)1,-+∞上恒成立，结合一次函数的性质可得实数a 的取值范围；（2）原问题等价于32x a e x -≥-在[]0,1x ∈时恒成立，令()32xg x ex -=-，则()max a g x ≥，利用导函数研究函数的单调性可得()()3max 0e g x g ==，故可得a 的取值范围．【详解】（1）由函数()(2)x f x x a e =+，得()(22)xf x x a e '=++，∵函数()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，∴()()220xf x x a e '=++≥，即22a x ≥--在区间[)1,-+∞上恒成立，∴当[)1,x ∈-+∞时，(]22,0x --∈-∞， ∴0a ≥.（2）()3f x e ≥在[]0,1x ∈时恒成立等价于32x a e x -≥-在[]0,1x ∈时恒成立，令()32xg x ex -=-，则()max a g x ≥，∵()3'20xg x e-=--≤，∴()g x 在[]0,1上单调递减，∵()g x 在区间[]0,1上的最大值()()3max 0g x g e ==， ∴3a e ≥，即实数a 的取值范围是)3,e ⎡+∞⎣.【点睛】本题考查了函数在给定区间恒成立的问题，分离参数转化为求最值的问题.20．已知定义在R 上的函数()()12,2x x b f x a R b R a+-=∈∈+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）当()1,2x ∈时，不等式()230xkf x +->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =，1b =；（2）6k ≤-.【分析】（1）由题意可得(0)0f =，求得b ，再由(1)f f -=-（1），求得a ，检验可得所求值；（2）运用参数分离和换元法、结合指数函数的单调性，以及反比例函数、一次函数的单调性，求得函数的值域，结合恒成立思想，可得所求范围． 【详解】（1）由题意可得(0)0f =，解得1b =， 再由f （1）(1)f =--，得10121242a a---=-++，解得2a =， 当2a =，1b =时，112()2x x f x 2+-=+的定义域为R ，由111212()()2222x xx x f x f x --++--+-===-++，可得()f x 为奇函数， 所以2a =，1b =；（2）由2()30xkf x +->，得1123222xx x k +-⨯>-+， 因为(1,2)x ∈，所以121022x x +-+<+，所以1(32)(22)12x x xk +-+<-．令21x t -+=，则(3,1)t ∈--，此时不等式可化为42()k t t<-，记4()2()h t t t =-，因为当(3,1)t ∈--时，4y t=和y t =-均为减函数，所以()h t 为减函数，故10()(6,)3h t ∈-， 因为()k h t <恒成立，所以6k -．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.21．新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x （万元）在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x mf x x=-+（其中m 为参数）作为补助款发放方案.（1）当使用参数13m =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①②的参数m 的取值范围. 【答案】（1）不满足条件；答案见解析；（2）[]4,12-.【分析】（1）当13m =，求得()'0f x >，得到()f x 在[]4,8x ∈为增函数，又由(4)2f <，即可得到答案；（2）求得224'()4x mf x x +=，分类讨论求得函数的单调性，得到4m ≥-，再由不等式44x mx+≤在[]4,8上恒成立，求得12m ≤，即可求解. 【详解】（1）当13m =，函数()1344x f x x=-+，可得()211304'f x x =+>，所以()f x 在[]4,8x ∈为增函数满足条件①； 又因为71(4)2442f =<=⨯，所以当13m =时不满足条件②. 综上可得，当使用参数13m =时不满足条件；（2）由函数()44x m f x x =-+，可得22214'()44m x mf x x x +=+=，所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件①，当0m <时，由()'0f x =，可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，所以4≤，解得40m -≤<， 综上可得，4m ≥-，由条件②可知，()2xf x ≥，即不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，等价于22114(8)1644m x x x ≤-+=--+.当4x =时，21(8)164y x =--+取最小值12，所以12m ≤，综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，以及导数在函数的中的应用，其中解答中正确理解题意，结合导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 22．已知函数()()1ln 2f x x ax a R =-∈. （1）若()f x 的最大值为-1，求a 的值； （2）求证：当()1,∈+∞x 时，函数23112()()0223g x f x ax x x =++-<恒成立. 【答案】（1）2a =；（2）证明见解析.【分析】（1）对a 分类讨论求出函数()f x 的最大值2212ln 12f a a a a ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭，解方程即得解；（2）利用导数证明()g x 在1,上是减函数，1()(1)06g x g <=-<，即得证.【详解】（1）根据题意可得x 的取值范围为0x >，12'()22a ax f x x x-=-=-， 若0a ≤，则()'0f x ≥，所以()f x 在0,上单调递增，()f x 无最值，不合题意；若0a >，当20x a<<时，()'0f x >，当2x a >时，()'0f x <，所以函数()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 故()f x 的最大值2212ln 12f a a a a ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭，解得2a =，符合题意. 综上，2a =.（2）证明：∵232311212()()ln 22323g x f x ax x x x x x =++-=+-， 所以()2232332(1)211211'()2x x x x x x x x g x x x x x x x-++-+--+=+-===. 因为1x >，所以()'0g x <，所以()g x 在1,上是减函数，所以121()(1)0236g x g <=-=-<.所以()0g x <. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。