2016-2017年广西玉林市陆川中学高一(上)数学期中试卷和答案

2017-2018学年广西玉林市陆川中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin570°的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5分）设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（5分）已知命题；命题q：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1=0；则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨¬q C．¬p∧q D．¬p∧¬q5．（5分）已知，且α为第二象限角，则=（）A．B．C．D．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c8．（5分）《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A． B． C．D．9．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且，若将函数f（x）=2sin（2x+B）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．B．C．2sin2x D．2cos2x10．（5分）已知函数f（x）=﹣+cx+bc在x=1处有极值﹣，则b=（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或311．（5分）一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数，若关于x的方程f2（x）﹣（a+2）f （x）+3=0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，若在上投影为，则m=．14．（5分）函数f（x）=为奇函数，则a+b+c=．15．（5分）已知sin（π+θ）+2sin（π﹣θ）=0，则tan（+θ）=．16．（5分）已知f（x）=|2x﹣m|（m为常数），对任意x∈R，均有f（x+3）=f （﹣x）恒成立．下列说法：①f（x）的周期为6；②若g（x）=f（x）+|2x﹣b|（b为常数）的图象关于直线x=1对称，则b=1；③若0＜2α＜β+2且f（α）=f（β+3），则必有；④已知定义在R上的函数F（x）对任意x均有x∈[0，3]成立，且当x∈[0，3]时，F（x）=f（x）；又函数h（x）=﹣x2+c（c为常数），若存在x1，x2∈[﹣1，3]使得|F（x1）﹣h（x2）|＜1成立，则c的取值范围是（﹣1，13）．其中说法正确的是（填写所有正确结论的编号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知S n=na1+（n﹣1）a2+…+2a n﹣1+a n．（1）若{a n}是等差数列，且S1=5，S2=18，求a n；（2）若{a n}是等比数列，且S1=3，S2=15，求S n．18．（12分）某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的1%，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如表：（1）求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率；（2）若甲获得奖励为X元，求X的分布列与数学期望．19．（12分）如图所示，PA与四边形ABCD所在平面垂直，且PA=BC=CD=BD，AB=AD，PD⊥DC．（1）求证：AB⊥BC；（2）若PA=，E为PC的中点，设直线PD与平面BDE所成角为θ，求sin θ．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）求a的值；（2）求函数g（x）的极值；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明＜k＜．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，证明：|AB|=．[选修4-5：不等式选讲]23．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac；（Ⅱ）++≥1．2017-2018学年广西玉林市陆川中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin570°的值是（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：原式=sin（720°﹣150°）=﹣sin150°=﹣．故选：B．2．（5分）设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数（2﹣i）z=1+i，∴（2+i）（2﹣i）z=（2+i）（1+i），∴z=则z的共轭复数=﹣i在复平面中对应的点在第四象限．故选：D．3．（5分）已知=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：=2，=5，=﹣1﹣2=﹣3．∴=2+=4﹣3=1．故选：C．4．（5分）已知命题；命题q：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1=0；则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨¬q C．¬p∧q D．¬p∧¬q【解答】解：x=0时，显然不成立，故是假命题；对于x2﹣x﹣1=0，△=5＞0，故q：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1=0是真命题；则￢p∧q是真命题，故选：C．5．（5分）已知，且α为第二象限角，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且α为第二象限角，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan2α==﹣，∴==﹣，故选：D．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．7．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．8．（5分）《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A． B． C．D．【解答】解：直角三角形的斜边长为=17，设内切圆的半径为r，则8﹣r+15﹣r=17，解得r=3．∴内切圆的面积为πr2=9π，∴豆子落在内切圆外部的概率P=1﹣=1﹣．故选：D．9．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且，若将函数f（x）=2sin（2x+B）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．B．C．2sin2x D．2cos2x【解答】解：由，利用正弦定理得：，整理得：，利用余弦定理：=，则：，f（x）=2sin（2x+），将图象向右平移个单位长度单位，得到：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=﹣+cx+bc在x=1处有极值﹣，则b=（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或3【解答】解：f′（x）=﹣x2+2bx+c，若f（x）在x=1处有极值﹣，故，解得：b=﹣1，故选：A．11．（5分）一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下所示：由于底面△ABC是一个边长为的正三角形，故底面外接圆半径为1，内切圆半径为，棱柱的高h==2，设该几何体的外接球半径为R，则+=2，解得：R=，故选：B．12．（5分）设函数，若关于x的方程f2（x）﹣（a+2）f （x）+3=0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：作出函数的图象如图，令f（x）=t，则方程f2（x）﹣（a+2）f（x）+3=0化为t2﹣（a+2）t+3=0，要使关于x的方程f2（x）﹣（a+2）f（x）+3=0恰好有六个不同的实数解，则方程t2﹣（a+2）t+3=0在（1，2]内有两不同实数根，∴，解得2﹣2＜a≤．∴实数a的取值范围为（2﹣2，]．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，若在上投影为，则m=﹣1．【解答】解：根据投影的定义可得：==，解得m=﹣1．故答案为：m=﹣1．14．（5分）函数f（x）=为奇函数，则a+b+c=﹣3．【解答】解：由题意，f（0）=a+1=0，∴a=﹣1．f（﹣1）=﹣f（1），可得b﹣1+c=﹣（1+1+1），∴b+c=﹣2，∴a+b+c=﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）已知sin（π+θ）+2sin（π﹣θ）=0，则tan（+θ）=2．【解答】解：∵sin（π+θ）+2sin（π﹣θ）=sin（+θ）﹣2sin（﹣θ）=）=sin（+θ）﹣2cos（+θ）=0，∴sin（+θ）=2cos（+θ），∴tan（+θ）=2，故答案为：2．16．（5分）已知f（x）=|2x﹣m|（m为常数），对任意x∈R，均有f（x+3）=f （﹣x）恒成立．下列说法：①f（x）的周期为6；②若g（x）=f（x）+|2x﹣b|（b为常数）的图象关于直线x=1对称，则b=1；③若0＜2α＜β+2且f（α）=f（β+3），则必有；④已知定义在R上的函数F（x）对任意x均有x∈[0，3]成立，且当x∈[0，3]时，F（x）=f（x）；又函数h（x）=﹣x2+c（c为常数），若存在x1，x2∈[﹣1，3]使得|F（x1）﹣h（x2）|＜1成立，则c的取值范围是（﹣1，13）．其中说法正确的是②③④（填写所有正确结论的编号）【解答】解：①对任意的x∈R，f（x+3）=f（﹣x）恒成立⇔|2x+6﹣m|=|2x+m|⇔6﹣m=m，解得m=3，∴f（x）=|2x﹣3|，其图象关于直线x=对称，而关于y轴不对称，因此不是偶函数，∴f（x+3）=f（﹣x）≠f（x），故不为周期函数，①错误；②∵函数g（x）=f（x）+|2x﹣b|（b为常数）的图象关于直线x=1对称，∴g（2﹣x）=g（x），∴|2（2﹣x）﹣3|+|2（2﹣x）﹣b|=|2x﹣3|+|2x﹣b|，对于任意实数恒成立．化为|2x﹣1|+|2x﹣（4﹣b）|=|2x﹣3|+|2x﹣b|，对于任意实数恒成立，∴4﹣b=3，b=1，故②正确；③由f（α）=f（β+3）=f（﹣β），得α=﹣β或α﹣β=3，又∵0＜2α＜β+2，∴α=﹣β，且0＜α＜，3α2+β=3α2﹣α=3（α﹣）2﹣，显然α=时，取最小值﹣，α=时，3α2﹣α=，∴﹣≤3α2+β＜，故③正确；④当x∈[0，3]时，F（x）=f（x）=|2x﹣3|，可得F（x）∈[0，3]；∵定义在R上的函数F（x）对任意x均有F（x）=F（﹣x）成立，∴F（x）是偶函数．∴当x∈[﹣1，0）时，F（x）=F（﹣x）=|﹣2x﹣3|=|2x+3|，可得F（x）∈[1，3）．综上可得：x∈[﹣1，3]时，F（x）∈[0，3]．由函数h（x）=﹣x2+c，x∈[﹣1，3]，可得h（x）max=c，h（x）min=c﹣9．∵存在x1，x2∈[﹣1，3]使得|F（x1）﹣h（x2）|＜1成立，∴只要|F（x）min﹣h（x）max|=0﹣c＜1，且|F（x）max﹣h（x）min|=c﹣9﹣3＜1．解得﹣1＜c且c＜13，因此c∈（﹣1，13），故④正确．∴正确的命题是：②③④．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知S n=na1+（n﹣1）a2+…+2a n﹣1+a n．（1）若{a n}是等差数列，且S1=5，S2=18，求a n；（2）若{a n}是等比数列，且S1=3，S2=15，求S n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，则S1=a1=5，S2=2a1+a2=10+a2=18，∴a2=8，d=a2﹣a1=3，∴a n=5+3（n﹣1）=3n+2；（2）设数列{a n}的公比为q，则S1=a1=3，S2=2a1+a2=6+a2=15，∴a2=9，，∴，∴S n=n×3+（n﹣1）×32+…+2×3n﹣1+3n，①3S n=n×32+（n﹣1）×33+…+2×3n+3n+1，②②﹣①，得===．∴S n=．18．（12分）某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的1%，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如表：（1）求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率；（2）若甲获得奖励为X元，求X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）设乙、丙理财金额分别为ξ万元、η万元，则乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率为P（ξ+η≥5）=P（ξ=2）P（η=3）+P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=3）P（η=2）=×+×+×=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）X的所有可能的取值为300，400，500，600，700；P（X=300）=P（ξ=1）P（η=1）=×=，P（X=400）=P（ξ=1）P（η=2）+P（ξ=2）P（η=1）=×+×=，P（X=500）=P（ξ=1）P（η=3）+P（ξ=3）•P（η=1）+P（ξ=2）P（η=2）=×+×+×=，P（X=600）=P（ξ=2）P（η=3）+P（ξ=3）P（η=2）=×+×=，P（X=700）=P（ξ=3）P（η=3）=×=，所以X的分布列为（10分）数学期望为E（X）=300×+400×+500×+600×+700×=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）如图所示，PA与四边形ABCD所在平面垂直，且PA=BC=CD=BD，AB=AD，PD⊥DC．（1）求证：AB⊥BC；（2）若PA=，E为PC的中点，设直线PD与平面BDE所成角为θ，求sin θ．【解答】证明：（1）由PA⊥平面ABCD，AB=AD，可得PB=PD，又BC=CD，PC=PC，所以△PBC≌△PDC，所以∠PBC=∠PDC．因为PD⊥DC，所以PB⊥BC．（3分）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．又PA∩PB=P，所以BC⊥平面PAB．因为AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC．（5分）解：（2）由BD=BC=CD，AB⊥BC，可得∠ABD=30°，又已知AB=AD，BD=PA=，所以AB=1．如图所示，分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），P（0，1，），C（，0，0），E（，，），D（，，0），所以=（，，﹣），=（，，），=（，，0）．设平面BDE的法向量n=（x，y，z），（8分）则即取z=﹣2，得n=（3，﹣，﹣2），（10分）所以sin θ===．（12分）20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得a=，c=1．即椭圆方程为=1（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=，此时S=不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以|AB|=．原点到直线的AB距离d=，所以三角形的面积S=．由S=可得k2=2，∴k=±，所以直线AB：=0或AB：=0．21．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）求a的值；（2）求函数g（x）的极值；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明＜k＜．【解答】解：（1）依题意得：g（x）=lnx+ax2﹣3x，则g′（x）=+2ax﹣3，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴g′（1）=1+2a﹣3=0，∴a=1…（2分）（2）由（1）得g′（x）=+2x﹣3=∵函数g（x）的定义域为：（0，+∞），令g′（x）=0，得x=，或x=1．函数g（x）在（0，）上单调递增，在（）单调递减；在（1，+∞）上单调递增．故函数g（x）的极小值为g（1）=﹣2．…（6分）．（3）证明：依题意得⇒lnx2﹣kx2=lnx1﹣kx1，令h（x）=lnx=kx，则h′（x）=，由h′（x）=0得：x=，当x＞时，h′（x）＜0，当0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减，又h（x1）=h（x2），x1＜＜x2，即＜k＜…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，证明：|AB|=．【解答】解：（1）直线l过点（1，0），倾斜角为α，则：直线l的参数方程为（α为参数）．曲线C的极坐标方程是ρ=．则：曲线C的直角坐标方程为：y2=4x．证明：（2）设直线l与曲线C交于A，B两点所对应的参数为t1和t2，则：（tsinα）2=4（1+tcosα），即：sin2αt2﹣4tcosα﹣4=0，则：，而|AB|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]23．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac；（Ⅱ）++≥1．【解答】证明：（Ⅰ）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，当且仅当a=b=c=取等号，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca，又∵（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=1，∴3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca ≤；（Ⅱ）∵+b≥2a ，+c≥2b ，+a≥2c，当且仅当a=b=c=取等号，∴+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c=1．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页（共21页）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2017-2018学年广西玉林市陆川中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A. B. C. D.2.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为（）A.B.C. 1D.3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1，D是CC1中点，则CA1与BD所成角的大小是（）A. B. C. D.4.若圆有且仅有三个点到直线的距离为1，则实数a的值为（）A. B. C. D.5.已知f（x）=为奇函数，g（x）=ln（x2-b），若对∀x1、x2∈R，f（x1）≤g（x2）恒成立，则b的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知两条直线ax-y-2=0和（2-a）x-y+1=0互相平行，则a等于（）A. 2B. 1C. 0D.7.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调增的是（）A. B. C. D.8.设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④m⊂α，n⊂α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α；其中真命题的序号是（）A. B. C. D.9.圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2：x2+y2-4x-4y-1=0的位置关系是（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 46B. 48C. 50D. 52二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.直线x+ay=3与圆（x-1）2+y2=2相切，则a=______．12.过A（-1，1），B（1，3），圆心在x轴上的圆的标准方程为______．13.已知函数f（x）=与g（x）=log2x，则函数h（x）=f（x）-g（x）的零点个数是______．14.在四面体S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，平面SAC⊥平面BAC，则该四面体外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°．（1）求证：BA⊥A1C；（2）求三棱锥A-BB1C1的体积．16.已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求直线l的方程．17.如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF 与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．18.已知线段AB的端点B（4，0），端点A在圆（x+4）2+y2=16上运动（Ⅰ）求线段AB的中点C的轨迹方程．（Ⅱ）设动直线y=k（x-1）（k≠0）与圆C交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线AN与直线BN关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小于零．最后三者得到结论．本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质．【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选C．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二面角的平面角及求法．解决本题的关键在于通过取BC的中点E，得二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，进而求出结论．先取BC的中点E，可得二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，再在直角三角形A1EA中求出其正切即可．【解答】解：设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE，由正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等．可得A1E⊥BC，AE⊥BC所以；二面角A1-BC-A的平面角为：∠A1EA，在RT△ABC中，AE=a，所以：tan∠A1EA===．即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为：故选D．3.【答案】C【解析】解：如图过D作DE∥CA1交A1C1于E，则E是A1C1的中点，连接BE，则∠BDE为CA1与BD所成角，设AB=2，则BD=，DE=，B1E=，BE=，在△BDE中，cos∠BDE==0，所以∠BDE=；故选：C．由题意，画出图形，通过作平行线得到所求角的平面角，利用余弦定理求大小．本题考查了正三棱柱的性质以及异面直线所成的角的求法；关键是找到平面角，利用余弦定理求值．4.【答案】B【解析】解：化圆x2+y2+2x-6y+6=0为（x+1）2+（y-3）2=4．可得圆心坐标为C（-1，3），半径r=2．如图：要使圆x2+y2+2x-6y+6=0有且仅有三个点到直线x+ay+1=0的距离为1，则圆心C到直线x+ay+1=0的距离为1，即，解得a=．故选：B．化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，把圆x2+y2+2x-6y+6=0上有且仅有三个点到直线x+ay+1=0的距离为1，转化为圆心C到直线x+ay+1=0的距离为1，再由点到直线的距离公式求解得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．5.【答案】A【解析】解：由于f（x）=为奇函数，故f（0）=0，a=1；则f（x）==1-∈（-1，1），由题意，要求f（x）max≤g（x）min，而f（x）∈（-1，1），从而要求ln（x2-b）≥1，x2-b≥e在R上恒成立，b≤（x2-e）min，b≤-e，故选：A根据f（x）为奇函数，求出a值，进而求出值域，将对∀x1，x2∈R，f（x1）≤g（x2）恒成立，转化为：f（x）max≤g（x）min，可得答案．本题考查的知识点是函数奇偶性性质，熟练掌握函数奇偶性的性质是解答的关键．6.【答案】B【解析】解：∵两条直线ax-y-2=0和（2-a）x-y+1=0互相平行，∴，解得a=1．故选：B．利用直线与直线平行的性质求接求解．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线平行的性质的合理运用．7.【答案】C【解析】根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．本题考查了成绩函数的奇偶性和单调性的性质，是一道基础题．解：对于A，函数是奇函数，不合题意，对于B，函数是非奇非偶函数，不合题意，对于C，函数是偶函数，x＞0时，y=x-1，递增，符合题意，对于D，函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意，故选：C．8.【答案】C【解析】解：若α∥β，l⊂α，由面面平行的性质定理可得l∥β，故正确；若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，若m∥n，则α∥β不一定成立，故错误；若l∥α，由线面平行的性质定理可得存在b⊂α，使b∥l，又由l⊥β，可由线面垂直的第二判定定理得b⊥β，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正确；m⊂α，n⊂α，且l⊥m，l⊥n，若m∥n，则l⊥α不一定成立，故错误；故选C由面面平行的性质定理，可得的真假；由面面平行的判定定理，可得的真假；根据线面平行的性质定理，线面垂直的判定方法及面面垂直的判定定理可得的真假；由线面垂直的判定定理可得的真假，进而得到答案．本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是掌握空间中线面位置关系判断的定理，本题是考查双基的题，知识性较强．9.【答案】C【解析】解：∵圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0的圆心C1（-1，-4），半径r1==5，圆C2：x2+y2-4x-4y-1=0的圆心C2（2，2），半径r2==3，∴|CC2|==3，|r1-r2|=2，，1∵|r1-r2|＜|C1C2|＜r1+r2，∴圆C1与圆C2相交．故选C．由圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0的圆心C1（-1，-4），半径r1=5，圆C2：x2+y2-4x-4y-1=0的圆心C2（2，2），半径r2=3，知|r1-r2|＜|C1C2|＜r1+r2，由此得到圆C1与圆C2相交．本题考查圆与圆的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10.【答案】B【解析】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，高为3，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面是边长为4的正方形，∴该几何体的表面积为2××3×4+2××4×5+4×4=12+20+16=48．故选：B．几何体是一个四棱锥，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为3，底面是边长为4的正方形，即可求出该几何体的表面积本题考查由三视图求该几何体的表面积，考查由三视图还原几何体的直观图．11.【答案】±1【解析】解：圆心坐标为（1，0），半径R=，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===，即2=•，平方得1+a2=2，得a2=1，则a=±1，故答案为：±1求出圆心和半径，结合直线和圆相切的等价条件，建立方程关系进行求解即可．本题主要考查直线和圆相切的位置关系的应用，结合圆心到直线的距离等于半径是解决本题的关键．12.【答案】（x-2）2+y2=10【解析】解：∵圆的圆心在x轴上，设圆心为M（a，0），由圆过点A（-1，1）和B（1，3），即|MA|=|MB|可得MA2=MB2，即（a+1）2+1=（a-1）2+9，求得a=2，可得圆心为M（2，0），半径为|MA|=，故圆的方程为（x-2）2+y2=10．故答案为：（x-2）2+y2=10．设圆心为M（a，0），由|MA|=|MB|求得a的值，可得圆心坐标以及半径的值，从而求得圆的方程．本题主要考查求圆的标准方程，求出圆心的坐标，是解题的关键，属于基础题．13.【答案】3【解析】解：可由题意在同一个坐标系中画出f（x）和g（x）的图象其中红色的为g（x））=log2x的图象，由图象可知：函数f（x）和g（x）的图象由三个公共点，即h（x）=f（x）-g（x）的零点个数为3，故答案为：3由题意可作出函数f（x）和g（x）的图象，图象公共点的个数即为函数h（x）=f（x）-g（x）的零点个数．本题为函数零点个数的求解，转化为函数图象的交点个数来求是解决问题的关键，属中档题．14.【答案】【解析】解：解：取AC中点D，连接SD，BD，∵AB=BC=，∴BD⊥AC，∵SA=SC=2，∴SD⊥AC，AC⊥平面SDB．∴∠SDB为二面角S-AC-B的平面角，在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，∴AC=2．∵平面SAC⊥平面BAC，∴∠SDB=90°，取等边△SAC的中心E，则E为该四面体外接球的球心，球半径R=SE===，∴该四面体外接球的表面积S=4πR2=4=．故答案为：．取AC中点D，连接SD，BD，取等边△SAC的中心E，则E为该四面体外接球的球心，球半径R=SE，由此能求出该四面体外接球的表面积．本题考查四面体的外接球的表面积的求法，考查四面体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合思想，是中档题．15.【答案】证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°．∴A1A⊥平面ABC，∴BA⊥AA1，又∵∠BAC=90°，∴BA⊥AC，A1A∩AC=A，∴BA⊥平面ACC1A1，∴BA⊥A1C．解：（2）∵AC⊥AB，AC⊥AA1，AB∩AA1=A，∴AC⊥平面ABB1，∴C1到平面ABB1的距离为AC=2，∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°．∴△ =2，∴三棱锥A-BB1C1的体积：==△=．【解析】（1）推导出A1A⊥平面ABC，从而BA⊥AA1，由∠BAC=90°，得BA⊥AC，从而BA⊥平面ACC1A1，由此能证明BA⊥A1C．（2）三棱锥A-BB1C1的体积=，由此能求出结果．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．16.【答案】证明：（1）直线l：mx-y+1-m=0转化为m（x-1）-y+1=0，∴直线l经过定点（1，1），∵12+（1-1）2＜5，∴定点（1，1）在圆C内，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点．解：（2）由圆心（0，1）到直线mx-y+1-m=0的距离d==，而圆的弦长|AB|=2=，即2=，17=4（4+），m2=3，解得m=，故所求的直线方程为或-．【解析】（1）直线l经过定点（1，1），定点（1，1）在圆C内，由此能证明对m∈R，直线l 与圆C总有两个不同的交点．（2）由圆心（0，1）到直线mx-y+1-m=0的距离d=，圆的弦长|AB|=2 =，由此能求出直线方程．本题考查直线与圆总有两个交点的证明，考查直线方程的求法，考查直线过定点、圆、点到直线的距离公式、弦长等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17.【答案】证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，在△EDC中，M，N分别为ED、EC的中点，∴MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABMN为平行四边形．∴BN∥AM．又∵BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，∴AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，得BC=．在△BCD中，BD=BC=，CD=2，BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．∵ED∩BD=D，∴BC⊥平面BDE．解：（3）作DH⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠DCH为CD与平面BEC所成角，由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD，∴S△BCD=，又∵ED⊥平面ABCD，△ =．∴DH=，∴sin∠ ==．∴CD与平面BEC所成角的正弦值为．【解析】（1）取EC中点N，连结MN，BN，推导出四边形ABMN为平行四边形，从而BN∥AM，由此能证明AM∥平面BEC．（2）推导出ED⊥AD，ED⊥BC，BC⊥BD，由此能证明BC⊥平面BDE．（3）作DH⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠DCH为CD与平面BEC所成角，由此能求出CD与平面BEC所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设线段AB中点为C（x，y），点A（x0，y0），∵B（4，0），∴2x=x0+4，2y=y0+0，∴x0=2x-4，y0=2y，∴（2x-4+4）2+4y2=16，∴x2+y2=4，（Ⅱ）设N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由，得（k2+1）x2-2k2x+k2-4=0．∴x1+x2=，x1x2=若直线AN与直线BN关于x轴对称，则k AN=-k BN⇒+=0⇒+=0，即2x1x2-（t+1）（x1+x2）+2t=0⇒-+2t=0，解得t=4．∴在x轴正半轴上存在定点N（4，0），使得AN与直线BN关于x轴对称【解析】（Ⅰ）设出C和A点的坐标，由中点坐标公式得到两点坐标的关系，把A的坐标用C的坐标表示，代入圆的方程后整理得答案．（Ⅱ）设N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2）．可得，得（k2+1）x2-2k2x+k2-4=0，根据根与系数的关系以及k AN=-k BN，即可求出N的坐标本题考查了圆的方程，点的轨迹，定点问题直线和圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．。

2017-2018学年广西玉林市陆川中学高一（上）期末数学试卷一.选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（4.00分）三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a2．（4.00分）如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,各棱长都相等,则二面角A1﹣BC﹣A 的平面角的正切值为（）A．B．C．1 D．3．（4.00分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若AB=BB1,D是CC1中点,则CA1与BD所成角的大小是（）A．B． C．D．4．（4.00分）若圆x2+y2+2x﹣6y+6=0有且仅有三个点到直线x+ay+1=0的距离为1,则实数a的值为（）A．±1 B．C．D．5．（4.00分）已知f（x）=为奇函数,g（x）=ln（x2﹣b）,若对∀x1、x2∈R,f（x1）≤g（x2）恒成立,则b的取值范围为（）A．（﹣∞,﹣e]B．（﹣∞,0]C．[﹣e,0]D．[﹣e,+∞）6．（4.00分）已知两条直线ax﹣y﹣2=0和（2﹣a）x﹣y+1=0互相平行,则a等于（）A．2 B．1 C．0 D．﹣17．（4.00分）下列函数中,既是偶函数又在区间（0,+∞）上单调增的是（）A．B．y=lgx C．y=|x|﹣1 D．y=2﹣x28．（4.00分）设α,β为两个不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题：①若α∥β,l⊂α,则l∥β；②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β；③若l∥α,l⊥β,则α⊥β；④m⊂α,n⊂α,且l⊥m,l⊥n,则l⊥α；其中真命题的序号是（）A．①③④B．①②③C．①③D．②④9．（4.00分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含10．（4.00分）如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为（）A．46 B．48 C．50 D．52二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.11．（4.00分）直线x+ay=3与圆（x﹣1）2+y2=2相切,则a=．12．（4.00分）过A（﹣1,1）,B（1,3）,圆心在x轴上的圆的标准方程为．13．（4.00分）已知函数f（x）=与g（x）=log2x,则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数是．14．（4.00分）在四面体S﹣ABC中,AB⊥BC,AB=BC=,SA=SC=2,平面SAC⊥平面BAC,则该四面体外接球的表面积为．三.解答题：本大题共4小题,共44分.解答应写出必要的文字说明. 15．（10.00分）如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°．（1）求证：BA⊥A1C；（2）求三棱锥A﹣BB1C1的体积．16．（10.00分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5,直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的方程．17．（12.00分）如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=,现以AD为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,M为ED的中点,如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．18．（12.00分）已知线段AB的端点B（4,0）,端点A在圆（x+4）2+y2=16上运动（Ⅰ）求线段AB的中点C的轨迹方程．（Ⅱ）设动直线y=k（x﹣1）（k≠0）与圆C交于A,B两点,问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得直线AN与直线BN关于x轴对称？若存在,请求出点N的坐标；若不存在,请说明理由．2017-2018学年广西玉林市陆川中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（4.00分）三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0,由指数函数的性质可知：0＜a＜1,c＞1∴b＜a＜c故选：C．2．（4.00分）如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,各棱长都相等,则二面角A1﹣BC﹣A 的平面角的正切值为（）A．B．C．1 D．【解答】解：设棱长为a,BC的中点为E,连接A1E,AE,由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,各棱长都相等．可得A1E⊥BC,AE⊥BC所以；二面角A1﹣BC﹣A的平面角为：∠A1EA,中,AE=a,在RT△ABC所以：tan∠A1EA===．即二面角A1﹣BC﹣A的平面角的正切值为：故选：D．3．（4.00分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若AB=BB1,D是CC1中点,则CA1与BD所成角的大小是（）A．B． C．D．【解答】解：如图过D作DE∥CA1交A1C1于E,则E是A1C1的中点,连接BE,则∠BDE为CA1与BD所成角,设AB=2,则BD=,DE=,B1E=,BE=,在△BDE中,cos∠BDE==0,所以∠BDE=；故选：C．4．（4.00分）若圆x2+y2+2x﹣6y+6=0有且仅有三个点到直线x+ay+1=0的距离为1,则实数a的值为（）A．±1 B．C．D．【解答】解：化圆x2+y2+2x﹣6y+6=0为（x+1）2+（y﹣3）2=4．可得圆心坐标为C（﹣1,3）,半径r=2．如图：要使圆x2+y2+2x﹣6y+6=0有且仅有三个点到直线x+ay+1=0的距离为1,则圆心C到直线x+ay+1=0的距离为1,即,解得a=．故选：B．5．（4.00分）已知f（x）=为奇函数,g（x）=ln（x2﹣b）,若对∀x1、x2∈R,f（x1）≤g（x2）恒成立,则b的取值范围为（）A．（﹣∞,﹣e]B．（﹣∞,0]C．[﹣e,0]D．[﹣e,+∞）【解答】解：由于f（x）=为奇函数,故f（0）=0,a=1；则f（x）==1﹣∈（﹣1,1）,由题意,要求f（x）max≤g（x）min,而f（x）∈（﹣1,1）,从而要求ln（x2﹣b）≥1,x2﹣b≥e在R上恒成立,b≤（x2﹣e）min,b≤﹣e,故选：A．6．（4.00分）已知两条直线ax﹣y﹣2=0和（2﹣a）x﹣y+1=0互相平行,则a等于（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：∵两条直线ax﹣y﹣2=0和（2﹣a）x﹣y+1=0互相平行,∴,解得a=1．故选：B．7．（4.00分）下列函数中,既是偶函数又在区间（0,+∞）上单调增的是（）A．B．y=lgx C．y=|x|﹣1 D．y=2﹣x2【解答】解：对于A,函数是奇函数,不合题意,对于B,函数是非奇非偶函数,不合题意,对于C,函数是偶函数,x＞0时,y=x﹣1,递增,符合题意,对于D,函数是偶函数,在（0,+∞）递减,不合题意,故选：C．8．（4.00分）设α,β为两个不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题：①若α∥β,l⊂α,则l∥β；②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β；③若l∥α,l⊥β,则α⊥β；④m⊂α,n⊂α,且l⊥m,l⊥n,则l⊥α；其中真命题的序号是（）A．①③④B．①②③C．①③D．②④【解答】解：①若α∥β,l⊂α,由面面平行的性质定理可得l∥β,故正确；②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,若m∥n,则α∥β不一定成立,故错误；③若l∥α,由线面平行的性质定理可得存在b⊂α,使b∥l,又由l⊥β,可由线面垂直的第二判定定理得b⊥β,由面面垂直的判定定理可得α⊥β,故正确；④m⊂α,n⊂α,且l⊥m,l⊥n,若m∥n,则l⊥α不一定成立,故错误；故选：C．9．（4.00分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含【解答】解：∵圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0的圆心C1（﹣1,﹣4）,半径r1==5,圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的圆心C2（2,2）,半径r2==3,∴|C1C2|==3,|r1﹣r2|=2,,∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2,∴圆C1与圆C2相交．故选：C．10．（4.00分）如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为（）A．46 B．48 C．50 D．52【解答】解：由三视图知,几何体是一个四棱锥,高为3,四棱锥的一条侧棱与底面垂直,底面是边长为4的正方形,∴该几何体的表面积为2××3×4+2××4×5+4×4=12+20+16=48．故选：B．二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.11．（4.00分）直线x+ay=3与圆（x﹣1）2+y2=2相切,则a=±1．【解答】解：圆心坐标为（1,0）,半径R=,∵直线和圆相切,∴圆心到直线的距离d===,即2=•,平方得1+a2=2,得a2=1,则a=±1,故答案为：±112．（4.00分）过A（﹣1,1）,B（1,3）,圆心在x轴上的圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=10．【解答】解：∵圆的圆心在x轴上,设圆心为M（a,0）,由圆过点A（﹣1,1）和B （1,3）,即|MA|=|MB|可得MA2=MB2,即（a+1）2+1=（a﹣1）2+9,求得a=2,可得圆心为M（2,0）,半径为|MA|=,故圆的方程为（x﹣2）2+y2=10．故答案为：（x﹣2）2+y2=10．13．（4.00分）已知函数f（x）=与g（x）=log2x,则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数是3．【解答】解：可由题意在同一个坐标系中画出f（x）和g（x）的图象其中红色的为g（x））=log2x的图象,由图象可知：函数f（x）和g（x）的图象由三个公共点,即h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数为3,故答案为：314．（4.00分）在四面体S﹣ABC中,AB⊥BC,AB=BC=,SA=SC=2,平面SAC⊥平面BAC,则该四面体外接球的表面积为．【解答】解：解：取AC中点D,连接SD,BD,∵AB=BC=,∴BD⊥AC,∵SA=SC=2,∴SD⊥AC,AC⊥平面SDB．∴∠SDB为二面角S﹣AC﹣B的平面角,在△ABC中,AB⊥BC,AB=BC=,∴AC=2．∵平面SAC⊥平面BAC,∴∠SDB=90°,取等边△SAC的中心E,则E为该四面体外接球的球心,球半径R=SE===,∴该四面体外接球的表面积S=4πR2=4=．故答案为：．三.解答题：本大题共4小题,共44分.解答应写出必要的文字说明. 15．（10.00分）如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°．（1）求证：BA⊥A1C；（2）求三棱锥A﹣BB1C1的体积．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°．∴A1A⊥平面ABC,∴BA⊥AA1,又∵∠BAC=90°,∴BA⊥AC,A1A∩AC=A,∴BA⊥平面ACC1A1,∴BA⊥A1C．解：（2）∵AC⊥AB,AC⊥AA1,AB∩AA1=A,∴AC⊥平面ABB1,∴C1到平面ABB1的距离为AC=2,∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°．∴=2,∴三棱锥A﹣BB1C1的体积：===．16．（10.00分）已知圆C：x2+（y﹣1）2=5,直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的方程．【解答】证明：（1）直线l：mx﹣y+1﹣m=0转化为m（x﹣1）﹣y+1=0,∴直线l经过定点（1,1）,∵12+（1﹣1）2＜5,∴定点（1,1）在圆C内,∴对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点．解：（2）由圆心（0,1）到直线mx﹣y+1﹣m=0的距离d==,而圆的弦长|AB|=2=,即2=,17=4（4+）,m2=3,解得m=,故所求的直线方程为或﹣．17．（12.00分）如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=,现以AD为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,M为ED的中点,如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取EC中点N,连结MN,BN,在△EDC中,M,N分别为ED、EC的中点,∴MN∥CD,且MN=CD．由已知AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABMN为平行四边形．∴BN∥AM．又∵BN⊂平面BEC,且AM⊄平面BEC,∴AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中,ED⊥AD,又∵平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,∴ED⊥平面ABCD,∴ED⊥BC,在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,得BC=．在△BCD中,BD=BC=,CD=2,BD2+BC2=CD2,∴BC⊥BD．∵ED∩BD=D,∴BC⊥平面BDE．解：（3）作DH⊥平面BEC于点H,连接CH,则∠DCH为CD与平面BEC所成角,由（2）知,BC⊥BE,BC⊥BD,∴S=,△BCD又∵ED⊥平面ABCD,=．∴DH=,∴sin==．∴CD与平面BEC所成角的正弦值为．18．（12.00分）已知线段AB的端点B（4,0）,端点A在圆（x+4）2+y2=16上运动（Ⅰ）求线段AB的中点C的轨迹方程．（Ⅱ）设动直线y=k（x﹣1）（k≠0）与圆C交于A,B两点,问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得直线AN与直线BN关于x轴对称？若存在,请求出点N的坐标；若不存在,请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设线段AB中点为C（x,y）,点A（x0,y0）,∵B（4,0）,∴2x=x0+4,2y=y0+0,∴x0=2x﹣4,y0=2y,∴（2x﹣4+4）2+4y2=16,∴x2+y2=4,（Ⅱ）设N（t,0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）．由,得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．∴x1+x2=,x1x2=若直线AN与直线BN关于x轴对称,则k AN=﹣k BN⇒+=0⇒+=0,即2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0⇒﹣+2t=0,解得t=4．∴在x轴正半轴上存在定点N（4,0）,使得AN与直线BN关于x轴对称。

2016-2017学年广西玉林市陆川中学高一（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin（﹣）的值是（）A．﹣B．C．D．﹣2．（5分）cos的值为（）A．B．C．﹣D．3．（5分）在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）4．（5分）已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角等于（）A．1B．3C．D．5．（5分）设α是第二象限角，则＝（）A．1B．tan2αC．﹣tan2αD．﹣16．（5分）下列函数中，以π为周期的偶函数是（）A．y＝|sin x|B．y＝sin|x|C．D．7．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（）A．B．C．D．8．（5分）若tanα＝，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣B．C．5D．﹣59．（5分）把函数y＝sin x（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R10．（5分）若函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω＝（）A．5B．4C．3D．211．（5分）锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）记max{x，y}＝，min{x，y}＝，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上）13．（4分）在△ABC中，tan A＝，则sin A＝．14．（4分）函数y＝cos2x﹣sin x的最大值是．15．（4分）＝．16．（4分）对于△ABC，有如下命题：①若，则△ABC一定为等腰三角形；②若，则△ABC一定为等腰三角形；③若sin2A+cos2B＝1，则△ABC一定为等腰三角形；④若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC一定为钝角三角形其中错误命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）18．（12分）已知α∈（0，），β∈（，π）且，，求sinα的值．19．（12分）已知sin（π+α）＝﹣，α是第二象限角，分别求下列各式的值：（Ⅰ）cos（2π﹣α）；（Ⅱ）tan（α﹣7π）．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：（a+c）（sin A﹣sin C）＝sin B（a﹣b）（I）求角C的大小；（II）若c＝2，求a+b的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式．（2）根据（1）的结果，若函数y＝f（kx）（k＞0）周期为，当时，方程f（kx）＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．22．（14分）已知△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）若S＝（a+b）2﹣c2，a+b＝4，求sin C的值；（2）证明：；（3）比较a2+b2+c2与的大小．2016-2017学年广西玉林市陆川中学高一（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin（﹣）的值是（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：sin（﹣）＝sin（﹣4π+）＝sin＝sin＝，故选：B．2．（5分）cos的值为（）A．B．C．﹣D．【解答】解：cos＝cos（﹣4π+）＝cos＝cos（π﹣）＝﹣．故选：A．3．（5分）在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．4．（5分）已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角等于（）A．1B．3C．D．【解答】解：设弧长为l，则周长为2r+l＝3r∴l＝r∴圆心角α＝＝1故选：A．5．（5分）设α是第二象限角，则＝（）A．1B．tan2αC．﹣tan2αD．﹣1【解答】解：∵α是第二象限角，∴＝故选：D．6．（5分）下列函数中，以π为周期的偶函数是（）A．y＝|sin x|B．y＝sin|x|C．D．【解答】解：对于函数y＝sin x，T＝2π，y＝|sin x|是将y＝sin x的图象x轴上侧的图象不变x 轴下侧的图象对折得到的，如图：∴T＝π，且是偶函数满足条件．故选：A．7．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为直线x＝和x＝是函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T＝＝2π．所以ω＝1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ＝．故选：A．8．（5分）若tanα＝，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣B．C．5D．﹣5【解答】解：原式＝．故选：B．9．（5分）把函数y＝sin x（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R【解答】解：由y＝sin x的图象向左平行移动个单位得到y＝sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin（2x+）故选：C．10．（5分）若函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω＝（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T＝2（）＝，所以T＝＝，所以ω＝＝4．故选：B．11．（5分）锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B＝2A，∴0＜2A＜，且B+A＝3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cos A＜．由正弦定理可得＝＝2cos A，∴＜2cos A＜，故选：B．12．（5分）记max{x，y}＝，min{x，y}＝，设，为平面向量，则（）A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2【解答】解：对于选项A，取⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，则不等式左边min{|+|，|﹣|}＝0，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max{|+|2，|﹣|2}＝|+|2＝4，而不等式右边＝||2+||2＝2，故C不成立，D选项正确．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上）13．（4分）在△ABC中，tan A＝，则sin A＝．【解答】解：在△ABC中，tan A＝，则A为锐角，再由tan A＝＝，sin2A+cos2A ＝1，求得sin A＝，故答案为．14．（4分）函数y＝cos2x﹣sin x的最大值是．【解答】解：y＝cos2x﹣sin x＝1﹣sin2x﹣sin x＝﹣+≤，当且仅当sin x＝时取等号．∴函数y＝cos2x﹣sin x的最大值是．故答案为：．15．（4分）＝2．【解答】解：由＝．故答案为：2．16．（4分）对于△ABC，有如下命题：①若，则△ABC一定为等腰三角形；②若，则△ABC一定为等腰三角形；③若sin2A+cos2B＝1，则△ABC一定为等腰三角形；④若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC一定为钝角三角形其中错误命题的序号是①②．【解答】解：由①，即b2tan A＝a2tan B，由正弦定理可知：a＝2R sin A，b＝2R sin B，则sin2B×＝sin2A×，即sin A cos A＝sin B cos B，则sin2A＝sin2B，则A＝B，或2（A+B）＝π，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①错误；对于②由余弦定理可知：＝，整理得2sin A cos A＝2sin B cos B，则sin2A＝sin2B，则A＝B，或2（A+B）＝π，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故②错误；对于③sin2A+cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，∴A＝B，△ABC一定为等腰三角形，故③成立；④由sin2A+sin2B+cos2C＜1可得sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得a2+b2＜c2，再由余弦定理可得cos C＜0，C为钝角，故④正确；故答案为：①②．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝46m，AB＝，根据正弦定理，，得BC＝＝＝60m．故答案为：60m．18．（12分）已知α∈（0，），β∈（，π）且，，求sinα的值．【解答】解：由α∈（0，），β∈（，π）∴α+β∈（），又∵＞0，∴α+β∈（，π），则cos（α+β）＝﹣，，则：sinβ＝．那么：sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝＝19．（12分）已知sin（π+α）＝﹣，α是第二象限角，分别求下列各式的值：（Ⅰ）cos（2π﹣α）；（Ⅱ）tan（α﹣7π）．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣，所以sinα＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又α是第二象限角，所以cosα＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分所以cos（2π﹣α）＝cosα＝﹣；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（Ⅱ）tan（α﹣7π）＝tanα＝＝﹣＝﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：（a+c）（sin A﹣sin C）＝sin B（a﹣b）（I）求角C的大小；（II）若c＝2，求a+b的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（I）在△ABC中，∵（a+c）（sin A﹣sin C）＝sin B（a﹣b），∴由正弦定理可得：（a+c）（a﹣c）＝b（a﹣b），即a2+b2﹣c2＝ab，…（3分）∴cos C＝，∴由C为三角形内角，C＝．…（6分）（II）由（I）可知2R＝，…（7分）∴a+b＝（sin A+sin B）＝[sin A+sin（A+）]＝（sin A+cos A）＝4sin（A+）．…（10分）∵0，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴2＜4sin（A+）≤4∴a+b的取值范围为（2，4]．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式．（2）根据（1）的结果，若函数y＝f（kx）（k＞0）周期为，当时，方程f（kx）＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，得，由，得ω＝1，又，解得令，即，解得，∴．（2）∵函数的周期为，又k＞0，∴k＝3，令，∵，∴，如图，sin t＝s在上有两个不同的解，则，∴方程f（kx）＝m在时恰好有两个不同的解，则，即实数m的取值范围是．22．（14分）已知△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）若S＝（a+b）2﹣c2，a+b＝4，求sin C的值；（2）证明：；（3）比较a2+b2+c2与的大小．【解答】解：（1）由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2ab cos C∴∴sin C＝4cos C+4，又∵sin2C+cos2C＝1∴17sin2C﹣8sin C＝0，∴sin C＝0或又∵C∈（0，π），∴sin C≠0，∴（2）证明：由正弦定理，：；可得：∵sin C≠0，∴sin2A﹣sin2B＝sin（A﹣B）sin Csin C＝sin（A+B）右边：sin（A﹣B）sin C＝sin（A﹣B）sin（A+B）＝sin2A﹣sin2B＝左边故得：；（3）根据S＝ab sin C作差可得：＝＝2a2+2b2﹣4ab sin（C+），当sin（C+）取得最大值时，可得2a2+2b2﹣4ab sin（C+）≥2（a﹣b）2≥0．故得a2+b2+c2≥．。