人教版九年级上册二次函数压轴题专项训练

得 ，
解得： ，
则直线的解析式是：y=2x+6；
（2）如图1，
过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵S△ABP：S△BPC=1：3，
∴ = ，
∴AP：PC=1：3，
由勾股定理，得AC= =3 ．
①当点P为线段AC上一点时，如图2，
过点P作PH⊥x轴，点H为垂足．
∵PH∥OC，
∴ = = ，
∴PH= ，
∴ =2x+6，
10．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y= x﹣ 与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE．求证：PE⊥PF；
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；
（3）直线y= x+a与（1）中所求的抛物线交于不同的两点M、N．
试求：当∠MON≤90°时，a的取值范围．（要写出必要的过程）（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M，N两点之间的距离为|MN|= ）
∴x=﹣ ，
∴点P（﹣ ， ）；
②当点P在CA延长线时，如图3，
作PG⊥x轴，点G为垂足．
∵AP：PC=1：3，
∴AP：AC=1：2．
∵PG∥OC，
∴ = = ，
∴PG=3，
∴﹣3=2x+6，x=﹣ ，
∴点P（﹣ ，﹣3）．
（3）如图4，
设直线y= x+a与抛物线y=﹣x2﹣x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧）．

专题22.6 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择15题，填空15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函数图象与系数之间关系的理解！一．选择题（共15小题）1．（2022•葫芦岛一模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：12①abc ＞0； ②a ﹣2b +4c ＞0；③25a ﹣10b +4c ＝0；④3b +2c ＞0；其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④2．（2022•恩施市一模）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①abc ＜0；②4a +2b +c ＞0；③5a ﹣b +c ＝0；④若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；⑤若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②③⑤C ．②③④⑤D ．①②④⑤3．（2022春•崇川区校级期末）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y ＝ax 2+bx +c…t m ﹣2﹣2n …且当x 时，与其对应的函数值y ＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是=−12关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的两个根；③0＜m +n，其中，正确结论的是（ ）＜203A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③4．（2022春•东湖区校级期末）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx ﹣c ，它与x 轴交于A 、B ，且A 、B 位于原点两侧，与y 的正半轴交于C ，顶点D 在y 轴右侧的直线l ：y ＝4上，则下列说法：①bc ＜0；②0＜b ＜4；③AB ＝4；④S △ABD ＝8．其中正确的结论有（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④5．（2022•丹东）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （5，0），与y 轴交于点C ，其对称轴为直线x ＝2，结合图象分析如下结论：①abc ＞0；②b +3a ＜0；③当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；④若一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点A ，则点E （k ，b ）在第四象限；⑤点M 是抛物线的顶点，若CM ⊥AM ，则a ．其中正确的有（ ）=66A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．（2022•鹤峰县二模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，点B 位于（4，0）、（5，0）之间，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2，直线y ＝﹣x +c 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 交于C ，D 两点，D 点在x 轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a +b +c ＞0；②a ﹣b +c ＜0；③m （am +b ）＜4a +2b （其中m 为任意实数）；④a ＜﹣1，其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．①③④7．（2022秋•朝阳期中）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x，结合图象分析下列结论：①abc ＞0；②3a +c ＞0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；④一元二=−12次方程cx 2+bx +a ＝0的两根分别为x 1，x 2；⑤若m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）=−13=12+3＝0的两个根，则m ＜﹣3且n ＞2，其中正确的结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．58．（2022•河东区二模）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 开口向下，与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①2a +b ＝0；②﹣1≤a ；③对于任意实数m ，a （m 2﹣1）+b （m ﹣1）≤0总成立；④关于x 的方程≤−23ax 2+bx +c ﹣n +1＝0有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．（2022•辽宁）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，对称轴为直线x ＝﹣1，直线y ＝kx +c 与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab ＞0；②4a +c ＞0；③若（﹣2，y 1）与（，y 2）是抛物线上的12两个点，则y 1＜y 2；④方程ax 2+bx +c ＝0的两根为x 1＝﹣3，x 2＝1；⑤当x ＝﹣1时，函数y ＝ax 2+（b ﹣k ）x 有最大值．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．（2022•济南二模）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①c ＞0；②9a +3b +c ＞0；③若方程ax 2+bx +c +1＝0有解x 1、x 2，满足x 1＜x 2，则x 1＜﹣2，x 2＞4；④抛物线与直线y ＝x 交于P 、Q 两点，若PQ ，则a ＝﹣1；=66其中，正确结论的个数是（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．111．（2022•宁远县模拟）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴负半轴交于（，0），对−12称轴为直线x ＝1．有以下结论：①abc ＞0；②3a +c ＞0；③若点（﹣3，y 1），（3，y 2），（0，y 3）均在函数图象上，则y 1＞y 3＞y 2；④若方程a （2x +1）（2x ﹣5）＝1的两根为x 1，x 2且x 1＜x 2，则x 1x 2；⑤点M ，N 是抛物线与x 轴的两个交点，若在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得＜−12＜52＜PM ⊥PN ，则a 的范围为a 4．其中结论正确的有（ ）≥22−A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．（2022•惠城区二模）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，且OB ＝2OC ，则下列结论：①0；②4ac +2b ＝﹣1；③a ；④当b ＞1时，在x 轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称a−b c ＜=−14的两点M ，N （点M 在点N 左边），使得AN ⊥BM ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2022秋•大石桥市期末）如图所示是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a ﹣b +c ＞0；②3a +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝n +1没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．（2022•恩施州）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m ），则以下结论：①abc ＞0；②4a +2b +c ＞0；③若y ≥c ，则x ≤﹣2或x ≥0；④b +cm ．其中正确的有（ =12）个．A ．1B ．2C ．3D ．415．（2022•开福区模拟）如图，是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b ＝0；②抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2；则x 1+x 2＝1．则命题正确的个数为（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二．填空题（共15小题）16．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①abc ＞0；②4a +2b +c ＞0；③4ac ﹣b 2＜﹣4a ；④a ；⑤b ＞c ．其中正确结论有 13＜＜23（填写所有正确结论的序号）．17．（2022秋•金牛区期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②a ﹣b +c ＞0；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数），其中正确结论的序号有 ．18．（2022•宜宾）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3，与y 轴负半轴交于点C ．下面五个结论：①2a +b ＝0；②a +b +c ＞0；③4a +b +c ＞0；④只有当a时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为=12等腰三角形的a 的值可以有三个．那么，其中正确的结论是 ．19．（2022•荆门）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ，对称轴为直线x ＝1，给出下列结论：①abc ＜0；②若点C 的坐标为（1，2），则△ABC 的面积可以等于2；③M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）是抛物线上两点（x 1＜x 2），若x 1+x 2＞2，则y 1＜y 2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax 2+bx +c +1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ．20．（2022•霍林郭勒市模拟）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论中一定正确的是 （填序号即可）．①abc ＞0；②若A （x 1，m ），B （x 2，m ）是抛物线上的两点，当x ＝x 1+x 2时，y ＝c ；③若方程a （x +2）（4﹣x ）＝﹣2的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，则﹣2＜x 1＜x 2＜4；④（a +c ）2＞b 2．21．（2022春•蔡甸区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是 22．（2022秋•武汉期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③关于x的方程a（x+1）（x﹣3）﹣1＝0有两根m，n，m＜n，则﹣1＜m＜n＜3；④若方程|ax2+bx+c|＝b有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的是 （填序号即可）．23．（2022秋•和平区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 （只填写序号）．24．（2022•武汉模拟）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ≠0）经过A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （c ，0）三点，x 1＜x 2，抛物线的对称轴为直线x ＝m ．下列四个结论：①ac +b +1＝0；②若点m ＜x 1，则y 1＜y 2；③若m ＝2，y 1＝y 2，则x 1+x 2＝4；④对于x 1+x 2＞8，都有y 1＜y 2，则m ＜4．则结论正确的为 ．（填序号）25．（2022秋•八步区期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc ＜0；②3a +c ＞0；③4a +2b +c ＞0；④2a +b ＝0；⑤b 2＞4ac ．其中正确的结论有 个．26．（2022•桂平市模拟）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）的图象与x 轴的两个交点A 、B 的横坐标分别为﹣3、1，与y 轴交于点C ，下面四个结论：①16a +4b +c ＜0；②若P （﹣5，y 1），Q （，y 2）是函数图52象上的两点，则y 1＞y 2；③c ＝﹣3a ；④若△ABC 是等腰三角形，则b 或．其中正确的有 =−273−2153．（请将正确结论的序号全部填在横线上）27．（2022•武汉模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：①关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根是﹣1，3；②abc ＞0；③a +b ＝c ﹣b ；④y c ；⑤a +4b ＝3c 中正确的有 （填写正确的序号）最大值=4328．（2022•东西湖区模拟）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图形经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论：①abc ＜0；②a ＜b ＜﹣2a ；③b 2+8a ＜4ac ；④﹣1＜a ＜0．其中正确结论的序号是 ．29．（2022•越秀区校级一模）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）的图象与x 轴的两个交点A 、B 的横坐标分别为﹣3、1，与y 轴交于点C ，下面四个结论：①16a +4b +c ＞0：②若P （﹣5，y 1），Q （，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；52③c ＝3a ；④若△ABC 是等腰三角形，则b 或．=−273−2153其中正确的有 ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）30．（2022•硚口区模拟）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x 0，0），1＜x 0＜2，与y 轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列四个结论中一定正确的是 ．①b ＞0；②2a ﹣b ﹣1＜0；③2a +c ＜0；④a ＜3b ．（填序号即可）。

2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编二次函数的实际应用—喷水问题考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题满分20分每小题2分）1．（2分）（2021九上·和平期末）如图要修建一个圆形喷水池在池中心竖直安装一根水管在水管的顶端安一个喷水头使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高高度为3m 水柱落地处离池中心3m 水管的长为（）A．9m4B．19m8C．39m16D．45m16【答案】A【完整解答】解：由题意可知点（1 3）是抛物线的顶点∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．∵该抛物线过点（3 0）∴0=a（3-1）2+3解得：a=-34．∴y=-34（x-1）2+3．∵当x=0时 y=-34（0-1）2+3=-34+3=94∴水管应长94 m．故答案为：A【分析】由题意可知点（1 3）是抛物线的顶点可设顶点式为y=a（x-1）2+3 将（3 0）代入解析式中求出a值即得解析式再求出x=0时的y值即可.2．（2分）（2021九上·长兴月考）学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD 洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm D H与喷嘴位置点B三点共线.当小丽按住顶部A下压至如图②位置时洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16cm）路线近似呈抛物线状小丽在距离台面15cm处接洗手液时手心Q到直线DH的水平距离为4cm 若小丽不去接则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是16cm.根据小丽测量所得数据可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是（）A．﹣118B．118C．﹣116D．116【答案】C【完整解答】解：根据题意：GH所在直线为x轴 GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系喷口B为抛物线顶点共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴根据题意 OH＝6 B（6 16） Q（10 15）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+16把Q（10 15）代入解析式得：15＝a（10﹣6）2+16解得：a＝﹣1 16故答案为：C.【分析】如图以GH 所在直线为x 轴 GH 的垂直平分线所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 喷口B 为抛物线顶点 共线的三点B 、D 、H 所在直线为抛物线的对称轴 然后写出顶点B 及Q 的坐标 利用顶点式求出抛物线解析式即可.3．（2分）（2021九上·青县月考）如图 水从山坡下的水管的小孔喷出 喷洒在山坡上 已知山坡AB ：OB=1：2 若把小孔处设为原点 喷出的水柱的路线近似地用函数y=− 12x 2+4x 来刻画 下列结论错误的是（ ）A ．山坡可以用正比例函数 12y x = 来刻画 B ．若水柱到水平地面的距离为1.875米 则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米C ．水柱落到斜面时距O 点的距离为7米D ．水柱距O 点水平距离超过4米呈下降趋势【答案】C【完整解答】解：A.∵山坡AB ：OB=1：2∴斜坡可以用正比例函数y=12 x 刻画 不符合题意； B.当y=1.875时 即− 12x 2+4x=1.875 解得：x 1=0.5 x 2=7.5∴若水柱到水平地面的距离为1.875米 则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米 不符合题意；C.解方程组 212142y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 得 1100x y =⎧⎨=⎩ 22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴当小球落在斜坡上时 它离O 点的水平距离是7m 符合题意；D.∵y=− 12 x 2+4x=- 12（x-4）2+8 则抛物线的对称轴为x=4∴当x ＞4时 y 随x 的增大而减小即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势 不符合题意；故答案为：C ．【分析】根据二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。

（ 1）求抛物线及直线 BC的函数关系式． （ 2）当点 M是线段 BC的中点时，求 m的值． （ 3）如图 2，当点 P 移动到抛物线的顶点位置时停止运动，点 Q 为抛物线上的
另一动点，则在 y 轴的正半轴上是否存在点 N，使得以点 O， M， Q， N为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 N 的坐标；若
四象限， 且与 x 轴交于 C点，动点 P 在反比例函数 y= （x＞0）上，求△ PCD 面积的最小值及此时点 P 的坐标； （ 3）已知点 M的坐标为（ 0，2），经过点 M且在第一、 二、三象限的“湘依直线” 与抛物线 y=x2+（m﹣ 2）x+m+2相交与 A（ x1， y1），B（ x2，y2）两点，若 0≤ x1 ≤2，0≤x2≤ 2，求 m的取值范围．
（ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称， 直线 AD下方的抛物线上有一点 P，
过点 P 作 PH⊥AD于点 H，作 PM平行于 y 轴交直线 AD于点 M，交 x 轴于点 E， 求△ PHM的周长的最大值． （ 3）在（2）的条件下，如图 2，在直线 EP的右侧、 x 轴下方的抛物线上是否存 在点 N，过点 N 作 NG⊥x 轴交 x 轴于点 G，使得以点 E、N、G为顶点的三角形 与△ AOC相似？如果存在，请直 接写出点 G 的省得麻烦迫切为泡温泉，六十多麻烦了看到什么奶
6．在平面直角坐标系中，抛物线 y=﹣ x2+x+2 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴 于点 C，点 C关于抛物线对称轴对称的点为 D．
（ 1）求点 D 的坐标及直线 AD的解析式； （ 2）如图 1，连接 CD、AD、 BD，点 M为线段 CD上一动点，过 M作 MN∥BD交线