高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判定知识导航学案

§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.会用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直.知识点一直线与平面垂直的定义思考空间两条直线垂直一定相交吗？答案不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异面垂直. 知识点二直线与平面垂直的判定定理知识点三 直线与平面所成的角1.若直线l ⊥平面α，则l 与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.( × )2.若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α.( × )3.直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.( × )4.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.( √ )题型一 直线与平面垂直的定义及判定定理的理解 例1 下列命题中，正确的序号是________. ①若直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ②若直线l 不垂直于平面α，则α内没有与l 垂直的直线； ③若直线l 不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 考点 直线与平面垂直的判定 题点 判定直线与平面垂直 答案 ③④解析 当l 与α内的一条直线垂直时，不能保证l 与平面α垂直，所以①不正确；当l 与α不垂直时，l 可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.反思感悟(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.跟踪训练1(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案(1)C(2)①③④解析(1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.题型二直线与平面垂直的判定例2如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.反思感悟(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪训练2如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，∴P A⊥BM.又∵P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.求直线与平面所成的角典例如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角； (2)求A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角. 考点 直线与平面所成的角 题点 直线与平面所成的角 解 (1)∵AB ⊥平面AA 1D 1D ，∴∠AA 1B 就是A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角， 在Rt △AA 1B 中，∠BAA 1＝90°，AB ＝AA 1， ∴∠AA 1B ＝45°，∴A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角是45°. (2)连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO .∵A 1O ⊥B 1D 1，BB 1⊥A 1O ，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ， ∴A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠A 1BO 就是A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角. 设正方体的棱长为1，则A 1B ＝2，A 1O ＝22. 又∵∠A 1OB ＝90°，∴sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝12，又0°≤∠A 1BO ≤90°，∴∠A 1BO ＝30°，∴A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角是30°. [素养评析] (1)求直线与平面所成角的步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角. ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的素养.1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的六个面中，与AA 1垂直的平面的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.6 答案 B2.给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 C解析①错，②③对.3.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交D.不确定考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案 B解析由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A.平面DD1C1CB.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1D.平面A1DB答案 B解析∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为________.考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案90°解析连接AD1，∵AB⊥A1D，AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，∴A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥BD1.1.直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义.(2)利用线面垂直的判定定理.(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2.线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是90°.(2)线面垂直，则线线垂直.3.求线面角的常用方法(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算).(2)转移法(找过点与面平行的线或面).(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).一、选择题1.给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：①l垂直于α内三条不都平行的直线；②l垂直于α内无数条直线；③l垂直于α内正六边形的三条边.其中能得出l⊥α的所有条件序号是()A.②B.①C.①③D.③答案 C2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1DD.异面直线AD与CB1所成的角为45°考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 C解析由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD 与DA1所成的角，故为45°，所以D正确.3.下列说法中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.A.2个B.3个C.4个D.5个考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 B解析①④不正确，其他三项均正确.4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直考点直线与平面垂直的性质题点根据线面垂直的性质判定线线垂直答案 C解析连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A.异面B.平行C.垂直D.不确定答案 C解析∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，∴l⊥AC.6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A.AG⊥△EFH所在平面B.AH⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 B解析根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH.7.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝2∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为()A.45°B.60°C.30°D.75°答案 A解析取BC的中点D，连接AD，B1D，∵AD⊥BC且AD⊥BB1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.设AB＝2，则AA1＝1，AD＝62，AB1＝3，∴sin∠AB1D＝ADAB1＝22，∴∠AB1D＝45°.故选A.8.如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有()①BC⊥平面P AB；②AD⊥PC；③AD⊥平面PBC；④PB⊥平面ADC.A.1个B.2个C.3个D.4个考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案 C解析∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，故①正确；由BC⊥平面P AB，得BC⊥AD，又P A＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，故②③正确.故选C.二、填空题9.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________.答案a与b相交10.如图所示，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.答案45°解析因为P A⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△P AB中，∠BAP＝90°，P A＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB 与平面ABC所成的角等于45°11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案∠A1C1B1＝90°解析如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)三、解答题12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AD＝2，P A＝2，PD＝22，求证：AD⊥平面P AB.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明在△P AD中，由P A＝2，AD＝2，PD＝22，可得P A2＋AD2＝PD2，即AD⊥P A.又AD⊥AB，P A∩AB＝A，P A，AB⊂平面P AB，所以AD⊥平面P AB.13.如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明取CD的中点G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.∵EF＝2，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.14.如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A.AC ⊥SBB.AB ∥平面SCDC.SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D.AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角考点 直线与平面所成的角题点 直线与平面所成的角答案 D解析 对于选项A ，由题意得SD ⊥AC ，AC ⊥BD ，SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SBD ，故AC ⊥SB ，故A 正确；对于选项B ，∵AB ∥CD ，AB ⊄平面SCD ，∴AB ∥平面SCD ，故B 正确；对于选项C ，由对称性知SA 与平面SBD 所成的角与SC 与平面SBD 所成的角相等，故C 正确.15.如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求证：MN ⊥平面PCD .考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 (1)取PD 的中点E ，连接NE ，AE ，如图.又∵N 是PC 的中点，∴NE ∥DC 且NE ＝12DC . 又∵DC ∥AB 且DC ＝AB ，AM ＝12AB ， ∴AM ∥CD 且AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ， ∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE .∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD. 又∵CD⊥AD，P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，∴CD⊥平面P AD.∵AE⊂平面P AD，∴CD⊥AE，∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD.。

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1 直线与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的个数是（）①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．3解析：由直线和平面垂直的定理知①正确;由直线与平面垂直的定义知,②正确;当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③错误，④正确．答案：D2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )A．平行B．相交C．异面D．垂直解析:若l∥m,l⊄α,m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．答案:A3．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是（）①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A．①③B．②C．②④D．①②③解析:由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交．④中由于正六边形的两边不一定相交,所以也无法判定线面垂直．答案：A4。

2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定疱丁巧解牛知识·巧学一、线面垂直1.定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.简言之：线面垂直,则线线垂直.2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简言之：线线垂直，则线面垂直.但要注意需有两条相交.判定线面垂直的方法主要有三种:①定义;②判定定理;③与平行关系联合运用,即若a∥b,且a⊥α,则b⊥α.转化思想是解决立体几何问题最常用的数学思想,本节充分体现了线面关系与线线关系的相互转化,应掌握其转化的条件.二、点到平面的距离从平面外一点向平面所引垂线段的长叫做点到平面的距离.求点到面的距离的方法有:①在几何体中构造垂直利用垂直关系解;②利用线面平行;③利用面面平行.三、二面角1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.二面角一般表示为α-AB-β或P-AB-Q的形式(P、Q分别在α、β内且不在棱上).2.二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以O为垂足在半平面α、β内分别作垂直于棱l的射线OA、OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的大小就用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 方法点拨(1)平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面;(2)用二面角的平面角将空间图形转化为平面图形，在某个三角形中可以求解;(3)平面角的大小与棱上所取点的位置无关;(4)二面角的取值范围是[0°，180°].四、平面与平面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：l⊥α，l⊆β⇒α⊥β.判断两个平面垂直的方法:(1)定义法:作出二面角的平面角,计算其为90°;(2)定理:平面内的一条直线垂直于另外一个平面.简言之:线面垂直,则面面垂直.问题·探究问题1 在平面内，垂直于同一直线的两条直线的关系怎样？在空间呢？探究:在平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，理由是同位角相等.而在空间，包含着平面内的这种情况，即平行，观察长方体的在互相垂直的棱与棱之间的关系，可知还有相交，也有既不相交也不平行的情形.问题2 门轴AB与地面α垂直，经过门轴AB的门面β无论转动到什么位置，门面与地面的位置关系怎样？为什么？探究:垂直的.因为门轴AB与地面α垂直，则根据平面与平面垂直判定定理知经过门轴AB 的所有平面都与地面α垂直，所以门面与地面垂直.典题·热题例1 如图2-3-1，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在平面，M 是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.图2-3-1思路解析：要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线都垂直.已知AN⊥PM，只需再证AN 和平面PBM 内的另一条直线，如BM 或PB 垂直即可.再结合已知中线面垂直，可找线线垂直.证明：设圆O 所在平面为α，则已知PA⊥α，且BM ⊂α，∴PA⊥BM.又∵AB 为⊙O 的直径，点M 为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM=A，∴BM⊥平面PAM.而AN ⊂平面PAM ，∴BM⊥AN.这样，AN 与PM 、BM 两条相交直线垂直.故AN⊥平面PBM.深化升华 直线垂直于平面，则必垂直于平面内的任意一条直线.要证直线垂直于平面，必须证明直线垂直于平面内的两条相交直线.例2 如图2-3-2，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O⊥平面MBD.图2-3-2思路解析：本题关键是构造三角形,证明A 1O⊥OM.证明：连结MO.∵DB⊥A 1A ，DB⊥AC，A 1A∩AC=A，∴DB⊥平面A 1ACC 1.而A 1O ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1O⊥DB.∵tan∠AA 1O=22，tan∠MOC=22，∴∠AA 1O=∠MOC. 则∠A 1OA+∠MOC=90°.∴A 1O⊥OM.∵OM∩DB=O，∴A 1O⊥平面MBD.方法归纳 在证明A 1O 与平面MBD 中两条相交直线垂直时，先证得线面垂直，由定义得线线垂直;另一垂直由证两线成90°角完成，有时可用勾股定理的逆定理.例3 设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA=MD ，MA⊥AB，如果△AMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.思路解析：本题需要先证明线线垂直，得到球的半径的表达式，然后再解.解：如图2-3-3,∵AB⊥AD，AB⊥MA，图2-3-3∴AB⊥平面MAD.因此，面MAD⊥面AC.记E 是AD 的中点，从而ME⊥AD.∴ME⊥平面AC ，ME⊥EF.设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.不妨设O∈平面MEF ，于是O 是△MEF 的内心.设球O 的半径为r ，则r=MF EM EF S MEF ++∆2. 设AD=EF=a ，∵S △AMD =1, ∴ME=a2,MF=22)2(a a +. r=122222)2(2222-=+≤+++a a a a ,当且仅当a=a2，即a=2时，等号成立. ∴当AD=ME=2时，满足条件的球的最大半径为12-.深化升华 先利用线面垂直关系证明线线、线面垂直，再利用多面体和球体的体积公式求解. 例4 已知由点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC 不共面，且∠AOB=∠AOC，求证：二面角AOBC 与二面角AOCB 相等.思路解析：关键在于作出两个二面角的平面角.如何在棱OB 、OC 上取点?由于∠AOB=∠AOC，因此需找有共性的点才可以.考虑到OB 、OC 确定一个平面，OA 在这个平面外，在OA 上任取一点P ，过P 向平面BOC 作垂线，利用线面垂直则线线垂直的道理作辅助线.解：如图2-3-4，在OA 上任取一点P ，过P 作PH⊥平面BOC ，垂足为H ，在平面BOC 内过H 作HM⊥OB，HN⊥OC，垂足为M 、N ，连结PM 、PN.图2-3-4∵PH⊥平面BOC，OB⊂平面BOC，∴PH⊥OB.又HM⊥OB，PH∩HM=H，∴OB⊥平面PHM.∵PM⊂平面PHM，∴OB⊥PM.∴∠PMH为二面角A-OB-C的平面角.同理,可证OC⊥PN，∴∠PNH为二面角A-OC-B的平面角.因此,在Rt△POM和Rt△PON中，∵∠POM=∠PON，PO为公共斜边，∴Rt△POM≌Rt△PON.∴PM=PN.在Rt△PHM和Rt△PHN中，PM=PN，PH为公共边，∴Rt△PHM≌Rt△PHN.∴∠PMH=∠PNH.故二面角A-OB-C与二面角A-OC-B大小相等.方法归纳求二面角需要的步骤：一作(图)，二证(角是二面角的平面角)，三计算(在三角形中求解).例5如图2-3-5，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点.求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.图2-3-5思路解析：(1)要证DE=DA，只需证明Rt△DFE≌Rt△DBA；(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可；(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线.证明:(1)如图2-3-6，取EC的中点F，连结DF.图2-3-6∵EC⊥BC，DF∥BC，∴DF⊥EC.在Rt△EFD 和Rt△DBA 中， ∵EF=EC 21=BD ，FD=BC=AB ， ∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故ED=DA.(2)取CA 的中点N ，连结MN 、BN ，则MN EC 21. ∴MN∥BD.∴N 点在平面BDM 内.∵EC⊥平面ABC ，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN 在平面MNBD 内，∴平面MNBD⊥平面ECA,即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵BD EC 21，MN EC 21， ∴MNBD 为平行四边形.∴DM∥BN.又BN⊥平面ECA ，∴DM⊥平面ECA.又DM 平面DEA ，∴平面DEA⊥平面ECA.深化升华 本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN⊥平面ECA 是关键. 例6 求证:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面. 已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证:l⊥γ.思路解析一：根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α、β垂直.证法一:如图2-3-7，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内任取一点P,过点P 在γ内作直线m⊥a，n⊥b.图2-3-7∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β.又α∩β=l，∴l⊥m，l⊥n.∴l⊥γ.思路解析二：由面面垂直的性质易在α、β内作出平面γ的垂线，再设法证明l 与其平行即可.证法二:如图2-3-8，设α∩γ=a，β∩γ=b，图2-3-8在α内作m⊥a，在β内作n⊥b.∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.∴m∥n.又n⊂β，m⊄β，∴m∥β.又α∩β=l，m⊂α，∴m∥l.又m⊥γ，∴l⊥γ.方法归纳充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键.证法一充分利用面面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及平行关系与垂直关系之间的转化.此题是线线、线面、面面垂直转化的典型题，一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路很有益处.。

2.3.1 直线与平面垂直的判定教学目标1、知识与技能:掌握直线与直线、直线与平面垂直的定义以及直线与平面垂直判定定理及推论2、过程与方法:在教学过程中不断渗透数学思想,培养学生的数学能力.(1)空间想象能力:通过实际操作和联系实际,发展学生的几何直观能力;对空间图形位置关系的认识,遵循了从直观到抽象,从特殊到一般的过程,从平面到空间的过程;图形的运动,帮助学生理清空间关系,这些过程都培养了学生空间想象能力(2)逻辑思维能力:通过对判定定理和其推论的证明以及应用,加强学生逻辑思维能力和推理论证能力的培养.(3)转化的思想方法:把空间中的线面关系转化为熟知的线线关系.(4)应用意识和能力:用向量来证明直线与平面垂直判定定理培养了学生应用向量知识来解决实际问题得意识和能力.例题是实际问题培养了学生应用数学知识解决实际生活中的问题的应用意识.3、情感、态度与价值观: 直线与平面垂直判定定理的教学让学生体验“提出问题-------思考------实验发现-------猜想(调整猜想)------论证-----结论-------反思”这一研究问题的全过程,调动了学生发现并解决问题的积极性,教育学生在研究问题时要有严谨的态度,科学的方法.教学重点与难点教学重点:直线与平面垂直的定义,直线与平面垂直判定定理及应用.教学难点:直线与平面垂直判定定理的发现与用向量知识进行证明的过程教学过程一、直线和平面垂直的定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直,记作 l ⊥α.直线和平面垂直的画法注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.思考 2：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？ 思考 3：(1)折痕AD 与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面α垂直？直线和平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号表示：,,m n m n P l l m l n ααα⊂⊂⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭学生归纳与总结先让学生尝试着在黑板上画出平面与直线的位置关系，体会在空间中的一些关系问题的引导可以使学生更好的把握问题的关键。