中考数学复习专题练专题一 规律探索问题3
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第二篇 专题能力突破
专题一 规律探索问题
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·湖北黄冈中学自主招生，9，3分)两列数如下：
7，10，13，16，19，22，25，28，31„
7，11，15，19，23，27，31，35，39„
第1个相同的数是7，第10个相同的数是 ( )
A．115 B．127 C．139 D．151
解析 第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，„
第m个数为：3m＋4；
第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，„
第n个数为：4n＋3.
∵3与4的最小公倍数为12，
∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12.
∵第一个相同的数为7，
∴相同的数组成的数列的通式为12n－5.
第10个相同的数是：12×10－5＝120－5＝115.
答案 A
2．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，„，依此规律，图11中黑色正方形的个数是
(
)
A．32 B．29
C．28 D．26
解析 观察图形发现：
图1中有2个黑色正方形，
图2中有2＋3×(2－1)＝5个黑色正方形，
图3中有2＋3×(3－1)＝8个黑色正方形，
图4中有2＋3×(4－1)＝11个黑色正方形，
„，
图n中有2＋3×(n－1)＝3n－1个黑色的正方形，
当n＝11时，2＋3×(11－1)＝32.
答案 A
3．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，„，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为
(
)
A．21 B．24
C．27 D．30
解析 观察图形得：
第1个图形有3＋3×1＝6个圆圈，
第2个图形有3＋3×2＝9个圆圈，
第3个图形有3＋3×3＝12个圆圈，
„，
第n个图形有3＋3n＝3(n＋1)个圆圈．
当n＝7时，3×(7＋1)＝24，故选B.
答案 B
4．(2015·浙江宁波，10，3分)一列数b0，b1，b2，„，具有下面的规律，b2n＋1＝bn，b2n
＋2＝bn＋bn＋1，若b0＝1，则b2 015的值是 ( )
A．1 B．6 C．9 D．19
解析 ∵b2n＋1＝bn，b2n＋2＝bn＋bn＋1，∴b2 015＝b1 007＝b503＝b251＝b125＝b62＝b30＋b31＝b14＋b15＋b15＝b6＋b7＋2b7＝3b3＋b2＋b3＝4b3＋b0＋b1＝5b1＋b0＝6b0.
∵b0＝1，∴b2 015的值是6.
答案 B
5．(2015·山东德州，5，4分)一组数1，1，2，x，5，y，„满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为 ( )
A．8 B．9 C．13 D．15
解析 ∵每个数都等于它前面的两个数之和，
∴x＝1＋2＝3，∴y＝x＋5＝3＋5＝8，
即这组数中y表示的数为8.故选A.
答案 A
二、填空题
6．(2015·广东深圳，9，4分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳．
解析 第一行小太阳的个数为1，2，3，4，„，第5个图形有5个太阳，第二行小太阳的个数是1，2，4，8，„，2n－1，第5个图形有24＝16个太阳，所以第5个图形共有5＋16＝21个太阳．
答案 21
7．(2015·浙江湖州，16，4分)已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3，(如图所示)，以此类推„，若A1C1＝2，过点A，D2，D3，„D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是________．
解析 设A1C1交AD10于点E，根据正方形的排放规律，可知，
△AD1E∽△D2A1E，∴12＝1－A1EA1E，解得A1E＝23；
△D2A1E∽△D3A2D2，∴A2D3－223＝A2D32，解得A2D3＝3，
△A2D2D3∽△A3D3D4，∴A3D4－31＝A3D43，解得A3D4＝92；
△A3D3D4∽△A4D4D5，∴A4D5－9292－3＝A4D592，解得A4D5＝3322；∴AnDn＋1＝3n－12n－2，A9D10＝3827(或6 561128)．
答案 3827(或6 561128)
三、解答题
8．(2015·四川自贡，22，12分)观察下表：
我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征
多项式”为4a＋b.回答下列问题：
(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为________，第n格的“特征多项式”为________；
(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，求a，b的值．
解 (1)观察图形发现：
第1格的“特征多项式”为 4a＋b，
第2格的“特征多项式”为 8a＋4b，
第3格的“特征多项式”为 12a＋9b，
第4格的“特征多项式”为16a＋16b，
„
第n格的“特征多项式”为4na＋n2b；
故填12a＋9b 16a＋16b 4na＋n2b.
(2)∵第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16，∴4a＋b＝－10，8a＋4b＝－16，解得：a＝－3；
b＝2，∴a，b的值分别为－3和2.
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2012·浙江丽水，10，3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，„称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，„称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是(
)
图1 图2
A．2 010 B．2 012 C．2 014 D．2 016
解析 ∵图1中各三角形的棋子数分别是3，6，9，12，„，显然都是3的倍数，图2中各正方形棋子数分别是4，8，12，16，„，显然都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的棋子数必能被12整除，而2 010，2 012，2 014，2 016四个数中，
只有2 016能被12整除，故答案选D.
答案 D
2．(2013·山东日照，11，4分)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是 (
)
A．M＝mn B．M＝n(m＋1)
C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1)
解析 方法一：验证法：A中等式不满足第一个图形，故排除A；B中等式不满足第一个图形，故排除B；C中等式不满足第二个图形，故排除C；故选D.方法二：观察三个图形中数字的变化，可知1×(2＋1)＝3，3×(4＋1)＝15，5×(6＋1)＝35，故M与m，n的关系是M＝m(n＋1)，故选D.
答案 D
3．(2014·重庆，10，4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，„，依此规律，第五个图形中三角形的个数是 (
)
A．22 B．24 C．26 D．28
解析 已知三个图形中三角形的数目为：2，8，14，求差为：8－2＝6，14－8＝6，差相等，所以各个数据可以看作：2＝6－4，8＝6×2－4，14＝6×3－4，则第五个图形中三角形的个数是：6×5－4＝26，故选C.
答案 C
4．(2012·浙江绍兴，10，4分)如图，直角三角形纸片ABC中，AB＝3，AC＝4，D为斜边BC中点．第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；„„；
设Pn－1Dn－2的中点为Dn－1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn－1重合，折痕与AD交于点Pn(n>2)．则AP6的长为 (
)
A.5×35212 B.365×29
C.5×36214 D.375×211
解析 在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝3，所以BC＝5.又D是BC的中点，所以AD＝52.因为点A，D是一组对称点，所以AP1＝52×12.因为D1是DP1的中点，所以AD1＝52×12×32，∴AP2＝52×12×32×12，同理AP3＝52×12×(32×12)2，„，APn＝52×12×(32×12)n－1，所以AP6＝52×12×(32×12)6－1＝52×12×(32×12)5＝5×35212，故应选A.
答案 A
5．(2014·山东威海，12，3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，„的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝„＝30°.若点A1的坐标为(3，0)，OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，„则依此规律，点A2 014的纵坐标为( )
A．0 B．－3×(233)2 014
C．(23)2 014 D．3×(233)2 013
解析 OA2＝OC2sin 60°＝OA1sin 60°＝332＝3×233.同理可求：OA3＝3×(233)2；OA4＝3×(233)3......以此类推OAn＝3×(233)n－1.又因为2 014÷4＝503„2，所以点A2 014与
