2016-2017学年贵州省遵义市湄潭县湄江中学高二(下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7｝，则∁U A=（）A．{1,3｝ B．{3，7，9｝C．{3,5，9｝D．｛3,9｝3．“因为指数函数y=a x是增函数（大前提）,而y=（）x是指数函数(小前提），所以y=(）x是增函数（结论）",上面推理的错误是（) A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错4．对于函数f(x）=2sinxcosx，下列选项中正确的是（)A．f（x）在(，)上是递增的 B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的最小正周期为2π D．f（x)的最大值为25．若曲线f(x)=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P 的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣3）C．（1,0）D．(1，5)6．用反证法证明命题：“已知a、b∈N＊，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除"时,假设的内容应为( ）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除7．已知函数f(x）的导函数f′(x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（)A．B．C．D．8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．32 B．16+16C．48 D．16+329．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有（）A．70种B．80种C．100种D．140种10．函数f（x）=﹣（a＜b＜1）,则（)A．f（a）=f（b） B．f（a)＜f（b)C．f（a）＞f（b）D．f(a）,f(b）大小关系不能确定11．的展开式中x6y2项的系数是（）A．56 B．﹣56 C．28 D．﹣2812．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为（) A． B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题；每小题5分，共20分）13．根据如图所示的伪代码,当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为．14．已知向量=(，1），=（0，﹣1),=（t，),若﹣2与共线，则t= ．15．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为．16．设函数f（x)满足f(x）=x2+3f′（1）x﹣f（1），则f(4）= ．三、计算题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知y=f（x）是二次函数，方程f（0）=1，且f′（x）=2x+2 (1）求f（x）的解析式．(2）求函数y=f(x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．18．已知A、B、C为△ABC的内角,tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小(Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．19．7名师生站成一排照相留念,其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）（1）两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻;(3）若4名男生身高都不等,按从左向右身高依次递减的顺序站;（4)老师不站中间，女生不站两端．20．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个,白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；(Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．21．数列｛a n}满足：a1=，前n项和S n=a n,（1）写出a2,a3,a4；（2）猜出a n的表达式，并用数学归纳法证明．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2，且｜F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ)求椭圆C的方程;（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求｜AF2|•|F2B｜的取值范围．2016—2017学年贵州省遵义市湄潭县湄江中学高二（下)期中数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的( ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为(2，﹣3）,可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3）,故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限,故选D．2．已知集合U={1，3，5，7,9}，A={1，5，7}，则∁U A=( ）A．｛1，3｝B．｛3，7，9｝C．{3，5，9｝D．｛3,9｝【考点】1F:补集及其运算．【分析】从U中去掉A中的元素就可．【解答】解：从全集U中，去掉1，5，7，剩下的元素构成C U A．故选D．3．“因为指数函数y=a x是增函数（大前提），而y=（)x是指数函数（小前提),所以y=()x是增函数（结论）"，上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】对于指数函数来说,底数的范围不同，则函数的增减性不同,当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数y=a x是增函数这个大前提是错误的，得到结论【解答】解:∵当a＞1时,函数是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数是一个减函数∴y=a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选A．4．对于函数f（x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是（）A．f(x）在（，）上是递增的 B．f(x）的图象关于原点对称C．f（x)的最小正周期为2πD．f（x)的最大值为2【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】本题考查三角函数的性质，利用二倍角公式整理，再对它的性质进行考查，本题包括单调性、奇偶性、周期性和最值,这是经常出现的一种问题，从多个方面考查三角函数的性质和恒等变换．【解答】解：∵f（x)=2sinxcosx=sin2x,是周期为π的奇函数，对于A,f（x）在（，)上是递减的，A错误;对于B,f（x)是周期为π的奇函数，B正确;对于C，f（x)是周期为π，错误；对于D,f（x）=sin2x的最大值为1，错误;故选B．5．若曲线f(x）=x4﹣x在点P处的切线平行于直线3x﹣y=0，则点P的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1,﹣3）C．(1,0）D．(1,5）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出P的坐标为（a，b），根据f(x）的解析式求出f（x）的导函数，由曲线在点P的切线与已知直线平行，得到斜率相等，先根据已知直线的方程求出已知直线的斜率即为曲线上过点P切线方程的斜率，即为导函数在x=a时的函数值，把x=a代入导函数表示出函数值，让其等于切线方程的斜率列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入f（x）中即可得到b的值,根据求出的a与b的值写出点P的坐标即可．【解答】解：设点P的坐标为（a，b），由f(x）=x4﹣x，得到f′（x）=4x3﹣1，因为曲线上过P的切线与直线3x﹣y=0平行，所以过点P的切线的斜率k等于直线3x﹣y=0的斜率，即k=3，则f′（a）=4a3﹣1=3，解得a=1，把a=1代入得：f（1)=0,则点P的坐标为(1，0）．故选C6．用反证法证明命题：“已知a、b∈N＊,如果ab可被5整除,那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除【考点】FC：反证法．【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时,可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a,b都不能被5整除”．故选：B．7．已知函数f（x)的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f （x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由导函数图象可知，f(x）在（﹣∞，﹣2），（0,+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．【解答】解：由导函数图象可知，f(x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞)上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．8．某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是（）A．32 B．16+16C．48 D．16+32【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积;L!:由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得四棱锥的底面棱长为4，高为2，求出侧高后,代入棱锥表面积公式，可得答案．【解答】解:由已知中的三视图,可得四棱锥的底面棱长为4,故底面面积为：16，棱锥的高为2,故棱锥的侧高为：=2,故棱锥的侧面积为：4××4×=16，故棱锥的表面积为：16+16,故选：B9．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有（)A．70种B．80种C．100种D．140种【考点】D2：分步乘法计数原理．【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有,方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种间接法:任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种,都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．故选A10．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b） B．f（a)＜f（b）C．f（a)＞f（b）D．f(a)，f(b）大小关系不能确定【考点】6B:利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数进行求导数，再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案．【解答】解:∵，f′（x）=﹣=∴当x＜1时,f'（x）＜0，即f（x）在区间(﹣∞，1）上单调递减，又∵a＜b＜1，∴f（a)＞f（b）故选C．11．的展开式中x6y2项的系数是（）A．56 B．﹣56 C．28 D．﹣28【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式的通项公式，可求的展开式中x6y2项的系数【解答】解：由题意,，故：A．12．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A． B．C．D．【考点】KB：双曲线的标准方程；K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴,最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解答】解:抛物线y2=4x的焦点F（1，0)，双曲线的方程为故选D二、填空题(本大题共4个小题;每小题5分,共20分）13．根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时,最后输出的m的值为 3 ．【考点】EA：伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数m=的值，代入a=2,b=3，即可得到答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知:该程序的作用是计算分段函数m=的值，∵a=2＜b=3，∴m=3故答案为：314．已知向量=(，1），=（0，﹣1），=（t，)，若﹣2与共线，则t= 1 ．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．【解答】解：∵=（，1），=（0，﹣1)，∴﹣2=，又=（t,)，且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为:1．15．设m＞1，在约束条件下,目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为 3 ．【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上,由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状,再根据目标函数z=x+5y在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值,由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m 的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：目标函数z=x+5y可看做斜率为﹣的动直线，其纵截距越大z越大，由可得A点（，）当x=，y=时，目标函数z=x+5y取最大值为4，即;解得m=3．故答案为：3．16．设函数f（x)满足f（x）=x2+3f′（1）x﹣f(1），则f（4）= 5 ．【考点】63：导数的运算．【分析】求函数的导数,先求出f′(1），f(1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x2+3f′（1)x﹣f(1），∴f′(x）=2x+3f′(1）,令x=1,则f′(1)=2+3f′(1)，即f′(1）=﹣1，则f（x）=x2﹣3x﹣f（1），令x=1，则f（1）=1﹣3﹣f（1)，则f（1）=﹣1，即f（x）=x2﹣3x+1，则f（4）=42﹣3×4+1=16﹣12+1=5，故答案为：5．三、计算题（本大题共6个小题,共70分;解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知y=f(x）是二次函数，方程f（0）=1,且f′(x）=2x+2（1）求f（x）的解析式．（2)求函数y=f(x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．【考点】6G：定积分在求面积中的应用；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）利用二次函数以及导数的关系式得到解析式的系数；求导解析式；（2)利用定积分表示图象面积，然后计算定积分．【解答】解：（1）∵y=f（x）是二次函数，且f’（x）=2x+2．∴可设f(x）=x2+2x+c．又∵方程f（0）=1得到c=1,∴f（x）=x2+2x+1；（2）∵函数f（x）=x2+2x+1与函数y=﹣x2﹣4x+1的图象交于点(0，1）,(﹣3,4），∴两函数图象所围成的图形的面积为==（）｜=9．18．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px ﹣p+1=0（p∈R)两个实根．（Ⅰ)求C的大小（Ⅱ）若AB=3,AC=，求p的值．【考点】HQ：正弦定理的应用；GR:两角和与差的正切函数．【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B,A,由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=(p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0,所以p≤﹣2,或p≥．由韦达定理,有tanA+tanB=﹣p,tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0,从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=,所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===,解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是,A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan(45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB)=﹣（2+）=﹣1﹣．19．7名师生站成一排照相留念,其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种?(写出必要的解答过程）(1)两个女生必须相邻而站；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；(4)老师不站中间,女生不站两端．【考点】D9:排列、组合及简单计数问题．【分析】（1)根据题意,把两个女生看做一个元素，注意考虑其间顺序，再将6个元素进行全排列，由分步计数原理计算可得答案, (2)根据题意，4名男生互不相邻，应用插空法,要老师和女生先排列，形成四个空再排男生，由分步计数原理计算可得答案，（3)根据题意，先在7个空位中任选3个安排老师和女生，因男生受身高排序的限制，只有1种站法，由分步计数原理计算可得答案，（4)根据题意，分2种情况讨论，①、老师在两端，②、老师不在两端，利用排列、组合公式可得每种情况的站法数目，进而由分类计数原理将其相加即可得答案．【解答】解:（1）根据题意两个女生必须相邻而站，把两个女生看做一个元素，两个女生之间有A22种顺序，将6个元素进行全排列，有A66种情况，则共有A66A22=1440种不同站法；(2）根据题意，先将老师和女生先排列，有A33种情况，排好后形成四个空位，将4名男生插入，有A44种情况,共有A33A44=144种不同站法；（3）根据题意,先安排老师和女生，在7个空位中任选3个即可,有A73种情况，若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站,则男生的顺序只有一个,将4人排在剩余的4个空位上即可，有1种情况，则共有1×A73=210种不同站法;（4)根据题意，分2种情况讨论：①、老师在两端，则老师有2种站法，女生可以站中间的5个位置，有A52种站法,男生站剩余的4个位置，有A44种站法，此时有2×A52×A44=960种不同站法，②、老师不在两端,则老师有4种站法,中间还有4个位置可站女生,女生有A42种站法，男生站剩余的4个位置,有A44种站法,此时共有4×A42×A44=1152种不同站法，则老师不站中间,女生不站两端共有960+1152=2112种不同站法．20．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个,白粽5个，这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个．（Ⅰ)求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可;（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个",则由古典概型的概率公式有P（A)==．(Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P(X=1）==，P（X=2）==，X012PEX=0×+1×+2×=．21．数列{a n}满足:a1=，前n项和S n=a n，(1）写出a2，a3，a4;（2）猜出a n的表达式,并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（1）根据，利用递推公式，分别令n=2,3，4．求出a1，a2,a3,a4;（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出a n，然后利用数学归纳法进行证明即得．【解答】解：（1）∵，∴令n=2，，即a1+a2=3a2．∴．令n=3,得,即a1+a2+a3=6a3，∴．令n=4,得，a1+a2+a3+a4=10a4，∴．（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．①当n=1时，结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即,则当n=k+1时,=，即．∴∴．∴当n=k+1时结论成立．由①②可知，对一切n∈N+都有成立．22．已知椭圆=1（a＞b＞0)的焦点是F1、F2，且|F1F2｜=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2｜•｜F2B｜的取值范围．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】(Ⅰ)利用|F1F2｜=2,离心率为，建立方程组，求出a,b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ)分类讨论，设出方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求|AF2|•｜F2B｜的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为,由题意知解得．所以椭圆的标准方程为．…（Ⅱ）因为F2（1，0)，当直线的斜率不存在时，,，则，不符合题意．当直线y=k(x﹣1）的斜率存在时，直线y=k（x﹣1）的方程可设为y=k（x﹣1）．由消(3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0（*）．设,，则、是方程（*）的两个根，所以，．所以,所以所以==当k2=0时，｜AF2|•｜F2B｜取最大值为3，所以｜AF2|•|F2B|的取值范围．又当k不存在，即AB⊥x轴时，｜AF2｜•｜F2B｜取值为．所以|AF2｜•|F2B｜的取值范围．…2017年6月19日。
