高中数学公开课一等奖优秀课件--微积分基本定理

1.6 微积分基本定理（一）
复习引入
问题1：定积分的概念； 问题2：用定义计算定积分的步骤.
新课讲授
设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t时物体所在位置为S(t)，速度为v(t)（ v(t) ≥0），则物体在时间间隔[T1,T2]内经过的 路程可用 速度函数 表示为

T2
v ( t )dt .
T1
0

2

sinxdx;
( 3)
2
0
sinxdx .
例题讲解
例3.汽车以每小时32公里速度行驶，到 某处需要减速停车.设汽车以等减速度 a=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车， 汽车走了多少距离？
课堂小结
本节课借助于变速运动物体的速度与 路程的关系以及图形得出了特殊情况 下的牛顿——莱布尼兹公式成立，进 而推广到了一般的函数，得出了微积 分基本定理，得到了一种求定积分的 简便方法，运用这种方法的关键是找 到被积函数的原函数，这就要求大家 前面的求导数的知识比较熟练，希望， 不明白的同学，回头来多复习！
(1)
2
பைடு நூலகம்
1 x
1
dx ; ( 2) ( 2 x
1
3
1 x
2
)dx .
例题讲解
例1.计算下列定积分：
(1)
2
1 x
1
dx ; ( 2) ( 2 x
1
3
1 x
2
)dx .
练习.
计算

1 0
x dx .
2
例题讲解
例2.计算下列定积分：
(1) sin xdx; ( 2)
a b
若上式成立，我们就找 到了用f ( x )的 原函数(即满足F ( x ) f ( x ))的数值差F ( b ) F ( a )来计算f ( x )在[a , b]上的定积分的方法 .

2.若将例 3(1)中的条件改为 ʃ t0f(x)dx＝F(t)，求 F(t)的最小值. 解 F(t)＝ʃ t0f(x)dx＝t2－t＝t－122－14(t>0)， 当 t＝12时，F(t)min＝－14.
0
2
2
0
π
( x＋cosx) |02
＝π2＋cos 2π－(0＋cos 0)＝π2－1.
(4)ʃ 30(x－3)(x－4)dx. 解 ∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12， ∴ʃ 30(x－3)(x－4)dx ＝ʃ 30(x2－7x＋12)dx ＝31x3－72x2＋12x30 ＝13×33－27×32＋12×3－0＝227.
微积分基本定理
知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
思考 已知函数 f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则 ʃ 10(2x＋1)dx 与 F(1)－F(0) 有什么关系？ 答案 由定积分的几何意义知，ʃ 10(2x＋1)dx＝12×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0) ＝2，故 ʃ 10(2x＋1)dx＝F(1)－F(0).
π
x－x)|02
＝0＋13＋sin π2－2π－(sin 0－0) ＝43－π2.
(2)计算定积分 ʃ 21|3－2x|dx.
解 ʃ 21|3－2x|dx
3
2
2 (3 2x)dx
1
3 (2x 3)dx
2
3
＝(3x－x2) |12
＋(x2－3x) |23
＝12.
2
类型二 利用定积分求参数 例 3 (1)已知 t>0，f(x)＝2x－1，若 ʃ t0f(x)dx＝6，则 t＝__3__. 解析 ʃ t0f(x)dx＝ʃ t0(2x－1)dx＝t2－t＝6， 解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3.

(2)ʃ20|1－x2|dx＝____2____. 解析 |1－x2|＝1x2－－x12， ，01≤ <xx≤≤21. ， ʃ20|1－x2|dx＝ʃ10(1－x2)dx＋ʃ21(x2－1)dx ＝ x－13x310＋ 31x3－x21 ＝23＋73－1＝2.
(3)ʃ21[2x2＋xx＋1－cos x]dx＝_4_＋__ln__2_－__s_in__2_＋__s_in__1. 解析 ʃ21[2x2＋xx＋1－cos x]dx ＝ʃ21(2x＋1＋1x－cos x)dx ＝(x2＋x＋ln x－sin x)|21 ＝6＋ln 2－sin 2－(2－sin 1)
解析 ʃ10f(x)dx＝ʃ10(ax2＋c)dx
＝ 31ax3＋cx10＝a3＋c. f(x0)＝ax20＋c，
∴a3＝ax20，即
x0＝
33或－
3 3.
∵0≤x0≤1，∴x0＝
3 3.
1.微积分基本定理 (1)条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x) ； (2)结论：ʃbaf(x)dx＝__F_(_b_)－__F_(_a_)_； (3)符号表示：ʃbaf(x)dx＝_F__(x_)_|ba__＝__F_(_b_)－__F__(a_)__. 2.常见的原函数与被积函数关系 (1)ʃbaCdx＝Cx|ba(C 为常数). (2)ʃbaxndx＝ n＋1 1xn＋1ba(n≠－1).
＝4＋ln 2－sin 2＋sin 1.
类型二 利用定积分求参数
例2
(1)已知 2≤ʃ21(kx＋1)dx≤4，则实数 k 的取值范围为__[23_，__2_]__.
解析 ʃ21(kx＋1)dx＝ 21kx2＋x21＝32k＋1. 由 2≤32k＋1≤4 得23≤k≤2.

变速直线运动中路程为
T2 v(t)dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T 2)s(T 1)
T T 12v(t)d ts(T 2)s(T 1).其s中 (t)v(t).
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4
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5
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6
物体的位移是函数在两个端点处的函数值 之差，即 Ss(b)s(a)
从几何意义上看，由导数的几何意义知
S i h i t a n D P C t s '( t i 1 ) t v ( t i 1 ) t ,
求和得近似值
n
n
n
n
S S i h i v(ti 1) t s'(ti 1) t.
i 1
i 1
i 1
i 1
取极限，由定积分的定义得
b
b
Sav(t)dtas'(t)dts(b)s(a)
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的 关系．
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9
例1 求 02(2cox ssix n 1)d.x
解
原式
(2sinxcosxx)|0 2
3பைடு நூலகம்
. 2
例2 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0
f
(x)d.x
解
2
1
2
y
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
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1
1.6《微积分基本定理》
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2
教学目标
❖ 了解牛顿-莱布尼兹公式 ❖ 教学重点： ❖ 牛顿-莱布尼兹公式