广东省揭阳市揭东县高三下学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案

广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试数学1．设集合考试用时120分钟，满分150分．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．{}{}22,22A x x B xx −<<−<，则A B = （ ）A ．()2,2−B ．()0,4C ．()0,2D ．()2,4−2．已知复数z 满足1i z z +=+，则z =（ ） A ．12BC ．1D3．已知函数()f x 满足()111f x f x x+=+−，则()2f =（ ） A ．34−B ．34 C ．32D ．944的正四面体的体积为（ ）AB ．24C ．32D．5．设点P 为圆22(3)1x y −+=上的一动点，点Q 为抛物线24y x =上的一动点，则PQ 的最小值为（ ） A．1−B．1−CD2−6．已知()()2lg 21f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(]0,1C ．[)1,+∞D ．()(),01,−∞+∞7．设,αβ为锐角，且()cos cos cos ααββ−=，则α与β的大小关系为（ ） A ．αβ=B ．αβ>C ．αβ<D ．不确定8．若0a b >>，且3322a b a b −=−，则11a b+的取值范围是（ ） A ．41,3B ．4,3 +∞C ．()1,3D ．()3,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．变量,x y 之间的相关数据如下表所示，其经验回归直线ˆˆˆybx a =+经过点()10,m ，且相对于点()11,5的残差为0.2，则x 9 9.5 10 10.5 11y 11 10 m 6 5A ．8m =B ． 2.8b =−C ． 36a= D ．残差和为010．已知函数()()2cos cos2f x x x =−∈R ，则（ ） A ．()f x 的值域是[]3,3−B ．()f x 的最小正周期是2πC ．()f x 关于()πx k k =∈Z 对称 D ．()f x 在π,π3上单调递减 11．甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分，3分，2分，1分．比赛结束甲获得16分为第一名，乙获得14分为第二名，且没有同分的情况．则（ ） A ．第三名可能获得10分 B ．第四名可能获得6分C ．第三名可能获得某一项比赛的第一名D ．第四名可能在某一项比赛中拿到3分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数()e ,0,ln ,0,x x f x x x ≤= > 过原点()0,0O 作曲线()y f x =的切线，其切线方程为_____________．13．如图是一个33×的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为_____________．()1,1− ()0,1 ()1,1()1,0− ()0,0 ()1,0 ()1,1−− ()0,1− ()1,1−14．已知数列{}n a 满足11,3,,3,3n n n nn a a a a a ++<= ≥ 记{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，则50S =_____________；若*12,3a k =∈N ，则31k S +=_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC △中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是()sin B A −与sin C 的等差中项． （1）证明：cos aA b=； （2）求cos B 的值．16．（15分）如图，四边形ABCD 是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，OA BF AD ===3，点G是线段BF 的中点，点H 是 BF的中点．（1）证明：EG ∥平面DAF ； （2）求点H 到平面DAF 的距离．17．（15分）某学校有,A B 两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了A 餐厅则后一天继续选择A 餐厅的概率为14，前一天选择B 餐厅则后一天选择A 餐厅的概率为p ，如此往复．已知他第1天选择A 餐厅的概率为23，第2天选择A 餐厅的概率为13．（1）求王同学第13∼天恰好有两天在A 餐厅用餐的概率； （2）求王同学第()*n n ∈N 天选择A 餐厅用餐的概率n P ．18．（17分）设直线12:,:l y l y ==．点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，点M 为AB 的中点，点O 为坐标原点，且1OA OB ⋅=−． （1）求点M 的轨迹方程Γ；（2）设()00,M x y ，求当0x 取得最小值时直线AB 的方程；（3）设点()P 关于直线AB 的对称点为Q ，证明：直线MQ 过定点．19．（17分）函数()f x 的定义域为R ，若()f x 满足对任意12,x x ∈R ，当12x x M −∈时，都有()()12f x f x M −∈，则称()f x 是M 连续的．（1）请写出一个函数()f x 是{}1连续的，并判断()f x 是否是{}n 连续的()*n ∈N ，说明理由； （2）证明：若()f x 是[]2,3连续的，则()f x 是{}2连续且是{}3连续的；（3）当11,22x∈−时，()3112f x ax bx =++（其中,a b ∈Z ），且()f x 是[]2,3连续的，求,a b 的值．广东省2025届普通高中毕业班第一次调研考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 D C D A B C A D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号 91011选项 AD BCD ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．e 0x y −= 13．72 14．111199633k k −−+（前空2分，后空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）由题，得()sin sin Bcos cosBsin B A A A −=−， ()()()sin sin πsin sin Bcos cosBsin C A B B A A A =−+=+=+， 因为sin A 是()sin B A −与sin C 的等差中项，所以()2sin sin sin Bcos AB AC A =−+=，则sin cos sin AA B=， 在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin A aB b=， 因此cos aA b=． （2）在ABC △中，由余弦定理得222cos 2b c a A bc+−=， 由（1）知cos a A b =，则2222b c a abc b+−=，即2222b c a ac +−=．因为b 是a 与c 的等比中项，所以2b ac =，从而222ac c a ac +−=，即220a ac c +−=，从而210a ac c+−= ，解得a c =0a c =<（舍去）在ABC △中，由余弦定理得()222222222cos 222a c c a a c b a aB ac ac ac c+−−+−=====因此cos B =16．（1）证明：取AF 的中点为M ，连接MD MG ，．因为点,M G 分别是FA 和FB 的中点，所以MG AO ∥，且12MG AB AO ==． 在圆柱OE 的轴截面四边形ABCD 中，,AO DE AO DE =∥． 所以,MG DE MG DE =∥，因此四边形DEGM 是平行四边形．所以EG DM ∥，又EG ⊄平面,DAF DM ⊂平面DAF ，所以EG ∥平面DAF ．（2）解：由圆的性质可知，连接OG 延长必与圆O 交于点H ，连接,OE EH ，因为,OG AF OG ⊂∥平面,OEH AF ⊂平面DAF ，所以OG ∥面DAF ，又因为已证EG ∥平面DAF ，且EG OG G = ，所以平面DAF ∥平面OEH ．从而点H 到平面DAF 的距离即为点E 到平面DAF 的距离．以O 为坐标原点，AB 的中垂线为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则()()()30,0,3,0,,0,,2E A D所以()(),0,0,3AE AD=，32AF=设(),,n x y z = 为平面DAF的法向量，则由30,30,2n AD z n AF x y ⋅==⋅=+=可取)1,0n =− 因此点E 到平面DAF的距离AE n d n ⋅=H 到平面DAF． 17．（15分）解：（1）设i A =“王同学第i 天选择A 餐厅”()1,2,3i=．()()()()()()1212212121121,;,;,33334P A P A P A P A P A A P A A p ======． 由全概率公式，得()()()()()112121*********P A P A P A A P P A A p A =+=×+×=，解得12p =．设B =“王同学第13∼天恰好有两天在A 餐厅用餐”，则312122313B A A A A A A A A A =++， 因此()()()()312122313213111231534432434212P B P A A A P A A P A A A A =++=××+××+××=． （2）设n A =“王同学第n 天选择A 餐厅”()*n ∈N ，则()(),1n n n n P P A P P A ==−， 由题与（1）可得()()1111,42nn n n A P A A P A ++==． 由全概率公式，得()()()()()()1111111114242n n n n n n n n n n n P P A P A P A A P A P A A P P P ++++==+=+−=−+． 则1212545n n P P +−=−− ，又因为1240515P −=≠， 所以25n P−是以首项为415，公比为14−的等比数列．因此12415154n n P −−=×−，即12415154n n P −=+×−．18．解：（1）设()()()1122,,,,,A x y B x y M x y ，则1122,yy ==，所以1212,22x x x y y y + =+ == 从而12x x = =因为1OA OB ⋅=−，所以121212121221x x y y x x x x x x +=−=−=−，即121x x =． 1=，化简得2212y x −=． 所以点M 的轨迹方程为2212y x −=．（2）由（1）得220112y x =+≥，则0x 的最小值为1，此时01x =或01x =−，即()1,0M 或()1,0M −．当()1,0M 时，可得121,1x x ==，从而直线AB 的方程为1x =；当()1,0M −时，同理可得直线AB 的方程为1x =−． （3）设()00,M x y ，由（2）知，当()1,0M 时，直线:1AB x =，得()2Q +，直线:0MQ y =； 当()1,0M −时，直线:1AB x =−，得()2Q −+，直线:0MQ y =． 当()00,M x y 是其他点时，直线AB 的斜率存在，且0121202ABx y y k x x y −==−，则直线AB 的方程为()00002x y y x x y −=−，注意到220012y x −=，化简得00:220AB x x y y −−=． 设(),Q x y ′′，则由00021,0220,2x y y x y =−+ −=′×解得Q ， 又()00,M x y ，所以MQ k=)00:MQ yy x x −=−，令x =，得0y =，因此直线MQ 过定点)T．19．解：（1）()f x x =是{}1连续的，也是{}n 连续的．理由如下： 由121x x −=，有()()12121f x f x x x −=−=， 同理当12x x n −=，有()()1212f x f x x x n −=−=， 所以()f x x =是{}1连续的，也是{}n 连续的．（2）因为()f x 是[]2,3连续的，由定义可得当1223x x ≤−≤时，有()()1223f x f x ≤−≤， 所以()()()()()()()()6644226f x f x f x f x f x f x f x f x +−=+−+++−+++−≥， 同理()()()()()()66336f x f x f x f x f x f x +−=+−+++−≤，所以()()66f x f x +−=，所以()()()()()()644222f x f x f x f x f x f x +−+=+−+=+−=，即()f x 是{}2连续的，同理可得()()33f x f x +−=，即()f x 是{}3连续的． （3）由（2）可得()()()()22,33f x f x f x f x +−=+−=，两式相减可得()()321f x f x +−+=即()()()11,f x f x f x +−=是{}1连续的，进一步有()()f x n f x n +−=． 当1201x x ≤−≤时，有12223x x ≤+−≤，因为()f x 是[]2,3连续的，所以()()12223f x f x ≤+−≤，又()()1122f x f x +=+，所以()()12223f x f x ≤+−≤，所以()()1201f x f x ≤−≤，故()f x 是[]0,1连续的．由上述分析可知()111,220,f f f x −+= ≥′ 即21,42130,2a b ax b +=+≥ 所以211310,422a ax x−+≥∈−，恒成立． 当0a =时，2b =；当0a >时，由23104aax −+≥，得104a −+≥，即4a ≤．此时4,0;2,1a b a b ====；满足题意． 当0a <时，由23104aax −+≥，得2a ≥−．此时2,3a b =−=，满足题意． 综上所述，0,2;4,0;2,1;2,3a b a b a b a b =======−=．。

惠来一中2016-2017学年度第二学期第一次阶段考 高三级数学（文科）试题 注意事项：1.答卷前，考试务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级、座位号填写在答题卡上。

2.所以的题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{}Z k k x x M ∈+==,12，{}Z k k x x N ∈+==,2，则（A ）N M ⊂（B ）N M =（C ）M N ⊂ （D ）φ=⋂N M（2）复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为（A ）32 （B ）12 （C ）12- （D ）12i - （3）设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（A ）3 （B ）4（C ）5 （D ）6（5）已知3cos 5α=，3(,2)2παπ∈，则cos()4πα-=（A ）10 （B ）10-（C ）10（D ）10-（6）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b （B ）b c ⊥（C ）d b //（D ）b 与d 是异面直线（7）对于任意的非零实数m ，直线2y x m =+与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有且只有一个MM M F F F E E E DD D 交点，则双曲线的离心率为 （A（B（C ） 2 （D（8）已知曲线ax x x f 2ln )(+=在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π，则a 的值为（A ）1 （B ）－4 （C ）21- （D ）－1（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（A ）242 （B ）274（C ）275 （D ）338图1（10） 函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ） （11）在ABC ∆中，有正弦定理：sin sin sin a b cA B C===定值，这个定值就是ABC ∆的外接圆的直径．如图2所示，DEF ∆中，已知DE DF =，点M 在直线EF 上从左到右运动（点M 不与E 、F 重合），对于M 的每一个位置，记DEM ∆的外接圆面积与DMF ∆的外接圆面积的比值为λ，那么（A ）λ先变小再变大 （B ）仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值（C ）λ先变大再变小 （D ）λ是一个定值图2（12）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件0,.y x y M x y M ⎧≤≤⎪⎪-≥-⎨⎪+≤⎪⎩所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 （A ）9（B ）13（C ）16 （D ）18二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．在等比数列{}n a 中,0>n a 且965=a a ，则=+9323log log a a __________. 14．四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD 是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA ⊥平面ABCD ，PA=5，则该球的表面积为 ____________.15. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2=AM ，则)(+⋅的最小值是________.16. 已知函数a ax e x x f x---=)2()(，若不等式0)(>x f 恰好存在两个正整数解，则实数a 的取值范围是___________________.三、解答题：（本大题6个小题，共70分，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（本小题满分12分）已知函数m x x x x f +-+=2cos )6cos(sin 2)(π．（I ）求函数)(x f 的最小正周期； (Ⅱ)当]4,4[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为3-，求实数m 的值．18.（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，()()()b b a c a c -=-+，且B ∠为钝角．（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若21=a，求b -的取值范围．19. (本小题满分12分)已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AB BC =，D ，F 分别为AC ，PC 的中点，DE AP ⊥于E ． （1）求证：DF//平面PAB ； （2）求证：AP ⊥平面BDE ；（3）若AE ∶EP =1∶2，求三棱锥P BEF -与三棱锥P ABC -的体积比；20.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足35a =，且125,,a a a 成等比数列。

高三第一次月考试卷数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|log 2A x x =≤，{}2|60B x x x =--≤，则A B =（ ） A ．{}|04x x <≤ B ．{}|24x x -≤≤ C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x x <≤或2．复数z 满足条件()43i 34i z +=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1B ．5C ．15D ．253．已知直线1:0l x y m ++=，22:0l x m y +=．则“12l l ∥”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 作渐近线的垂线，垂足为P ．若1OPF △的面积为24b ，则双曲线C 的离心率为（ ）A．2BC ．2D5．设,αβ是两个不同平面，,m n 是两条不同直线，下列说法正确的是（ ） A ．若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ∥ B ．若,,m m n αβα⊥⊥⊥，则n β∥ C ．若,,//m n m n αβ⊥∥，则αβ⊥ D ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ∥ 6．已知数列{}n a 中，24a =，m n m n a a a +=+，则11121319a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．95B ．145C ．270D ．5207．已知函数21()3121x x f x x -=-++，且()2(34)2f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4,1)-B ．(3,2)-C ．(0,5)D ．(1,4)-8．已知定直线l 的方程为()()120y k x k -=-<，点Q 是直线l 上的动点，过点Q 作圆()()22:121C x y -++=的一条切线，M 是切点，C 是圆心，若QMC △面，则此时直线l 上的动点E 与圆C 上动点F 的距离EF 的最小值为（ ） A ．13B ．2C ．43D ．52二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的三边分别是a ，b ，c ，以下条件中，使得ABC △无解的是（ ） A．120a b A ===︒B．45a b A ===︒C ．523,cos ,605b A B ===︒D ．3,sin 2sin ,60c b A B c ===︒10．下列结论中，所有正确的结论是（ ） A ．若3x <-，则函数13y x x =++的最大值为3- B ．若0xy >，234x y xy +=，则2x y +的最小值为23+ C ．若x ，()0,y ∈+∞，223x y xy +=+，则xy 的最大值为1 D ．若2x >，2y >-，22x y +=，则11224x y +-+的最小值为322+ 11．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ） A ．若ABC △为锐角三角形且A B >，则sin cos A B > B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC △为等腰三角形 C ．若A B >，则sin sin A B >D ．若8a =，10c =，60B =︒，则符合条件的ABC △有两个12．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为52，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，则（ ） A ．双曲线C 的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线C 的方程为2214x y -= B ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =± C ．12k k 为定值D ．存在点P ，使得121k k +=第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．621x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是________． 14．一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第4次摸出的是白球的概率为________．15．如图所示，已知点G 是ABC △的重心，过点G 作直线分别交AB ，AC 两边于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC =，则2x y +的最小值为_________．16．若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为_________，体积的最大值为_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n n S a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()111nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()tan 2tan c A b c C ⋅=-⋅．（1）求角A 的大小； （2）若点D 在AC 边上，且32AD DC =，BD BC =，求sin ABC ∠的值． 19．（12分）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平，决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记ξ为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用样本平均数近似代替，2σ可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数有多少？（结果根据四舍五入保留到整数位）解题中可参考使用下列数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈．20．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱．某“堑堵”如图所示，12AA AC CB ===，点D 在线段AB 上，1//BC 平面1A CD ．（1）证明：AD BD =；（2）若点M 是底面11BCC B 内的动点，且1AM MC ⊥，求三棱锥1M BDB -体积的最小值．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，半焦距为1，以线段12F F 为直径的圆恰好过椭圆C 的上、下顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若关于直线x c =对称的射线2F M 与2F N 分别与椭圆C 位于x 轴上方的部分交于M ，N 两点，求证：直线MN 过x 轴上一定点． 22．（12分）已知函数2()1x f x e ax x =---，a ∈R ． （1）当0a =时，求()f x 的最小值；（2）当0m n >>时，不等式33()()13f m f n m n ->-恒成立，求a 的取值范围．答 案 第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】∵{}{}2|log 2|04A x x x x =≤=<≤，{}{}2|60|23B x x x x x =--≤=-≤≤，∴{}|03A B x x =<≤，故选C ． 2．【答案】A【解析】因为()43i 34i z +=+，所以()()()()34i 43i 247i43i 43i 25z +-+==+-， 所以1z =，故选A ． 3．【答案】B【解析】由题意，直线1:0l x y m ++=，直线22:0l x m y +=， 因为12l l ∥，可得21m =，解得1m =±，所以“12//l l ”是“1m =”的必要不充分条件，故选B ． 4．【答案】D【解析】由双曲线性质知，2PF b =，OP a =，由2PF OP ⊥，得21242OPF OPF b ab S S ===△△，解得2b a =，5c a =，所以双曲线C 的离心率5e =，故选D ． 5．【答案】C【解析】以正方体为例，A ．AB m BC n ==,，平面11BCC B α=，平面11ADD A 与平面1111A B C D 都可以是平面β，α与β可能平行也可能相交，A 错；B ．平面11BCC B α=，平面1111A B CD β=，AB m =，1BB n =，此时n 与β相交，B 错；C ．m α∥，由线面平行的性质定理，α内有直线l m ∥，m n ∥，则n l ∥，n β⊥，则l β⊥，则αβ⊥，C 正确；D ．平面11BCC B α=，平面1111A B C D β=，AB m =，1BB n =，但m 与n 相交，不平行，D 错， 故选C ．6．【答案】C【解析】在等式m n m n a a a +=+中，令1m =，可得11n n a a a +=+，则11n n a a a +-=， 所以，数列{}n a 为等差数列，且该数列的首项和公差均为1a ，因为2124a a ==，故12a =，所以，()2212n a n n =+-=，则1521530a =⨯=， 因此，()1119151112131915992927022a a a a a a a a +⨯+++⋅⋅⋅+====，故选C ． 7．【答案】A【解析】令21()321x x g x x -=-+，则()()1f x g x =+，∵()2(34)2f a f a +->，∴()2(34)0g a g a +->，∵2121()3()3()2121x x xx g x x x g x --⎛⎫---=--=--=- ⎪++⎝⎭，∴()g x 是R 上的奇函数， ∴()2(34)0g a g a +->可化为()2(43)g a g a >-，又∵212()3132121x x x g x x x -=-=--++，()222ln 21ln 2()32ln 23301221222x xx x g x ⋅'=-=⨯-≤-<+++， 所以()g x 在R 上是减函数，∴243a a <-，解得41a -<<，故选A ． 8．【答案】B【解析】由题意可得直线l 的方程为120kx y k -+-=， 圆C 的圆心()1,2C -，半径为1，如图：1122QMCS QM CM QM =⋅=△， 又21QM CQ =-，∴当CQ 取最小值时，QM 取最小值， 此时CQ l ⊥，可得22QM =3CQ ∴=， 则221231k kk ++-=+()304k k =-<，则直线l 的方程为34100x y +-=，则直线l 上的动点E 与圆C 上动点F 的距离EF 的最小值为221324101234⨯-⨯-=+，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】ABD【解析】对于A ，大边对大角，而a <b ，无解； 对于B ，由正弦定理得sin 1B >，无解； 对于C ，由5cos 5A =可得5sin 5A =，正弦定理求出a ，再由正弦定理或余弦定理可求出c ，有解；对于D ，由3c b =和2a b =，通过余弦定理可得cos 0C =，与60C =︒矛盾，无解， 故选ABD ．10．【答案】BC【解析】A ：由3x <-，则30x +<．又()11333323533y x x x x ⎡⎤=++-=---+-≤--=-⎢⎥+--⎣⎦，当且仅当4x =-时等号成立，错误；B ：0xy >，所以234x y xy +=可化为234y x+=，则()1321431432288223444x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当43x yy x=时等号成立，正确； C ：由x ，()0,y ∈+∞，223x y xy +=+，即()22332xy x y xy =-+≤-，解得1xy ≤， 当且仅当x y =时等号成立，正确； D ：由()()22422221122224x y x y x y -++++≤==+-+，即1111224x y ≤+-+，即111224x y +≥-+，当且仅当224x y -=+，即4x =，1y =-时等号成立，错误， 故选BC ．11．【答案】AC【解析】对于A ，因为若ABC △为锐角三角形且A B >，所以π2A B +>，所以π2A B >-，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或2π2A B =-． 若22A B =，则ABC △为等腰三角形；若2π2A B =-，则2πA B +=，则ABC △为直角三角形，故B 不正确； 对于C ，由A B >可得a b >，所以22a bR R>，结合正弦定理可得sin sin A B >， 故C 正确；对于D ，8a =，10c =，60B =︒，222cos 2a c b B ac+-=，即222810cos 602810b +-︒=⨯⨯，解得b =D 不正确，故选AC ． 12．【答案】AC【解析】因为双曲线2222():10,0x y C a b a b -=>>的离心率为2，所以2c e a ==，12b a ==，渐近线方程为12y x =±，故B 错误； 不妨设双曲线的焦点(,0)c 到12y x =的距离为11=，解得c =又c e a==，故2,1a b ==，所以双曲线方程为2214x y -=，故A 正确；因为(),0A a -，(),0B a ，设(),P x y ，则212222214k y y y b x a x a x a a k =⋅===+-⋅-，故C 正确；21222222212k yy y xy y x xx a x a x y k a x a =+==⋅=⋅+-+--， 因为点P 在第一象限，渐近线方程为12y x =±，所以102OP k <<，则2x y>，所以121k k +>，所以不存在点P ，使得121k k +=，故错误， 故选AC ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】481【解析】由6611x x ⎡⎤⎛⎛+=+⎢⎥ ⎝⎝⎣⎦得616C 1rr r r T x -+⎛= ⎝，0,1,,6r =⋅⋅⋅，当0r =时，61T x ⎛= ⎝中的常数项为4426C 240x ⎛= ⎝； 当3r =时，3346C T x ⎛= ⎝中的常数项为23263C C 240x ⎛⋅= ⎝； 当6r =时，0676C T x ⎛= ⎝中的常数项是1，故61x ⎛+ ⎝的展开式中常数项为481，故答案为481． 14．【答案】49【解析】将4个白球和5个黑球都看作是不同的，并将球一一摸出依次排成一排，每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为99A ，其中第4个球是白球的排法数为1848A A ，故所求概率为184899A A 4A 9P ==，故答案为49．15．【答案】3223+【解析】根据条件：11,AC AN AB AM y x==， 因为G 是ABC △的重心，1133AG AB AC =+，1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11133x y∴+=， 0,0x y >>，11223222(2)(+)1123333333x y x y x y x y x y y x y x +∴+=+=++≥+⋅=， 当且仅当233x yy x=，即2y x =时取等号成立， 2x y ∴+的最小值为3223+，故答案为3223+．16．【答案】263，82【解析】如图，正四面体ABCD 的内接正三棱柱111DEF D E F -，首先,,D E F 三个顶点必在正四面体的三条棱上，才能使得三棱柱体积最大，正四面体ABCD 棱长为6，则高为22366263AM ⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，设正三棱柱高为h ，底面边长为a ，因为平面DEF ∥平面BCD ，所以26626a h -=，6(26)2a h =-，22233633(26)(26)4448DEF S a h h ==⨯-=-△， 23333(26)2(26)(26)816DEF V S h h h h h h ==-=⨯⨯-⨯-△ 3332262682163h h h ⎛⎫+-+-≤⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当226h h =-，即263h =时等号成立，则所制作的正三棱柱模型的高为263，体积的最大值为82，故答案为263，82．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）12n n a =；（2）122321n n T +=-+． 【解析】（1）由111S a +=，得112a =，又1111n n n n S a S a +++=⎧⎨+=⎩，作差得120n n a a +-=，所以+11=2n n a a ， 所以{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，则有12n n a =． （2）由题得()()()()111121121121212121n n n n n n n n n a b a a ++++⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭， 所以1111112222121321n nn k k k n k k T b ++==⎛⎫==-=-⎪+++⎝⎭∑∑． 18．【答案】（1）π3；（253．【解析】（1）依题意，根据正弦定理得()2sin sin sin sin sin cos cos B C CC A A C-⋅⋅=，整理得sin cos cos sin 2cos sin A C A C A B +=， 即()sin 2cos sin A C A B +=．因为()()sin sin πsin 0A C B B +=-=>，所以1cos 2A =， 又0πA <<，所以π3A =．（2）如图，作BE AC ⊥，垂足为E ，则ππ26ABE A ∠=-∠=，所以π6ABC ABE CBE CBE ∠=∠+∠=+∠． 设()20DC t t =>，因为32AD DC =，BD BC =， 所以3AD t =，DE EC t ==，4AE t =． 在ABE Rt △中，tan 43BE AE A t =⋅=， 在BEC Rt △中，227BC BE EC t +=，所以1sin 7CBE ∠=，43cos 7CBE ∠=，所以πππsin sin sin cos cos sin 666ABC CBE CBE CBE ⎛⎫∠=+∠=∠+∠ ⎪⎝⎭143315327==． 19．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为85；（2）50．【解析】（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为()0.010.0220106+⨯⨯=，不合格的人数为1064-=．因此，ξ的可能值为0，1，2，3，4，则()46410C 10C 14P ξ===，()134********C C C P ξ===，()2246410327C C C P ξ===，()3146410435C C 3C P ξ===，()444100C C 1421P ξ===． 故ξ的分布列为ξ 01234P114821374351210所以ξ的数学期望()1834180123414217352105E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）由题意可知，()300.005500.015700.02900.012064μ=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，()()()()2222230640.150640.370640.490640.2324σ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以18σ=．由X 服从正态分布()2,N μσ，得()()6418641846820.6827P X P X -<≤+=<≤≈， 则()()18210.68270.158652P X >≈-=，()460.68270.158650.84135P X >≈+=，600.8413550⨯≈，所以此次竞赛受到奖励的人数为50． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】（1）证明：如图，连接1AC ，设11AC A C O =，再连接OD ．由题知四边形11ACC A 是正方形，所以O 是1AC 的中点．因为1//BC 平面1A CD ，1BC ⊂平面1ABC ，平面1ABC 平面1A CD OD =， 所以1//BC OD ，在1ABC △中，因为O 是1AC 的中点， 所以D 是AB 的中点，所以AD BD =．（2）连接MC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC ⊥平面11BCC B ，1MC ⊂平面11BCC B ，所以1AC MC ⊥．又1AM MC ⊥，AM AC A =，所以1MC ⊥平面ACM ． 又MC ⊂平面ACM ，所以1MC MC ⊥，所以点M 的轨迹是以1CC 为直径的半圆（不包含C ，1C 点）． 又2CB =，所以点M 到直线1BB 的最小距离1d =． 又点D 是AB 的中点，所以点D 到平面11BCC B 的距离1h =． 又三棱锥1M BDB -的体积等于三棱锥1D BB M -的体积，所以三棱锥1M BDB -体积的最小值为()1min 11112113323BB MS h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△． 21．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析．【解析】（1）以线段12F F 为直径的圆恰好过椭圆C 的上下顶点，c b ∴=，1c =，1b =，2222a b c ∴=+=，∴椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）由题意知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，联立2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()()222124210k x kmx m +++-=． 设点()11,M x y ，()22,N x y ，则122412km x x k -+=+，()21222112m x x k-=+．212NF F MF A ∠=∠，且由题意知2MF k 和2NF k 必存在， 220MF NF k k ∴+=．又2(1,0)F ，1212011y y x x ∴+=--，即1212011kx m kx mx x +++=--， 整理得()121222()kx x m k m x x -=-+， 得()22221422()1212m km km k m k k ---=-++，即2222222?22km k m k m km k m ---=-，解得2m k =-，MN ∴的方程为2(2)y kx k k x =-=-．()()22221681210Δk m k m =-+->，即2212k m +>，22124k k ∴+>，解得2222k -<<，M ，N 位于椭圆x轴上方，02k ∴-<<， 此时直线MN 过x 轴上的定点(2,0)． 22．【答案】（1）0；（2）2,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 【解析】（1）当0a =时，()1x f x e x =--，其导函数为()1x f x e '=-， 所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以()f x 的最小值为()00f =．（2）由0m n >>，由33m n >，所以3311()()33f m m f n n ->-， 所以31()()3g x f x x =-在()0,∞+上单调递增， 所以2()210x g x e x ax '=---≥在()0,∞+恒成立，即212x e x a x--≤，()0,x ∈+∞恒成立，设21()x e x h x x --=，()0,x ∈+∞，所以()2(1)1()x x e x h x x ---'=，由（1）知10x e x -->，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()min ()12h x h e ==-，所以22a e ≤-，即a 的取值范围为2,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．。

2016—2017学年度高一级第二学期第一次月考数学试题注意事项：1.答卷前，考试务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级、座位号填写在答题卡上.2.所以的题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分,共60分）1．在程序框图中，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤,则能输出数对(,)x y 的概率为 ( ）A ．18B ． 38C ． 78D ．142．已知两点A （1，2）．B （2，1）在直线10mx y -+=的异侧,则实数m 的取值范围为（ ）A ．（,0-∞)B ．(1,+∞）C ．（0,1）D ．(,0-∞）(1,)+∞3．有一段演绎推理：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α,则b ∥a ”的结论显然是错误的，这是因为( ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误4．下列抽样实验中,最适宜用系统抽样法的是( ）A 。

某市的4个区共有2 000名学生,且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2,从中抽取200人入样B.从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样5．点A (1,3）关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B （－2,1）,则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是（ )A ．－32B ．54C ．－65D ．566．某工厂对一批新产品的长度（单位：mm )进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）（A)20 （B ）25 (C ）22.5 (D ）22.757．（2014•张掖一模)对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据（x i ,y i ）（i=1，2，…，8），其回归直线方程是=x+a 且x 1+x 2+…+x 8=6,y 1+y 2+…+y 8=3,则实数a 的值是（ ）A 。