双曲线性质典型例题

§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学习目标1．理解并掌握双曲线的几何性质．P 56~ P 58，文P 49~ P 51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =． 复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学： ※ 学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y ab-=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a=>．渐近线： 双曲线22221x y ab-=的渐近线方程为：0x y ab±=．问题2：双曲线22221y x ab-=的几何性质?图形： 范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a=>．渐近线：双曲线22221y x ab-=的渐近线方程为： ．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．※ 典型例题例1求双曲线2214925xy-=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e =(5,3)M -；⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．※ 动手试试练1．求以椭圆22185xy+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升： ※ 学习小结双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．※ 当堂检测1． 双曲线221168xy-=实轴和虚轴长分别是（ ）．A ．8、B ．8、C ．4、D ．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是（ ）．A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±）3． 双曲线22148xy-=的离心率为（ ）．A ．1 B ． C D ．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．1．求焦点在y 轴上，焦距是16，43e =的双曲线的标准方程．2．求与椭圆2214924xy+=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学习目标1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．P 58~ P 60，文P 51~ P 53找出疑惑之处） 复习1：说出双曲线的几何性质? 复习2：双曲线的方程为221914xy-=，其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程 ． 二、新课导学 ※ 学习探究探究1：椭圆22464x y +=的焦点是？探究2：双曲线的一条渐近线方程是0x +=，则可设双曲线方程为？问题：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x +=，则双曲线的方程是？※ 典型例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．例3过双曲线22136xy-=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求A B ？ 思考：1AF B ∆的周长？※ 动手试试练1．若椭圆22214xy a+=与双曲线2212xya-=的焦点相同，则a =____.练2 ．若双曲线2214xym-=的渐近线方程为2y =±，求双曲线的焦点坐标．三、总结提升1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合； 2．双曲线的另一定义； 3．直线与双曲线的位置关系．※ 当堂检测1．若椭圆2212516xy+=和双曲线22145xy-=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ∙的值为（ ）． A ．212B ．84C ．3D ．212．以椭圆2212516x y+=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）． A.2211648xy-= B.221927xy-= C.2211648xy-=或221927xy-= D. 以上都不对3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PF Q π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．A.1B.C. 1D. 24．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________. 5．方程221xy+=表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围 ．1．已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为22221x y ab-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A ，试求此双曲线的方程．双曲线的简单几何性质随堂巩固1．双曲线19422=-yx的渐进线方程为（ ）A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±=2．已知双曲线C 的两条渐进线方程为x y ±=，且过点)1,2(M ，则双曲线的方程为（ ） A ．122=-y x B ．222=-y x C ．122-=-yx D ．222-=-y x3．双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角是4．已知双曲线1422=-ymx的一条渐近线方程为x y =，则实数m =5．已知P 是双曲线19222=-yax 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，设21F F 、分别为双曲线的左、右焦点.若32=PF ,则1PF = 6．已知双曲线与椭圆125922=+yx共焦点，它们离心率之和为514，则双曲线方程是强化训练1．已知双曲线12222=-by ax 和椭圆)0,0(12222>>>=+b m a by mx 的离心率互为倒数，那么以m b a 、、为边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 2．已知双曲线13622=-yx的焦点21,F F ，点M 在双曲线上且x MF ⊥1轴，则1F 到直线2MF 的距离为（ ）A ．563 B ．665 C ．56 D ．653．双曲线192522=-yx和)259(192522<<-=+--k k ykx有（ ）A ．相同焦点B ．相同的渐进线C ．相同顶点D ．相等的离心率 4．已知双曲线)0(19222>=-m x m y 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为51，则m 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．设1>a ，则1)1(2222=+-a yax 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)2,2(B ．)5,2(C ．)5,2(D ．)5,2(6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的一条渐近线为)0(>=k kx y ，离心率为k e 5=，则双曲线方程为（ ）A ．142222=-a yax B ．152222=-ayax C ．142222=-by bxD ．152222=-by bx7．双曲线1251622=-yx的两条渐进线的夹角为8．已知圆0846:22=+--+y x y x C ，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 9．已知双曲线的渐进线方程为x y 34±=，并且焦点都在圆10022=+yx 上，求双曲线的方程10．已知双曲线的离心率21,2F F e 、=是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上且SPF F ,6021=∠△21FPF =123，求双曲线的方程11．已知双曲线的中心在原点，焦点21F F 、在坐标轴上，离心率为2，且过)10,4(-M （1）求双曲线的方程（2）若点),3(m N 在双曲线上，求证：021=⋅NF NF （3）求△21NF F 的面积12．双曲线14922=-yx与直线1-=kx y 只有一个公共点，求k 的值第二课时1．双曲线112422=-xy的准线方程为（ ）A ．169±=x B ．49±=x C ．169±=y D ．49±=y2．已知双曲线9322=-y x ，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）A ．4 B ．332 C ．2 D ．23．若双曲线)0(116222>=-b by x的一条准线恰好为圆0222=++x y x 的一条切线，则b 的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．42 D ．434．若双曲线的两渐进线是x y 23±=，焦点)0,26()0,26(21F F 、-，那么它两准线间距离为（ ） A ．26138 B ．26134 C ．261318 D ．261395．双曲线两准线间距离等于半焦距，则离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．36．与曲线1492422=+yx共焦点，且与曲线1643622=-yx共渐进线的双曲线方程为（ ）A ．191622=-yxB ．116922=-yxC ．191622=-xyD ．116922=-xy强化训练1．已知双曲线14:22=-yx C ，过点)1,1(P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ） A ．1 条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 2．双曲线191622=-yx的右准线与渐进线在第四象限的交点与右焦点连线的斜率（ ）A ．35- B ．53 C ．34 D ．433．已知双曲线1242522=-yx上一点M 到右准线的距离是10，2F 是右焦点，N 是2MF 的中点，O 坐标原点，则ON 等于（ ）A ．2 B ．2或7 C ．7或12 D ．2或124．设双曲线12222=-by ax 的右准线与渐进线交于B A 、两点，点F 为右焦点，若AB 以为直径的圆经过点F ，则该双曲线离心率为（ ）A ．332 B ．2 C ．3 D ．25．设双曲线12222=-by ax 与)0,0(12222>>=+-b a by ax 的离心率分别为21e e 、，则当b a 、在变化时，2221e e +的最小值是（ ）A ．2B ．42 C ．22 D ．46．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(]2,1 B ．[)+∞,2 C ．(]12,1+ D ．[)+∞+,127．双曲线两准线将实轴三等分，则双曲线的离心率为 8．已知：点)0,2(),0,3(F A ，在双曲线1322=-yx 上求一点P ，使PF PA 21+的值最小9．设双曲线C 的渐进线方程为034=±y x ,一条准线为516=y ,求双曲线C 的方程10．设双曲线中心在坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为25,已知)5,0(P 到双曲线上的点最近距离为2,求此双曲线的方程 11．在双曲线1121322-=-yx的一支上有不同的三点),()6,(),(33211y x C x B y x A 、、,与焦点)5,0(F 成等差数列(1)求31y y +的值(2)求证:线段AC 的垂直平分线经过某一定点,并求出定点坐标12．已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(- （1）求此双曲线（2）若直线系03=+--m k y kx （其中k 为参数）所过定点M 恰好在双曲线上， 求证：M F M F 21⊥13．已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于B A ,两点 （1）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值 （2）是否存在这样的实数a ，使B A ,两点关于直线x y 21=对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由 14．设双曲线)0(1:222>=-a yax C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点B A 、（1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围 （2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 125=,求a 的值。

双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的 ， 两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．2.双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．焦点在y 轴，标准方程是 。

思考：由双曲线的标准方程如何判定焦点的位置以及22,b a3. 典型例题例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线221169x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 ．例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；（2）焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-．例3：双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．1练习：1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）．A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线2．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）．A. 5B. 13C.3．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．4．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．5.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，a =，经过点(5,2)A -；（2）经过两点(7,A --，B ．双曲线的简单几何性质1.（1）双曲线22221x y a b-=的几何性质范围：x ： y ： 。

双曲线知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线的轨迹叫作双曲线..这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距两焦点的距离叫作双曲线的焦距. . 注意：注意：1. 1. 双曲线的定义中，常数双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；的一支；3. 3. 若常数若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。

的垂直平分线。

知识点二：双曲线与的简单几何性质标准方程图形性质焦点， ，焦距范围，，对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 轴长 实轴长=，虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.2.等轴双曲线等轴双曲线等轴双曲线 : : :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。

其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.3.与双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）轴上）4.4.焦点三角形的面积焦点三角形的面积2cot221qb SF PF =D ，其中21PF F Ð=q 5.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.7.椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=|=±±2aa ＞c ＞0， a 22－c 22=b 22（b ＞0）0＜a ＜c ， c 22－a 22=b 22（b ＞0）， ，（a＞b＞0）（a＞0，b＞0，a不一定大于b）典型例题1、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）D．A．B．C．试题分析：由题意可知，因为渐近线方程为 所以渐近线的方程为 2、已知分别是双曲线的左右焦点，过做垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为钝角三角形，则双曲线的离心率的范围是A．B．C．D．试题分析：由题意为钝角三角形，则,所以,又，，所以，所以，所以．考点：双曲线离心率．3、已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：由已知得，又在双曲线中有，所以得到；故选A．4、若双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为_________. 试题分析：双曲线的两准线的距离为：，两焦点间的距离为：，根据题意可由：化简为：解得：，所以答案为：. 5、双曲线的离心率 ．试题分析：双曲线即为，其中6、如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．4B．C．D．试题分析：因为为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，，为双曲线上一点，则，，由，则，在中应用余弦定理得：，得，则7、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：的一条渐近线方程与抛物线只有一个公共点，把代入中，得，由，，则8、过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（）A．18B．C．D．试题分析：可化为；由双曲线的定义，得的周长为.9、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．试题分析：双曲线的顶点为，渐近线方程为，即；则顶点到其渐近线的距离为. 10、双曲线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：由题意知，又，∴，∴. 11、双曲线的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4试题分析：双曲线方程可变形为，所以. 12、双曲线：的渐近线方程是（）A．B．C．D．试题分析：由双曲线的渐近线方程的公式可知的渐近线方程是．13、斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率,故选D. 14、过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．试题分析：双曲线的焦点在y轴上，通过双曲线的图象与性质可知当直线与双曲线有两交点时直线的斜率k>1或k<-1，因此答案选B。

双曲线基本知识点及例题优秀版1. 过双曲线的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。

2. 已知双曲线的离心率为2，求它的两条渐近线的夹角。

3. 在面积为1的△PMN中，，建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程。

4. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P是两条曲线的一个交点，求的值。

5. 已知椭圆及点B（0，－2），过左焦点F1与点B的直线交椭圆于C、D两点，椭圆的右焦点为F2，求△CDF2的面积。

6. P为椭圆上任意一点，F1为它的一个焦点，求证以焦半径F1P为直径的圆与以长轴为直径的圆相切。

7. 已知两定点A（－1，0），B（1，0）及两动点M（0，y1），N（0，y2），其中，设直线AM与BN的交点为P。

（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若直线与曲线C位于y轴左边的部分交于相异两点E、F，求k 的取值范围。

8. 直线只有一个公共点，求直线l的方程。

1. 解：∵双曲线方程为，∴＝13，于是焦点坐标为设过点F1垂直于x轴的直线l交双曲线于，∴故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为。

2. 解：设实轴与渐近线的夹角为，则∴∴两条渐近线的夹角为［点评］（1）离心率e与。

（2）要注意两直线夹角的范围，否则将有可能误答为。

3. 解：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设，（如图所示）则解得设双曲线方程为，将点∴所求双曲线方程为点评：选择坐标系应使双曲线方程为标准形式，然后采用待定系数法求出方程。

4. 解：∵P在椭圆上，，又∵点P在双曲线上，，①、②两式分别平方得两式相减得，∴5. 解：∵，由∵与椭圆有两个公共点，设为：∴又点F2到直线BF1的距离说明：本题也可用来解。

6. 略解1设为椭圆上任意一点，则又两圆半径分别为，，故此两圆内切。

略解2如图，∴此两圆内切7. 解：（1）由题意得AM的方程为，BN的方程为：。

两式相乘，得（2）由8. 解：由（1）∴此时直线l：x＝3与双曲线只有一个公共点（3，0）；（2）当b≠0时，直线l方程为。