必修一函数的基本性质

高中数学必修一知识点归纳1500字高中数学必修一知识点归纳高中数学必修一是高中数学课程中最基础的一门课，它包括了一些常见的数学基础知识和解题方法。

本文将对高中数学必修一中的知识点进行归纳和总结。

一.函数的概念和性质函数是一种特定的关系，它将一个自变量映射到一个因变量。

函数的定义域、值域和图像是函数的基本性质。

在函数的图像上，我们可以通过观察图像的特点来了解函数的性质，如增减性、奇偶性、周期性等。

函数的基本类型有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

不同类型的函数有不同的性质和图像特点，掌握它们的性质有助于我们解决函数相关的问题。

二.二次函数二次函数是高中数学中的重要概念。

它的标准形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

二次函数的图像为开口朝上或朝下的抛物线。

对于二次函数，我们可以通过顶点坐标和对称轴来确定图像的位置和形状。

顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为x=-b/2a。

二次函数还有一些重要的性质，如最值、零点、单调性等。

通过求解相关方程，我们可以找到二次函数的最值和零点，进而解决与二次函数相关的问题。

三.三角函数三角函数是高中数学中的又一个核心概念。

它包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

三角函数的定义域通常是整个实数集，值域是[-1,1]。

三角函数的周期性是它的一个重要性质。

正弦函数和余弦函数的基本周期为2π，正切函数的基本周期为π。

通过周期性，我们可以得到三角函数的图像在一个周期内的变化规律。

三角函数还有一些重要的性质，如奇偶性、单调性等。

通过这些性质，我们可以对三角函数的图像进行一定的分析和判断。

四.直线与平面直线是平面几何中的基本概念，平面是我们研究几何图形的基础。

直线的方程可以通过一点和斜率、两点等不同的已知条件来确定。

平面的方程有三种主要形式：一般式、点法式和法线式。

通过给定的条件，我们可以选择不同的方程形式来方便地计算和分析平面的性质。

在研究平面时，我们还需要掌握直线与平面的相交关系、平面与平面的位置关系等。

3．2.2 奇偶性第1课时 函数奇偶性的概念教材要点要点1．偶函数的概念一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．2．奇函数的概念一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于________成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于________对称；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．状元随笔 奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知f (x )是定义在R 上的函数．若f (－1)＝f (1)，则f (x )一定是偶函数．( ) (2)奇函数的图象一定过原点．( )(3)偶函数的图象与x 轴交点的个数一定是偶数．( ) (4)f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0.( ) 2．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－xC ．y ＝1x 3 D ．y ＝－x 2＋143．若函数y ＝f (x )，x∈[－2，a ]是偶函数，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．0D ．不能确定4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)题型1 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝√1−x 2+√x 2−1； (2)f (x )＝2x 2+xx+1；(3)f (x )＝x 2−1|x|；(4)f (x )＝{x (1−x )，x ＜0x (1+x )，x ＞0.方法归纳判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：①判断函数f (x )的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f (x )为非奇偶函数，若对称，则进行下一步．②验证．f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )． ③下结论．若f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数； 若f (－x )＝f (x )，且f (x )为偶函数；若f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，则f (x )为非奇非偶函数．(2)图象法：f (x )是奇(偶)函数的等价条件是f (x )的图象关于原点(y 轴)对称． 跟踪训练1 (1)(多选)下列函数中，是偶函数的是( )A ．y ＝√1+x 2B ．y ＝x ＋1x C ．y ＝x 2＋1x 2 D ．y ＝x ＋x 2 (2)函数f (x )＝{12x 2+1，x ＞0，−12x 2−1，x ＜0是()A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 题型2 函数奇偶性的图象特征例2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已知画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y ＝f (x )的图象．(2)根据图象写出函数y ＝f (x )的递增区间．(3)根据图象写出使y ＝f (x )＜0的x 的取值范围．方法归纳1．巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．跟踪训练2 设奇函数f (x )的定义域为[－5，5]，若当x ∈[0，5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．题型3 利用函数奇偶性求值 角度1 利用函数的奇偶性求参数例3 (1)已知函数f (x )＝x 2－(2－m )x ＋3为偶函数，则m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)函数f (x )＝x+2a+3x 2+8为奇函数，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．－32D ．32角度2 利用函数的奇偶性求函数值例4 (1)已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋2，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋3，且f (－2)＝10，则函数f (2)的值是________．方法归纳1．已知函数的奇偶性求参数值的三种思路(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程．(2)一般化策略：对x 取定义域内的任一个值，利用f (－x )与f (x )的关系式恒成立来确定参数的值．(3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去．2．利用函数的奇偶性求函数值的方法已知函数的某一个值，求对应的函数值时，常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值．跟踪训练3 (1)设函数f (x )＝(x+1)(x+a )x为奇函数，则a ＝________．(2)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －2，2a ]，则a ＝________，b ＝________．(3)已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)＝________． 易错辨析 忽视函数的定义域致误例5 关于函数f (x )＝√x 2−4+√4−x 2与h (x )＝√x −4+√4−x 的奇偶性，下列说法正确的是( )A ．两函数均为偶函数B ．两函数都既是奇函数又是偶函数C ．函数f (x )是偶函数，h (x )是非奇非偶函数D ．函数f (x )既是奇函数又是偶函数，h (x )是非奇非偶函数解析：函数f (x )＝√x 2−4+√4−x 2的定义域满足{x 2−4≥0，4−x 2≥0，即x 2＝4，因此函数f (x )的定义域为{－2，2}，关于原点对称，此时f (x )＝0，满足f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数，而函数h (x )＝√x −4+√4−x 的定义域为{4}，不关于原点对称，因此函数h (x )是非奇非偶函数．故选D.答案：D课堂十分钟1．(多选)下列函数是奇函数的有( )A ．y ＝x 3＋√x 3B ．y ＝1x (x ＞0)C ．y ＝x 3＋1D ．y ＝x 2+1x2．函数f (x )＝√1−x 2|x+3|−3的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数3．函数y＝4xx2+1的图象大致为()4．已知函数f(x)＝{−x2+x，x＞0，ax2+x，x＜0是奇函数，则a＝________．5．已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5，0]上的图象；(2)写出使f(x)＜0的x的取值集合．3．2.2 奇偶性第1课时 函数奇偶性的概念 新知初探·课前预习要点3．原点 y 轴[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．答案：C 3．答案：B4．答案：(2)(4) (1)(3)题型探究·课堂解透例1 解析：(1)函数f (x )＝√1−x 2+√x 2−1的定义域为{－1，1}，关于原点对称，此时f (x )＝0，所以函数f (x )＝√1−x 2+√x 2−1既是奇函数又是偶函数．(2)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(−1，+∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．(3)函数f (x )＝x 2−1|x|的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称．又f (－x )＝(−x )2−1|−x|＝x 2−1x ＝f (x )，所以函数f (x )＝x 2−1|x |是偶函数．(4)方法一：∵函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称． 当x ＞0时，－x ＜0，∴f (－x )＝(－x )[1－(－x )]＝－x (1＋x )＝－f (x )． 当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (－x )＝－x (1－x )＝－f (x )． ∴函数f (x )为奇函数．方法二：作出函数的图象，如图所示的实线部分：由图可知，该函数为奇函数．跟踪训练1 解析：(1)由偶函数的定义可知AC 是偶函数．故选AC.(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称．当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝－12(－x )2－1＝－(12x 2＋1)＝－f (x )；当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－(－12x 2－1)＝－f (x )． 综上可知，函数f (x )＝{12x 2+1，x ＞0，−12x 2−1，x ＜0是奇函数．故选A. 答案：(1)AC (2)A例2 解析：(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).(3)据图可知，使f (x )＜0的x 的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．跟踪训练2 解析：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f (x )在定义域[－5，5]上的图象如图，由图可知不等式f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．答案：{x |－2<x <0或2<x ≤5}例3 解析：(1)f (－x )＝(－x )2－(2－m )(－x )＋3＝x 2＋(2－m )x ＋3，由函数y ＝f (x )为偶函数，知f (－x )＝f (x )，即x 2＋(2－m )x ＋3＝x 2－(2－m )x ＋3，∴2－m ＝－(2－m )，∴m ＝2.故选B.(2)由题意f (x )为奇函数，则f (0)＝0，即0＋2a ＋3＝0，∴a ＝－32.此时f (x )＝xx 2+8为奇函数．故选C.答案：(1)B (2)C例4 解析：(1)∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋2， 由－x 代入x 得：f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋2 由题意知f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， ∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋2，所以f (1)＋g (1)＝－1＋1＋2＝2.故选D. (2)令g (x )＝ax 3＋bx∵g (－x )＝a (－x 3)＋b (－x )＝－ax 3－bx ＝－(ax 3＋bx )＝－g (x )， ∴g (x )为奇函数．∴f (－x )＝g (－x )＋3＝－g (x )＋3， ∴g (2)＝－7，∴f (2)＝g (2)＋3＝－7＋3＝－4. 答案：(1)D (2)－4跟踪训练3 解析：(1)方法一(定义法) 由已知f (－x )＝－f (x )， 即(−x+1)(−x+a )−x＝－(x+1)(x+a )x.显然x ≠0得，x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ， 故a ＋1＝0，得a ＝－1.(经检验满足题意) 方法二(特值法) 由f (x )为奇函数得 f (－1)＝－f (1)， 即(−1+1)(−1+a )−1＝－(1+1)(1+a )1，整理得a ＝－1.解析：(2)由f (x )为偶函数知，其定义域关于原点对称， 故有a －2＋2a ＝0，解得a ＝23.又f (x )为偶函数，所以其图象关于y 轴对称， 即－b2a ＝0，解得b ＝0. (3)令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ， 则g (x )是定义在R 上的奇函数． 从而g (－2)＝－g (2)．又f (x )＝g (x )－8，∴f (－2)＝g (－2)－8＝10. ∴g (－2)＝18，∴g (2)＝－g (－2)＝－18. ∴f (2)＝g (2)－8＝－18－8＝－26. 答案：(1)－1 (2)23 0 (3)－26[课堂十分钟]1．答案：AD 2．答案：A 3．答案：A 4．答案：15．解析：(1)如图，在[0，5]上的图象上选取5个关键点O ，A ，B ，C ，D .分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2，0)∪(2，5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．。

高一必修一数学知识点免费 高一数学是理科学生必修的课程之一，也是建立起中学数学知识框架的基础。在高一的学习阶段，掌握好必修一的数学知识点对于学生的学习发展至关重要。然而，为了帮助学生更好地学习数学，提高数学成绩，学习资源的支持也显得尤为重要。本文将介绍高一必修一数学知识点的要点，并推荐一些免费的学习资源，帮助学生更好地掌握这些关键知识。

第一章：函数 1.1 初识函数 函数作为高中数学的重要概念，具有广泛的应用。在学习函数的过程中，要理解函数的定义、自变量、因变量、函数值和函数的图像等基本概念。同时，要学会用图和符号表示函数。

1.2 函数的基本性质 函数的奇偶性、周期性、单调性、极值等基本性质是学习和掌握函数的重要内容。了解这些性质对于解题和应用函数都有很大帮助。

学习资源推荐： - 数学公式手册：免费提供各类数学公式的查询和应用，可帮助学生快速找到相关函数的性质公式。

- 数学学习网站：提供在线课程、讲义、练习题和解答，学生可以自主学习和巩固函数的基本性质。 第二章：三角函数 2.1 弧度制与角度制 在学习三角函数之前，要先了解弧度制和角度制的转化关系。熟练掌握两种制度的互相转换方法对于学习三角函数的运算是必要的。

2.2 基本三角函数及其图像 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数及其在坐标平面上的图像是学习三角函数的关键。要注意函数的周期、相位差和图像的对称性等特点。

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第三章：解析几何 3.1 直线与圆的方程 学习解析几何中的直线和圆的方程是高一数学的重点内容。要学会通过已知条件确定直线和圆的方程，并了解直线方程与圆方程的性质和联系。

3.2 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系是解析几何的核心概念之一。要学会判断直线与圆的相交、相切和相离等情况，并理解相关性质和证明方法。

高一必修一数学复习知识点梳理一、函数及其图像1.1 函数的概念函数是一种特殊的关系，它把一个数集映射到另一个数集。

在数学上，函数可以表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。

1.2 常见的函数类型•幂函数：y = x^n•指数函数：y = a^x•对数函数：y = log_a(x)•三角函数：y = sin(x)、y = cos(x)、y = tan(x) 等1.3 函数的图像函数的图像是指将函数的自变量和因变量分别作为坐标轴的横纵坐标，在平面直角坐标系上绘制的图形。

函数的图像能够帮助我们更好地理解函数。

1.4 常见的函数图像•幂函数 y = x^n，当 n>1 时，图像是单调递增的并且过原点；当 n<1 时，图像是单调递减的并且过原点；当 n=1 时，图像是一次函数 y=x。

•指数函数 y = a^x，当 a>1 时，图像是单调递增的并且经过(0,1)；当 0<a<1 时，图像是单调递减的并且经过 (0,1)；当 a=1时，图像是一条水平直线 y=1。

•对数函数 y = log_a(x)，当 a>1 时，图像是单调递增的并经过 (1,0)；当 0<a<1 时，图像是单调递减的并过 (1,0)；当 a=1 时，图像是一条垂直直线 x=1。

•三角函数 y=sin(x)、y=cos(x)、y=tan(x) 等。

二、二次函数2.1 二次函数的概念二次函数是一种标准形式为 f(x) = ax^2 + bx + c (其中a≠0) 的函数。

二次函数的图像为一个开口方向向上或向下的抛物线。

2.2 二次函数的性质•图像的开口方向：若 a>0，则开口向上；若 a<0，则开口向下。

•对称轴：过抛物线的顶点，是抛物线的对称轴，方程为 x = -b/2a。

•零点：指二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标，可通过求解方程 ax^2+bx+c=0 来确定。

2020年新高一数学必修一知识点总结第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1.函数是刻画变量间对应关系的数学模型和工具。

2.函数问题的共同特征：①定义域、值域均为非空数集；②定义域和值域间有一个对应关系；③对于定义域中的任何一个自变量，在值域中都有唯一确定的数与之对应。

3.函数中的对应关系可用解析式、图象、表格等表示，为了表示方便，引进符号f 统一表示对应关系。

【注】函数符号()y f x =是由德国数学家莱布尼茨在18世纪引入的。

4.函数定义一般地，设,A B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。

5.函数的三要素：①定义域；②对应关系；③值域。

6.（1）函数的定义域和对应关系可以确定出函数的值域，即一个函数的值域是由它的定义域和对应关系决定的。

（2）没有特别说明的情况下，函数的定义域默认是使其有意义的自变量取值范围。

如y =，则默认定义域是{}0x x ≠（3）实际问题中的函数定义域要根据实际情况定.如：匀速直线运动中位移、速度和时间的关系：()s t v t = ,隐含着0t ≥。

6.几个特殊函数的定义域和值域（1）正比例函数()0y kx k =≠，定义域和值域都为全体实数R。

（2）一次函数()0y kx b k =+≠，定义域和值域都为全体实数R。

（3）反比例函数()0k y k x=≠，定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠。

（4）一元二次函数()20y ax bx c a =++≠，定义域为R。

①当0a >时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；②当0a <时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。