注册测绘师考试涉及的误差理论知识解析

天涯•明月•刀第1页共17页注册测绘师考试涉及的误差理论知识解析分析下历年注册测绘师考试真题，不难发现，误差理论与试题结合非常紧密，或者明显或者隐含其中，分值也是很可观的。另一方面，测绘科学从数据采集、处理到成果表达，都涉及到误差理论的应用。因此，我们有必要进行一些误差理论知识的学习。下面我将根据考试所涉及的内容和深度，结合实例来讲解一些重要知识点及其应用，至于比较繁琐的公式推导，就留给写书的人吧！希望对大家有所帮助。一．由一组同精度独立观测值真误差计算观测值中误差。

nn1=i2i

±=^

∑

σ∆

............................................（1）

公式（1）是由一组同精度观测值真误差计算中误差估值的基本公式，可以不严谨地说，后面一些公式都是由此衍生的。例题1：设在一个三角网中，以同精度独立观测了20个三角形之内角，由观测角值计算得到各三角形内角和的闭合差为w1,w2,...,wn。且2.173=∑201=iw2（"），试计算三角形闭合差的中误差。解析：三角形内角和为180°，因此闭合差属于真误差，由于是同精度观测，可以采用公式（1）来计算。

202.173±=20±=n±=∑∑σ

201=i2in

1=i2

i^

w

ww

=±5.9（"）

显然，这是最简单的情形，考试几乎不可能有这么单纯的题目。不过古龙的招式天涯•明月•刀第2页共17页都非常简单有效，你懂的。

二．由一组不同精度独立观测值的真误差计算单位权中误差。设有一组不同精度观测值：观测值L:L1,L2,...,Ln

真误差Δ：Δ1，Δ2,...,Δn

真误差权P:P1,P2,...,Pn

呃......我的人生理想就是做一个坏人，想想，还有什么可以干的坏事？试试采用公式（1）来计算单位权中误差如何？但是公式（1）中真误差是同精度的，权为1，为此，我们先构造一组虚拟的真误差：Δ1′，Δ2′,...,Δn′，它们同精度且权为1（也就是单位权），又设虚拟真误差与真误差之间存在线性关系（不是线性可以线性化）：∆∆

iai='i。

根据权倒数传播定律有：1=pi1•a2i=p∆i'1∆，可以解出：pi=ai∆。即∆∆∆∆i•pi=iai='i，并且Δi′是一组同精度权为1的虚拟真误差，带入公式（1）可得：

n∑n1=i∆pi2i±=n∑n1=i∆'2i

±=0^σ...........................（2）

需要特别说明的是：这个单位权中误差是虚拟真误差∆∆∆∆i•pi=iai='i的中误差，而不是观测值真误差的中误差（或者说不完全等同）！如果需要求观测值真误差的中误

差可根据权的定义式：pi

σ0=σi⇒σ2iσ20

=pi计算。天涯•明月•刀第3页共17页例题2：设对某一水平角度在相同条件下进行了3组观测，第一组观测了2个测回，第二组观测了4个测回，第三组观测了6个测回。各组算术平均值为

=1β-100°00′10"，=2β-100°00′06"，=3

β

-100°00′04"，该水平角度事

先用精密测角方法测得β=100°00′00"（视为无误差），试计算第三组观测值中误差及其算术平均值中误差。解析：由于在其它条件相同的情况下观测，算术平均值的精度与测回数有关（权与测回数成正比），因此三组观测得到的算术平均值真误差是不同精度的。我们可以采取公式（2）来解决这个问题。

设C测回观测值精度为单位权中误差，则cn=)cn0σ(2σ02=σ2iσ02=p-βi，

c2=p-1β，c4=p-2β，c6=p-

3β。

根据公式（2），虚拟观测值真误差的单位权中误差为：

c3440±=c342×6+62×4+102×2±=3∑31=i∆pi2i±=n∑n1=i∆pi

2

i±=0^σ

第三组算术平均值中误差为：

4.94≈c6c3440±=p3β-σ0^=σ

^-

3β（"），第三组每测回精度为12.1≈64.94（"），

如果设1测回观测精度为单位权中误差，只要令c=1（前提是每测回精度相同）,就得到12.1≈3

440±=0^σ（"），可见上述计算具有一致性，我们在用公式（2）天涯•明月•刀第4页共17页计算的时候一定要分清得到的单位权中误差与观测值中误差是什么关系。

三．由双观测值之差求中误差。在测量工作中，常常对一系列观测量分别进行成对的观测。例如，在水准测量中对每段路线进行往返测，在导线测量中，每条边测量两次等。设对量X1，X2，...,Xn各观测两次，得独立观测值为L1′，L2′，...,Ln′

L1"，L2"，...,Ln"又设不同观测对精度不同，而同一观测对的两个观测值精度相同，已知各观

测对的权分别是：P1，P2，...,Pn即观测值Li′、Li"的权都为Pi。

di=0-)Li"(Li'-=i)X~i-X~(-)Li"(Li'-=

∆

di

上式可以理解为：同一观测值真值之差为0，从而可知di即双观测值之差的真误差（这就是我们想要的了）。我们想联系到（1）式这样的理想状况，还必须顾忌到权的问题。由权倒数传播定律可得：

pi1+pi1=pdi

1,2pi=pdi

结合公式（2）得：

n∑n1=i∆pdi2di±=n∑n1=i∆'2i±=0^σ=n2∑n1=ipid2

i

±.........................（3）

有时候，我们可能陷入混乱，记住，这个计算出来的是观测对两个数差值组天涯•明月•刀第5页共17页成序列的中误差。可以进一步考虑观测对里观测值中误差以及观测对两个观测值算术平均值中误差。

观测对中观测值中误差：pi

0σ^=^"σLi^='σ

Li

观测对算术平均值中误差：pi20σ^=2

σLi'

^^

=σ

Li

-

例题3：设分5段测定A、B两水准点间的高差，每段各测两次，结果列于下表中，试计算：（1）每公里观测高差中误差。（2）第二段观测高差中误差。（3）第二段高差平均值的中误差。（4）全长一次（往测或返测）观测高差的中误差。（5）全长高差平均值的中误差。解：令C=1，即令1km观测高差为单位权观测值。其数字计算列于下表。测段号高差（m）"Li'-Li=dididi距离S（km）did

i

p

i

'Li"L

i

1+3.248+3.240+8644.016.02+0.348+0.356-8643.220.03+1.444+1.437+7492.024.54-3.360-3.352-8642.624.65-3.699-3.704+5253.47.4Σ15.292.5天涯•明月•刀第6页共17页（1）单位权中误差（每公里观测高差的中误差）

km^=0^σσn2

∑n1=ipid2

i

±=(mm)0.3±=5×25.92±

（2）第二段观测高差的中误差。

(mm)4.5±=3.213.0±=p2km^σ=2^σ（3）第二段高差平均值的中误差。)(8.3±=25.4±=2σ2^^=σ

2L

-mm

（4）全长1次观测高差的中误差。

(mm)7.11±=1.1510.3±=p全km^σ=全^σ（5）全长高差平均值的中误差。(mm)3.8±=27.11±=2σ全^^=σ

L全

-

四．由一组同精度观测值的改正数计算单位权中误差。很多情况下观测值的真值是不知道的，此时不可能用公式（1）来计算中误差。在同样的观测条件下对某量进行多次观测，可以取其算术平均值作为最或是值，也可以算得观测值的改正数。并且算术平均值在观测次数无限增多时将趋于真值。得到按观测值改正数计算观测值中误差的公式（白塞尔公式）：天涯•明月•刀第7页共17页1n-[vv]±=m.......................................（4）

跟公式（1）比较，除了用[]vv代替[]∆∆之外，还用（n-1）代替了n，推导

有些复杂，简单解释为：在真值已知的情况下，所有n次观测均为多余观测，在真值未知的情况下，则有1次观测是必要的。在后面将会介绍，分母其实就是多余观测数或者说自由度。例题4：对于某一水平距离，在相同条件下进行了6次观测，求其算术平均值与观测值的中误差、算术平均值中误差。数据列于下表中。距离观测记录、计算表次序观测值（m）改正数（cm）vv(cm)1120.031-1.41.962120.025-0.80.643119.983+3.411.564120.047-3.09.005120.040-2.35.296119.976+4.116.81∑0.045.26解：（1）算术平均值。

)(017.120=6376.119+040.120+047.120+983.119+025.120+031.120=Χ

-m

（2）观测值的中误差。