高一数学人教b版必修4精练：3.3 三角函数的积化和差与和差化积 含解析

3.3 三角函数的积化和差与和差化积知识点一：积化和差1．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于A ．－mB ．mC ．－m 2 D.m 22．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为A.14B.32C.12D.343．在△A BC 中，若B ＝30°，则cosAsinC 的取值范围是A ．[－1,1]B ．[－12，12]C ．[－14，34] D ．[－34，14]4．计算sin105°cos75°的值是 A.12 B.14 C ．－14 D ．－125．函数y ＝sin(x ＋π3)sin(x ＋π2)的最小正周期T ＝__________.知识点二：和差化积6．将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果是A ．－sin(x ＋y)sin(x －y)B ．cos(x ＋y)cos(x －y)C ．sin(x ＋y)cos(x －y)D ．－cos(x ＋y)sin(x －y)7．函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1是A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数8．化简sin(θ＋2π3)＋sin(θ＋4π3)的结果是__________．9．把cosx ＋cos2x ＋cos3x ＋cos4x 化成积的形式．10．把下列各式化为积的形式：(1)sin122°＋sin36°；(2)sin75°－sin15°；(3)cos75°－cos23°.能力点一：利用积化和差、和差化积公式进行求值、化简、证明11．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsin θ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcos θ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcos θ；⑤sinxsiny＝12[cos(x －y)－cos(x ＋y)]． 其中正确等式的个数是A ．0B ．1C ．2D ．312．函数f(x)＝asinx ＋acos(x －π6)(x∈R )的最大值是6，则实数a 等于 A. 2 B ．－ 2 C. 3 D ．－ 313．化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7所得结果为 A ．sin π7 B.12sin π7C ．－12D ．－12cos π714．函数y ＝sin2x ＋sin 2x＋π3 cos2x ＋cos 2x＋π3 的最小正周期是__________． 15．求证：sin αsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14sin3α.能力点二：公式的综合应用16.在△ABC 中，若sinBsinC ＝cos 2A 2，则△ABC 是 A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形17．如果向量a ＝(cos α＋sin α，2 009)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos2α＋tan2α＋1的值是__________．18．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：(1)A ＋C ＝2B ；(2)1cosA ＋1cosC ＝－2cosB，求cos A －C 2的值．19．已知sin(π4＋2α)sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求：2sin 2α＋tan α－cot α－1的值．20．已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设〈AB →，AC →〉＝θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin 2(π6＋θ)－cos2θ的最大值与最小值．答案与解析1．A sin(α＋β)sin(α－β)＝－12(cos2α－cos2β)＝－12[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝－(cos 2α－cos 2β)＝－m. 2．A 原式＝12[sin90°＋sin(－50°)]＋12(－cos60°＋cos40°) ＝12－12sin50°＋12cos40°－14＝14. 3．C cosAsinC ＝12[sin(A ＋C)－sin(A －C)]＝14－12sin(A －C)， ∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈[－14，34]． 4．B5．π6．B7．C y ＝1＋cos 2x ＋π6 2＋1－cos 2x ＋π6 2－1 ＝12[cos(2x －π6)－cos(2x ＋π6)]＝－sin2x·sin(－π6)＝12sin2x ， ∴函数是周期为π的奇函数．8．－sin θ9．解：原式 ＝(cosx ＋cos4x)＋(cos2x ＋cos3x)＝2cos 52xcos 32x ＋2cos 52xcos x 2＝2cos 52x(cos 32x ＋cos x 2) ＝4cos 52x·cosx·cos x 2. 10．解：(1)sin122°＋sin36°＝2sin122°＋36°2·cos 122°－36°2＝2sin79°·cos43°；(2)sin75°－sin15°＝2cos 75°＋15°2·sin 75°－15°2＝2cos45°·sin30°＝22； (3)cos75°－cos23°＝－2sin 75°＋23°2sin 75°－23°2＝－2sin49°·sin26°.能力提升11．B 根据和差化积公式与积化和差公式，只有⑤正确．12．A f(x)＝asinx ＋asin[π2－(x －π6)]＝a[sinx ＋sin(－x ＋2π3)]＝2asin π3cos(x－π3)＝3acos(x －π3)， ∴3a ＝6，a ＝ 2.13．C 原式＝cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7 sin π7sin π7＝12 sin 3π7－sin π7＋sin 5π7－sin 3π7＋sin π－sin 5π7sin π7＝－12sin π7sin π7＝－12.14.π2 sin2x ＋sin 2x＋π3cos2x ＋cos 2x＋π3＝sin2x ＋12sin2x ＋32cos2xcos2x ＋12cos2x －32sin2x＝3 32sin2x ＋12cos2x3 32cos2x －12sin2x＝sin 2x＋π6 cos 2x＋π6＝tan(2x ＋π6)，∴y＝tan(2x ＋π6)，T ＝π2.15．证明：左边＝sin α·(－12)(cos120°－cos2α)＝14sin α＋12sin αcos2α＝14sin α＋14[sin3α＋sin(－α)]＝14sin α＋14sin3α－14sin α＝14sin3α.∴左边＝右边，原等式成立．16．B 在△ABC 中，∵sinBsinC＝cos 2A 2，∴sinBsinC＝1＋cosA 2，即2sinBsinC ＝1－cos(B ＋C)．∴cos(B－C)＝1.∴B－C ＝0，即B ＝C.17．2 010 ∵a ∥b ，∴cos α＋sin α－2 009(cos α－sin α)＝0，即cos α＋sin αcos α－sin α＝2 009.又1cos2α＋tan2α＋1＝1cos2α＋sin2αcos2α＋1＝1＋sin2αcos2α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＋1＝cos α＋sin αcos α－sin α＋1＝2 009＋1＝2 010.18．解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120°， ∵－2cos60°＝－22，∴1cosA ＋1cosC ＝－2 2.∴cosA＋cosC ＝－22cosAcosC.利用和差化积及积化和差公式得2cos A ＋C 2cos A －C2＝－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)]， ∴cos A －C2＝－2(－12＋2cos 2A －C2－1)，化简得42cos 2A －C2＋2cos A －C2－32＝0， 又(2cos A －C 2－2)(22cos A －C2＋3)＝0， ∵22cos A －C2＋3≠0，∴cos A －C 2＝22. 19．解：由已知，得－12(cos π2－cos4α)＝14，∴cos4α＝12.∵α∈(π4，π2)，∴4α∈(π，2π)．∴4α＝5π3.∴2α＝5π6.∴2sin 2α＋tan α－cot α－1＝2sin 2α＋sin αcos α－cos αsin α－1＝1－cos2α＋sin 2α－cos 2αsin αcos α－1＝－cos2α－cos2α12sin2α＝－cos 5π6－2cos 5π6sin 5π6＝32＋2×3212＝532.拓展探究20．解：(1)设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边的边长分别为a 、b 、c. 则S △ABC ＝12bcsin θ＝3.∴bc＝6sin θ.①由已知：0≤AB →·AC →≤6，得0≤bccos θ≤6，② 将①代入②得0≤6cos θsin θ≤6，即0≤cot θ≤1，又θ为△ABC 的内角，∴θ∈[π4，π2]．(2)f(θ)＝1－cos(π3＋2θ)－cos2θ＝1－2cos(2θ＋π6)cos π6＝1－3cos(2θ＋π6)，由(1)知π4≤θ≤π2，∴π2≤2θ≤π. ∴2π3≤2θ＋π6≤7π6.∴－1≤cos(2θ＋π6)≤－12. ∴－3≤3cos(2θ＋π6)≤－32.∴当θ＝5π12时，y max ＝1＋3， 当θ＝π2时，y min ＝1＋32.。

α＋β α－β 2α＋β 2α－β －sin －2sin 2 cos 2 ＋cos 2 2
α＋β α－β ＝1－2sin 2 cos 2 ＋sinαsinβ－
1－cosα＋β 1＋cosα－β α＋β α－β ＋ － 2sin cos 2 2 2 2
• [点评] 判定三角形形状的基本思路是：对 已知三角恒等式化简变形，把三角函数关 系式最终化成角之间的关系，利用角之间 的关系判定形状，在变形时注意合理利用 内角和定理及其变形．
已知△ABC 中，tanB＋tanC＋ 3tanB· tanC＝ 3，试判 断△ABC 的形状．
[解析]
首先 tanB· tanC≠1，若 tanB· tanC＝1，则 tanB
3x x sin 2 －2
3x x sin sin 2 2 3x x 解法二：tan －tan ＝ － 2 2 3x x cos 2 cos2
3x x 3x x 3x x － sin · cos －cos · sin sin 2 2 2 2 2 2 ＝ ＝ 3x x 3x x cos 2 cos2 cos 2 cos2
π 5π [解析] sin12cos12
π 5π 1 π 5π ＝2sin12＋12＋sin12－12
1 3 1 ＝2×1－ ＝4(2－ 3)，故选 C. 2
2．下列四个公式中，不正确的是 1 A．sinxsiny＝ [cos(x－y)－cos(x＋y)] 2 1 B．cosxcosy＝2[cos(x－y)＋cos(x＋y)] 1 C．sinxcosy＝2[sin(x－y)＋sin(x＋y)] 1 D．cosxsiny＝2[sin(x－y)－sin(x＋y)]
解法二：原式＝sin220° ＋cos2(30° ＋20° )＋sin20° cos(30° ＋20° ) ＝ sin220° ＋ cos230° cos220° － 2cos30° cos20° sin30° sin20° ＋sin230° sin220° ＋sin20° cos30° cos20° －sin20° sin30° sin20° 3 2 3 1 2 3 ＝ sin 20° ＋ 4 cos 20° － 2 sin20° cos20° ＋ 4 sin 20° ＋ 2

3.3 三角函数的积化和差与和差化积
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规律方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，将实际问题 转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解，在求解 过程中，要注意角的范围.
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
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跟踪演练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块 一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出 的长方形桌面的最大面积(如图). 解 连接OC，设∠COB＝θ， 则0°<θ<45°，OC＝1. ∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ
x 2.
∴原式成立.
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
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要点三 三角恒等变换的实际应用
例3 点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，
∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？
解 如图所示，∵AB为直径，
∴∠APB＝π2，又 AB＝1，
∴PA＝cos α，PB＝sin α.
第三章——
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
[学习目标]
1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化 积两组公式的过程. 2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所 起的作用.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
＝sin32xcos2x3－x cosx32xsin2x＝sin332xx－2xx
cos 2 cos2
cos 2 cos2

2.不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”,都是指三角 函数间的关系,并不是指角的关系.
-7-
3.3 三角函数的积化 和差与和差化积
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知识梳理
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D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
������
+
π 4
+cos
������-
π 4
=2cos xcosπ4 = 2cos x,
∴f(x)min=- 2.
答案:- 2
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UITANGYANLIAN
12
【做一做 2-1】 sin 105°+sin 15°等于( )
A.
3 2
B.
2 2
C.
6 2
D.
6 4
解析:sin 105°+sin 15°
=2sin105°2+15°cos105°2-15° =2sin 60°cos 45°= 26. 答案:C
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3.3 三角函数的积化 和差与和差化积
2
sin αsin β=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]; sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α-β)]; cos αsin β=12[sin(α+β)-sin(α-β)].