2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点21 推理与证明【热点考法】本热点考题类型为选择填空题或解答题，并与平面几何、立体几何、解析几何、三角函数、数列等相结合考查推理与证明思想方法的应用，考查对新概念的理解和新概念的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、阅读理解新概念及应用新概念解决问题能力、转化与化归思想，其难度较多是中等题，分值为5至10分.【热点考向】考向一逻辑推理【解决法宝】1.合情推理与演绎推理的区别．归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先把已知的部分个体适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的结论．（3）演绎推理是由一般到特殊的推理．数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确的，一定要注意推理过程的正确性与完备性．2.合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先把已知的部分个体适当变形根据，再通过对这些个体的观察、分析、比较，发现它们的相同性质或变化规律，找出它们之间的联系，从这些相同性质或变化规律推出一个明确表述的一般命题，从而归纳出一般结论，对所得的一般性命题进行检验．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．例1【甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末】将正整数排列如下：则在表中数字2013出现在（ ）A ．第44行第78列B ．第45行第78列C ．第44行第77列D ．第45行第77列【分析】【解析】 例2【2017届湖北省武汉市武昌区高三1月调研】一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【分析】【解析】例3【2017届河北定州中学高三月考1】已知三角形的三边分别为,,a b c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为()12s a b c r =++；四面体的四个面的面积分别为1234,,,s s s s ，内切球的半径为R ．类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ） A. ()123412V s s s s R =+++ B. ()123413V s s s s R =+++ C. ()123414V s s s s R =+++ D. ()1234V s s s s R =+++ 【分析】【解析】考向二 间接证明【解决法宝】用反证法证明数学命题步骤如下：第一步，分清命题“q p ⇒”的条件和结论；第二步，作出与结论q 相反的假设q ⌝；第三步，由p 和q ⌝出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步，断定矛盾结果的原因在于开始所作的假设q ⌝不真，于是结论q 成立，从而证明了命题q p ⇒为真.所说的矛盾结果，通常是指推出的结果和已知公理、已知定义、已知定理、已知条件矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.例4 【2017届河北武邑中学高三上学期月考2】在用反证法证明命题“已知()0,2a b c ∈、、，求证()()()222a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证时假设正确的是（ ）A ．假设()()()222a b b c c a ---、、都小于1B ．假设()()()222a b b c c a ---、、都大于1C ．假设()()()222a b b c c a ---、、都不大于1D ．以上都不对【分析】【解析】考向三 数学归纳法【解决法宝】1.数学归纳法主要用于证明与整数有关的数学问题，分两步进行：(i)证明当n 取第一个值0n (*0N n ∈)时命题成立．(ii)假设n ＝k (k ≥0n ，k ∈N*)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题也成立．2. 在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一是“凑”假设，二是“凑”结论，关键是明确n ＝k ＋1时证明的目标，充分考虑由n ＝k 到n ＝k ＋1时命题形式之间的差异和联系，利用拆、添、并、放、缩等方法，或从)(k P 出发拼凑)1(+k P ，或从)1(+k P 中分离出)(k P ，再进行局部调整；也可以寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡，切实掌握“观察-归纳-猜想-证明”这一特殊到一般的推理方法.并且在递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．例5【2017届山东省实验中学高三第一次诊断】已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+（k R ∈）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：ln 2ln 3ln (1)3414n n n n -+++<+…（*n N ∈，且2n ≥）． 【分析】【解析】 考向四 新定义【解决法宝】一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新运算（符号）、新法则（公式）等，学生在理解相关新概念、新运算（符号）、新法则（公式）之后，运用新课标学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决．结合高等数学的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中．此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能．这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题．结合其他学科的题目，主要是介绍数学知识在其他学科或领域的运用，一般都会介绍运用时的知识背景、数学模型，因而题中文字、信息较多．学生必须准确地把握题意、理顺线索、分析相应数学模型与数学知识的内在联系，结合学生已有的知识和能力进行推理、运算． “新定义”型的问题，通常是选取合适的数学背景，把新定义、新运算、新符号等巧妙的融入高考试题中来，虽然它的构思巧妙、题意新颖、隐蔽性强，到处都体现出新意，但是，它考查的还是基本知识和基本技能，解题的关键在于全面准确理解题意，科学合理的推理运算．因此，“新题”不一定是“难题”，只有夯实基础，掌握好双基，以不变应万变才是我们取胜的法宝．例6【湖南永州市2017届高三第一次模拟，16】函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[,]m n D ⊆，使得函数()f x 满足：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数；（2）()f x 在[,]m n 上的值域为[2,2]m n ，则称区间[,]m n 为函数()y f x =的“完美区间”.下列函数中存在“完美区间”的是________（只需填符合题意的函数序号）.①2()f x x =； ②12()log f x x =； ③()x f x e =； ④1()3f x x x=-+. 【分析】【解析】【热点集训】1.【2017届黑龙江虎林一中高三文上学期月考三】用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设（ ）A ．三个内角都不大于 60B ．三个内角都大于60C. 三个内角至多有一个大于 60D ．三个内角至多有两个大于 602.【2017届辽宁葫芦岛普通高中高三文上学期考试二】在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下： 甲是中国人，还会说英语．乙是法国人，还会说日语．丙是英国人，还会说法语．丁是日本人，还会说汉语．戊是法国人，还会说德语．则这五位代表的座位顺序应为（ ）A ．甲丙丁戊乙B ．甲丁丙乙戊C ．甲乙丙丁戊D ．甲丙戊乙丁3.【2017届湖南师大附中高三文上学期月考四】已知1log (2)n n a n +=+（*n N ∈），观察下列算式：1223lg3lg 4log 3log 4lg 2lg3a a ⋅=⋅=⋅2=；123456a a a a a a 237log 3log 4log 8=⋅…lg3lg 4lg83lg 2lg3lg 7=⋅=…；若122016m a a a =…（*m N ∈），则m 的值为（ ）A ．201622+B ．20162C ．201622-D ．201624-4.【2017届辽宁庄河市高级中学高三9月】观察下列各等式：5325434+=--，2622464+=--，7127414+=--，102210424-+=---，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（ ）A ．()82484n n n n -+=---B ．()()()15121414n n n n ++++=+-+- C ．()42444n n n n ++=-+- D ．()()1521454n n n n +++=+-+- 5.【2017届安徽皖南八校高三理联考二】中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”愿意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 6.【2017届辽宁庄河市高级中学高三12月月考】已知如下等式：;30282624222018;161412108;642++=++++=++=+……以此类推，则2018会出现在第（ ）个等式中.A.33B.30C.31D.327.【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，11】观察下列各式：211122ni i n n ==+∑，2321111326n i i n n n ==++∑，34321111424n i i n n n ==++∑，454311111 52330n i in n n n ==++-∑，…， 11211211n kk k k k k k k k i i a n a n a n a n a n +--+--==++++∑…，可以推测，当10k =时，129a a a +++…等于（ ）A ．922B ．911 C.12 D ．1118.【2017届江西南昌市高三新课标一轮复习一】观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，…，则1010a b +=（ ）A ．28B ．76C ．123D ．1999.【湖北黄石2017届高三9月调研，12】定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足()()()1f b f a f x b a -'=-，()()()2f b f a f x b a-'=-，则称函数()f x 是[],a b 上的“双中值函数”，已知函数()322f x x x m =-+是[]0,2a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,124⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,128⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,18⎛⎫ ⎪⎝⎭10.【2017届湖南师大附中高三理上学期月考三】将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录()k k n ≤个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序.若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”.“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ）A ．4B ．6 C. 8 D ．1011.【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考，11】给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导函数，()''f x 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00 x f x ，为函数()y f x =的“拐点”.已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00 M x f x ，，则点M （ ）A ．在直线3y x =-上B ．在直线3y x =上 C.在直线4y x =-上D ．在直线4y x =上12.【四川遂宁、广安、眉山、内江四市2017届高三上学期第一次联考，12】已知函数()y f x =与()y F x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y F x =在区间[],a b 同时递增或同时递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[]1,2为函数2x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(]0.2B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,24,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦13.【河北衡水中学2017届高三摸底联考，16】如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4（从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，則第20行从左至右的第4个数字应是 ．14.【江西九江地区2017届高三七校联考，14】设A ，B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⊗=∈且}x A B ∉，已知2{|2,02}M y y x x x ==-+<<，1{|2,0}x N y y x -==>，则M N ⊗=_________.15.【河北省唐山一中2017届高三上学期12月调研考试数学试题】用数学归纳法证明：)12(312)()2)(1(-⨯⨯⨯⨯=+++n n n n n n （+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的代数式为_______________.16.【河北邯郸2017届9月联考，15】6月23日15时前后，江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A ，B ，C ，D 四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.⑴甲轻型救援队所在方向不是C 方向，也不是D 方向；⑵乙轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是B 方向；⑶丙轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是B 方向；⑷丁轻型救援队所在方向不是A 方向，也不是D 方向；此外还可确定：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向，有下列判断： ①甲所在方向是B 方向；②乙所在方向是D 方向；③丙所在方向是D 方向；④丁所在方向是C 方向.其中判断正确的序号是 .17.【河南省广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一），15】所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、完美数）.如：6123=++；28124714=++++；4961248163162124248=++++++++.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如12622=+，23428222=++，……，按此规律，8128可表示为 ．18.【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，16】将三项式()21nx x ++展开，当1,2,3,n =时，得到如下左图所示的展开式，右图所示的广义杨辉三角形： ()0211x x ++= 第0行 1()12211x x x x ++=++ 第1行 1 1 1()2243212321x x x x x x ++=++++ 第2行 1 2 32 1()32654321367631xx x x x x x x ++=++++++ 第3行 1 3 6 7 6 3 1 ()42876543214101619161041x x x x x x x x x x ++=++++++++ 第4行 1 4 10 16 19 16 10 4 1……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k 行共有21k +个数．若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 项的系数为75，则实数a 的值为___________．19.【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测,16】函数()f x ，()g x 的定义域都是D ，直线0x x =（0x D ∈），与()y f x =，()y g x =的图象分别交于A ，B 两点，若||AB 的值是不等于0的常数，则称曲线()y f x =，()y g x =为“平行曲线”，设()ln x f x e a x c =-+（0a >，0c ≠），且()y f x =，()y g x =为区间(0,)+∞的“平行曲线”，(1)g e =，()g x 在区间(2,3)上的零点唯一，则a 的取值范围是 ．20.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,21】（本小题满分12分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点3(1,)2.若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，且,A B 两点的“椭点”分别为,P Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求AOB ∆的面积.21.【天津六校2017届高三上学期期中联考，18】已知函数21()2ln ()2f x x ax x a R =-+∈，(1,)x ∈+∞.（1）若函数()f x 有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围；（2）对于函数()f x ，1()f x ，2()f x ，若对于区间D 上的任意一个x ，都有12()()()f x f x f x <<，则称函数()f x 是函数1()f x ，2()f x 在区间D 上的一个“分界函数”.已知21()(1)ln f x a x =-，22()(1)f x a x =-，问是否存在实数a ，使得函数()f x 是函数1()f x ，2()f x 在区间(1,)+∞上的一个“分界函数”？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.22.【2017届江苏徐州等四市高三11月模拟考】设*n ∈N ，()372n n f n =+-．（1）求(1)f ，(2)f ，(3)f 的值；（2）证明：对任意正整数n ，()f n 是8的倍数．。
2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点20 统计【热点考法】本热点考题形式为选择填空题或解答题，以实际问题为背景、与概率、框图等结合主要考查抽样方法、样本频率分布估计总体频率分布、样本数字特征估计总体数字特征、回归分析、独立性检验等统计知识与方法，考查应用意识、阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力，难度为基础题或中档题，分值为5至17分. 【热点考向】 考向一 抽样方法【解决法宝】 解决抽样问题的策略1.随机抽样的方法有三种，其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况，当总体中的个体数量较多且差别不大时要使用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样．2.系统抽样：（1）若从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，用系统抽样时，应先将总体中的各个个体编号，再确定分段间隔k ，以便对总体进行分段．(2)当N n 是整数时，取k ＝N n 作为分段间隔即可，当N n不是整数时，应先从总体中随机剔除一些个体，使剩余个体数N ′能被n 整除，这时分段间隔k ＝N ′n. （3）利用简单随机抽样确定在第一组中抽取的个体的号码数，譬如第一组号码为0n ，则第n 组号码为)1(0-+n k n .3.分层抽样：若总体有差异的几部分组成，用分层抽样方法，按同比例比例抽样. 例1【四川省遂宁市2017届高三上学期期末】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（ ） A ．9B ．10C ．12D ．13【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n 的值．【解析】因为甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别为120,80,60， 所以甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，所以丙车间生产产品所占的比例为133， 因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的133， ∴样本容量131333=÷=n ，故选D. 例2【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，3】某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从11000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19 【分析】利用系统抽样方法即可确定第一组的号码. 【解析】第一组用简单随机抽样抽取的号码为1000443(181)1840--⨯=，选C 考向二 总体估计【解决法宝】1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者的含义：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．4.茎叶图图中的中位数：数据从小到大排成一排，中间为一个数或两个数的平均值.5.样本数据的算术平均数，即x =)(121n x x x n+++ ． 6.标准差的平方就是方差，方差的计算基本公式])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=例3【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，4】某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n m -的值是（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】由平均值公式即可求出m ，由中位数即可求出n ，即可求出|n-m|的值. 【解析】甲组学生成绩的平均数是788684889590928837m m +++++++=⇒=，乙组学生成绩的中位数是89，所以9,6n n m =-=，选B.例4【重庆巴蜀中学2017届高三上学期期中，18】（本小题满分12分）重庆市某厂党支部10月份开展“两学一做”活动，将10名党员技工平均分为甲，乙两组进行技能比赛．要求在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：组技工的技术水平；（2）质检部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．【分析】（1）根据给出的数据进行计算即可，方差大的差异大；（2）用列举法分别列了两组里各有5人，从两组里分别抽1人及其中质量合格的所有事件，然后用古典概型概率公式可得结论．【解析】（1）依题中的数据可得：()()114579107,56789755x x =++++==++++=甲乙，()()()()()()()()()()222222222222147577797107 5.251576777879725S S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲乙∵22,x x S S =>甲乙甲乙， ∴两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大；考向三 回归分析【解决法宝】1.散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫散点图. 2.①正相关：如果散点图中的点分布在从左下到右上的区域内，称为正相关. ②负相关：若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关. 3．求回归直线方程的关键(1)正确理解和合理选择回归方程系数的计算公式并能准确地进行运算，若样本数据较小，选第二个公式，若样本数据较大但与样本均值差较小用第1个公式．(2)根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．（3）计算线性回归方程公式:y a bx=+，其中()()()1122211n ni i i i i i n ni ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑. 4.回归直线一定过样本中心点（x ，y ）.例5【广西陆川县中学2017届高三上学期12月考，17】（本小题满分12分）假设某商品的销售量x （件）与利润y （万元）有如下统计数据：且已知5552211190,140.8,112.3,iii i i i i xy x y ======∑∑∑ 1.4≈≈.（1）对x y ,进行线性相关性检验；（2）如果x 与y 具有线性相关关系，求出回归直线方程，并估计销售量为10件时，利润约是多少？附相关公式：()()niix x y y r --=∑，()()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xn x====---⋅==--∑∑∑∑，a yb x =-⋅【分析】（1）直接套用附加相关系数的公式计算，即可得x 与y 之间的相关关系；（2）运用公式求得回归直线方程，将10x = 代入所求回归直线方程中，即可估计利润. 【解析】（1）2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.57.055y ++++==相关系数r 的分子为()()55115122.354512.3iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()()552221159051610i i i i x xx x==-=-=-⨯=∑∑，()()55222115140.812515.8iii i y y yy==-=-=-=∑∑，所以0.987r ===≈.因为0.9870.75>，所以x 与y 之间具有很强的线性相关关系.（2）因为()1522112.31.23,0.0810ni ii i i x y nx yb a y b x x n x==-⋅====-⋅=-∑∑ 所以所求的回归直线方程为 1.230.08y x =+当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=，即估计销售量为10 件时，利润约为12.38 万元. 考向四 独立性检验【解决法宝】独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如表：①根据实际问题需要的可信度确定临界值0；②利用公式2K =2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++，由观测数据计算得到随机变量2K 的观测值k ；③如果k ＞0k ，就以20(1())100%P k k ->⨯的把握认为“X 与Y 有关系”；否则就说样本观测值没有提供“X 与Y 有关系”的充分证据.例6【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，7】某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下22⨯列联表：A ．90%B ．95%C ．99%D ．99.9% 附：参考公式和临界值表22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【分析】根据实际问题需要的可信度确定临界值，由观测数据计算得到随机变量2K 的观测值k ，即可作出判定.【解析】由题意，得2230(42168)10 6.63512182010K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，故选C. 【热点集训】1.【黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末】某校高中研究性学习小组对本地区2005年至2007年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭（ ）A ．82万盒B ．83万盒C ．84万盒D ．85万盒 【答案】D【解析】该地区三年销售盒饭总数为30×1+45×2+90×1.5=255， ∴该地区每年平均销售盒饭255÷3=85（万盒），故选D ．2.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，4】高三学生体检，某班级随机抽取5名女学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）的数据如下表：根据上表可得回归直线方程为0.92y x a =+，则a =（ ） A ．96.8- B ．96.8C ．104.4-D ．104.4【答案】A【解析】回归直线方程过点y x （，），而165,63x y ==，所以630.9216596.8a =-⨯=-，选A.3.【江西南昌市2017届上学期摸底，5】一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位：cm ）分布茎叶图如图，测得平均身高为177cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】180+181+170+173+170+178179177=7x ++，解得8x =，选D.4.【山东肥城市2017届高三上学期升级统测，3】如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在[)[)[)30,35,35,40,40,45的上网人数呈现递减的等差数列, 则年龄在[)35,40的频率是（ ）A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3 【答案】C【解析】[)[)[)30,35,35,40,40,45的概率和为1(0.010.07)50.6-+⨯=，又[)[)[)30,35,35,40,40,45的概率依次成等差数列，所以[)35,40的频率为0.60.2.3=选C.5.【株洲市2017届高三年级教学质量统一检测（一）】已知样本数据y x ,,5,4,3的平均数是5，标准差是2， 则xy =（ ）A ．42B ．40C ．36D ．30【答案】A6.【河北省唐山一中2017届高三上学期12月调研考试】右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的重量的中位数为( )A ．11B ．11.5C ．12D ．12.5 【答案】C【解析】设中位数为x .0.0650.30.5⨯=<, ()100.10.50.3x ∴-⨯=-,解得12x =.故C 正确. 7.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，7】某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下22⨯列联表：A ．90%B ．95%C ．99%D ．99.9% 附：参考公式和临界值表22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【解析】由题意，得2230(42168)10 6.63512182010K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，故选C ．8.【广东珠海市2017届上学期调研测试（1），4】已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的,m n 的比值mn=（ ）A ．38B ．13C ．29D ．1【答案】A【解析】因为乙的中位数是23，所以3m =，可求得甲的平均数是23，因此乙的平均数也是23，进而得8n =，38m n =，故选A. 9.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，3】某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30 【答案】A【解析】由分层抽样得，从高二年级抽取的学生人数为13334350=++⨯人.10.【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，4】从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（ ）A ．3B ．2.5C ．3.5D ．2.75 【答案】A【解析】设这100个成绩的平均数即为x ，则1202103404105203100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==．11.【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），5】本学期王老师任教两个平行班高三A 班，高三B 班，两个班都是50个学生，如图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比：根据图表，不正确的结论是（ ）A ．A 班的数学成绩平均水平好于B 班 B ．B 班的数学成绩没有A 班稳定； C.下次考试B 班的数学平均分数高于A 班 D ．在第1次考试中，A ，B 两个班的总平均分为98. 【答案】C【解析】由图知，A 、B 、D 正确，此图不能预测出下次两个班的平均成绩，故C 不正确，故选C ．12. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考，3】某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）A ．0927B ．0834C ．0726D ．0116 【答案】A【解析】系统抽样就是等距抽样，编号满足01225,k k Z +∈，因为092701225161=+⨯，所以选A.13.【北京市西城区2016届高三第一学期期末】某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5, 2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.【答案】9【解析】14.【江西南昌市2017届上学期摸底，16】对某文科班50名同学的一次数学成绩进行了统计，全年级文科数学平均分是100分，这个班数学成绩的频率分布直方图如图：（总分150分）从这个班中任取1人，其数学成绩达到或超过年级文科平均分的概率是 .【答案】33 50【解析】33 1(0.0080.026)1050 -+?15.【四川2016年普通高考适应性测试，11】某单位有500位职工，其中35岁以下的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，需抽取35岁以下职工人数为．【答案】25【解析】抽取35岁以下职工人数为125 10025500⨯=16.【2017届湖南省长沙市高三上学期统一模】空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．某环保人士从当地某年的记录数据中，随机抽取10天的数据，用茎叶图记录如下．根据该统计数据，估计此地该年大于100的天数约为__________．（该年为365天）【答案】146【解析】茎叶图中大于100的天数为4天，所以，解得：，所以该年大于100的天数为146天.17. 【河南南阳一中2017届高三上学期第4次月考，18】为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．15（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）【答案】（1）列联表见解析；（2）有99%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；（3）8 15.【解析】（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，34x+=，6x=，（2）由已知数据可求得：2230(6824)8.522 6.6351020822K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此有99%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．18.【2017届湖北省武汉市武昌区高三1月调研考试】我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由；（Ⅲ）已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨，当时，估计该市居民的月平均水费.（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准;(Ⅲ)元【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图，可得，解得.（Ⅱ）前6组的频率之和为，而前5组的频率之和为，由，解得，因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.(Ⅲ)设居民月用水量为吨，相应的水费为元，则，即，由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下：根据题意，该市居民的月平均水费估计为19.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】某手机厂商推出一款吋大屏手机，现对名该手机使用者（名女性，名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户：具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）分别求女性用户评分的众数，男性用户评分的中位数；（Ⅲ）如果评分不低于分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列列联表，并回答是否有的把握认为性别和对手机的“认可”有关；附：【答案】（Ⅰ）女性用户的波动小，男性用户的波动大（Ⅱ）（Ⅲ）有的把握【解析】（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（Ⅱ）由女性用户频率分布直方图知，女性用户评分的众数为；在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等。
2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇热点6 三角求值【热点考法】本热点的主要考试形式为选择填空题或解答题的一个小题，主要考查三角函数定义、诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式及其变形、角的分拆与配凑，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为基础题或中档题.. 【热点考向】 考向一 给角求值【解决法宝】(1)一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题. (2)利用诱导公式化简求值时的原则①“负化正”，运用α-的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数； ②“大化小”，利用360()k k Z α⋅+∈的诱导公式将大于360的角的三角函数化为0到360的三角函数；③“小化锐”，将大于90的角化为0到90的角的三角函数；④“锐求值”，得到0到90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．（3）若角终边上一点求角的三角函数问题，利用三角函数的定义求三角函数值. 例1【2017届河南息县第一高级中学高三文上段测五】2014cos 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12BC ．12- D ．【分析】 【解析】例2【黑龙江省哈尔滨三十二中2016届高三上学期期末】设cos （﹣80°）=k ，那么tan100°= ． 【分析】 【解析】例3【2017届河北武邑中学高三理11月考】已知函数()()log 130,1a y x a a =-+>≠且的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则2sin sin 2αα-的值等于（ ）A ．313B ．513 C.313- D ．513-【分析】 【解析】 考向二 给值求值【解决法宝】（1）在给值求值中，先对所给式子和所求式子化简，然后观察所给角与已知角的差异，通过角的配凑与分拆寻求未知角与已知角的联系，用已知角表示未知角或用未知角表示已知角，再利用两角和与差的三角公式用已知角的三角函数表示出来，再利用同角三角函数基本关系求出所需的三角函数，若用到平方关系，注意根据角的范围确定根号前的符号，若是用未知角表示已知角，常用解方程的方法求所求角的三角函数. （2）几个常见的变形切入点： ①ααcos sin 可凑倍角公式； ②αcos 1±可用升次公式；③αsin 1±可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；或21sin sin cos 22ααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭；④()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 ab=ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握；⑤当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； ⑥当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． ⑦常见的配角技巧：22αα=⋅；()ααββ=+-；()αββα=--；1[()()]2ααβαβ=++-；1[()()]2βαβαβ=+--；()424πππαα+=--；()44ππαα=--.（3）三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用及变形应用等. 例 4 【2017届陕西西安铁一中高三理上学期三模】若354sin )32sin(=+-ααπ，则)67sin(πα+的值是（ ）A.532-B.532 C.54- D.54【分析】 【解析】 考向三 给值求角【解决法宝】实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角，给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等例5【2017届广东汕头市高三理上学期期末】设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（ ） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=-【分析】 【解析】例6 【长春市普通高中2016届高三质量监测（二）】已知直线21y x =+与圆224x y +=相交于A 、B 两点，设α、β分别是以,OA OB 为终边的角，则sin()αβ+= A.35B. 35-C. 45D. 45-【分析】 【解析】 【热点集训】1.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，5】求0000sin16cos134sin 74sin 46+=（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2-2.【山东肥城市2017届高三上学期升级统测，6】若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且23sin cos 2210παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭,则tan α=（ ）A ．17B ．13C ．3D ．73.【2017届四川省泸州市高三上学期第一次诊断性考试】设(0,)2πα∈，(0,)4πβ∈，且1sin 2tan cos 2βαβ+=，则下列结论中正确的是（ ）A.24παβ-=B.24παβ+=C.4παβ-=D.4παβ+=4.【2017届安徽百校论坛高三理上学期联考二】已知4cos cos sin 236ππθθθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 26πθ⎛⎫-⎪⎝⎭等于（ ）A ．16 B ． C.D ．3-5.【湖北2017届百所中点校高三联考，2】已知角θ的终边经过点()(),30P x x <且cos x θ=，则x 等于（ ） A ．-1 B ．13-C ．-3D ． 6.【山东省枣庄市2017届高三上学期期末，6】已知()33,,tan 224ππααπ⎛⎫∈-=-⎪⎝⎭，则sin cos αα+的值是（ ）A ．15±B ．15 C. 15- D ． 75-7.【湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检，3】若1sin 33πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．79 B ．23 C ．23- D ．79- 8.【2017届安徽百校论坛高三理上学期联考二】已知4cos cos sin 236ππθθθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 26πθ⎛⎫-⎪⎝⎭等于（ ）A ．16 B ． C.D ．3-9. 【四川自贡普高2017届一诊，5】已知24cos 0352παπα⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，，则sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．B ． D10.【浙江杭州地区重点中学2017届高三上学期期中，5】若11sin cos αα+=sin cos αα=（ ）A ．13-B ．13C ．13-或1 D ．13或1- 11.【2017届福建南平浦城县高三理上学期期中】若A 为△ABC 的内角，且3sin 25A =-，则cos()4A π+等于（ ）A ．BC ．D 12.【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，3】若tan =34α⎛⎫+- ⎪⎝⎭π，则2cos 2sin 2αα+=（ ）A ．95 B ．1 C ．35- D ．75- 13.【2017届四川双流中学高三必得分训练7】若4s i n 3c o s 0αα-=，则21c o s 2s i n 2αα+的值为（ ） A ．2516 B ．1 C. 2548 D ．256414．【2017届黑龙江虎林一中高三理上学期月考三】已知()0s i n ,s i n ,,ααβαβ=-均为锐角，则cos 2β=（ ） A．2-B ．1-C ．0D ．1 15．【2017届广东七校联合体高三理上学期联考二】若0,,0,22x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()tan 23tan x x y =-，则x y +的可能取值是（ ）A ．12π B ．4π C ．3π D ．712π16.【广东珠海市2017届上学期调研测试（1），14】已知3(,2)2πθπ∈，且3c o s ()45πθ-=，则tan()4πθ+= .17.【天津六校2017届高三上学期期中联考，12】若sin cos 3sin cos αααα+=-，tan()2αβ-=，则tan(2)βα-= ．18. 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考，13】已知4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0 4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos sin 4απα2=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ． 19.【江苏徐州丰县民族中学2017届高三上学期第二次月考，11】已知α为锐角，若3sin()65πα+=，则cos(2)6πα-= ．20.【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知()t an 2αβ+=，()tan 3αβ-=，则sin 2cos 2αβ的值为__________．21.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调研，14】若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 22.【湖北2017届百所中点校高三联考，15】已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则42sin cos 335cos sin 66ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________．23.【2017届安徽百校论坛高三理上学期联考二】已知函数()222cos f x x x a =--在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2. （1）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）设11016,0,,,221213235f f πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值.。
专题02 平面向量与复数1．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12()AB →＋AC →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB→＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.答案：B2．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则m n等于( ) A ．－12B.12 C ．－2D ．2解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m－λ＝2，故mn＝－2.答案：C3.如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则OP →·(OB →－OA →)＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32答案：A4．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13 C ．－1D ．0解析：由已知可得，a ·b ＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13，故选B.答案：B5.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB 中，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )·OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为( )A.12 B.22C.34D ．1答案：D 6．设复数z 满足z －i z ＋i＝i(i 为虚数单位)，则z 2 016＝( ) A ．21 008B ．21 008i C ．－21 008D ．－21 008i解析：由z －i z ＋1＝i 得z －i ＝z i ＋i ，z ＝2i 1－i ＝2i 1＋i 1－i 1＋i＝－1＋i ，则z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，从而z2 016＝(z 2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i1 008＝21 008×(i 4)252＝21 008.故选A.答案：A7．如图在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA 、OB ，则复数12z z 的值是（ ）A ．﹣1+2iB ．﹣2﹣2iC ．1+2iD ．1﹣2i 【答案】A8．设复数i i z 510)2(-=+⋅（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（ ） A ．i 43+- B ．i 43-- C ．i 43+ D ．i 43- 【答案】C【解析】因为105105234222i i iz i i i i ---==⋅=-++-，所以34z i =+.9．复数z满足1+)|i z i =（，则=z （ ） A ．1+i B ．1i - C ．1i -- D ．1+i - 【答案】A.【解析】由题意得，211z i i ==-+，∴1z i =+，故选A ．10.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA→＋OB →)·AB →＝()A.4B.6C.1D.2解析 由条件可得B (3，1)，A (2，0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 B11.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析 因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b ＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6.答案 A12.已知两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝3，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ⊥c ，则t ＝________.13. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝________.解析 法一 如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A (3，0)，B (0，3)， 设M (x ，y )，由BM →＝2MA →， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2，1)，所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3.答案 314.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).15.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值.解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ≥0， 所以|a ＋b |＝2cos x .(2)由(1)，可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ， 即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以0≤cos x ≤1. ①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝12.16．设复数z=a+i （i 是虚数单位，a∈R，a ＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m 取值范围．【答案】（Ⅰ）3i +；（Ⅱ）51m -<<. 【解析】（Ⅰ）,z a i z =+=z ∴==，即29a =，解得3a =±，又0a >，3a ∴=，3z i ∴=+；（Ⅱ）3,z i =+则3z i =-，()()()()151311122m i i m im m z i i i i i ++++-∴+=-+=+--+，又复数()1m i z M R i ++∈- 对应的点在第四象限，502102m m +⎧>⎪⎪∴⎨-⎪<⎪⎩得51m m >-⎧⎨<⎩，51m ∴-<<.17．已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =． （1）若35c =//a c ，求c 的坐标；（2）若35b =，且(4)(2)a b a b -⊥+，求a 与b 夹角θ的余弦值．【答案】（1）(3,6),(3,6)c =--；（2）1cos 6θ=【解析】（1）因为//a c ，所以设(,2)c λa λλ==，2(2c λ=+=，3λ=±，所以(3,6)c =或(3,6)--．（2）因为(4)(2)a b a b -⊥+，所以22(4)(2)82a b a b a a b b -⋅+=+⋅-2852(35)0a b =⨯+⋅-=，52a b ⋅=，所以512cos ,653a b a b a b⋅<>===⨯⋅．18．已知椭圆的离心率为，直线l ：y=x+2与以原点O 为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 与直线y=kx （k ＞0）在第一象限的交点为A ． ①设，且OA OB=6⋅，求k 的值；②若A 与D关于x 的轴对称，求△AOD 的面积的最大值．【答案】（1）（2②【解析】解：（1）由题设可知，圆O 的方程为x 2+y 2=b 2，因为直线l ：x ﹣y+2=0与圆O 相切，故有，所以．因为，所以有a 2=3c 2=3（a 2﹣b 2），即a 2=3．所以椭圆C 的方程为．（2）设点A （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），则y 0=kx 0．由解得，①∵2OA OB=⋅=，∴（k=0舍去）．②∵，（当且仅当时取等号），∴S △AOD 的最大值为．19．(1)向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，求|a ＋b |和a ＋b 与c 的夹角； (2)设O 为△ABC 的外心，已知AB ＝3，AC ＝4，非零实数x ，y 满足AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，求cos ∠BAC 的值．(2)设AC 的中点为D ，连接OD (图略)， ∵AO →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋2yAD →， 又x ＋2y ＝1，∴O ，B ，D 三点共线． 由O 为△ABC 外心，知OD ⊥AC ，BD ⊥AC ，在Rt△ADB 中，AB ＝3，AD ＝12AC ＝2，所以cos ∠BAC ＝AD AB ＝23.20．已知向量a ＝(1，3sin ωx )，b ＝(cos 2ωx －1，cos ωx )(ω>0)，设函数f (x )＝a ·b 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的单调区间．20．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2≤4，∴a ＋c ≤2，又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]．。
