SIMPLE算法求解方腔内粘性不可压流动

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目录

一、问题描述 ..................................... 2

二、离散格式 ..................................... 3

交错网格 ..................................... 3

方程离散 ..................................... 4

三、SIMPLE算法基本思想 ........................... 7

边界条件处理 ................................. 8

虚拟网格处理 ................................. 9

方程求解 .................................... 11

输出变量处理 ................................ 12

SIMPLE算法流程图 ........................... 15

四、程序中主要变量的意义 ........................ 15

五、计算结果与讨论 .............................. 17

函数最大值 .................................. 17

变量等值线图 ................................ 18

主要结论 .................................... 23

六、源程序 ...................................... 23

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。 2欢迎下载 一、问题描述

假设1,0yx 的方腔内充满粘性不可压缩流体，左、右、下壁固定，上壁以22116xxu 运动，试求400,200,100Re 时的定常解，方腔如图1所示。

图1 方腔内流动示意图

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。 3欢迎下载 二、离散格式

本算例采用求解不可压缩流动的经典算法，即SIMPLE算法，求解方腔内粘性不可压缩流体运动的定常解。SIMPLE算法的全称为Semi-Implicit Method for Pressure-Linked

Equations，即求解压力关联方程的半隐式算法。

采用SIMPLE算法时，为了避免中心差分格式将“棋盘”型参量分布误认为是均匀分布，需要用交错网格对计算域进行离散。

交错网格

交错网格如图2所示，压力、密度等物理量存储在控制体ji,的中心，这个控制体称为主控制体。速度分量vu,分别存储在主控制体的ji,2/1 和2/1,ji 位置处，标记为ji, 位置，再分别以此为中心，划分速度分量u、v的控制体。采用空间均匀网格，等间距离散整个求解域，如图3所示。

图2 交错网格示意图 精品文档

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图3 求解域离散示意图

图3中阴影部分代表方腔内的流动区域，阴影区域的边界代表方腔的上、下、左、右壁面，阴影区域外面的网格节点是为边界处理需要而设定的虚拟网格节点，后面介绍边界处理方法时详细论述。

方程离散

无量纲化的守恒型不可压缩SN 方程为

0Re102••UPUUtUU

其积分形式为

SSySVSSxSVSvdSndSpnvdSUndVtvudSndSpnudSUndVtudSUn0Re10Re10 精品文档

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图4 主控制体 图5 速度u控制体 图6 速度v控制体

采用有限体积法离散SN 方程，连续性方程在主控制体上离散 011,1,1,11,xvvyuuMjiMjiMjiMji

X方向动量方程在速度u控制体上离散，时间采用前差

01,1,111,1,1,11,,1,yppxGGyFFuutyxMjiMjijijijijiMjiMji

Y方向动量方程在速度v控制体上离散，时间采用前差

01,11,21,2,2,12,,1,xppyGGxFFvvtyxMjiMjijijijijiMjiMji

其中，数值通量

yuuvGxuuFRe1,Re1121

yvuvGxvvFRe1,Re1222

通量11,GF 分别定义在主控制体的中心和角点，如图所示，并按照如下方法离散

1,1,11,1,1,,111,1,11,1,1,,11Re141Re141MjiMjiMjiMjiMjiMjiMjiMjiMjiMjiMjiMjiuuyuuvvGuuxuuuuF

通量22,GF 分别定义在主控制体的中心和角点，如图所示，并按照如下方式离散 精品文档

。 6欢迎下载 1,1,11,1,1,,121,1,11,1,1,,12Re141Re141MjiMjiMjiMjiMjiMjiMjiMjiMjiMjiMjiMjivvxvvuuGvvyvvvvF

通量11,GF和22,GF的某些项冻结于M时间层，使离散化之后的方程对11,MMvu 是线性的。将离散化之后的11,GF和22,GF代入离散后的x方向和y方向的动量方程，整理之后得离散后的动量方程如下

001,11,,1,,1,,1,1,1,1,,1,,xppbvavayppbuauaMjiMjivjiMqpvqpMjivjiMjiMjiujiMqpuqpMjiuji

其中

Mjiujiutyxb,,

yvvxayvvxaxuuyaxuuyaMjiMjiujiMjiMjiujiMjiMjiujiMjiMjiujiRe141,Re141Re141,Re1411,11,1,,1,1,,1-,,1-,,1,1

tyxyvvvvxxuuyaMjiMjiMjiMjiMjiMjiujiRe241Re2411,11,,1,,1,1,

Mjivjivtyxb,,

xuuyaxuuyayvvxayvvxaMjiMjivjiMjiMjivjiMjiMjivjiMjiMjivjiRe141,Re141Re141,Re141,11,1,1,1,,1,1,1,1,,1,

tyxxuuuuyyuvxaMjiMjiMjiMjiMjiMjivjiRe241Re241,11,1,1,1,1,,

以上是SIMPLE算法中离散化的动量方程

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。 7欢迎下载 三、SIMPLE算法基本思想

SIMPLE算法是一种解决压力-速度耦合问题的“半隐式”算法。首先给定M时刻猜测的速度场MMvu,，用于计算离散动量方程中的系数和常数项。给定M+1时刻猜测的压力场估计值*p，迭代求解离散动量方程，得到M+1时刻速度场的估计值**,vu，速度场的估计值**,vu满足如下离散方程。

00*,*1,,*,,*,,*,*,1,*,,*,,xppbvavayppbuauajijivjiqpvqpjivjijijiujiqpuqpjiuji

一般地，速度场**,vu不满足离散的连续性方程，因而需要对速度场**,vu和压力场*p进行修正。M+1时刻的修正值和估计值有如下关系

pppvvvuuuMMM*1*1*1

其中，vu,和p分别速度和压力的修正量，修正量亦满足离散的动量方程

00,1,,,,,,,,1,,,,,xppbvavayppbuauajijivjiqpvqpjivjijijiujiqpuqpjiuji

编号为（i,j）的速度修正量vu,不仅与压力修正量p有关，还与邻近点的速度修正量有关。SIMPLE算法的重要假定：速度的改变只与压力的改变有关，忽略邻近点对速度修正的影响。因而得到如下速度修正量

jijivjijijijiujijippaxvppayu,1,,,,,1,,

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。 8欢迎下载 修正后的速度分量

jijivjijiMjijijiujijiMjippaxvvppayuu,1,,*,1,,,1,*,1,

将修正后的速度分量代入离散后的连续性方程，得到压力修正方程

pjiqppqpjipjibpapa,,,,,

其中

*1,*,*,1*,,1,2,2,12,2,1,21,,21,,12,1,2,1,,,jijijijipjivjivjiujiujipjivjipjivjipjiujipjiujipjivvxuuybaxaxayayaaxaaxaayaaya

采用迭代法求解压力修正方程，得到压力修正量p，代入修正公式得到M+1时刻的速度场11,MMvu和压力场1Mp。将M+1时刻的速度场11,MMvu和压力场1Mp作为新的猜测的速度场和猜测的压力场估计值，采用上述方法计算下一个时刻的速度场和压力场，直到满足收敛条件。

收敛判据

pjibMax,

为很小的正实数，视计算的精度要求而定。本算例中取81e。

若0,pjib，则0,jip，此时*,1,jiMjiUU，从而来自于离散动量的*,jiU满足离散的连续性方程。因此pjibMax, 可以作为收敛判据。

边界条件处理

首先对计算区域离散，并流动边界之外扩充一个虚拟网格，将真实流动的离散域包围，如图7 所示。