2017 2018期末随机过程试题及答案
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《随机过程期末考试卷》
1 •设随机变量X服从参数为■的泊松分布,则X的特征函数为 ___________ 。
2•设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-::vt<::其中「为正常数,A和门是相互独立的随机变量,且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布,则X(t)的数学期望为。
3•强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为_
的同一指数分布。
4•设「W n ,n 一1是与泊松过程:X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列,则W n服从分布。5•袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回,
r
对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球,则这个随机过
e t, 如果t时取得白球
程的状态空间__________ 。
6 •设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j),n步转移矩阵P(n)=8(;)),二者之间的关系为。
7•设汉.,n -0?为马氏链,状态空间I,初始概率P i二P(X。二i),绝对概率
P j(n)二P^X n二j?,n步转移概率p j n),三者之间的关系为_____________ 。
8 .设{X(t),t 一0}是泊松过程,且对于任意t2t^ 0则
P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______
t
9•更新方程K t二H t • .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10•记二-EX n,对一切a 一0,当t—一:时,M t+a -M t > ____________
3.设]X n,n — 0?为马尔科夫链,状态空间为I,则对任意整数n—0,仁I 证明并说明其意义 、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) 1.设A,B,C为三个随机事件,证明条件概率的乘法公式: P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X(t), t_0}是独立增量过程,且X(0)=0,证明{X(t), t_0}是一个马尔科夫过程。 4.设〈N(t),t_O?是强度为,的泊松过程,〈Y k,k=1,2,|爪是一列独立同分布随机变 N(t) 量,且与:N(t),t -0}独立,令X(t)=v Y k,t _ 0,证明:若E(Y;<:),贝U k=1 E X(t)丨-tE: Y^f。 计算题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) 1.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为 1/32/30 P =1/302/3,求其平稳分 布 < 01/32/3, 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。又设今天下雨 而明天也下雨的概率为[,而今天无雨明天有雨的概率为:;规定有雨天气为 状态0,无雨天气为状态1。设〉=0.7,: = 0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的 概 率。 2.设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流,求在2分钟内到达的顾客 不超过3人的概率。 简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系 4.设有四个状态1=^0,,2,3?的马氏链,它的一步转移概率矩阵 0 0〕 0 0 14 14 0 1 (1) 画出状态转移图; (2) 对状态进行分类; (3) 对状态空间I 进行分解。 四、简答题(本题6分) 12 12 14 一. 填空题 -.(it i) 1 1 1.为e"e。 2. _ —(sin(国t+1)-sin cc t) 。 3. _ — 2 4,二5. _ It, 2t,|l(;e,e2HI。6. P⑺二P n。7 . P j(n) »p:p j n) Q 3 J 记 6 t a 8. 18e 9。K(t )=H (t )+[K(t—sdM (s) 10. - 二. 证明题 1. 证明:左边=P(ABC) P(ABC) PIAg) =p(CAB)P(B A)二右边 P(A) P(AB) P(A) 2. 证明:当0 ::: t1 ::: t2::: |l( ::: t n < t 时, P(X(t) —X X(tJ=X1,X(t 2)=X2,l"X(t n)=X n) = P(X(t)-X(t nV-X-X n X(tJ-X(O)=X 1,X(t 2)-X(0)=X 2,|"X(t n)-X(0)=X n)= P(X(t)-X(t n)沁-X n),又因为 P(X(t) ^XX(t n)=X n)= P(X(t)-X(t n)沁-X n X(t n)=X n) = P(X(t)-X(t n^X-X n),故 P(X(t)岂XX(t1)=X1,X(t2)=X2,l"X(t n)=X n)=P(X(t) /X(t n)=X n) 3. 证明: P j(n)二P:X(n)=j X(O)=i .;- P X(n)=j,Qx(l)=k X(0)=i = ' PX(n)=j,X(l)=k X(0)=i / kWI =、Plx(l)=k X(O)=i 召P「X(n)=j X(l)=k,X(0)=i 心' 卩詁时-",其意义为n 步转 移概率可以用较低步数的转移概率来表示。 4. 证明:由条件期望的性质E〔X(t)丨-E「E X(t) N(t) ?,而 N(t) E[X(t) N(t) = n卜E 匡Y i N(t) = n - i=1 n n =E ' Y j N(t)二n =E ' Y j =nE(YJ,所以E〔X(t)丨-■ tEI 丫丿IL i=1 」.i=1 」 三. 计算题(每题10分,共50分) 1.解: =1.」 3 3 2 =-n1 +-H 3 3 2 2 =—兀c + 一兀 3 3 2•解:设「N(t),t - 0是顾客到达数的泊松过 程, P〈N(2) _ N(2)=0 1+P「N(2)=1 ?+P〈N(2)=2 ?+P〈N(2)=3 ; = e-4 4e-4 8e-4里e-4 3 31 i I31 I I 31 ,即 解得1— n 2 4 7厂3 - ,故平稳分布为 2 4 (7,7,7) ⑷k-4 e k! ,则 71 -4 e 3 3 '_: 2 ■;: