浙江省2016年中考数学总复习 全程考点训练 专题八 分类讨概要

1 分类讨论型问题

一、选择题

1．如果x2＋mx＋9是一个完全平方式，那么m的值为(C)

A．±3 B．±9

C．±6 D．6

【解析】 完全平方式是(x±3)2，故m＝±6.

2．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(B)

A．k＜4 B．k≤4

C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3

【解析】 ①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1＝0，

Δ＝b2－4ac＝22－4(k－3)×1＝－4k＋16≥0，k≤4；

②当k－3＝0，即k＝3时，y＝2x＋1，与x轴有交点．

故选B.

3．若正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于点A(m，1)，则k的值是(B)

A．－2或2 B．－22或22

C.22 D.2

【解析】 把A(m，1)代入y＝kx中，得m＝k.

把A(m，1)代入y＝2kx中，得2km＝1，即2k2＝1，

∴k2＝12，∴k＝±22.

4．⊙O的直径为10 cm，弦AB为8 cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有(D)

A．2个 B．3个

C．4个 D．5个

【解析】 OP为3时有一条，为4时有两条，为5时有两条，共5条．

(第5题)

5．如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，那 2 么满足这样条件的点P共有(C)

A．2个 B．4个

C．6个 D．7个

【解析】 当以AB为斜边时，∠APB＝90°，与坐标轴有3个交点；当∠PAB＝90°时，与y轴有一个交点；当∠PBA＝90°时，与x轴，y轴各有1个交点．∴点P共有6个．

6．如图，已知直线l的表达式是y＝43x－4，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，则该圆的运动时间为(D)

A．3 s或6 s B．6 s

C．3 s D．6 s或16 s

(第6题)

(第6题解)

【解析】 如解图．

∵当x＝0时，y＝－4；当y＝0时，x＝3，

∴点A(3，0)，B(0，－4)，∴AB＝5.

当点C在点B上方，直线与圆相切时，连结CD，

则点C到AB的距离等于1.5，

∴CB＝1.5÷sin∠ABC＝1.5×53＝2.5.

∴点C运动的距离为1.5＋(4－2.5)＝3，运动的时间为3÷0.5＝6(s)．

同理，当点C在点B下方，直线与圆相切时，

连结CD，则点C运动的距离为1.5＋(4＋2.5)＝8，运动的时间为8÷0.5＝16(s)．

故选D. 3

(第7题)

7．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，动点P，Q同时从点A出发，以1 cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x(s)，四边形PBDQ的面积为y(cm2)，则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可以用图象表示为(B)

【解析】 当0≤x≤4时，∵正方形的边长为4 cm，

∴y＝S△ABD－S△APQ＝12×4×4－12·x·x＝8－12x2；

当4

∴y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项符合．

(第8题)

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，点E是折线段A－D－C上的一个动点(点E与点A不重合)，点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有(C)

A．2个 B．3个

C．4个 D．5个

【解析】 分为三种情况：①以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心，BA为半径的圆的交点；

②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心，BA为半径的圆与以C为圆心，BC为半径的圆的交点； 4 ③以CP为底，B为顶点时，没有．∵是以B为圆心，BA为半径的圆与以B为圆心，BC为半径的圆，∴没有交点．

综上所述，满足要求的点P有4个，即满足要求的点E有4个．

二、填空题

9．五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一众数是5，则这五个正整数的和是17或18或19．

【解析】 5个数为2，3，4，5，5或1，2，4，5，5或1，3，4，5，5.

10．若关于x的方程kx2＋2(k＋1)x＋k－1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥－13．

【解析】 提示：分k＝0和k≠0两种情况讨论．

11．A，B两地相距450 km，甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120 km/h，乙车速度为80 km/h，过t(h)后两车相距50 km，则t的值是2或2.5．

【解析】 分相遇前和相遇后两种情况讨论．

①当甲，乙两车未相遇时，根据题意，得

120t＋80t＝450－50，解得t＝2；

②当两车相遇后，两车又相距50 km时，

根据题意，得120t＋80t＝450＋50，解得t＝2.5.

12．已知一个等腰三角形的三边长是x2－7x＋10＝0的根，则这个三角形的周长等于6或15或12．

【解析】 方程的根为2和5，∴三边长为2，2，2或5，5，5或5，5，2.

13．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为70°，70°，40°或55°，55°，70°．

【解析】 当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为180°－70°2＝55°.

14．点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE交于点H.若BH＝3AC，则∠ABC所对的弧长等于_13πr或53πr．

【解析】 分两种情况：

(1)如解图①.∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠H＋∠DBH＝90°，∠C＋∠DBH＝90°，

∴∠H＝∠C.

又∵∠BDH＝∠ADC＝90°，

∴△BHD∽△ACD，∴BDAD＝BHAC＝3， 5 ∴BD＝3AD，∴∠ABC＝30°，

∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2＝60°，

∴∠ABC所对的弧长＝60π·r180＝13πr.

(第14题解)

(2)如解图②.同(1)可得BD＝3AD，∴∠ABD＝30°，

∴∠ABC＝150°，

∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°，

∴∠ABC所对的弧长＝300π·r180＝53πr.

(第15题)

15．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC交于点P，Q.若PQ＝AE，则AP等于1或2cm.

【解析】 如解图，过点P作PN⊥BC于点N.

(第15题解)

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝DC＝PN.

在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，AD＝3，

∴DE＝AD·tan 30°＝3.

根据勾股定理，得AE＝32＋（3）2＝23. 6 ∵M为AE的中点，∴AM＝12AE＝3.

在Rt△ADE和Rt△PNQ中，

∵AD＝PN，AE＝PQ，

∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)，

∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∠AED＝∠PQN＝60°.

∵AD∥BC，∴∠APM＝∠PQN＝60°，

∴∠PMA＝90°.

在Rt△AMP中，∵∠MAP＝30°，cos 30°＝AMAP，

∴AP＝AMcos 30°＝332＝2(cm)．

由对称性得到AP′＝DP＝AD－AP＝3－2＝1(cm)．

综上所述，AP等于1 cm或2 cm.

16．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为6或23或43．

【解析】 分四种情况讨论：

(1)如解图①，当∠C＝60°，点P在线段AC上时，∠ABC＝30°.

∵∠ABP＝30°，

∴点P与点C重合，与条件相矛盾．

(第16题解①)

(第16题解②)

(2)如解图②，当∠C＝60°，点P在线段CA的延长线上时，∠ABC＝30°.

∵在Rt△ABC中，BC＝6，∠ABC＝30°，

∴AC＝12BC＝3. 7 在△ABC和△ABP中，

∵∠ABC＝∠ABP＝30°，AB＝AB，∠CAB＝∠PAB＝90°，

∴△ABC≌△ABP，AC＝AP＝3，

∴CP＝AC＋AP＝3＋3＝6.

(3)如解图③，当∠ABC＝60°，点P在线段AC上时，∠C＝30°.

∵在Rt△ABC中，BC＝6，∠C＝30°，

∴AB＝12BC＝3.

∵∠ABP＝30°，

∴AP＝12BP，∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝30°＝∠C，

∴BP＝CP.

在Rt△ABP中，由勾股定理，得BP2＝AB2＋AP2，

∴BP2＝32＋12BP2，解得BP＝23.

∴CP＝BP＝23.

(第16题解③)

(第16题解④)

(4)如解图④，当∠ABC＝60°，点P在线段CA的延长线上时，∠C＝30°.

∵∠ABP＝30°，∠ABC＝60°，

∴△PBC是直角三角形．

∵∠C＝30°，∴BP＝12CP.

在 Rt△PBC中，由勾股定理，得CP2＝BP2＋BC2，

∴CP2＝12CP2＋62，解得CP＝43.

综上所述，CP的长为6或23或43.