一元二次方程根的分布(教案)

一元二次方程根的分布

一．知识要点

二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行研究．

若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由c bx ax y ++=2的系数可判断出2121,,x x x x +∆的符号，从而判断出实根的情况．

若在区间),(n m 内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定．

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

分布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>

一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<

大致图象（0>a ）

得出的结论

()00200

b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()0

0200

b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩

()00

大致图象（0

得出的结论 ()00200

b a f ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪<⎪⎩ ()0

0200

b

a f ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f

分

布情况

两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即

21x k x <<

大致图象（0

>a ）

得出的结论

()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪>⎪⎩ ()0

20

b k a f k ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪>⎪⎩ ()0

大

致图象（

得出的结论

()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪<⎪⎩ ()0

20

b k a f k ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f

综合结论（不讨论a ） ()0

20b k a a f k ∆>⎧⎪⎪

-

<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0

20

b k a a f k ∆>⎧⎪⎪

-

>⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a

k

k

k

分

布情况

两根都在()n m ,内

两根有且仅有一根在()n m ,内

（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()

q p ,内，q p n m <<<

大致图象（0

>a ）

得

出的结论

()()0002f m f n b m n

a ∆>⎧⎪

>⎪⎪

>⎨⎪⎪<-<⎪⎩

()()0<⋅n f m f

()()()()0

000f m f n f p f q ⎧>⎪

<⎪⎨

<⎪

⎪>⎩

或()()()()0

0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（

得出的结论

()()0002f m f n b m n

a ∆>⎧⎪

<⎪⎪

<⎨⎪⎪<-<⎪⎩

()()0<⋅n f m f

()()()()0000

f

m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩

或()()()()0

0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩

综合结论（不讨论a ）

()()0<⋅n f m f

()()()()⎪⎩⎪

⎨

⎧<<0

0q f p f n f m f

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧

12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是

（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0

f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：

1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了

方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2

220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所

以()()()2

2212mx m x x mx -++=--，另一根为

2m ，由213m <<得2

23

m <<即为所求；

2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数

的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程2

4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范

围。分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15

314

m -<<-；②由0∆=即()2

164260m m -+=得出1m =-或3

2

m =

，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故3

2

m =不满足题意；综上分析，得