第22卷第1期武汉冶金科技大学学报(自然科学版)Vol.22,No.1
1999年3月J.ofWuhanYejinUni.ofSci.&Tech.(NaturalScienceEdition)Mar.,1999
收稿日期:1998-11-17 作者简介:盛建龙(1964-),武汉冶金科技大学资源工程系,副教授. 文章编号:1007-5445(1999)01-0006-03
分形理论及岩石破碎的分形特征
盛建龙1 刘新波1 朱瑞赓2
(1.武汉冶金科技大学资源工程系,武汉,430081;2.武汉工业大学建筑学院,武汉,430070)
摘要:介绍了分形的基本概念,分析了4种分维数的确定方法,进而探讨了岩石破碎过程中的分形特征。
关键词:分形;分维;岩石破碎
中图分类号:O18;P616.3 文献标识码:A
分形几何(fractalgeometry)创立于本世纪70
年代,是由法国数学家曼德尔布罗特(B.B.Man2
delbrot)提出的。分形(fractal)一词是B.B.Mandel2
brot从拉丁文fractus(断裂)创造的新词[1],意思是
破碎、细片、分数、分级,等等。分形几何学主要研
究一些具有自相似性(self2similar)的不规则曲线
和形状,具有自反演性(self2reverse)的不规则图形
以及具有自平方性(self2squaring)的分形变换和自
仿射(self2affine)分形集,等等。而自相似性的不
规则曲线和形状是分形几何研究的主体内容[2]。
因此,分形几何学的出现,为更准确地研究自然现
象的内在机理提供了一种新方法。
近年来,分形几何被广泛地应用于物理学、生
物学、地理学、冶金学、材料学、计算机图形学等领
域。从几何学的角度来研究不可积系统即耗散结
构图形或浑沌吸引子图形的自相似性,并把复杂
多变的自然现象看作是无限嵌套层次的精细结
构[3],使分形理论与耗散结构理论、协同论、混沌
理论、渗透理论等这些与非线形复杂现象有关的
理论成为新的思想和理论模型。
1 分形与分维
分维(fractaldimension)是分形几何学定量描
述分形集合特征和几何复杂程度的参数。经典的
欧几里德几何的研究对象是极规则的几何图形,
是拓扑学意义下的整数维(记为DT)。它反映的
是确定一个点在空间的位置所需独立坐标的数目
或独立方向的数目。在经典几何学中,一个点是零维的,一条(光滑)曲线是一维的,一个曲面是二
维的。豪斯道夫(Hausdorff)于1919年引入维数概
念,以Hausdoff度为基础,提出了维数可以是分
数,即分数维。下面简要介绍4种常见的分维定
义。
1.1 相似性维
首先以VonKoch曲线为例,通过曲线的构造
过程来分析相似维数。如图1所示,起始于n=0
的单位长度线段称为VonKoch曲线的零阶生成;
将直线段中间的1/3用边长为1/3直线段长的等
边三角形的另外两段取代,得到n=1的VonKoch
曲线生成元,称为第一阶生成;把第一阶生成的4
个直线段类似于第一阶生成进行变形,就得到
VonKoch曲线的第二阶生成;类似地无穷变形下
去,最后得到的曲线(n→∞)就是VonKoch曲线。
图1 VonKoch曲线的构造过程
由VonKoch曲线可以看出,每一折线与整个折线具有严格的自相似性,因此VonKoch曲线
是分形曲线。其维数计算方法如下:设一分形曲
线的生成元是一条由N条等长的直线段接成的
折线段,若生成元两端的距离与这些直线段的长
度之比为1/r(r为相似比),则该分形曲线的维数
为
D=lgNlg(1/r)(1)
VonKoch曲线是由4个与总体相似的“1/4”
部分组成,其比例系数为1/3,因此,其分形维数
为n=lg4/lg(3)=1.2618。
1.2 容量维
设F是平面上的一个有界点集,找一个矩形
包含F点集,并将这个矩形分割成若干个边长为
ε的小方格,数出包含有F中点的小方格数目N
(ε),则F点集的容量维定义为
Dc(F)=limε→0lnN(ε)ln(1/ε)(2)
1.3 信息维
容量维考虑的是包含有F中点的方格数目,
没有反映F点集在平面上分布疏密的信息。为
了反映点集在分布上的信息,可定义如下信息维:
Df(F)=limε→0I(ε)ln(1/ε)(3)
其中:
I(ε)=6N(ε)
i=1piln1pi(4)
式中:pi———F中的点落在第i方格中的概率。
当pi=1/N(ε)时,即所有的方格以相同的概率包
含F中的点,I(ε)=lnN(ε),因此,Dc=Df。可
见,信息维是容量维的推广。
1.4 关联维
关联维数可以从实验中测定,用来解决复杂
的分形问题。设已测得的数据为x1,x2,…,xn,
…,其中xi是第i时刻的实测值(称为时间序
列)。如果将向量(x1,x2,…,xm)记为y1,(x2,
x3,…,xm+1)记为y2,便得出数据向量(y1,y2,
…,yk,…)。考虑到yi与yj的间距rij=|yi-yj|,
对于给定的正数ε,如果rij<ε,则认为yi与yj有
很强的关联性。记录满足rij<ε的数目,它与总
数目之比就是关联函数C(ε)。由此,可定义关
联维:
Dr(F)=limε→0lnC(ε)ε(5)
能否求出Dr(F),关键在于ε的取值范围。
若ε取得很大,则C(ε)=1;ε很小,则使rij<ε
的数目为零,相对总数而言,可忽略不计,从而C(ε)=0。通过作出lnC(ε)和lnε的关系曲线,取
其直线部分的斜率,即为所求的关联维数。
2 岩石破碎过程中的分形特征
岩石在爆破或机械作用下,虽破碎成块度不
同、形状各异的石块,但从宏观来看,至少存在一
个近似三角形的面。如果从几何角度的三角形的
变化来模拟岩石的破碎过程,可以看到,岩石在受
爆破、冲击等外力作用后,由一个大三角形石块破
碎成几个近似为小三角形的石块,部分石块再进
一步破碎成更小的三角形石块,反复在外力作用
下,依此类推,将得到更小、更多的破碎块。在这
个变化过程中形成的不同大小石块的整体图形与
局部图形具有自相似性,局部是整体的缩影,即具
有分形特征。
通过Sierpinski地毯的构造过程来模拟的情
况,如图2所示。以一个正三角形为源多边形,在
其中挖去一个内含的最大的正三角形,再在剩余
的三角形中挖去各自内含的最大的三角形,依此
类推,得到无数个三角形碎块。由图2(c)可知,
源三角形中含有9(即N)个小三角形,小三角形
边长为原来的1/4(即1/r)。
图2 分形模拟岩石破碎过程
根据上述相似维的定义,图2的分形维数为
D=ln9ln(1/4)=1.5849(6)
根据谢和平的实验分析结果[2],在某一平面
上岩石破碎过程的分形维数可能为
D∈[1.5849,1.8928](7)
其体积分形维数为
D∈[2.0,2.7268](8)
实际上,岩石由整体破碎为碎块过程中,表现
出具有自相似性特征的分形分布。设岩石碎块的71999年第1期 盛建龙等:分形理论及岩石破碎的分形特征线形直径(等效直径)为R,岩块的体积为V,则
R=3V(9)
式中:V=ldh,其中:l,d,h分别为岩石碎块的
长、宽、高。
如果岩石破碎后,产生等效直径大于R的碎
块数为N(R),以R2N(R)的双对数坐标系绘制
lnR和lnN(R)的关系图如图3所示。通过线性
回归可求得直线的斜率,其绝对值就是碎块分布的分形维数。
图3 lnN(R)与lnR的关系曲线
目前,表示岩石破碎块度的分形度量方法主
要有两种:
(1)按尺2频关系度量:
N=N0(R/Rmax)-D(10)
式中:N———特征尺寸(即等效直径)大于或等于
R的碎块数;N0———具有最大特征尺度的碎块
数;D———块度分布分形维数。
(2)按质2频关系度量:
N=N0(M/Mmax)-b(11)
式中:N———质量大于或等于M的碎块数;
N0———具有最大质量的碎块数;b———质2频分布
分形维数。
由于质量M∝R3,故比较式(10)和式(11)可
得到:
D=3b(12)3 结语
分形几何是一门新型学科,以自然界和社会
活动中广泛存在的无序而具有自相似性的系统作
为研究对象。它为人们从局部认知整体、从有限
认知无限提供了新的方法论。特别是现代实验技
术和计算机技术的高速发展,使分形维数的确定
更加易于实现,从而推动了分形几何在各个领域
中的广泛应用。
由于岩体是各项异性、非均质的地质体,故岩
石的破碎过程极其复杂,必须引入前沿学科的新
理论、新技术。本文只是简要分析了分形理论和
分维的确定方法,今后还应结合实际工程深入研
究。
参 考 文 献
1 肯尼思・法尔科内.分形几何———数学基础及其应用
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1991.
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3 齐东旭.分形及其计算机生成[M].北京:科学出版社,
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33(3):245～254.
8 TurcotteDL.FractalsandFragmentation[J].J.Geophys
Ros.,1986,91(132):1921～1926.
FractalTheoryandFractalCharacteristicsofRockFragmentation
SHENGJian2long1 LIUXin2bo1 ZHURui2geng2
(1.Dept.ofRes.Eng.,WuhanYejinUni.ofSci.&Tech.,Wuhan430081,China;
2.Col.ofConstr.Eng.,WuhanUni.ofTech.,Wuhan430070,China)
Abstract:Thebasicconceptionoffractalisintroduced,andthemethodsfordeterminingfourkindsofvaluesoffrac2
taldimensionsareanalyzed.Furthermore,thefractalcharacteristicsofrockfracturingarediscussed.
Keywords:fractal;fractaldimension;rockfragmentation8 武汉冶金科技大学学报(自然科学版) 1999年第1期
