2018届高三数学一轮复习： 第8章 第7节 课时分层训练51

1 课时分层训练(五十一) 抛物线

A组 基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．(2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )

A．(0,2) B.(0,1)

C．(2,0) D.(1,0)

D [由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]

2．(2017·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y＝112x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )

A．(0,2) B.(0，－3)

C．(0,3) D.(0,6)

C [直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．]

3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是( )

A.12 B.32

C．1 D.3

B [由双曲线x2－y23＝1知其渐近线方程为y＝±3x，即3x±y＝0，

又y2＝4x的焦点F(1,0)，

∴焦点F到直线的距离d＝332＋－12＝32.]

4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )

A．y2＝4x或y2＝8x

B．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x 2 D．y2＝2x或y2＝16x

C [由已知得抛物线的焦点Fp2，0，设点A(0,2)，点M(x0，y0)．

则AF→＝p2，－2，AM→＝y202p，y0－2.

由已知得，AF→·AM→＝0，即y20－8y0＋16＝0，

因而y0＝4，M8p，4.

由|MF|＝5，得8p－p22＋16＝5，

又p>0，解得p＝2或p＝8.

故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]

5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为(

)

【导学号：01772325】

A．2 B.22

C．23 D.4

C

[如图，设点P的坐标为(x0，y0)，

由|PF|＝x0＋2＝42，得x0＝32，

代入抛物线方程得，y20＝42×32＝24，

所以|y0|＝26，

所以S△POF＝12|OF||y0|＝12×2×26＝23.]

二、填空题

6．(2017·山西四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为__________.

【导学号：01772326】

8 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的 3 方程是y＝x－1.

联立 y2＝4x，y＝x－1，消去y得x2－6x＋1＝0.

所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]

7．如图8-7-1，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则ba＝__________.

图8-7-1

2＋1 [由题意可得Ca2，－a，Fa2＋b，b，

则 a2＝pa，b2＝2pa2＋b，ba＝2＋1(舍去1－2)．]

8．(2017·江西九校联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.

23 [y2＝2px的准线为x＝－p2.

由于△ABF为等边三角形．

因此不妨设A－p2，p3，B－p2，－p3.

又点A，B在双曲线y2－x2＝1，

从而p23－p24＝1，所以p＝23.]

三、解答题

9．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，OA→·OB→＝12.

(1)求抛物线的方程； 4 (2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．

[解] (1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，

得y2－2pmy＋4p＝0.2分

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，

则x1x2＝y21y224p2＝4，

因为OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，

则抛物线的方程为y2＝4x.5分

(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.7分

设AB的中点为M，

则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①

又|AB|＝1＋m2|y1－y2|＝1＋m216m2－32.②

由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，10分

解得m2＝3，m＝±3，

所以直线l的方程为x＋3y＋2＝0或x－3y＋2＝0.12分

10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

【导学号：01772327】

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．

[解] (1)由题意得直线AB的方程为y＝22x－p2，

与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，

所以x1＋x2＝5p4.3分

由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＝9，

所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.5分

(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－22，y2＝42，

从而A(1，－22)，B(4,42).8分 5 设C(x3，y3)，则OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22).10分

又y23＝8x3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，

整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12分

B组 能力提升

(建议用时：15分钟)

1．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )

A.303 B.6

C．12 D.73

C [∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，

∴F34，0，

∴AB的方程为y－0＝tan 30°x－34，即y＝33x－34.

联立 y2＝3x，y＝33x－34，得13x2－72x＋316＝0，

∴x1＋x2＝－－7213＝212，即xA＋xB＝212.

由于|AB|＝xA＋xB＋p，

∴|AB|＝212＋32＝12.]

2．(2017·衡水中学月考)已知直线l：y＝kx＋t与圆：x2＋(y＋1)2＝1相切，且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是________________．

t>0或t<－3 [因为直线l与圆相切，所以|t＋1|1＋k2＝1⇒k2＝t2＋2t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，

于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0， 6 解得t>0或t<－3.]

3．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．

(1)若AF→＝2 FB→，求直线AB的斜率；

(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

【导学号：01772328】

[解] (1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.

将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得

y2－4my－4＝0. 2分

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

因为AF→＝2 FB→，所以y1＝－2y2.

联立上述三式，消去y1，y2得m＝±24.

所以直线AB的斜率是±22. 5分

(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，

从而点O与点C到直线AB的距离相等，

所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.8分

因为2S△AOB＝2×12·|OF|·|y1－y2|

＝y1＋y22－4y1y2＝41＋m2，

所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 12分