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数值分析——多项式插值的振荡现象

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研究生数值分析(14)拉格朗日(Lagrange)插值多项式 共22页PPT资料

研究生数值分析(14)拉格朗日(Lagrange)插值多项式 共22页PPT资料
有 s in 5 0 0 L 2 (5 0 ) 1 6 2 3 (1 8 0 )3 2 0 5 1 0 0 .0 0 0 7 6 7
事实上，
s5 i0 n 0 L 1 (5 ) 0 0 .01 ; s 05 i0 1 n 0 L ~ 1 ( 0 5 ) 0 0 .005
因此做线性内插时取 x00.2,x10.3 相应地 y01 .2 2 1 4 ,y11 .3 4 9 9
由线性插值公式，得
L 1 (x ) 0 x .2 0 0 .3 .3 1 .2 2 1 4 0 x .3 0 0 .2 .2 1 .3 4 9 9
所得近似值为
e 0 . 2 8 5 L 1 ( 0 . 2 8 5 ) 0 0 . 2 . 2 8 5 0 0 . 3 . 3 1 . 2 2 1 4 0 0 . 2 . 3 8 5 0 . 0 2 . 2 1 . 3 4 9 9 1 . 3 3 0 6
由线性插值余项公式
所以
s in 5 0 0 L 1 ( 5 0 ) 1 2 2 3 ( 1 8 0 )2 2 0 5 0 .0 1 3 1 9 0
同理，由
s5 i 0 n L ~ 0 1 ( 5 ) 1 2 0 ( s) i1 n ( ) 2 ( 8 5 4 0 0 ) 5 5 ( 6 0 )3 0 0 0 6 0
插值多项式⑤称为拉格朗日插值多项式，记作 L n ( x )
当n=2时,由⑤式可得三点插值公式
L 2 ( x ) y 0 ( ( x x 0 x x 1 1 ) ) ( ( x x 0 x x 2 2 ) ) y 1 ( ( x x 1 x x 0 0 ) ) ( ( x x 1 x x 2 2 ) ) y 2 ( ( x x 2 x x 0 0 ) ) ( ( x x 2 x x 1 ) 1 ) 这是一个二次函数。用二次函数 L 2 ( x ) 近似

数值分析2-3(牛顿插值法)差商和与牛顿插值

数值分析2-3(牛顿插值法)差商和与牛顿插值

确定插值多项式的次数
根据已知数据点的数量确定插值多项式的最高次 数。
计算插值多项式
利用差商表，通过拉格朗日插值公式计算插值多 项式。
3
进行插值
将需要插值的x值代入插值多项式中，得到对应 的y值。
05
牛顿插值法的优缺点分析
优点
计算简单
局部性质好
相比于其他多项式插值方法，牛顿插 值法的计算过程相对简单，不需要求 解高阶方程，降低了计算的复杂度。
数值分析2-3：牛顿 插值法、差商和
目录
• 引言 • 牛顿插值法的基本概念 • 差商的计算方法 • 牛顿插值法的实现步骤 • 牛顿插值法的优缺点分析 • 实际应用案例 • 总结与展望
01
引言
主题简介
数值分析是数学的一个重要分支，主 要研究如何用数值方法解决各种数学 问题。
本章节将介绍牛顿插值法、差商和的 概念及其应用。
03
差商的计算方法
差商的递推公式
差商的递推公式
$f[x_0, x_1, ldots, x_n] = frac{f[x_1, ldots, x_n] - f[x_0, x_1, ldots, x_{n-1}]}{x_n - x_0}$
应用
通过递推公式，我们可以计算任意点之间的差商，从而得到插值多项式的导数。
在数据点附近，牛顿插值具有较好的 局部性质，能够提供较为准确的插值 结果。
适用性强
牛顿插值法适用于各种数据分布情况， 无论是线性还是非线性数据，都能得 到较好的插值结果。
缺点
全局误差较大
由于牛顿插值多项式的构造方式， 其全局误差通常较大，尤其是在 数据点较少的情况下。
对数据点敏感
如果数据点发生微小的变动，牛 顿插值多项式可能会发生较大的 变化，导致插值结果不稳定。

多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点

多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点

多项式的插值多项式与Lagrange插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的重要概念，用于逼近给定数据点集合的函数。

通过插值，我们可以通过已知的数据点，构造出一个多项式函数，从而对未知数据点进行预测和估计。

Lagrange插值是一种常用的插值方法，具有简单易懂的形式和计算方法。

1. 插值多项式的定义插值多项式是指通过已知数据点集合，构造一个多项式函数，该函数在已知数据点上与原函数完全相等。

插值多项式在数值计算、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。

2. Lagrange插值的原理Lagrange插值是一种基于多项式插值的方法，它通过构造一个满足一定条件的插值多项式来逼近原函数。

Lagrange插值的思想是，通过构造一系列的基函数，使得插值多项式在每个数据点上的取值等于对应数据点的函数值，并且在其他数据点上的取值为0。

3. Lagrange插值的公式Lagrange插值的公式非常简洁明了。

设已知的数据点集合为{(x0, y0), (x1, y1), ...,(xn, yn)}，其中xi和yi分别代表数据点的横坐标和纵坐标。

插值多项式的公式可以表示为：P(x) = ∑(i=0 t o n) [yi * Li(x)]其中，Li(x)为Lagrange基函数，其公式为：Li(x) = ∏(j=0 to n, j!=i) [(x - xj) / (xi - xj)]4. Lagrange插值的优点Lagrange插值具有以下几个优点：(1) 简单易懂：Lagrange插值的公式非常简洁明了，易于理解和计算。

(2) 泛用性强：Lagrange插值适用于任意数量的数据点，能够满足不同场景的需求。

(3) 高精度：在数据点较为密集的情况下，Lagrange插值能够提供较高的插值精度。

5. Lagrange插值的局限性尽管Lagrange插值具有许多优点，但也存在一些局限性：(1) 数据点过于离散：当数据点过于离散时，Lagrange插值可能会导致插值多项式的震荡现象，从而影响插值结果的准确性。

数值分析4-埃尔米特插值

数值分析4-埃尔米特插值

yi +
x − xi xi+1 − xi
yi+1
x ∈ [ xi , xi+1 ]
记
h
=
max
|
xi+1
−
xi
| ，易证：当
h→0 时，P1h (
x)
一致
→f
(x)
y
y= f(x)
y=p(x)
失去了原函数的光滑性。
o
x
分段线性插值的余项
f (x) −
s1 ( x )
≤
max
xi ≤ x ≤ xi+1
-10
解 以泰勒公式，满足条件
q(0) = 2, q ' (0) = −2, q"' (0) = −10 的插值多项式
q(x) = −5x 2 − 2x + 2
令
p(x) = −5x2 − 2x + 2 + x3(ax2 + bx + c)
p′(x) = −10x − 2 + 3x2 (ax2 + bx + c) + x3(2ax + b)
f ′′
x
分段Hermite插值
给定 x0 , ... , x n ; y0 , ... , yn ; y0′ , ... , y′n 导数一般不易得到。
余项
( ) max f 4
( ) f
(x) − s1(x)
≤
xi ≤x≤xi+1
4!
x
⎜⎜⎝⎛ xj
− xi 2
⎟⎟⎠⎞4
≤
hi4 max 384xi ≤x≤xi+1

数值计算中多项式插值方法比较分析

数值计算中多项式插值方法比较分析
目 录
1 引言..................................................................................................................................... 1 1.1 什么是插值............................................................................................................. 2 1.2 插值的起源及意义................................................................................................. 2 2 插值方法的原理及定义.................................................................................................... 3 2.1 插值问题的提法..................................................................................................... 4 2.2 插值多项式的存在唯一性..................................................................................... 4 2.3 插值多项式的截断误差......................................................................................... 6 2.4 几种插值方法原理................................................................................................. 7 2.4.1 线性插值...................................................................................................... 7 2.4.2 抛物线插值.................................................................................................. 8 2.4.3 拉格朗日插值.............................................................................................. 9 2.4.4 埃特金插值................................................................................................ 10 2.4.5 牛顿插值.................................................................................................... 11 2.4.6 差分与等距节点插值................................................................................ 12 2.4.7 其它插值方法............................................................................................ 13 2.4.8 插值多项式的收敛性与稳定性................................................................ 15 2.4.9 插值与反插值............................................................................................ 16 2.5 几种插值方法应用对比....................................................................................... 17 3 结语.................................................................................................................................. 22 参考文献.............................................................................................................................. 24 致 谢.................................................................................................................................. 25

研究生数值分析(15)---插商与牛顿(Newton)插值多项式

研究生数值分析(15)---插商与牛顿(Newton)插值多项式

xk xi
为f(x)在 xi , x j , xk 处的二阶差商，记为 f [xi , x j , xk ]
即
f [xi , xj , xk ]
f [xj , xk ] f [xi , xj ] xk xi
一般地，称 m-1 阶差商的差商
f [x0 , x1,
, xm ] f [x1, x2 ,
f (k) (x) 之间有如下重要关系：
f (k ) ( )
f [x0 , x1, , xk ] k !
(min{x0, x1, , xk}, max{x0, x1, , xk})
有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商 来表示牛顿差值多项式中的系数。
Nn(x) a0 a1(x x0) a2(x x0)(x x1) an(x x0) (x xn1)
试用牛顿线性插值与抛物线插值求 115 的近似值，并估计截断误差。
解：先构造差商表，取 x0 100, x1 121, x2 144, x3 169
x x 一阶差商 二阶差7619
121 11
-0.00009411
0.043478
0.0000003138
144 12
-0.00007246
f (n1) ( ) (n 1)!
n1
(
x)
f [x0, x1,
, xn1]n1(x)
可知近似值 N1(115) 与 N2 (115) 的截断误差分别为
R1(115) 0.01125
R2(115) 0.0017
在实际计算中，特别是在函数f(x)的高阶导数 比较复杂或 f(x) 的表达式没有给出时，由性质3， 我们可以用差商表示的余项公式
例3中，若用此方法估计截断误差，则有

数值分析中常用的插值方法

数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。

插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。

在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。

接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。

一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。

具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。

然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。

最终得到的多项式函数就是插值函数。

优点：简单易懂，使用较为广泛。

缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。

二、牛顿插值法牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。

具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。

牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。

三、分段插值法分段插值法是一种将插值区间划分为多个子区间的插值方法，在每个子区间内使用插值方法进行插值，然后将所有子区间内的插值函数拼接起来，得到最终的插值函数。

分段插值法主要分为两种：线性分段插值和三次样条插值。

1.线性分段插值线性分段插值的思路很简单，即在每个数据点处构造两条直线，在数据点之间的区间内使用一条直线作为插值函数。

计算方法实验报告

实验一：误差传播与算法稳定性实验目的：体会稳定性在选择算法中的地位。

实验内容：考虑一个简单的由积分定义的序列10I ,0,1,10nn x dx n a x==+⎰其中a 为参数，分别对0.05a =及15a =按下列两种方法计算。

方案1：用递推公式11,1,2,,10n n I aI n n-=-+= 递推初值可由积分直接得01lna I a+= 方案2：用递推公式111(),,1,,1n n I I n N N a n-=-+=-根据估计式当1n a n ≥+时，11(1)(1)(1)n I a n a n <<+++或当01n a n ≤<+时，11(1)(1)n I a n n<≤++ 取递推初值 当1n a n ≥+时， 11121()2(1)(1)(1)2(1)(1)N N a I I a N a N a a N +≈+=+++++ 当01n a n ≤<+时，111()2(1)(1)N N I I a N N≈+++ 实验要求：列出结果，并对其稳定性进行分析比较，说明原因。

实验二：非线性方程数值解法实验目的：探讨不同方法的计算效果和各自特点 实验内容：应用算法（1）牛顿法；（2）割线法 实验要求：（1）用上述各种方法，分别计算下面的两个例子。

在达到精度相同的前提下，比较其迭代次数。

（I ）31080x x +-=，取00x =；(II) 2281(0.1)sin 1.060x x x -+++=，取00x =；（2） 取其它的初值0x ，结果如何？反复选取不同的初值，比较其结果； （3） 总结归纳你的实验结果，试说明各种方法的特点。

实验三：选主元高斯消去法----主元的选取与算法的稳定性问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。

但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。

多项式插值法和数值微分

余项Rn (x)的大小与Mn+1及|n+1 (x)|有关，
要求考虑 1） x与插值节点的选择， 2）f ( n1) ( ) 的稳定性，n与精度的关系 结论： 减少 ( x xi ) 增加节点，可能引起振荡 增加节点，增加计算次数，增加舍入误差
Runge现象
余项估计
[例]给定 f ( x) x 的函数值如下：
差商的概念和性质
f (x) 在 xi，xj,，xk处的二阶差商
f [ xi , x j , xk ]
f [ xi , x j ] f [ x j , xk ] xi xk
(i j k )
f (x) 在x0, x1, x2,…, xk上的k阶差商
f [ x0 , x1 , , xk 1 ] f [ x1 , x2 , xk ] f [ x0 , x1 , xn ] x0 xk
多项式插值法和数值微分
第一节 插值问题介绍
插值问题的提出：给定一个表格函数，寻找与
给定表格函数相适应的近似解析表达式，求未 列点处的函数值。
x x0 x1 … xn
y=f(x)
y0
y1
…
yn
插值形式：内插和外推
插值问题
当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一 系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函 数 g(x) f(x)，满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。最常 用的插值函数是多项式 …?
插值多项式
y f (x)
Pn(x)
0
a

数值分析中关于多项式插值的教学思考

数值分析中关于多项式插值的教学思考【摘要】数统计和格式要求。

摘要内容要包括数值分析中多项式插值的重要性以及探讨了牛顿插值法和拉格朗日插值法的原理与应用，同时讨论了教学方法的可行性。

最后对教学策略进行总结并展望未来的发展方向，强调了多项式插值在数值分析中的重要作用。

整个文章结构清晰，内容丰富，对于数值分析中多项式插值的教学思考提供了重要的参考和指导。

【关键词】数值分析，多项式插值，插值方法，牛顿插值法，拉格朗日插值法，教学思考，教学方法，教学策略，未来展望。

1. 引言1.1 简介数统计，或者其他要求。

感谢配合！数值分析中的多项式插值是一种重要的数学方法，用于在给定若干个点的情况下估计出一个通过这些点的多项式函数。

多项式插值在科学计算、工程领域和其他领域有着广泛的应用。

通过多项式插值，我们可以对数据进行拟合、数据预测等操作。

在这篇文章中，我们将介绍多项式插值的基本概念，以及牛顿插值法和拉格朗日插值法的原理与应用。

我们还将探讨数值分析中关于多项式插值的教学方法，希望能够为相关教学工作提供一些参考和建议。

数值分析这门课程是计算机科学、应用数学等专业的必修课程，多项式插值作为数值分析的一个重要内容，具有一定的难度和复杂性，因此在教学中需要采取合适的方法和策略来帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

通过本文的介绍和讨论，希望能够为多项式插值的教学工作提供一些帮助和启示。

1.2 研究背景数、格式等要求。

以下是关于研究背景的内容：数值分析是现代科学技术中一个重要的学科领域，而多项式插值则是数值分析中的一个重要内容。

多项式插值在数据拟合、函数逼近、信号处理等领域都有着广泛的应用。

研究背景部分主要介绍了多项式插值的发展历程和应用背景，为进一步深入理解多项式插值的原理和方法奠定了基础。

多项式插值起源于19世纪，早期的插值方法主要是基于拉格朗日插值公式进行计算。

随着数值计算方法的不断发展，更加高效、稳定的插值方法也相继提出，比如牛顿插值法。

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数值分析实验报告 多项式插值的振荡现象

姓 名： 班 级： 学 号： 数值分析实验报告 实验名称 多项式插值的振荡现象 实验时间 2013年10月 23日 姓名 班级 学号 成绩

一、 实验目的 1．理解多项式插值，懂得它的振荡现象。 2. 研究样条插值，并分析它的收敛性。 3. 学会在实际生活中使用二维插值。 二、 实验内容 1. 设区间[-1,1]上函数

22511)(xxf

考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为 ninixi,,2,1,0,21 则拉格朗日插值多项式为 niijnxlxxL02)(2511)(

其中的nixli,,2,1,0),(是n次拉格朗日插值基函数。 2. 请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。考虑实验1中的函数或选择其他你有兴趣的函数，可以用MATLAB的函数“spline”作此函数的三次样条插值。 3. 在一丘陵地带测量高程，x和y方向每隔100米测一个点，得高程数据如下。试用MATLAB的二维插值函数“interp2”进行插值，并由此找出最高点和该点的高程。

三、算法描述 （1）编写好拉格朗日插值函数，保存在M文件中； （2）考虑到：1、一幅图中太多的曲线会相互覆盖；2、n取奇偶数可能结果不同；3、不同的节点选取方法可能导致不同的结果。故而n的选择分为n=2:2:8、n=3:2:9或者n=2:4:10、n=3:4:11与n=40三种情况； （3）节点的选取分为均匀节点、切比雪夫节点两种 四、程序流程图 由于实验方案明显、简单，实现步骤及流程图省略。 五、实验结果

具体结果在实验分析里：整理的结果如下 1>实验一的结果：

1. 22511)(xxf

当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，但是两端误差较大。 当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。

2. 41)(xxxh 当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，也是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，同时两端的误差较大。 当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。 3. xxgarctan)( 当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，也是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，同时两端的误差较大。 当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。 2>实验二的结果 通过作图可以发现：插值点数目增加时，三次样条插值光滑度依然很好，而且精度比以前更高，收敛性很好；但是发现lagrange 插值却出现偏离，即存在误差，而且随着节点的增加，偏离越明显。由此，可以发现，三次样条插值的收敛性比lagrange 插值好。 3>思考题结果 通过分析计算可知，最高点为：166 178 该点的高程为：721.098 六、实验结果分析 1>实验一结果分析

首先尝试了一些n值，发现振荡明显，而且还有覆盖现象，由下图可见：

-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.500.511.52y=1/(1+25*x2)n=2n=3n=4n=10 故针对上述现象，我们可以采用分开讨论测试的方法； （1）22511)(xxf

1.节点为均匀节点时：ninixi,,2,1,0,21 a)当节点为奇数时，即n=2：2：8，可以得到如下图像

-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2

y=1/(1+25*x2)n=1n=3

n=5

n=7

从图中可以看到：节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多，

附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大； b)当节点为偶数时，即n=3：2：9，可以得到如下图像

-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81y=1/(1+25*x2)n=2n=4n=6

n=8 从图中可以看到：节点数为偶数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多；

附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；和奇数结果大致相同。 c)当n=40时： -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-20000200040006000800010000120001400016000

n=39 由图可知：插值函数也是左右对称，而且0附近几乎和被插值函数重合，但是两端误差很大，所以结论可以算是准确的。

2.当节点为切比雪夫节点时：1,,2,1,)1(2)12(cos22nknkababx

k

即错误！未找到引用源。，节点是对称的 a) 当节点为奇数个时，即n=2:2:8时，可以得到：

-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.4-0.200.20.40.60.81

y=1/(1+25*x2)

n=1n=3

n=5n=7

从图中可以看出：节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多，所有区域拟合都越好； b) 当节点为偶数个时，即n=3:2:9时，可以得到： -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91y=1/(1+25*x2)n=1n=3

n=5

n=7

此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的；观察结论与节点数为奇数时几乎一样：节点数越多，所有区域拟合都越好； c) 当n=40时，得到：

-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.20.40.60.811.21.4

n=7 从图中我们看到，插值函数左右对称，插值函数几乎和被插值函数重合。故而，上面的观察结论是正确的。

（2）41)(xxxh

1.节点为均匀节点时：ninixi,,2,1,0,105 a)当节点为奇数时，即n=2：4：10，可以得到如下图像 -5-4-3-2-1012345-3-2-10123y=x/(1+x4)n=1n=5n=9

从图中可以看到：节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多，

0附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大； b)当节点为偶数时，即n=3：4：11，可以得到如下图像

-5-4-3-2-1012345-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81y=x/(1+x4)n=2n=6

n=10

从图中可以看到：节点数为偶数个并且对称时，插值函数也是对称的；节点数越多；

附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；和奇数结果大致相同。 c)当n=40时： -5-4-3-2-1012345-4-3-2-101234x 105n=40

由图可知：插值函数也是左右对称，而且0附近几乎和被插值函数重合，但是两端误差很大，所以结论可以算是准确的。

2.当节点为切比雪夫节点时：1,,2,1,)1(2)12(cos22nknkababx

k

即错误！未找到引用源。，节点是对称的 a) 当节点为奇数个时，即n=2:4:10时，可以得到：

从图中可以看出，插值函数过两端和原点，并且也是奇函数；n越大拟合度越好，没有出现误差增大的现象； b) 当节点为偶数个时，即n=3:4:11时，可以得到： 从图中可以看出，插值函数不经过两端，但也是奇函数；节点数越多，拟合度也越好 c) 当n=40时，得到：

N取得很大的时候，插值函数和被插值函数几乎重合 （3）xxgarctan)(

1.节点为均匀节点时：ninixi,,2,1,0,105 a)当节点为奇数时，即n=2：4：10，可以得到如下图像