基本不等式精品测试题

基本不等式精品测试题一．选择题（共24小题）1．（2018•榆林模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得的最小值为（）A ．B．C．D．2．（2018•潍坊模拟）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A ．＞B．+≤1C．≥2 D．≤3．（2018•咸阳二模）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A ．有最大值4B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值4．（2018•兴安盟一模）x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A ．14 B．7 C．18 D．135．（2018•湖南模拟）设点G是△ABC的重心，若∠A=120°，，则的最小值是（）A ．B．C．D．6．（2018•淄博一模）设a＞1，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（）A ．3+2B．6 C．4D．7．（2018•漳州模拟）若正实数x，y满足，则x+y的最大值是（）A ．2 B．3 C．4 D．58．（2018•广州二模）已知0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且log a x．log a y=1，那么xy的取值范围为（）A ．（0，a2]B．（0，a]C．（0，]D．（0，]9．（2018•南充一模）已知三角形ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB，AC于E、F两点，若=（λ＞0），=μ（μ＞0），则的最小值是（）A ．.9 B．C．5 D．10．（2018•湖南）已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A ．16B．8C．8D．411．（2018•四川）设a＞b＞0，则的最小值是（）A ．1 B．2 C．3 D．412．（2018•天津）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A ．2 B．C．1 D．13．（2018•江西）若函数y=f（x）的值域是，则函数的值域是（）A ．B．C．D．14．（2018•重庆）若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A ．B．3 C．2 D．15．（2018•广东）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A ．2πR2B．C．D．16．（2018•潍坊模拟）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c （a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）A ．B．C．D．17．（2018•浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A ．B．C．5 D．618．（2018•信阳模拟）若实数x、y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则t=2x+2y的取值范围是（）A ．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2＜t≤4 D．t≥419．（2018•和平区一模）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A．y=x+B．y=cosx+（0＜x＜）C．y=D．y=20．（2018•重庆）若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（）A ．B．C．D．21．已知a＞0，b＞0且，则a+2b的最小值为（）A ．B．C．D．1422．（2018•达州一模）已知函数f（x）=lg，若f（a）+f（b）=0且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是（）A ．（0，]B．（0，）C．（0，]D．（0，）23．（2018•浙江模拟）若正实数x，y满足+=1，则x+y的最小值是（）A ．19 B．16 C．18 D．1524．（2018•天津）若a＞b＞1，P=，则（）A ．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q二．填空题（共2小题）25．（2018•山东）若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是_________．26．（2018•重庆）若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是_________．基本不等式精品测试题答案与解析一．选择题（共24小题）1．（2018•榆林模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得的最小值为（）A ．B．C．D．考点：基本不等式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由a7=a6+2a5求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．解答：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，∴，当且仅当=时，等号成立．故的最小值等于，故选A．点评：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．2．（2018•潍坊模拟）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A ．＞B．+≤1C．≥2 D．≤考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题设知ab≤，所以，，，==≤，由此能够排除选项A、B、C，从而得到正确选项．解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，∴ab≤，∴，故A不成立；，故B不成立；，故C不成立；∵ab≤4，a+b=4，∴16﹣2ab≥8，∴==≤，故D成立．故选D．点评：本题考查不等式的基本性质，解题时要注意均值不等式的合理运用．3．（2018•咸阳二模）若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由于==2+≥4，故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2，可得ab≤，故B 不正确．由于=1+2≤2，故≤，故C 正确．由a 2+b2 =（a+b）2﹣2ab≥1﹣=，故D不正确．解答：解：∵正实数a，b满足a+b=1，∴==2+≥2+2=4，故有最小值4，故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2，∴ab≤，故ab有最大值，故B不正确．由于=a+b+2=1+2≤2，∴≤，故有最大值为，故C正确．∵a2+b2 =（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab≥1﹣=，故a2+b2有最小值，故D不正确．故选：C．点评：本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．4．（2018•兴安盟一模）x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A ．14 B．7 C．18 D．13考点：基本不等式；简单线性规划．专题：计算题．分析：作出可行域，得到目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最优解，从而得到3a+4b=7，利用基本不等式即可．解答：解：∵x、y满足约束条件，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0），作出可行域：由图可得，可行域为△ABC区域，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过可行域内的点C时，取得最大值（最优解）．由解得x=3，y=4，即C（3，4），∵目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，∴3a+4b=7（a＞0，b＞0），∴=（3a+4b）•（）=（9++16+）≥（25+2）=×49=7（当且仅当a=b=1时取“=”）．故选B．点评：本题考查线性规划，作出线性约束条件下的可行域，求得其最优解是关键，也是难点，属于中档题．5．（2018•湖南模拟）设点G是△ABC的重心，若∠A=120°，，则的最小值是（）A ．B．C．D．考点：基本不等式；向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：先利用数量积公式，求得，再利用G是△ABC的重心，可得，进而利用基本不等式，即可求得结论．解答：解：∵∠A=120°，，∴∴∵G是△ABC的重心，∴∴=≥=故选B．点评：本题考查数量积公式，考查向量的运算，考查基本不等式的运用，属于中档题．6．（2018•淄博一模）设a＞1，b＞0，若a+b=2，则的最小值为（）A ．3+2B．6 C．4D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵a＞1，b＞0，a+b=2，∴a﹣1＞0，a﹣1+b=1．∴==3+=3+2．当且仅当b=（a﹣1），a+b=2，即a=，b=2﹣时取等号．∴的最小值为．故选：A．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．7．（2018•漳州模拟）若正实数x，y满足，则x+y的最大值是（）A ．2 B．3 C．4 D．5考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：两次利用基本不等式即可得出．解答：解：由，化为，∵x＞0，y＞0，∴==4，当且仅当x=y=2或时取等号．∴x+y的最大值是4．故选：C．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．8．（2018•广州二模）已知0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且log a x．log a y=1，那么xy的取值范围为（）A ．（0，a2]B．（0，a]C．（0，]D．（0，]考点：基本不等式．分析：由已知0＜a＜1，0＜x≤y＜1，利用对数函数的单调性可得log a x＞0，log a y＞0，再利用基本不等式的性质log a x+log a y=log a（xy）≥即可得出解答：解：∵0＜a＜1，0＜x≤y＜1，∴log a x＞0，log a y＞0，∴log a x+log a y=log a（xy）≥=2，当且仅当log a x=log a y=1时取等号．∴0＜xy≤a2．故选A．点评：熟练掌握对数函数的单调性、基本不等式的性质是解题的关键．9．（2018•南充一模）已知三角形ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB，AC于E、F两点，若=（λ＞0），=μ（μ＞0），则的最小值是（）A ．.9 B．C．5 D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由已知可得===x=，，从而可得λ，μ的关系，利用基本不等式可求解答：解：由D，E，F三点共线可设∵=（λ＞0），=μ（μ＞0）∴===x=∵D为BC的中点∴∴∴即λ+μ=2则=（）（λ+μ）=当且仅当即时取等号故选D点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是根据已知向量的知识寻求基本不等式的条件．10．（2018•湖南）已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A ．16B．8C．8D．4考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用；平行投影及平行投影作图法．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，依题意可求得为x A，x B，x C，x D的值，a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，利用基本不等式可求得当m变化时，的最小值．解答：解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，则﹣log2x A=m，log2x B=m；﹣log2x C=，log2x D=；∴x A=2﹣m，x B=2m，x C=，x D=．∴a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，∴==||=2m•=．又m＞0，∴m+=（2m+1）+﹣≥2﹣=（当且仅当m=时取“=”）∴≥=8．故选B．点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，理解平行投影的概念，得到=是关键，考查转化与数形结合的思想，考查分析与运算能力，属于难题．11．（2018•四川）设a＞b＞0，则的最小值是（）A ．1 B．2 C．3 D．4考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：将变形为，然后前两项和后两项分别用均值不等式，即可求得最小值．解答：解：=≥4当且仅当取等号即取等号．∴的最小值为4故选项为D点评：本题考查凑成几个数的乘积为定值，利用基本不等式求出最值．12．（2018•天津）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A ．2 B．C．1 D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力13．（2018•江西）若函数y=f（x）的值域是，则函数的值域是（）A ．B．C．D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．分析：先换元，转化成积定和的值域，利用基本不等式．解答：解：令t=f（x），则，则y=t+≥=2当且仅当t=即t=1时取“=”，所以y的最小值为2故选项为B点评：做选择题时，求得最小值通过排除法得值域；考查用基本不等式求最值14．（2018•重庆）若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A ．B．3 C．2 D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：因为a+b+c的平方与已知等式有关，现将（a+b+c）2用已知等式表示，根据一个数的平方大于等于0得不等式，然后解不等式得范围．解答：解：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a2+2ab+2ac+4bc）+b2+c2﹣2bc=12+（b﹣c）2≥12，当且仅当b=c时取等号，∴a+b+c≥故选项为A点评：若要求的代数式能用已知条件表示，得不等式，通过解不等式求代数式的范围．15．（2018•广东）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A ．2πR2B．C．D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．分析：将全面积表示成底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值解答：解：设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有∴h=3R﹣3r∴S=2πrh+2πr2=﹣4πr2+6πRr=﹣4π（r2﹣Rr）=﹣4π（r﹣）2+πR2∴当r=时，S取的最大值πR2．故选B．点评：考查实际问题的最值问题，常转化成函数的最值16．（2018•潍坊模拟）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c （a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）A ．B．C．D．考点：基本不等式在最值问题中的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；数形结合．分析：依题意可求得3a+2b的值，进而利用=1把转化为（）×展开后利用基本不等式求得问题的答案．解答：解：由题意得3a+2b=2，=（）×=故选D点评：本题主要考查了基本不等式的应用．解题的关键是构造出+的形式．17．（2018•浙江）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A ．B．C．5 D．6考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5当且仅当=时取等号∴3x+4y≥5即3x+4y的最小值是5故选C点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．18．（2018•信阳模拟）若实数x、y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则t=2x+2y的取值范围是（）A ．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2＜t≤4 D．t≥4考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题；换元法．分析：根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于t的不等关系式，进而可求出t的取值范围．解答：解：∵4x+4y=（2x+2y）2﹣22x2y=t2﹣2•2x2y，2x+1+2y+1=2（2x+2y）=2t，故原式变形为t2﹣2•2x2y=2t，即2•2x2y=t2﹣2t，∵0＜2•2x2y≤2•（）2，即0＜t2﹣2t≤，当且仅当2x=2y，即x=y时取等号；解得2＜t≤4，故选C点评：利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．19．（2018•和平区一模）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A．y=x+B．y=cosx+（0＜x＜）C．y=D．y=考点：基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．分析：通过取x＜0时，A显然不满足条件．对于B：y=cosx+≥2，当cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．对于C：不能保证=，故错；对于D：．∵e x＞0，∴e x+﹣2≥2 ﹣2=2，从而得出正确选项．解答：解：对于选项A：当x＜0时，A显然不满足条件．选项B：y=cosx+≥2，当cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B显然不满足条件．对于C：不能保证=，故错；对于D：．∵e x＞0，∴e x+﹣2≥2﹣2=2，故只有D 满足条件，故选D．点评：本题考查基本不等式的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．此题考查学生掌握基本不等式求函数最小值所满足的条件，是一道综合题．20．（2018•重庆）若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（）A ．B．C．D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：已知条件中出现bc，待求式子中有b+c，引导找b，c的不等式解答：解：若a，b，c＞0且，所以，∴，则（2a+b+c）≥，故选项为D．点评：本题考查由已知与待求的式子凑出和的形式．21．已知a＞0，b＞0且，则a+2b的最小值为（）A ．B．C．D．14考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：根据化简可以得到a+2b=（a+2b）×（），再运用基本不等式可求得最小值．解答：解：∵∴a+2b=（a+2b）×（）=1+6+≥7+2=7+2当且仅当时等号成立，∴a+2b的最小值为7+2故选A．点评：本题主要考查基本不等式的应用．在基本不等式中要注意1的灵活运用，有时可以带来很大的方便．22．（2018•达州一模）已知函数f（x）=lg，若f（a）+f（b）=0且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是（）A ．（0，]B．（0，）C．（0，]D．（0，）考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：利用对数的运算性质得到a、b的关系式，然后利用基本不等式推出ab的范围即可．解答：解：∵函数f（x）=lg，若f（a）+f（b）=0，∴，∴，可得：ab=1﹣a﹣b+ab，∴a+b=1，∵0＜a＜b＜1，则0＜ab=，ab的取值范围是：（0，）．点评：本题考查基本不等式在最值中的应用，导数的运算性质，考查计算能力．23．（2018•浙江模拟）若正实数x，y满足+=1，则x+y的最小值是（）A ．19 B．16 C．18 D．15考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵正实数x，y满足+=1，∴x+y=（x+1）+y﹣1=﹣1=10+﹣1=15，当且仅当y=3（x+1）=12时取等号．∴x+y的最小值是15．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．24．（2018•天津）若a＞b＞1，P=，则（）A ．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由平均不等式知．．解答：解：由平均不等式知．同理．故选B．点评：本题考查均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．二．填空题（共2小题）25．（2018•山东）若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是a≥．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得．解答：解：∵x＞0，∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号），∴=≤=，即的最大值为，故答案为a≥点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．26．（2018•重庆）若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是2﹣log23．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．解答：解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因为t≥4，所以，即，所以故答案为：2﹣log23点评：本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．。