6讲分布函数及概率密度

03
累积分布函数
累积分布函数
一、定义 又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。其表达式为：
a
b S=a ×b
累积分布函数
二、累积分布函数图形
累积分布函数
三、累积分布函数的特点 1.有界性
2.单调性 如果x1＜x2，则Fx(x1)＜ Fx(x2) 3.右连续性
概率密度函数
四、解读概率密度函数
当取值数量无限增大时，直方图外形无线趋近于概率分布图， 直方图和概率分布图相同点：1.外形相似；2.x轴为随机变量取值范围；3.研究自变量对应的应变量无意义。 直方图和概率密度函数不同点： 1.直方图x轴上数据数值可以不全覆盖；2.概率分布图x轴上数据为连续性数据，需全覆盖； 3.直方图图纵坐标为频数，当取值数量增大或分组组距越小时，纵轴覆盖数据范围越大； 4.概率分布图纵坐标分布图为密度，一般最大值不超过1。
概率密度函数
概率密度函数
概率只能小于等于1，而概率密度可以大于1，连续性随机变量在某点的概率为零，概率密度≠概率。 单纯的讲概率密度没有实际的意义，它能反映数据分布的一种趋势，必须有确定的有界区间为前提。可以把概 率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生 的概率，所有面积的和为1。 所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。 区间[a，b]上的概率可由概率密度函数在该区间上求积分得到。
概率密度函数和累积分布函数
CONTENTS
目 录
1 函数相关概念 2 概率密度函数
3 累积分布函数
01
函数相关概念
函数相关概念
一、函数三要素 1.自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 2.因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相 对应。 3.函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的 函数值。

P( X 100 1.2) 1 P( X 100 1.2) 1 P( X 100 2) 0.6
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计

用概率密度求分布函数公式在概率论和统计学中，概率密度函数和分布函数是描述随机变量分布的两个重要概念。

概率密度函数是描述连续型随机变量概率分布的函数，而分布函数是描述随机变量的累积分布情况的函数。

本文将重点介绍概率密度函数和分布函数的定义、性质以及它们之间的关系。

一、概率密度函数概率密度函数（probability density function，简称PDF）描述了连续型随机变量在一些取值上的概率密度。

对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数被定义为f(x)，具有以下性质：1.f(x)≥0：概率密度函数的取值必须大于等于0。

2. ∫f(x)dx = 1：概率密度函数在整个取值范围上的积分等于1，表示其概率之和为1概率密度函数和累积分布函数之间的关系是通过概率密度函数的积分得到的。

具体来说，连续型随机变量X的累积分布函数F(x)可以通过概率密度函数f(x)进行定义：F(x) = ∫f(t)dt，其中t是从负无穷到x的变量。

二、分布函数分布函数（distribution function，简称CDF）描述了随机变量X 小于或等于一些给定取值的概率。

对于一个随机变量X，其分布函数被定义为F(x)，具有以下性质：1.F(x)=P(X≤x)：分布函数表示随机变量X小于等于一些给定取值x 的概率。

2.0≤F(x)≤1：分布函数的取值在[0,1]之间。

3.F(x)是非减函数：分布函数是一个非减函数，即对于x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。

分布函数和概率密度函数之间的关系可以通过分布函数的导数得到。

具体来说，连续型随机变量X的概率密度函数f(x)可以通过分布函数F(x)进行定义并求导：f(x) = dF(x)/dx三、概率密度函数和分布函数的关系概率密度函数和分布函数之间有着密切的关系。

根据概率密度函数和分布函数的定义，我们可以得到以下结论：1. 若f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数，那么对于任意实数x，有F(x) = ∫f(t)dt，其中t从负无穷到x。

(2) X的分布函数为
F x
x

5 3 5 3 (3) P X F F 2 2 2 2 1 0.9375 0.0625
2.3.3 常见的连续型随机变量
均匀分布、指数分布、正态分布
1. 均匀分布 (Uniform) 若随机变量X 的概率密度为：
(2).
f ( x) dx 1；

这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件。
f(x)与x轴所围 面积等于1。
(3). 对 f(x)的进一步理解：
若x是 f(x)的连续点，则 x x f (t )dt P( x X x x) x lim lim x 0 x 0 x x =f(x)， 故, X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰 好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长 度△x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为 质量，f (x)相当于物理学中的线密度。
这100个数据中，最小值是128，最大值是155。
作频率直方图的步骤
(1). 先确定作图区间 （a, b）; a = 最小数据-ε/ 2，b = 最大数据+ε/ 2，
ε 是数据的精度。 本例中 ε = 1, a = 127.5, b = 155.5 。
(2). 确定数据分组数 m = 7， 组距 d = (b − a) / m=28/7=4，
1
。
p k 0, k 1,2,,
2。
p
k 1

k
1.
随机变量X 的所有取值 随机变量X的 各个取值所 对应的概率
常用的离散型随机变量的分布
1.两点分布（ 0-1分布） 模型：一个人射击，射中的概率为p，不中的概 率为 q=1-p. 规定：