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相似三角形的六大证明技巧大全

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DOC格式 . 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型. 示意图 结论

EDCB

A 反A型：

如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，则△ADE∽△ACB（AA），∴AE·AC=AD·AB. 若连CD、BE，进而能证明△ACD∽△ABE(SAS)

ODC

BA 反X型：

如图，已知角∠BAO=∠CDO，则△AOB∽△DOC（AA），∴OA·OC=OD·OB. 若连AD，BC，进而能证明△AOD∽△BOC.

“类射影”与射影模型 示意图 结论

A

BCD 类射影：

如图，已知△ABC，∠ABD=∠C，则△ABD∽△ACB（AA），∴2AB=AD·AC.

CABH

射影定理 如图，已知∠ACB=90°，CH⊥AB于H，则222,,ACAHABBCBHBAHCHAHB

相似三角形6大证明技巧 第2讲 相似三角形证明方法 模块一 “旋转相似”与“一线三等角” 示意图 结论

A

BCD

E 旋转相似： 如图，已知△ABC∽△ADE，则ABADACAE ，∠

BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，

∴△BAD∽△CAE（SAS）

CB

A

ED

一线三等角： 如图，已知∠A=∠C=∠DBE，则△DAB∽△BCE（AA）

巩固练习 反A型与反X型 已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：（1）AEABAFAC（2）∠BEO=∠CFO， ∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCB

OFECB

A

类射影 如图，已知2ABACAD，求证：BDABBCAC

A

BCD

射影定理 已知△ABC，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，求证：2ACAHAB，2BCBHBA，2HCHAHB DOC格式 .

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算

【例1】 如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证：DCCFAEAD

．

AB

CFD

E 【例2】 如图，ABC△中，90BAC，M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于D，交AB于E．求证：2AMMDME

CBAE

D

M 【例3】 如图，在RtABC△中，AD是斜边BC上的高，ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F．求证：BFABBEBC．

DBA

CFE

比例式的证明方法 模块二 技巧一：三点定型 悄悄地替换比例式中的某条线段… 【例4】 如图，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：2FDFBFC

A

BCD

EF

【例5】 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，ECAD．求证：ACBECEAD．

C

BAD

EF

【例6】 如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：2ABBECD

A

BC

DE

【例7】 如图，ABC△中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB∥，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：2BPPEPF．

技巧二：等线段代换 DOC格式 .

CBADPEF

【例8】 如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O，E、交CD的延长线于F，求证：2OBOEOF．

OFED

CB

A

【例9】 如图，在ABC△中，已知90A时，ADBC于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F．求证：ABAFACDF．

E

FC

A

BD

【例10】 如图，在ABC△中（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线交于点P．求证：BPCECPBD

ECD

B

A

P

技巧三：等比代换 PMND

A

BC

【例11】 如图，ABC△中，BD、CE是高，EHBC于H、交BD于G、交CA的延长线于M．求证：2HEHGMH．

ABC

DEHG

M

【例12】 如图，在ABC△中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F，连EF，求证：∠AEF=∠C

FEDCB

A

【例13】 如图，在ABC△中，90BAC，D为AC中点，AEBD，E为垂足，求证：CBDECD．

CB

ADE

【例14】 在Rt△ABC中，AD⊥BC，P为AD中点，MN⊥BC，求证2MNANNC

技巧四：等积代换 DOC格式 .

【例15】 已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EF//AC，BE、BF分别交AC于M、N.，求证：AM=CN.

FMN

ED

CBA

【例16】 已知如图AB=AC，BD//AC，AB//CE，过A点的直线分别交BD、CE于D、E. 求证：AM=NC，MN//DE.

DCB

AEMN

【例17】 如图，△ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PF⊥BC，PE⊥AC，AF交PE于N，BE交PF于M.，求证：PM=PN，MN//AB.

CB

APE

FN

M

技巧五：证等量先证等比 【例18】 如图，正方形BFDE接于△ABC，CE与DF交于点N，AF交ED于点M，CE与AF交于点P. 求证：（1）MN//AC；（2）EM=DN.

PN

MEFD

A

BC 【例19】 （※）设E、F分别为AC、AB的中点，D为BC上一点，P在BF上，DP//CF，Q在CE上，DQ//BE，PQ交BE于R，交CF于S，求证：

1

3RSPQ

CB

ADPQS

EF

G

R DOC格式 .

【例20】 （※）如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MK//BD，MN//AC，分别交AD、BC于K、N，连KN，分别交对角线AC、BD于P、Q，求证：KP=QN.

QNSP

RK

M

ODC

BA

【例21】 （2016年四月调考）如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.（1）求证：AH=BH，（2）若∠

BAC=60°，求FGDG的值.

HMF

GEDCB

A

技巧六：几何计算

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第四讲：相似三角形证明的方法与技巧.doc

第四讲：相似三角形证明的方法与技巧.doc

第五讲：相似三角形证明的方法与技巧A 字形，斜A 形，8字形（X 型），蝴蝶形，双垂直型, 旋转形双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BD •AB结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD ；结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略1、直接法：找同一三角形两条边，变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换；⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略：遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。

彼相似，我角等，两边成比边代换。

（3）等比代换：若dc b a ,,,是四条线段，欲证d c b a =，可先证得fe ba =（f e ,是两条线段）然后证d c fe =，这里把f e叫做中间比。

方法一：遇等积，化比例，同侧三点找相似 1．∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD2.△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形，求证：BD•CN=BM•CE ．3.等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。

求证：BP •PC=BM •CNEA B D E AB B A DECF E DA B C 321E DABC12FA 方法二：有射影，或平行，等比传递我看行1.在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF （换比法） 斜边上作高线，比例中项一大片2.如图，在ABCD 中，求证：BF EFFG BF（换比法）3.梯形ABCD 中，AD//BC ，作BE//CD,求证：OC2=OA.OE （换比法）方法三：四共线，看条件，其中一条可转换；1.Rt △ABC 中，四边形DEFG 为正方形。

(2021年整理)相似三角形证明技巧(整理)

(2021年整理)相似三角形证明技巧(整理)

相似三角形证明技巧(整理)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（相似三角形证明技巧(整理)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为相似三角形证明技巧(整理)的全部内容。

1相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形（1）三角形相似的条件:①；② ;③。

二、两个三角形相似的六种图形:只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路:判定两个三角形相似思路：1)先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例;3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似a)已知一对23找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理2找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e ）相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,则只要证明这两个三角形相似就行了,这叫做“竖定”.有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

相似三角形证明的方法与技巧

相似三角形证明的方法与技巧

相似三角形的判定和应用一、判定相似三角形的基本思路：1•找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。

2. 记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。

二、相似形的应用：1证比例式；2. 证等积式；3. 证直线平行;4. 证直线垂直;5证面积相等;三、经典例题: 例1.如图，在A ABC中，D是BC的中点，E是AC延长线上任意一点，连接DE与AB交于F, 与过A平行于BC的直线交于G。

十工AF AE求证：---- = -----BF CE变式1 :如图，在A ABC中，.A与.B互余, CDr_AB , DE//BC，交AC 于点E，求证：AD:AC=CE:BD.例2:如图：已知梯形ABCD中，AD//BC，乙ABC =90，且BD — CD于D。

BD^AD ・BC例3•如图，在从BC 中，.BAC=90 , M 是 BC 的中点，DM _BC 交BA 的延长线于 D ，交 AC 于 E 。

求证：MA —MD-ME例4•已知：在 A ABC 中，AD 是乙BAC 的线，点E 在AD 上，点F 在AD 的延长线上，ED ABDF AC求证：BE//FC 。

例5•如图，在正方形 ABCD 中，E ，F 分别为AB 、 AC 上一点，切 BE=BF ，BP —CE ，垂足为 P 。

求证：PD — PF. 求证：①. ABD ~ .DCB ;B F C例6.在A ABC的中线AD,BE相交于G。

求证：A AGB的面积等于四边形CEGD 。

四•课堂练习：1•如图，在△ABC中，AC BC，D是AC边上一点，连接BD •(1)要使△ CBD CAB，还需要补充一个条件是______________ (只要求填一个)(2)若△ CBD s^CAB，且AD = 2 , BC =3，求CD 的长.2.如图，在平行四边形ABCD中, R在BC的延长线上，AR交CD于Q若DQ： CQ= 4 : 3,求AQ： QR的值。

相似三角形证明技巧窍门(汇总整编)

相似三角形证明技巧窍门(汇总整编)

相似三角形证明技巧窍门(汇总整编)相似三角形证明技巧窍门(汇总整编)相似三角形是几何学中的一个重要概念，通过相似三角形的性质可以帮助我们解决很多几何问题。

本文将总结整理各种相似三角形的证明技巧，以便读者在解题时能够灵活运用。

一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的两个三角形。

两个三角形相似的条件是它们对应角相等，并且对应边的比例相等。

二、边长比例证明技巧当我们需要证明两个三角形相似时，可以从边长的比例入手。

以下是几种常见的边长比例证明技巧：1. 直接证明：如果我们可以直接计算出两个三角形各边的比例，且它们相等，则可以直接得出两个三角形相似。

例：已知三角形ABC和DEF，且AB/DE = BC/EF = AC/DF，我们可以直接得出三角形ABC和DEF相似。

2. 两边成比例证明：当两个三角形的两边对应成比例，并且它们夹角相等时，可以得出两个三角形相似。

例：已知三角形ABC和DEF，且AB/DE = BC/EF，∠B = ∠E，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。

3. 三边成比例证明：当两个三角形的三边对应成比例时，可以得出两个三角形相似。

例：已知三角形ABC和DEF，且AB/DE = BC/EF = AC/DF，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。

三、角度证明技巧除了边长的比例证明技巧外，角度的证明也是判断相似三角形的重要手段。

以下是几种常见的角度证明技巧：1. 角度对应证明：当两个三角形的对应角相等时，可以得出两个三角形相似。

例：已知三角形ABC和DEF，∠A = ∠D，∠B = ∠E，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。

2. 角度和内角和证明：当两个三角形的内角和相等时，可以得出两个三角形相似。

例：已知三角形ABC和DEF，∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。

3. 夹角和内角和证明：当两个三角形的夹角和相等时，可以得出两个三角形相似。