2011年沈阳市高中一年级教学质量检测数学第Ⅰ卷一、选择题1.已知全集为{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,4A =，{}2,4,6B =，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}5B.{}4C.{}4,5D.{}1,2,3,62.如图，给出了偶函数()y f x =的局部图像，那么()1f 与()3f 的大小关系正确的是（）A.()()13f f ≥B.()()13f f ≤C.()()13f f >D.()()13f f <3.如图，下列各点在棱长为1的正方体的表面上是（）A.()1,0,1-B.111,,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C.111,,522⎛⎫ ⎪⎝⎭D.111,,335⎛⎫ ⎪⎝⎭4.若对数函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠）的图像过点()2,1，则下列运算正确的是（）A.()()243f f =B.()()418f f =- C.()()842f f -= D.()124f -= 5.若长方形的对角线长是，且该长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）BAUA.B. C.50π D.200π6.已知圆221:4C x y =+关于直线l 对称的圆是()()222:334C x y -=++，则直线l 的方程为（）A.3y x =+B.2y x =+C.3y x =-+D.3y x =-- 7.下列四个函数中：①3x y -=②()ln 1y x =-③12y x =④221y x x =-++，在1()1∞，+上为增函数的个数是（）A.1B.2C.3D.48.用“二分法”求函数()3222f x x x x =--+的一个正实数零点，其参考数据如下：那么方程220x x x --=+的一个近似根（精确到0.1）为（）A.1.2B.1.3C.1.4D.1.59.若直线l 过点()3,1P +且到点()2,3A 与()4,5B -的距离相等，那么直线l 有（）A.0条B.1条C.2条D.无数条10.若使()log 211a a ->成立，则实数a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()11,1,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭+ C.()1,∞+ D.()()0,11,∞ + 11.已知m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若αβ⊥，=n αβ ，n m ⊥，则m α⊥B.若m α⊂，n β⊂，且m n ∥，则αβ∥C.若m α∥，n β∥，m n ⊥，则αβ⊥D.若n α⊥，n β⊥，m β⊥，则m α⊥12.已知函数()()()1221log 1x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，则函数()1y f x =-的大致图像是（） A. B. C. D.。
孟津一高2021 ----2021学年上期期末考试高一数学〔理〕试题考试时间：120分钟 试卷总分值：150分一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的).1集合{}x x x A -<=22，{}21<<-=x x B ，则=B A 〔 〕2．设m 为一条直线,βα,为两个不同的平面，则以下说确的是〔 〕 A ．假设ββαα//,//,//m m 则 B ．ββαα⊥⊥⊥m m 则,,C ．假设ββαα⊥⊥m m 则,,//D ．假设ββαα⊥⊥m m 则,//, 3．两直线20ax y a -+=和(21)0a x ay a -++=互相垂直，则a =〔〕 A ．1 B ．31-C ．1或0D ．51-或31 4．函数(0),()(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值围是〔〕A ．1(0,]4B ．(0,1)C ．1[,1)4D ．(0,3)5．如图为*几何体的三视图，则该几何体的外表积为〔〕A ．105+B ．102+C ．6226++D ．626++6．假设圆C 的方程为22(3)(2)4x y -+-=，直线l 的方程为10x y -+=，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为〔〕A ．22(1)(4)4x y +++=B ．22(1)(4)4x y -+-= C ．22(4)(1)4x y -+-=D ．22(4)(1)4x y +++=7．)38(log )(ax x f a -=在[﹣1，2]上的减函数，则实数a 的取值围是〔〕 A ．〔0，1〕 B ．)34,1( C ．)4,34[ D ．〔1，+∞〕8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则以下表达正确的选项是〔〕 A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE 与11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11//AC 平面1AB E9．假设圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点，到直线:l y x b =+的距离为22，则b 取值围为 〔〕A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[0,2]D ．[2,2)-10．长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，则异面直线11CD BC 与所成角的余弦值为 〔〕 A ．105 B ．15 C ．1010 D ．1211．设点0(,1)M x ，在圆O :221x y +=上存在点N ，使得4OMN π∠=，则0x 的取值围是 〔〕A ．[1,1]-B ．11[,]22- C ．[2,2]- D ．22[,]22-12.偶函数)(x f 的定义域为}0|{≠∈x R x x 且，)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<--2),2(2120,12|1|x x f x x ，则函数)1|(|7log )(4)(+-=x x f x g 的零点个数为 ( )A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题(本大题共4个小题，每题5分，总分值20分．把答案填写在题中的横线上)13.直线022=++ay x 与直线01)4(=-++y a ax 平行，则a 的值为______________.14.函数x x x f 2)(2+=，m x g x+=)21()(，假设任意]2,1[1∈x ，存在]1,1[2-∈x ，使得)()(21x g x f ≥，则实数m 的取值围是______________.15.假设四面体ABCD 中，5====AD BC CD AB ,2==BD AC ,则该四面体的外接球的外表积为______________.16.假设X 是一个集合，τ是一个以X 的*些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑.函数]][[)(x x x f =，其中][x 表示不大于x 的最大整数，当*],,0(N n n x ∈∈时，函数)(x f 的值域为集合n A ，则集合2A 上的含有4个元素的拓扑τ的个数为______________.三、解答题(本大题共6个小题，总分值70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.〔本小题总分值10分〕如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠PAD ＝60°.(1)假设M 为PA 的中点，求证：DM ∥平面PBC ； (2)求三棱锥D —PBC 的体积． 18.〔本小题总分值12分〕圆C:1)4(22=-+y x ，直线02:=-y x l ，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA,PB ，切点分别为A,B.(1)假设∠APB=60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过点A,P,C 三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．19.〔本小题总分值12分〕“活水围网〞养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究说明：“活水围网〞养鱼时，*种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度* (单位：尾/立方米)的函数．当*不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<*≤20时，v 是*的一次函数，当*到达20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<*≤20时，求v 关于*的函数表达式；(2)当养殖密度*为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以到达最大.并求出最大值． 20.〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ， ∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)证明：AE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A —PD —C 的正弦值．21.〔本小题总分值12分〕点P (2,2)，圆C ：*2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 22.〔本小题总分值12分〕()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且1)1(=f ，假设b a ,[]1,1∈-，0≠+b a 时有()()0f a f b a b+>+成立.〔1〕判断()f x 在[]1,1- 上的单调性，并证明； 〔2〕解不等式：11()()21f x f x +<-； 〔3〕假设2()21f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，数m 的取值围.孟津一高2021 ----2021学年上学期期末考试高一数学〔理〕参考答案一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BDCACBBCBAAD二、填空题(本大题共4个小题，每题5分，总分值20分．把答案填写在题中的横线上)13. 2-4或 14. 25≤m 15. π6 16. 9 三、解答题(本大题共6个小题，总分值70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(1)证明 如图，取PB 中点N ，连接MN ，. 在△PAB 中，∵M 是PA 的中点， ∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3，又CD ∥AB ，CD ＝3， ∴MN ∥CD ，MN ＝CD ， ∴四边形MNCD 为平行四边形， ∴DM ∥.又DM ⊄平面PBC ，⊂平面PBC ， ∴DM ∥平面PBC .….…………………5分(2)解 V D —PBC ＝V P —DBC ＝13S △DBC ·PD ，又S △DBC ＝6，PD ＝43，所以V D —PBC ＝8 3.….…………………10分 18.解：〔1〕由条件可得2=PM ，设)2,(a a P ，则2)42(22=-+a a ，解得2=a 或56=a ， 所以点)4,2(P 或点)512,56(P ………………………….…………………5分〔2〕设)2,(a a P ，过点C P A ,,的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为：0)2)(4()(=--+-a y y a x x ， .…………………7分整理得082422=+---+a ay y ax y x即0)82()4(22=-+--+y x a y y x ……………………….……………9分由⎩⎨⎧=-+=-+0820422y x y y x 得⎩⎨⎧==40y x 或⎪⎩⎪⎨⎧==51658y x ， 该圆必经过定点)4,0(和)516,58( .…………………12分19.解 (1)由题意得当0<*≤4时，v ＝2； ….…………………1分 当4<*≤20时，设v ＝a*＋b ，由得⎩⎨⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18*＋52， ….…………………5分故函数v ＝⎩⎨⎧2， 0<*≤4，－18*＋52， 4<*≤20.….…………………6分(2)设年生长量为f (*)千克/立方米，依题意并由(1)可得f (*)＝⎩⎨⎧2*， 0<*≤4，－18*2＋52*， 4<*≤20，当0<*≤4时，f (*)为增函数，故f (*)ma*＝f (4)＝4×2＝8； ….…………………8分 当4<*≤20时，f (*)＝－18*2＋52*＝－18(*2－20*)＝－18(*－10)2＋1008，f (*)ma*＝f (10)＝12.5.所以当0<*≤20时，f (*)的最大值为12.5.….…………………10分即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以到达最大，最大值为12.5千克/立方米． ….…………………12分 20.(1))证明 在四棱锥P —ABCD 中， 因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 故CD ⊥PA .由条件CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ，∴AE ⊥CD .由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD .….…………………5分 (2)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如下图． 由(1)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 的射影是EM ， 则可得AM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角． ….…………………7分 由，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得PA ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a . 在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝PA ·ADPD＝a ·233a 213a ＝277a .在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM ＝144. 所以二面角A —PD —C 的正弦值为144.….…………………12分 21.解 (1)圆C 的方程可化为*2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (*，y )， C M ⊥AB ∴CM ⊥PM 故点M 在以PC 为直径的圆上 即(*－1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的部，所以M 的轨迹方程是(*－1)2＋(y －3)2＝2.….…………………6分 (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故M 在圆O ：822=+y x 上.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+-82)3()1(2222y x y x 可得:即l 的方程为01662=-+y x .….…………………9分 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105， |PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.….…………………12分22.解：〔1〕()f x 在[]1,1- 上为增函数，证明如下： 设任意12,x x []1,1∈-，且12x x <， 在()()0f a f b a b+>+中令1a x =，2b x =-，可得1212()()0()f x f x x x +->+-， 又∵()f x 是奇函数，得22()()f x f x -=-， ∴1212()()0f x f x x x ->-．∵12x x <，∴120x x -<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x < 故()f x 在[]1,1-上为增函数……………4分 〔2〕∵()f x 在[]1,1-上为增函数，∴不等式11()()21f x f x +<-，即 解得3,12x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，即为原不等式的解集；……………8分 〔3〕由〔1〕，得()f x 在[]1,1- 上为增函数，且最大值为(1)1f =， 因此，假设2()21f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，2211m am -+≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立,设2()20g a ma m =-+≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立………………………10分①假设0m =则()00g a =≥对[]1,1a ∈-恒成立②假设0m ≠假设()0g a ≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立必须(1)0g -≥且(1)0g ≥，2m ≤-或2m ≥综上：m 的取值围是02m m =≤-或或2m ≥ ………………………12分。
河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}*2,n A x x n ==∈N ，{}*2n,B x x n ==∈N ，则（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. A B ⋂=∅D. A B =『答案』A『解析』A. *,n 2n ∀∈N 为偶数，故2nB ∈，故A B ⊆B. 6,6B A ∈∉，故B 错C. 4,4B A ∈∈，故A B ⋂=∅错D. 6,6B A ∈∉,故D 错故选：A2. 已知是k ∈R ，直线3(2)y k x -=+总经过点（ ） A. (2,3)- B. (2,3)-C. (2,0)-D. (0,3)『答案』B『解析』由3(2)y k x -=+得()3(2)0y k x --+=，对于R k ∈总成立，3020y x -=⎧⎨+=⎩ ，所以32y x =⎧⎨=-⎩， 即总经过点是()2,3-.故选：B.3. 已知2510a b==，则11a b +的值为（ ） A. 1B. 2C. 7D. 10『答案』A 『解析』252510log 10,log 10a b a b ==∴==，,11lg 2,lg5a b ∴==11lg 2lg5lg101a b ∴+=+==.故选：A4. 已知圆C 经过原点(0,0)O ，()4,3A ，(1,3)B -三点，则圆C 的方程为（ ）A. 22430x y x y +--=B. 2230x y x y +-+=C.22550x y x +--= D.2270x y x y +-+= 『答案』D『解析』设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->，把点(0,0)O ，(4,3)A ，(1,3)B -代入得16943019300D E F D E F F ++++=⎧⎪++-+=⎨⎪=⎩，解得7D =-，1E =，0F =，所以圆的方程是2270x y x y +-+=． 故选：D ．5. 已知水平放置的平面四边形ABCD ，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则ABCD 的周长为（ ）A. 2B. 6C. 2D. 8『答案』D『解析』由直观图可得原图形如图，根据斜二测画法可知，1AB CD ==,AC =在Rt ABC 中,3BC ===, 又AD BC =,所以四边形ABCD 的周长为23218⨯+⨯=, 故选：D6. 已知,a b 为不同的直线，αβ，为不同的平面，有下列四个命题：①////a b a b αα⎧⇒⎨⊂⎩ ②a b a b αα⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩ ③a b b a αβαββ⊥⎧⎪⋂=⇒⊥⎨⎪⊥⎩④//a a a αββαα⊥⎧⎪⊥⇒⎨⎪⊄⎩.其中正确命题的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4『答案』A『解析』①不成立，缺少a α⊄这个条件；②不成立，不满足线面垂直的判断定理；③不成立，缺少条件b α⊂；④正确，根据面面垂直的性质定理判断. 故选：A7. 已知点(2,0)A 与()0,4B 关于直线0ax y b ++=对称，则,a b 的值分别为（ ）A. 1，3B.12-，32-C. -2，0D. 12，52-『答案』B『解析』40202AB k -==--，若点(2,0)A 与()0,4B 关于直线0ax y b ++=对称，则直线AB 与直线0ax y b ++=垂直，直线0ax y b ++=的斜率是a -，所以()()21a -⋅-=-，得12a =-.线段AB 的中点()1,2在直线0ax y b ++=上，则20a b ++=，得32b =-故选:B8. 已知函数2()2f x x x a =++在区间(0,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞ B. (8,1]- C. (8,0)- D. [8,0]-『答案』C『解析』220x x a ++=在区间(0,2)内有解，转化为22a x x =--，()0,2x ∈成立，()22211a x x x =--=-++，()0,2x ∈时，()8,0a ∈-.故选：C9. 如图网格中是某几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）A. 2B.C. 4D. 『答案』A『解析』还原几何体如图，为四棱柱，底面积为11⨯，高为2故体积为：2故选：A10. 已知函数2()(2)f x x m x n =+-+为偶函数，那么函数()g x =（ ）A. (,2]-∞B. (0,2]C. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦ D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭『答案』B『解析』2()(2)f x x m x n =+-+为偶函数，故对称轴为202mx -==，故2m =()g x =0x >且2log 1x ≤解之得02x <≤故选：B 11. 已知圆221:64120C x y x y +-++=，圆222:142340C x y x y +--+=，两圆公切线的条数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4『答案』C 『解析』圆()()221:321C x y -++=，圆心()13,2C -，半径11r =，圆()()222:7116C x y -+-=，圆心()27,1C ，半径24r =，圆心距5d ==，12d r r =+，所以两圆相外切，公切线条数是3条. 故选：C12. 已知ABCD 是边长为2的正方形，点E ，F 在平面ABCD 的同侧，AE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，且2AE DF ==.点Q 为DF 的中点，点P 是CE 上的动点，则PQ 长的最小值为（ ）A.B. 2C.D. 『答案』A『解析』如图示，以A 为原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，AE 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则A （0,0,0）、D （2,0,0）、C （2,2,0）、E （0,0,2）、F （2,0,2）、Q （2,0,1）、 设P （x,y,z ）,由点P 是CE 上的动点，知(01)CP CE λλ=≤≤, 即(2,2,)(2,2,2)x y z λ--=--，故P (x ,x ,2-x ),所以||2)PQ x ==≤≤ 当1x =时min ||PQ ==故PQ. 故选：A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 已知三角形的三个顶点是(0,0)O ，(4,3)A ，(2,1)B -，则此三角形AB 边上的中线所在直线的方程为______.『答案』30x y -=『解析』()4,3A ，()2,1B -，线段AB 的中点是()3142,22D +-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即()3,1D ， 13OD k =，所以三角形AB 边上的中线所在直线的方程为13y x=，即30x y -=.故答案为：30x y -=14. 四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB 所成角的大小为______.『答案』60°『解析』如图示，因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ,所以异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD. 又各条棱长均2，所以△ VCD 为等边三角形，所以∠VCD =60°，异面直线VC 与AB 所成角的大小为60°. 故答案为：60°15. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =--，当1≥x 时，2()log f x x=，则不等式()2f x ≤的解集为______.『答案』(,4]-∞ 『解析』当1≥x 时，2()log f x x=，2log 2x ≤，则14x ≤≤当1x <时，21x ->，故()2()(2)log 2f x f x x =--=--，()2log 22x --≤，则()2log 22x -≥-，则124x -≥，则74x ≤，则此时1x <综上有4x ≤故答案为：(,4]-∞16. 在棱长为9的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ，F 分别在棱AB ，DD '上，满足2AE D E D FB F '==，点P 是DD '上一点，且//PB 平面CEF ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为______.『答案』178π『解析』以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，由2AE D E D FB F '==，则(9,6,0),(0,9,0)E C ，(0,0,3)F ，(9,9,0)B ，设(0,0,)P t ，∴()9,3,0EC =-， ()0,9,3CF =-，()9,9,PB t =-设平面FEC 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n EC n CF ⎧=⎨=⎩，即930930x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令3z =，则11,3y x ==， 得1,1,33n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为//PB 平面CEF ， 所以0PB n ⋅=，即1919303t ⨯+⨯-=，解得4t =，所以(0,0,4)P ，由PD ⊥平面ABCD ，且底面是正方形， 所以四棱锥P ABCD -外接球的直径就是PB ， 由()9,9,4PB =-，得29PB ==，所以外接球的表面积241782PB S ⎛⎫⎪=π=π ⎪⎝⎭. 故答案为：178π.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知点()1,0A -，(3,2)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等.（1）求实数a 的值；（2）已知2a >-，试求l 上点C 的坐标，使得A ，B ，C 构成以C 为直角顶点的直角三角形.解：（1=，即133a a -=+，133a a ∴-=+或1(33)a a -=-+，12a ∴=-或2a =-.（2）()1,0A -，(3,2)B 的中点为(1,1)MMA ==AB 为直径的圆的方程为22(1)(1)5x y -+-=， 直角三角形ABC 的直角顶点C 是以AB 为直径的圆与直线l 的交点. 设(),C x y ，故满足22(1)(1)5x y -+-= 由2a >-知，12a =-，直线:220l x y --=，又(),C x y 在:220l x y --=上联立方程22220,(1)(1) 5.x y x y --=⎧⎨-+-=⎩消去x 得：25230y y +-=， 1y或35y =.0,1.x y =⎧∴⎨=-⎩或16,53.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 点的坐标为(0,1)-或163,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.18. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1B O//平面11DA C ;（2）求点O 到平面11DA C 的距离.解：（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO且11O B DO=，11B O DO∴是平行四边形.11//B O DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DAC .（2）1111A CB D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，11A C ∴⊥平面11B D DB.∴平面11DA C ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ，即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1O OD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH =，OH ∴==.即点O 到平面11DA C距离为3.19. 已知函数2320()10xx x x f x e x ⎧-+>=⎨+≤⎩. （1）若()1f a =，求实数a 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=恰有三个解，求实数m 的取值范围.解：（1）当0a >，()1f a =即2321a a -+=，解得32a ±=，均满足条件. 当0a ≤时，0a e >，11a e +>，()1f a ∴=无解.故32a ±=.的（2）如图示，在同一坐标系内分别作出1()=y f x 和2y m =的图像， 当0x ≤时，()f x 单调递增，()12f x <≤； 当0x >时，()f x 在30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减， 在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，3124f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故当12m <<时，方程()0f x m -=恰有三个解，即实数的取值范围是()1,2.20. 如图.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,90ACB ∠=︒,AE PB ⊥于E 点,AF PC ⊥于F 点,2PA AB ==,30BPC ∠=︒.(1)求PB AF ⊥；(2)求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值.解：(1)证明：PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC .BC PA ∴⊥. 又BC AC ⊥,PA AC A =,BC ∴⊥平面PAC .∴平面PBC ⊥平面PAC . 又平面PBC 平面PAC PC =,AF ⊂平面PAC ,AF PC ⊥,AF ∴⊥平面PBC .又PB ⊂平面PBC AF PB ∴⊥.(2)由(1)知AF ⊥平面PBC ,连结EF ,则EF 就是AE 在平面PBC 内的射影.AEF ∴∠就是AE 与平面PBC 所成的角.PB =BC =AC =AF ==.AE =在Rt AFE 中,sin 3AF AEF AE ∠==.AE ∴与平面PBC所成角的正弦值为.21. 已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足：1()()2x f x g x +-=.（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）若对任意实数x ，都有()()0f x mg x +>恒成立，求实数m 的取值范围.解：（1）用x -代替x 代入1()()2x f x g x +-=中，得1()()2x f x g x ----=， ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，1()()2x f x g x -∴--=，上式与1()()2x f x g x +-=联立，可得()22x x f x -=-，()()22x x g x -=-+. （2）()()0f x mg x ->即()2222x x x x m --->+，222121x x m -<+. 令2221()21x x h x -=+，则22()121x h x =-+.x ∈R ，2211x ∴+>，210121x <<+，222021--<<+x ，2211121x -<-<+. 1m ∴≤-，即实数m 的取值范围是(,1]∞-.22. 点(4,0)A ，圆22:(4)16B x y ++=，动点P 在圆B 上，Q 为P A 的中点，直线:2l y kx =+.（1）求点Q 的轨迹E 的方程；（2）若直线l 与曲线E 交于不同的两点S ，T ，坐标原点为O ，当△OST∠SOT 为锐角时，求斜率k 的值；（3）若k =1，当过直线l 上的点C 能作曲线E 的两条切线时，设切点分别为M ，N ，直线MN 是否过定点？若过定点，请求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.解：（1）由题意知122OQ PB ==，则点Q 的轨迹E 是以O 为圆心，2为半径的圆，其方程为224x y +=. （2）设O 到直线l 的距离为d，则ST =由△OST，得12d ⋅⋅=d = 1.当1d =时，SOT ∠为钝角，舍去，故d ==，解得3k =±. （3）当1k =时，:2l y x =+.CM OM ⊥，CN ON ⊥，C ∴，M ，O ，N 四点在以OC 为直径的圆上.设()00,2C x x +，则以OC 为直径的圆的方程为()2220002022224x x x x x y +++⎫⎫⎛⎛-+-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ 即()220020x y x x x y +--+=. 的()()2200002220,2404.x y x x x y x x x y x y ⎧+--+=⇒++-=⎨+=⎩. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()0101240x x x y ++-=，()0202240x x x y ++-=. M ，N 的坐标都适合方程()00240x x x y ++-=，即直线MN 的方程为()00240x x x y ++-=，可整理为002(2)2x y x x --=++， ∴直线MN 过定点(2,2)-.。
河大附中2009-2010学年下学期高一年级期中考数学试卷一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.角︒2010是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2．下列说法中， ①与角5π的终边相同的角有有限个 ②数据2,3,4,5的方差是数据4,6,8,10的方差的一半 ③正相关是指散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域 ④0260cos >︒ 正确的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．已知135sin -=α，且α为第三象限角，则=αcos A ．1312-B ．1312C ．1312± D ．5124.用秦九韶算法计算多项式12345)(2345---++=x x x x x x f 在4x =-时的值时，需要进行的乘法、加法的次数分别是（ ）A ．5,14B ．5,5C ．5,6D ．5,75．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如下图，假设三个班的平均分都是75分,123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．s 3＞s 2＞s 1 6.记事件A 发生的概率为)(A P ，定义f (A)=lg [)(A P +)(1A P ]为事件A 发生的“测度” ．现随机抛掷一个骰子，则下列事件中测度最大的一个是 （ ）xA ．向上的点数为1B ．向上的点数不大于2C ．向上的点数为奇数D ．向上的点数不小于3二、填空题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）7．用系统抽样法从123个零件中，抽取容量为20的样本，则样本中每个个体的分段间隔是 ．8．某校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的比为10：1，行政人员有24人，现采取分层抽样容量为50的样本，那么教学人员应抽取的人数 ．9.两个数228、1995的最大公约数是_______________ 10．比较大小：)6(403 )8(21711．一个三位数字的密码锁，每位上的数字都在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人开锁时，在对好前两位数码后，随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为 ；12. =︒+︒133sin 43sin 22； 13．分析右边的程序：若输入38，运行右边的程序后，得到的结果是 。
