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平面汇交力系的合成与平衡

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黄 河 水 利
职业技术学院
课时授课计划

授课日期 年 月 日 节 年 月 日 节 年 月 日 节
授 课 班 级
课题与主要
内 容
力多边形法则；力在坐标轴上的投影；合力投影定理。解析法计算.平面汇交力

系合力的大小和方向

教学目的
与要求
了解力多边形法则求平面汇交力系的合力；能熟练地计算力在坐标轴上的投

影，理解合力投影定理，会用解析法计算平面汇交力系合力的大小与方向。

重 点 和 难 点 力的投影计算、平面汇交力系的解析条件
课 外 作 业 3-4 3-5

讲 解 内 容 与 方 法 步 骤 附 记
第三章 平面力系的合成与平衡
§1 平面汇交力系的合成与平衡
一、图解法（几何法）
1、两个共点里的合成 2、多个共点力的合成
3、平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充要的几何条件是力系的合力等于零。用等式表示为：
FＲ=F1+F2+….F3=0
由几何作图知，力多边形自行封闭。
二、解析法
1、力在平面直角坐标系上的投影
2、合力投影定理
合力在同一坐标轴上的投影,等于所有分力在同一坐标轴上投影的代数和。
3、平面汇交力系的合成
如已知力系各力在所选定的直角坐标上的投影,则合力的大小和方向余弦分别由下
列确定：

大小 FR =222Ry2RxFyFxFF

方向 FxFyFFtgRXRy
汇交力系简化结果是一个力,这个力对物体的作用与原汇交力系等效
4、平面汇交力系的平衡
∑Fx=0 ∑Fy=0 两个独立的平衡方程力系求解两个未知量
平面汇交力系平衡的充要的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的
代数和分别为零。这就是平面汇交力系的解析条件。

-
本节讲解
平面汇交力
系合成的几
何法和平衡
的几何条件
及解析法和
平衡的解析
条件、平衡
方程

教 学 内 容 教学方法与
手段
第三章 平面力系的合成与平衡
我们根据力的作用线的位置不同，可将力系分为平面力系和空间力系两
大类。

在平面合
成的平行
四边形法

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装
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订
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线
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平面力系：力的作用线在同一平面（汇交、平行、一般）
力系分类
空间力系：力的作用线不在同一平面
平面汇交力系：作用在物体上的所有力的作用线都在同一平面内，而且
汇交
于一
点的
力
系。
求
汇交力
系的合成（简化）与平衡有两种方法：
（1）图解法——几何作图法 （2）解析法——代数计算法
§1 平面汇交力系的合成与平衡
一、图解法（几何法）
1、两个共点里的合成
合力R的作用线通过汇交点；用矢量等式表示为 R=F1+F2。
合力R的大小和方向不仅与两个力的大小有关，而且还与两分力的夹角有
关。
两个分力的夹角减小时：合力增大；
两个分力的夹角增大时：合力减小；
两个分力的夹角 两个力方向相同，合力最大，值为两分力大小之和为
零度时： 方向与两分力方向相同。
夹角为180度时，合力最小，值为两合力大小之差，方
向与较大分力同向。

2、多个共点力的合成
设物体受平面汇交力系F1，F2，F3，F4作用，求力系的合力R。
将各已知力首尾相连，连成折线，后连接折线的首尾两点，得合力R，这
种求合力的方法，称为力多边形法则，这种力多边形称为不封闭的力多边形。
合力的作用线通过力系的汇交点。 画力多边
形时，改变各分力的相同的次序，将得到形状不同的力多边形，但最后求得的
合力不变。

则的基础
上讲清平
面汇交力
系合成的
几何法和
平衡的几
何条件的
理论和结
论
力的投影
计算是力
学计算的
基本功
合力投影
定理只从
数学上的
矢量和投
影定理直
接引出
在矢量代
数的基础
上讲情平
面汇交力
系合成的
解析法和
平衡的解
析条件的
理论和结
论
平衡条件
的应用应
予足够重
视，使学
生理解恰
当选取分
离体、正
确进行受
力分析、
画受力
图、计算
力的投影
的重要性
3、平衡的几何条件
作用在物体上的一个平面汇交力系可以成为一个合力，如果合力等于零，
此平面汇交力系为一个平衡力系，物体处于平衡状态，由此得出结论：平面汇
交力系平衡的条件是力系的合力等于零。用等式表示为：

FＲ=F1+F2+….F3=0
由几何作图知，如果平面汇交力系是一个平衡力系，那么按力多边形法则
将力系中各力依次首尾相接所得到的折线，一定是一个封闭的力多边形，这
就是平面汇交力系的平衡的几何条件。

二、解析法
1、力在平面直角坐标系上的投影
设有力F，由力F的始端A和末端B分别作
X轴的垂线，则垂足a,b间的距离所表示的力的
大小冠以适当的正负号，表示力F在X轴上的投
影，用符号Fx表示，方向由垂点a至b的指向与
X轴的正向一致，投影Fx取正值，反之取负
值，则

FＸ=
Fcosα
同理
FＹ= Fsin
α

且力
在任意相互平行的轴上的投影相同。
合力和投影的区别：分力是矢量，有大小，方向和作用点或作用线。
力在轴上投影，是代数量，无所谓作用点及作用线。
2、合力投影定理
设在点0有三个力F1，F2，F3组成的平面汇交力系，利用力多边形求其合
力FＲ，将力F1，F2，F3及合力Fr在X轴上投影，

得： FX1=a1b1 F2=b1c1 Fx3=-c1d
1

a1d1 = a1b1 + b1c1 - c1d1

即 FRX= FX1+ FX2+ FX3 =∑Fx
同理 FRY=FY1+FY2+FY3=∑Fy
于是得出“合力投影定理”。合力在同一坐标轴上的投影,等于所有分力在同一
坐标轴上投影的代数和。
3、平面汇交力系的合成
如已知力系各力在所选定的直角坐标上的投影,则合力的大小和方向余弦
分别由下列确定：

大小 FR =222Ry2RxFyFxFF

方向 FxFyFFtgRXRy
汇交力系简化结果是一个力,这个力对物体的作用与原汇交力系等效。
例1：求如图所示平面汇交力系的合力。
解：取直角坐标系如图，合力
FＲ在坐标轴上的投影为：

FR =∑FX = -400+250cos450-200×4／5=(N)
FRY =∑FY = 250sin450-500+200×3／5=(N)
22RYRXRFFF(N)
α=arctg=

因FRX，ＦRy均为负值,所以FR在第三
象限,如图。
4、平面汇交力系的平衡
平面汇交力系平衡的充要条件：
汇交力系的合力等于零，解析式表达为：

F
R
=222Ry2RxFyFxFF=0

上式中Frx^2 和Frx^2恒为正数，因此，要使FＲ=0须满足
∑Fx=0 ∑Fy=0 两个独立的平衡方程力系求解两个未知量

平面汇交力系的平衡的充要条件：力系中所有各力在两个坐标轴上投影
的代数和分别为零。这就是平面汇交力系的解析条件。

例2：平面刚架在C点受水平力F作用 ，F=20N，不计刚架的自重试求 A，B
支点的反力。
解：（1）取研究对象，画受力图
（2）列平衡方程求未知力
∑Fx=0 F+FA cosα=0 FA= -F/cosα= -105N
∑Fy=0 FB+FA sinα=0 FB= -FA sinα=10 N

例3：求图所示三角支架中杆AC和杆BC所受的力。
解：（1）为研究对象，画受力图
（2）选取坐标系
（3）列平衡方程，求解未知力

由 060sin00WNYAC

得 KNWNAC55.11866.01060sin0
由 060cos00ACBCNNX
得 KNNNACBC77.55.055.1160cos0

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第三章平面力系的合成与平衡

第三章平面力系的合成与平衡

【解】杆AB和BC都是二力杆，假设杆AB受拉力、杆BC 受压力，如图3.10(b)所示。
滑轮的受力图如图3.10(c)所示。
为了避免解联立方程，选直角坐标系如图所示，使x、 y轴分别与反力NBC、NAB垂直。
∑Fx=0,-NAB+Tcos60°-TBDcos30°=0 得 NAB=Tcos60°-TBDcos30°=-7.33kN NAB为负值，表示该力的实际指向与受力图中所假设 的指向相反。即杆AB受压力作用。再由
R Rx2 Ry2 ( Fx )2 ( Fy )2
tan Ry Fy
Rx
Fx
上式表明了合力在任一轴上的投影，等于各分 力在同一轴上投影的代数和。我们称之为合力投影 定理。
【例3.3】图3.7所示的吊环上作用有3个共面的拉力，各 力的大小分别是T1=3kN、T2=1kN、T3=1.5kN，方向如图
【解】绳AB作用于桩上的拉力是由绳BD传来的。因此先 取结点D为研究对象求出绳BD的拉力。
作用在结点D上的力有已知力F、绳DE的拉力TDE和 绳BD的拉力TDB,这三个力组成一平面汇交力系。结点D 的受力图如图3.11(b)所示。
选直角坐标系如图，使y轴与TDE垂直。列平衡方程
∑Fy=0,TDBsinα-Fcosα=0 得 TDB=Fcotα=4000N 再取结点B为研究对象。作用在结点B上的力有绳BC、 BD和BA的拉力TBC、TBD、TBA，绳BD给两结点D和B的 作用力应大小相等、方向相反，即有TBD=TDB=4000N。 力TBC、TBD、TBA组成一个平面汇交力系，结点B的受力 图如图3.11（c)所示。
3.1 平面汇交力系 3.1.1 力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点，如图3.4所示。
第二章 平面汇交力系

第二章 平面汇交力系


即
F F
x y
0 0
平衡方程
平衡的解析条件： 力系中所有各力在直角坐标轴上的投影代 数和分别等于零。
9
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 B 600 A A Q 解： 1).取研究对象 -------力系的汇交点A 2）作受力图 3).建立坐标系 X 0 300 C
X cos(F , i)
R
FR ( X ) 2 ( Y ) 2
FR
Y cos(F , j )
R
FR
15
4、平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零。 即 F F 0
R

（2）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。 （3）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐 标轴上投影的代数和分别等于零，即：
y
.
x
Q
4).列出对应的平衡方程 Y 0
5).解方程
TB sin 600 TC sin 300 0
TB cos60 TC cos30 Q 0
0 0
10
简易压榨机
11
求当等长连杆AB、AC与铅垂线成图示角时，托板给被 压物体的力。
12
列方程求解：
销钉A
X 0, Y 0, S AB sin S AC sin P 0 S AB cos S AC cos 0
S AB S AC
S AB S AC P 2 sin
托板
X Y
0, 0,
N S B sin 0 S B cos R 0 R S B cos P 2tg
第三章 力系简化的基础知识

第三章 力系简化的基础知识


量
【例3-8】梁AB受力偶m的作用，m=80N.m，如图320(a)所示；求A、B的支座反力。
(a)
(b)
(c) 图3-20
【解】： 取AB梁为研究对象，受力如图3-20（b） 所示；根据力偶必须和力偶平衡的特性，A、B处 的反力必然组成一个力偶。列平衡方程：
Mi 0
m 4RA 0
RA
m 4
80 4
20 N
RB RA 20 N
四、力的等效平移
➢ 力的平移定理：作用于刚体某点的力，可以平行移 动到刚体内任一点，而不改变原力对刚体的作用效 果，但是必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对
新作用点之力矩。
【例3-8】如图3-23（a）所示，厂房立柱的A点受到 吊车梁传来的偏心力F=50KN作用，A点距立柱轴线的 偏心距e=400mm。试分析力对立柱的作用。
2 sin 30 5 3 0 4 sin 60 5 12.3KN m
【例3-7】如图3-17所示每1m长挡土墙所受土压力 的合力R，它的大小R=150KN，方向如图所示 。求 土压力R使墙倾覆的力矩。
图3-17
【解】：土压力R欲使墙绕A点倾覆，故求R使墙 倾覆的力矩即求R对A点的力矩。
量和，即
n
R F1 F2 Fn Fi
式（3-2）
i 1
合力的作用线通过各力的汇交点。
❖ 作力多边形时，改变各力的顺序，可得不同形状的力多 边形，但合力矢的大小和方向并不改变
➢ 力在轴上的投影，合力投影定理
❖ 力在轴上的投影
1.定义：在所在平面内建立一个直角坐标xoy，从力F的 起点和终点分别作垂直线垂直于x轴和y轴，在坐标轴上 得交点a1b1与 a2b2
(2）建立直角坐标系Oxy，列平衡方程并求解
02平面汇交力系

02平面汇交力系

与各处摩擦，试求水平压榨力的大小。
y
F
B
FBA
x
FBC
F
B
A


C D
解： 1）首先选取销钉B 为研究对象， 画受力图 建立坐标轴，列平衡方程
Fix 0, Fiy 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
解得
F
FBC FBA 2sin
30
x
F3
45
F4
2 F4x F4 cos 45 4 2 2.83 kN
2 F4 y F4 sin 45 4 2 2.83 kN
二、平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投 影的代数和，即
FRx Fix
F1
F2
FR
O
F3

O
F2
F3
FR1 FR2
F4
F1
FR
F4
O
任一平面汇交力系均可合成为一个作用线通过汇交点的合力。 合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形 的封闭边矢量确定。
对应的矢量关系式为
FR F1 F2
Fn Fi
二、平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件为其合力为零。
FRx 129.3 N
FRy 112.3 N
2）确定合力的大小和方向
FR FR2x FR2y 129.32 112.32 N 171.3 N
cos FRx 129.3 0.755
FR 171.3
cos FRy 112.3 0.656