高中数学第二章基本初等函数Ⅰ第2节对数函数6教案新人教A版必修1
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第二节对数函数第六课时
导入新课
思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝a x与函数y＝log a x到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容——反函数，教师板书课题：对数函数及其性质(3)．
思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，应搞清y＝a x与函数y＝log a x的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．教师点出课题：对数函数及其性质(3)．
推进新课
新知探究
提出问题
①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y、y＝2x与y＝log2x的函数图象．
②通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？
③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．
④探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系．
⑤探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系．
⑥结合②与⑤推测函数y＝a x与函数y＝log a x的关系．
讨论结果：①y＝2x与x＝log2y.
2
图7
②在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数(x∈R，y∈R＋)，而且其在R 上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．
③由指数式与对数式的关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x ＝log2y的作用之下，都有唯一确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x 作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫做函数y ＝2x(x∈R)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y 中的x，y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕互为反函数．
以后，我们所说的反函数是x，y对调后的函数．如y＝log3x，x∈(0，＋∞)与y＝3x(x∈R)互为反函数，y＝log0.5x与y＝0.5x(x∈R)互为反函数．
④从我们的列表中知道，y＝2x与x＝log2y的函数图象相同．
⑤通过观察图象可知，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．
⑥通过②与⑤类比归纳知道，y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数是y＝log a x(a＞0且a≠1)，且它们的图象关于直线y＝x对称．
由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于
直线y＝x对称．
提出问题
1用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y＝log3x；②y＝log3x ＋1；③y＝log3x－1.
2从图象上观察它们之间有什么样的关系？
3用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y＝log3x；②y＝log3x ＋1；③y＝log3x－1.,4从图象上观察它们之间有什么样的关系？
5你能推广到一般的情形吗？
活动：学生动手画出函数图象，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．
学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．
讨论结果：(1)如图8.
图8
(2)观察图8可以看出，y＝log3x，y＝log3(x＋1)，y＝log3(x－1)的图象间有如下关系：
y＝log3(x＋1)的图象由y＝log3x的图象向左移动1个单位得到；
y＝log3(x－1)的图象由y＝log3x的图象向右移动1个单位得到；
y＝log3(x－1)的图象由y＝log3(x＋1)的图象向右移动2个单位得到；
y＝log3(x＋1)的图象由y＝log3(x－1)的图象向左移动2个单位得到．
(3)如图9.
图9
(4)观察图9可以看出，y＝log3x，y＝log3x＋1，y＝log3x－1的图象间有如下关系：
y＝log3x＋1的图象由y＝log3x的图象向上平移1个单位得到；
y＝log3x－1的图象由y＝log3x的图象向下平移1个单位得到；
y＝log3x－1的图象由y＝log3x＋1的图象向下平移2个单位得到；
y＝log3x＋1的图象由y＝log3x－1的图象向上平移2个单位得到．
(5)由上面的观察讨论可知，一般情况如下：
①由函数y＝log a x的图象得到函数y＝log a(x＋]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1(x)＝log a(x
－3a)与f2(x)＝log a
1
x－a
(a＞0，a≠1)，给定区间[a＋2，a＋3]．
(1)若f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上都有意义，求a的取值范围；
(2)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是否是接近的．
活动：学生读题，理解题目的含义，教师引导学生，及时提示，严格把握新信息f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的定义解题．
解：(1)依题意a＞0，a≠1，a＋2－3a＞0，a＋2－a＞0，
所以0＜a＜1.
(2)|f1(x)－f2(x)|＝|log a(x2－4ax＋3a2)|.
令|f1(x)－f2(x)|≤1，得－1≤log a(x2－4ax＋3a2)≤1.①
因为0＜a＜1，又[a＋2，a＋3]在x＝2a的右侧，
所以g(x)＝log a(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上为减函数．
从而g(x)max＝g(a＋2)＝log a(4－4a)，g(x)min＝g(a＋3)＝log a(9－6a)，
于是①成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ log a 4－4a ≤1，log a 9－6a ≥－1，
0<a <1.
解此不等式组得0<a ≤9－5712
. 故当0<a ≤9－5712
时，f 1(x )与f 2(x )在给定区间[a ＋2，a ＋3]上是接近的； 当a ＞9－5712
且a ≠1时，f 1(x )与f 2(x )在给定区间[a ＋2，a ＋3]上是非接近的． 课堂小结
1．互为反函数的概念及其图象间的关系．
2．对数函数图象的平移变换规律．
3．本节课又复习了对数函数的图象与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律．
4．指数、对数函数图象性质对比．
作业
课本习题2.2B 组 1、4、5.
设计感想
学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图象和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图象的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备．由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨．
备课资料
指导学生学习的方法集锦
1．科学家培根的“酿蜜法”：我们不应该像蚂蚁一样单只收集，也不应该像蜘蛛一样光会在肚里抽丝，而应该像蜜蜂一样采百花酿甜蜜．
2．理学家朱熹的“三到法”：读书有三到：心到、眼到、口到．
3．教育家孔子的“学思结合法”：学而不思则罔，思而不学则殆．
4．小说家巴尔扎克的“反问法”：打开一切科学的钥匙是问号．
5．作家列夫·托尔斯泰的“思维法”：只有靠积极思维得来的才是真正的知识．6．心理学家洛克的“多少法”：学识广博的诀窍是：一下子不要学很多的东西．7．生理学家巴甫洛夫的“循序渐进法”：要想一下全知道，就意味着什么也不会知道．
8．文学家伏尔泰的“再读法”：重新再读一本旧书，就仿佛与老友重逢．
9．文学家欧阳修的“三上法”：马上，枕上，厕上．
10．历史学家陈恒的“读目法”：读书先读目录，心中有数．
11．学问家王盛鸣的“竭泽法”：知识如鱼，目录如网，要学会用网在书海中打捞．
12．天文学家哥白尼的“合精法”：要善于集合相近学科的理论精华．
13．教育家布鲁纳的“兴趣法”：学习的最好刺激，乃是对所学材料的兴趣．14．国学家章学诚的“切己法”：不切己者，虽泰山而不顾．
15．科学家巴斯德的“坚持法”：使我达到目的的奥秘是我的坚持精神．
16．孟轲的“独立思考法”：尽信书不如无书．
17．短篇小说家马克·吐温的“专注法”：只要能专注，就能取得连自己都会吃惊的成就．
18．史学家顾炎武的“新旧法”：每年用三个月复习旧知识，其余时间学新书．。
