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复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案[1]

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一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i的幅角是（2,1,0,23kk）；

2.)1(iLn的主值是（ i432ln21 ）； 3. 211)(zzf，)0()5(f（ 0 ）， 4．0z是 4sinzzz的（ 一级 ）极点； 5． zzf1)(，]),([Rezfs（-1 ）； 二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(yxivyxuzf的导函数为（B ）；

（A） yxiuuzf)(； （B）yxiuuzf)(； （C）yxivuzf)(； （D）xyivuzf)(. 2．C是正向圆周3z，如果函数)(zf（ D ），则0d)(Czzf．

（A） 23z； （B）2)1(3zz； （C）2)2()1(3zz； （D）2)2(3z.

3．如果级数1nnnzc在2z点收敛，则级数在（C） （A）2z点条件收敛 ； （B）iz2点绝对收敛； （C）iz1点绝对收敛； （D）iz21点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析；

(B) 如果)(zf在C所围成的区域内解析，则0)(Cdzzf （C）如果0)(Cdzzf，则函数)(zf在C所围成的区域内一定解析； （D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）．

的可去奇点；为、zA1sin)(的本性奇点；为、zBsin)(

.sin)(的孤立奇点为、zC11的孤立奇点；为、

zDsin)(1

三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2222ydxycxibyaxyxzf是解析函数，求.,,,dcba 解：因为)(zf解析，由C-R条件

yvxu xvyu

ydxayx22,22dycxbyax ,2,2da，,2,2dbca,1,1bc 给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算Czzzzed)1(2其中C是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数zzezfz2)1()(在复平面内只有两个奇点1,021zz，分别以21,zz为圆心画互不

相交互不包含的小圆21,cc且位于c内21d)1(d)1(d)1(222CzCzCzzzzezzzezzz

e

izeizeizzzz2)1(2)(2021 无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．3342215d)2()1(zzzzz

解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：3z内，由留数定理 ]),([Re2d)2()1(3342215zfsizzz

z

z -----（5分）

]1)1([Re22zzfsi ----（8分）

234221521))1(2()11()1(1)1(zzzzzzf

0,z)12()1(11)1(34222有唯一的孤立奇点zzzzzf 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re34220202limlimzzzzzfzzfszz

33422152d)2()1(ziz

zz

z --------（10分）

（4）函数2332)3()(sin)2)(1()(zzzzzzf在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级. 解 ：

，的奇点为,3,2,1,0,)(sin)3()2)(1()(3232kkzzzzzzzf

（1）的三级零点，）为（032103zkkzsin,,,,, （2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,zfzzfzz210 （3）的一级极点，为)(3zfz （4）的三级极点；，为)(4,3,2zfz （5）的非孤立奇点。为)(zf 备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。

四、（本题14分）将函数)1(1)(2zzzf在以下区域内展开成罗朗级数；

（1）110z，（2）10z，（3）z1 解：（1）当110z ])11(1[)1(1)1(1)(2zzzzzf 而])1()1([])11(1[0nnnzz 01)1()1(nnnzn

021)1()1()(nnnznzf

-------6分

（2）当10z

)1(1)1(1)(22zzzzzf=021nnzz

02nnz

-------10分

（3）当z1

)11(1)1(1)(32zzzzzf

03031)1(1)(nnnn

zzzzf

------14分

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1．21i的幅角是（ ,2,10,24kk ）； 2.)1(iLn的主值是（42ln21i ）；

3. 211)(zzf，)0()7(f（ 0 ）； 4．3sin)(zzzzf ，]0),([Rezfs（ 0 ） ； 5． 21)(zzf，]),([Rezfs（ 0 ）； 得分 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．22yx是解析函数),(),()(yxivyxuzf的实部，则（ A ）； （A）)(2)(iyxzf； （B）)(2)(iyxzf； （C）)(2)(ixyzf； （D）)(2)(ixyzf. 2．C是正向圆周2z，如果函数)(zf（ A ），则0d)(Czzf．

（A） 11z； （B）zzsin； （C）2)3(1z； （D）2)1(1z. 3．如果级数1nnnzc在iz2点收敛，则级数在( C ) （A）2z点条件收敛 ； （B）iz2点绝对收敛； （C）iz1点绝对收敛； （D）iz21点一定发散．

４．下列结论正确的是( C )

（A）如果函数)(zf在0z点可导，则)(zf在0z点一定解析； (B) 如果0)(Cdzzf,其中C复平面内正向封闭曲线, 则)(zf在C所围成的区域内一定解析； （C）函数)(zf在0z点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为0zz的幂级数，而且展开式是唯一的； （D）函数),(),()(yxivyxuzf在区域内解析的充分必要条件是),(yxu、),(yxv在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ C ）．

（A）lnz是复平面上的多值函数； （B）cosz是无界函数；

（C）zsin 是复平面上的有界函数；（D）ze是周期函数． 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）求dcba,,,使)()(2222ydxycxibyaxyxzf是解析函数， 解：因为)(zf解析，由C-R条件

得分 yvxu xvyu

ydxayx22,22dycxbyax ,2,2da，,2,2dbca,1,1bc 给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．Czzzd)1(12．其中C是正向圆周2z； 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数zzzf2)1(1)(在复平面内只有两个奇点1,021zz，分别以21,zz为圆心画互不

相交互不包含的小圆21,cc且位于c内21d)1(1d)1(1d)1(1222CCCzzzzzzzzz

0)1(12)1(2021zzzizi

（3）．计算Czzzezd)1(13，其中C是正向圆周2z； 解：设)(zf在有限复平面内所有奇点均在：2z内，由留数定理 122]),([Re2(z)diczfsizfz

 -----（5分）

z1

)1111)(!31!2111(11)1(323221213zzzzzzzz

ezzezzz

)1111)(!41!31!21(3222zzzzzzz

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复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案

复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案

复变函数与积分变换期末试题（A ）答案及评分标准复变函数与积分变换期末试题（A ）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（i 432ln 21π+ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f（ 0 ）；4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

复变函数与积分变换试卷(答案)

复变函数与积分变换试卷(答案)

一、填空题(每题3分，共30分)1. 设i z -=,则=)arg(z 2π-；2.i z -=1的指数式为i e 42π-；3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰c zdz i__ ； 4.函数iay x z f +=2)(在复平面内处处解析，那么实常=a ___2__；5. 幂级数∑∞=02n n n z 的收敛半径=R 21；6. 函数)1(1)(z z z f -=在圆环10<<z 内的洛朗展开式为...1132+++++z z z z ； 7. 积分=⎰=dz z z 1||tan __0______；8. i z -=是函数222)1()(+=z z z f 2 级极点； 9、221)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是t e e e t t i t i cos 2)1()1(---+-+或 ； 10.单位脉冲函数)3(-t δ的傅氏变换=-⎰+∞∞--dt e t t j ωδ)3(jw e 3-； 二、（本题12分）1、求21的所有值 解：1221Ln e =……………………………………………………………………..2分=)]21(arg 1[ln 2πk i e ++ （2,1,0±±=k ）…………………………… .…….2分 =)22sin()22cos(ππk i k + （2,1,0±±=k ）……………………2分2、解方程0cos =z 解：02cos =+=-iziz e e z …………………………………………………1分 即0=+-iz iz e e ，即12-=iz e设iy x z +=，则有)1(1122-⨯=-=+-xi y e所以 ππn x e y 22,12+==- (...2,1,0±±=n ) ……………….. 3分 所以有：ππn x y +==2,0 (...2,1,0±±=n ) 即ππn z +=2 (...2,1,0±±=n ) …………………2分三、. 将函数22)(ze zf z-=在圆环10<<z 内展开为洛朗级数。

哈工程复变函数与积分变换期末试题及答案

哈工程复变函数与积分变换期末试题及答案

哈工程复变函数与积分变换期末试题及答案哈工程复变函数与积分变换期末试题及答案哈尔滨工程大学复变(1、下列函数中在原点不连续的为____-____ )分 ( ) .2Cf ( z) dz z n 1B. ( 1)n 1 2a n C. ( 1)n 1 4 ia n()A. ( 1)n 1 4 ia nD. ( 1)n 1 2a nRe z A. f ( z ) 1 z(Re z )2 B. f ( z ) zC. f ( z )Re z 2 z2D. f ( z )(Re z 2 ) 2 z7、设 f ( z) A. 01 1 , 则 Re s[ f ( z ),1] ( z 1) s i n z 1 ( z 1)2B. 1 C.2 D.2 i()2、设 f ( z) _2 iy 2 , 则 f (1 i) A. 2 B. 2i C. 1 i(D. 2 2i) .1、 (1 i)(1 2i ).姓名：3、设 f ( z ) 在圆环域 H : R1 z z0 R2 内的洛朗展开式为f ( z) 绕z0 的任一条正向简单闭曲线，那么 dz c( z z )2 0n c (z z )n 0n, c为H 内 ( ) .2 、若幂级数 cn ( z i ) n 在 z i 处发散，那么该级数在 z 2 处的敛散性n 0为.iv ( 是 _ , 解 y ) 析函数，且 u v _2 y 2 2 _y , 则装A. 2 ic 1B. 2 ic1C. 2 ic2D. 2 if ( z0 )3 、设 f ( z) u( _, y)f ( z)z i 4、分式线性映射 w 将下半平面 Im z 0 保形映射为 z i.(D. w 1) .订A. Im w 0B. Im w 0C.w 1sin 2 d ,其中 z 2 ,则 f (3) 4、设 f ( z ) 2 z.5、下列命题或论断中，错误的个数是() .学号：线I:若 f ( z ) 在 z0 处连续，则 f ( z) 也在 z0 处连续；Ⅱ:当 _ 3 y 0时，函数 f ( z ) 1 3 _ 3 y 3i 解析； 31 dz 0 ; C z2f ( z ) 5、设 z a 为 f ( z ) 的 m 阶极点，则 Re s , a f ( z ) .6、设 f (t ) sin 5 u(t )d ,这里 u(t ) 是单位阶跃函数， F ( )是 f (t ) 傅立叶变换得到的象函数，则 F ( ) 7 、函数 F (s) f (t )III:对任意不通过原点的简单闭曲线 C , Ⅳ : zn n 0.1 1 ( 0 a 1 )的收敛半径为； zn , n a n 0 1 a2s 3 , f (t ) 为 F ( s ) 拉普拉斯逆变换得到的象原函数，则 s2 9.Ⅴ: z 0 是sin z 的二阶极点。

《复变函数与积分变换》试卷及答案

《复变函数与积分变换》试卷及答案

《复变函数与积分变换》试卷及答案一、填空题（本题共8小题，每小题2分，满分16分） 二、（1）)ln(-1i +的虚部是π43 三、（2）映射zw 1=把z 平面上的曲线122=+y x 映成w 平面上的曲线是 122=+v u 四、（3）设)nxy x (i y x my )z (f 23233++-=解析函数，则常数=m 1 ，=n -3 五、（4）沿x y =计算积分()i dz iy xi 6561102+-=+⎰+六、（5）若)2)((cos )(--=z i z z z f 的Taylor 级数为∑∞=+-01n nn )i z (c ，则该级数的收敛半径为2七、（6）设()z f 在10<<z 内解析，且()10=→z zf lim z ，则 ()[]=0,z f s Re i π2八、（7）设⎩⎨⎧≥<=,t ,,t ,)t (f 01001 ⎩⎨⎧≥<=,0,sin ,0,0)(2t t t t f 则=*)()(21t f t f ⎩⎨⎧<≥-0001t t t cos 九、（8）设t cos e )t (f t=，则)t (f 的Laplace 变换为[]=)t (f 2212+--s s s 二、选择题（本题共5小题，每小题2分，满分10分。

） （1）2z )z (f =在0=z 处（B ）（A ）解析 （B ）可导（C ）不可导 （D ）既不解析也不可导 （2）下列命题中正确的是（ D ）（A ）设y ,x ,iy x z +=都是实数，则()1≤+iy x sin （B ）设)z (g )z z ()z (f m--=0，)z (g 在点0z 解析，m 为自然数，则0z 为()z f 的m 级极点（C ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （D ）幂级数的和函数在收敛圆内解析（3）级数∑∞=-+02))1(1(n n n in（A ）（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定（4）设0=z 是zsin z e z421-的 m 级极点，则=m （ C ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（5）设)()(0t t t f -=δ，则的)t (f 的Fourier 变换[]=)(t f （ D ）。