第六章 数理统计的基本概念(1)

分别为总体的样本均值和样本方差分别为总体的样本均值和样本方差独立同服从分布由分布的性质知为来自x的简单随机样本x是样本均值为总体x的样本为总体y的样本的样本均值分别表示总体证明由抽样分布的知识可得11独立又两个总体相互独立
.第六章 数理统计基本概念
一、基本要求、重点与难点
（一）基本要求
1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念。掌握样本均值和样本 方差的计算。
（2）设 X ~ χ 2 (n) ，则 E(X)=n，D(X)=2n .
若 X ~ χ 2 (n) ，对于α (0 < α < 1) ，称满足 P( X > χα2 (n)) = α的点χα2 (n) 为 χ 2 (n) 分布的
上侧α 分位点。当 n>45 时，R.A.Fisher 证明了下面的近似公式
( ) χα2
(n)
≈
1 2
uα +
2
2n −1 ,
其中 uα 为标准正态分布的上侧α 分位点。
2、 自由度为 n 的 t 分布：
定义设 X1, X2 独立，X1～N(0,1)， X2～ χ 2 (n) ，则称
T (n) = X1 X 2 n
的分布是自由度为 n 的 t 分布,简记为 t(n) ，亦称为学生（student）分布。这种分布是英国人 w.s.Gosset 在 1908 年以笔名”student”发表的，它是数理统计中最重要的分布之一。 命题 设 T(n)是自由度为 n 的 t 分布，则它的概率密度函数为：
2．会列出分组数据统计表。 3．了解X2-分布、t-分布和F-分布的定义及性质。了解分位数的概念并会查
表计算。 4．掌握正态总体的抽样分布规律。
（二）重点
1．样本均值和样本方差的计算。 2．分组数据统计表。 3．正态总体的抽样分布规律。

n1 Γ( ) 2 n 1 x 2 fT ( x ) (1 ) 2 , n n n Γ ( ) 2
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;

4 2
4.设总体
ξ N (1, 2) ， ξ1 , ξ 2 , , ξ 4 为其样本，记
2
η 得 服从 χ (m) 分布，自由度 m 取何值？ 解：
i =1 ξ − η = k[∑ 4] ，试问 k 取何值时，使 i
ξ N (1, 2)
∑ξ
i =1
4
i
N (4,16) ⇒
4
∑ξ
i =1
ξ1 N (a,
σ2
) = N (20,
与极小值的分布。
| ξ − ξ2 | 的 分 布 ， 解 ：（ 1 ） . 当 样 本 容 量 n = 2 时 ， 极 差 的 分 布 即 为 1
η = ξ1 − ξ 2 N (0, 2σ 2 )
) P{| η |< x= } P{| F|η | ( x= =P{| φ |<
3.设总体 服从正态分布
ξ
N (0, σ ) ， ξ1 , ξ 2 , , ξ 4 为其样本，试问
η=
解：
(ξ1 − ξ 2 ) 2 (ξ3 + ξ 4 ) 2 服从什么分布？
ξ1 − ξ 2 N (0,
) 2 2 ⇒ ξ3 + ξ 4 σ ξ3 + ξ 4 N (0, ) N (0,1) σ 2 2
公式，得
1 fη ( y1 ,= y2 , , yn ) (2π ) exp{− (Ty ) '(Ty )}| J | 2 n − 1 = (2π ) 2 exp{− y ' y} 2 ∴η N n (0, I n )
−
n 2
其中，
I n 为单位矩阵。
2 ξ 服从正态 N (a, σ 2 ) ， ξ1 , ξ 2 , , ξ n 为其样本， ξ 与 S n 分为样本均值及方差. 2 ξ , ξ , , ξ n 相互独立，试求统计量 ξ 又设 n +1 服从正态 N ( a, σ ) ，且与 1 2

(n 2) n n

n 1 2
, x .
t 分布的概率密度图形
图形关于 x 0 对称， lim f ( x; n) 0 , 且 x 当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态 分布的概率密度。
定理 4： X 1， 2， ， n 是抽自正态总体 设 X X
若总体 X 是离散型的，其分布律为：
则样本的联合分布为
§6.2 抽样分布
6.2.1 统计量的概念 由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“ 加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数， 其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来 。 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。 它是完全由样本所决定的量。 定义2：设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体X的样本， g( X 1 , X 2 , , X n ) 是样本 X 1 , X 2 , , X n 的函数，如果 g( X 1 , X 2 , , X n ) 中不包含任何未知参数，则称它 是一个统计量。
1 (0.82)
1 0.7939 0.2061
X ~ N (0, 22 ), X1 , X 2 , X3 , X 4 为其样本，求a,b 例2:总体
(2). (n 1)S / ~ (n 1)
2
X (1). X ~ N ( ， / n)， 或 ~ N (0，) ； 1 / n 2 2 2
2
X (3). X 与 S 相互独立； (4). ~ t(n 1). S/ n
定理5：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自总体 2 两样本独立， X ~ N ( 1 , 12 )和Y ~ N ( 2 , 2 )的样本， 2 S12 / S2 则有 F 2 ~ F ( m 1, n 1). 2 1 / 2 定理6*：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自