定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。
本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。
1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。
通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。
以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。
这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。
2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。
例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。
同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。
这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。
3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。
在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。
通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。
这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。
4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。
在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。
通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。
这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。
综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。
无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。
通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。
第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。
教学重点：1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。
教学难点：1、截面面积为已知的立体体积。
2、引力。
§6. 1 定积分的元素法回忆曲边梯形的面积:设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分,⎰=b adx xfA)(是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数⎰=x adt tfxA)()(就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值∆A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素.以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间的定积分:⎰=b adx xfA)(.一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得⎰=b adx xfU)(.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).§6. 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为dx x f x f S ba ⎰-=)]()([下上.类似地, 由左右两条曲线x =ϕ左(y )与x =ϕ右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为⎰-=d c dy y y S )]()([左右ϕϕ.例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1].(3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上.(4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=⎰x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4].(3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ. (4)计算积分⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+by a x所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ⎰=aydx S 04. 椭圆的参数方程为:x =a cos t , y =b sin t ,于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b⎰-=022sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=22.2．极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素:由曲线ρ=ϕ(θ)及射线θ =α, θ =β围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为 θθϕd dS 2)]([21=. 曲边扇形的面积为⎰=βαθθϕd S 2)]([21. 例4. 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0变到2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解: ⎰=πθθ202)(21d a S 32203234]31[21πθπa a ==. 例5. 计算心形线ρ=a (1+cos θ ) (a >0) 所围成的图形的面积.解: ⎰+=πθθ02]cos 1([212d a S ⎰++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d a πθθθπ20223]2s i n 41s i n 223[a a =++=.二、体 积1．旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.设过区间[a , b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ), 当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为∆V =π[f (x )]2dx , 于是体积元素为dV = π[f (x )]2dx ,旋转体的体积为dx x f V ba 2)]([π⎰=.例1 连接坐标原点O 及点P (h , r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.解: 直角三角形斜边的直线方程为x hr y =. 所求圆锥体的体积为dx x h r V h20)(π⎰=h x h r 0322]31[π=231hr π=. 例2. 计算由椭圆12222=+by a x 所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 22x a ab y -= 及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体. 体积元素为dV = π y 2dx ,于是所求旋转椭球体的体积为⎰--=a a dx x a a bV )(2222πa a x x a ab --=]31[3222π234ab π=. 例3 计算由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, 直线y =0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为⎰=a x dx y V ππ202⎰-⋅-=ππ2022)cos 1()cos 1(dt t a t a⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(dt t t t a=5π 2a 3.所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则⎰⎰-=a a y dy y x dy y x V 20212022)()(ππ ⎰⎰⋅--⋅-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a⎰--=ππ2023sin )sin (tdt t t a =6π 3a 3 .2．平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x 轴的投影区间为[a , b ], 过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截, 截面面积为A (x ), 则体积元素为A (x )dx , 立体的体积为dx x A V b a )(⎰=.例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角α. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴, 底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R -. 因而截面积为αtan )(21)(22x R x A -=. 于是所求的立体体积为 dx x R V R R αtan )(2122-=⎰-ααtan 32]31[tan 21332R x x R R R =-=-. 例5. 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x 轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x 轴上的点x (-R <x <R )作垂直于x 轴的平面, 截正劈锥体得等腰三角形. 这截面的面积为22)(x R h y h x A -=⋅=.于是所求正劈锥体的体积为⎰--=R R dx x R h V 22h R d h R 2202221c o s 2πθθπ==⎰ . 三、平面曲线的弧长设A , B 是曲线弧上的两个端点. 在弧AB 上任取分点A =M 0, M 1, M 2, ⋅ ⋅ ⋅ , M i -1, M i , ⋅ ⋅ ⋅, M n -1, M n =B , 并依次连接相邻的分点得一内接折线. 当分点的数目无限增加且每个小段M i -1M i 都缩向一点时, 如果此折线的长∑=-ni i i M M 11||的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB 的弧长, 并称此曲线弧AB 是可求长的.定理 光滑曲线弧是可求长的.1．直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y =f (x ) (a ≤x ≤b )给出, 其中f (x )在区间[a , b ]上具有一阶连续导数. 现在来计算这曲线弧的长度.取横坐标x 为积分变量, 它的变化区间为[a , b ]. 曲线y =f (x )上相应于[a , b ]上任一小区间[x , x +dx ]的一段弧的长度, 可以用该曲线在点(x , f (x ))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而切线上这相应的小段的长度为dx y dy dx 2221)()('+=+,从而得弧长元素(即弧微分)dx y ds 21'+=. 以dx y 21'+为被积表达式, 在闭区间[a , b ]上作定积分, 便得所求的弧长为⎰'+=ba dx y s 21. 在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为dx y ds 21'+=, 这也就是弧长元素. 因此 例1. 计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度. 解: 21x y =', 从而弧长元素 dx x dx y ds +='+=112.因此, 所求弧长为b a b a x dx x s ])1(32[123+=+=⎰])1()1[(322323a b +-+=. 例2. 计算悬链线cx c y ch =上介于x =-b 与x =b 之间一段弧的长度. 解: cx y sh =', 从而弧长元素为 dx cx dx c x ds ch sh 12=+=. 因此, 所求弧长为⎰⎰==-b b b dx cx dx c x s 0ch 2ch c b c dx c x c b sh 2]sh [20==. 2．参数方程情形设曲线弧由参数方程x =ϕ(t )、y =ψ(t ) (α≤t ≤β )给出, 其中ϕ(t )、ψ(t )在[α, β]上具有连续导数.因为)()(t t dx dy ϕψ''=, dx =ϕ'(t )d t , 所以弧长元素为 dt t t dt t t t ds )()()()()(12222ψϕϕϕψ'+'='''+=. 所求弧长为⎰'+'=βαψϕdt t t s )()(22. 例3. 计算摆线x =a (θ-sin θ), y =a (1-cos θ)的一拱(0 ≤θ ≤2π )的长度.解: 弧长元素为θθθd a a ds 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=. 所求弧长为⎰=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a =8a .3．极坐标情形设曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ) (α ≤ θ ≤ β )给出, 其中r (θ)在[α, β]上具有连续导数. 由直角坐标与极坐标的关系可得x =ρ(θ)cos θ , y =ρ(θ)sin θ(α ≤θ ≤ β ).于是得弧长元素为θθθd y x ds )()(22'+'=θθρθρd )()(22'+=.从而所求弧长为⎰'+=βαθθρθρd s )()(22.例14. 求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ 从0到2π 一段的弧长.解: 弧长元素为θθθθd a d a a ds 22221+=+=.于是所求弧长为⎰+=πθθ2021d a s )]412ln(412[222ππππ++++=a . §6. 3 功 水压力和引力一、变力沿直线所作的功例1 把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点O 处, 它产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O 为r 的地方, 那么电场对它的作用力的大小为2r q k F = (k 是常数). 当这个单位正电荷在电场中从r =a 处沿r 轴移动到r =b (a <b )处时, 计算电场力F 对它所作的功. 例1' 电量为+q 的点电荷位于r 轴的坐标原点O 处它所产生的电场力使r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到r =b (a <b )处求电场力对单位正电荷所作的功.提示: 由物理学知道, 在电量为+q 的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2r q k F = (k 是常数). 解: 在r 轴上, 当单位正电荷从r 移动到r +dr 时, 电场力对它所作的功近似为dr r q k2, 即功元素为dr r q kdW 2=. 于是所求的功为dr rkq W b a 2⎰=b a r kq ]1[-=)11(b a kq -=. 例2. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推移到点b 处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功. 解: 取坐标系如图, 活塞的位置可以用坐标x 来表示. 由物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 压强p 与体积V 的乘积是常数k , 即pV =k 或Vk p =. 解: 在点x 处, 因为V =xS , 所以作在活塞上的力为xk S xS k S p F =⋅=⋅=. 当活塞从x 移动到x +dx 时, 变力所作的功近似为dx xk , 即功元素为dx xk dW =. 于是所求的功为dx x k W b a ⎰=b a x k ][ln =ab k ln =. 例3. 一圆柱形的贮水桶高为5m , 底圆半径为3m , 桶内盛满了水. 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解: 作x 轴如图. 取深度x 为积分变量. 它的变化区间为[0, 5], 相应于[0, 5]上任小区间[x , x +dx ]的一薄层水的高度为dx . 水的比重为9.8kN/m 3, 因此如x 的单位为m , 这薄层水的重力为9.8π⋅32dx . 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW =88.2π⋅x ⋅dx ,此即功元素. 于是所求的功为⎰=502.88xdx W π502]2[2.88x π=2252.88⋅=π(kj). 二、水压力从物理学知道, 在水深为h 处的压强为p =γh , 这里 γ 是水的比重. 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处, 那么, 平板一侧所受的水压力为P =p ⋅A .如果这个平板铅直放置在水中, 那么, 由于水深不同的点处压强p 不相等, 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算.例4. 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水. 设桶的底半径为R , 水的比重为 γ , 计算桶的一个端面上所受的压力.解: 桶的一个端面是圆片, 与水接触的是下半圆. 取坐标系如图.在水深x 处于圆片上取一窄条, 其宽为dx , 得压力元素为dx x R x dP 222-=γ.所求压力为⎰-=R dx x R x P 022 2γ)()(2221220x R d x R R ---=⎰γ R x R 02322])(32[--=γ332R r =. 三、引力从物理学知道, 质量分别为m 1、m 2, 相距为r 的两质点间的引力的大小为221r m m G F =, 其中G 为引力系数, 引力的方向沿着两质点连线方向.如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 那么, 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的, 且各点对该质点的引力的方向也是变化的, 就不能用上述公式来计算.例5. 设有一长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒, 在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点M . 试计算该棒对质点M 的引力.例5'. 求长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒对其中垂线上距棒a 单位处质量为m 的质点M 的引力.解: 取坐标系如图, 使棒位于y 轴上, 质点M 位于x 轴上, 棒的中点为原点O . 由对称性知, 引力在垂直方向上的分量为零, 所以只需求引力在水平方向的分量. 取y 为积分变量, 它的变化区间为]2 ,2[l l -. 在]2,2[l l -上y 点取长为dy 的一小段, 其质量为ρdy , 与M 相距22y a r +=. 于是在水平方向上, 引力元素为2222y a a y a dy m G dF x +-⋅+=ρ2/322)(y a dy am G +-=ρ. 引力在水平方向的分量为⎰-+-=222/322)(llx y a dy am G F ρ22412l a a l Gm +⋅-=ρ.。
第六章 定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分．§ 6.1 定积分的概念与性质1. 定积分的定义我们先来研究两个实际问题． 例1 计算曲边梯形的面积设)(x f y =为闭区间],[b a 上的连续函数，且0)(≥x f ．由曲线)(x f y =，直线b x a x == ,及x 轴所围成的平面图形(图6—1)称为)(x f 在],[b a 上的曲边梯形，试求这图6—1我们先来分析计算会遇到的困难．由于曲边梯形的高)(x f 是随x 而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积．但我们可以用平行于y 轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图6—1所示．在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值．容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法．下面我们分三步进行具体讨论：(1) 分割 在],[b a 中任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为1--=∆i i i x x x ),,2,1( n i =．(2) 近似求和 在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ，作和式ini ixf ∆∑=1)(ξ(1.1)(3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A )．因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有A xf ini i→∆∑=1)(ξ．例2 求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度v 是时间t 的连续函数)(t v v =．试求该物体从时刻a t =到时刻b t =一段时间内所经过的路程s ．因为)(t v v =是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程．但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题．(1) 用分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210把时间区间],[b a 任意分成n 个子区间(图6—2)： ],[10t t ，],[21t t ，…，],[1n n t t -． 每个子区间的长度为1--=∆i i i t t t (n i ,2,1=)．图6—2(2) 在每个子区间],[1i i t t - (n i ,2,1=)上任取一点i τ，作和式i ni it v ∆∑=1)(τ．(3) 当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有s t v i ni i→∆∑=1)(τ．以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念．定义6.1.1 设函数)(x f 在],[b a 上有定义，在),(b a 内任取1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为1--=∆i i i x x x ),,2,1( n i =．在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ(称为介点)，作和式i ni i x f ∆∑=1)(ξ，并记{}i ni x ∆=≤≤1max λ．如果不论对],[b a 怎样划分成子区间，也不论在子区间],[1i i x x -上怎样取介点i ξ，只要当0→λ时，和式(1.1)总趋于确定的值I ，则称这极限值I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作⎰ba dx x f )(，即i ni i bax f I dx x f ∆==∑⎰=→1)(lim )(ξλ (1.2)其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分的下限和上限．关于定积分的定义，再强调说明几点：(1) 区间],[b a 划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或n 的大小来确定．因为尽管n 很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小．所以在求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度0→λ，这时必然有∞→n ．(2) 定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限．尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着，但当0→λ时却都以唯一确定的值为极限．只有这时，我们才说定积分存在．(3) 从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数)(x f 在],[b a 上有界．因为如果不然，当把],[b a 任意划分成n 个子区间后，)(x f 至少在其中某一个子区间上无界．于是适当选取介点i ξ，能使)(i f ξ的绝对值任意地大，也就是能使和式(1.1)的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值．(4) 由定义可知，当)(x f 在区间],[b a 上的定积分存在时，它的值只与被积函数)(x f 以及积分区间],[b a 有关，而与积分变量x 无关，所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变，即有⎰⎰⎰===b aba badu u f dt t f dx x f )()()( ．(5) 我们仅对b a <的情形定义了积分⎰b adx x f )(，为了今后使用方便，对b a =与b a >的情况作如下补充规定：当b a =时，规定0)(=⎰ba dx x f ；当b a >时，规定⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(．根据定积分的定义，我们说：例1中)(x f 在],[b a 上的曲边梯形的面积就是曲线的纵坐标)(x f 从a 到b 的定积分⎰=ba dx x f A )(．它就是定积分的几何意义．注意到若0)(≤x f ，则由0)(≤i f ξ及0>∆i x 可知⎰≤badx x f 0)(．这时曲边梯形位于x 轴的下方，我们就认为它的面积是负的．因此当)(x f 在区间],[b a 上的值有正有负时，定积分⎰b adx x f )(的值就是各个曲边梯形面积的代数和，如图6—3所示．例2中物体从时刻a 到时刻b 所经过的路程就是速度)(t v 在时间区间],[b a 上的定积分⎰=ba dt t v s )(．对应于导数的力学意义，我们也说它是定积分的力学意义．当)(x f 在区间],[b a 上的定积分存在时，就称)(x f 在],[b a 上可积，说明(3)表明：)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是)(x f 在],[b a 上有界．下面是函数可积的两个充分条件，证明从略．定理6.1.1(1) 若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积．(2) 若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积．2. 定积分的基本性质定理6.1.2 (积分的线性性质)(1) 若)(x f 在],[b a 上可积，k 为常数，则)(x kf 在],[b a 上可积，且⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( (1.3)(2) 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上可积，则)()(x g x f ±在],[b a 上也可积，且⎰⎰⎰±=±babab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([． (1.4)证 根据定义，有⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→bani i i ni i i badx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(11ξξλλ．所以(1.3)式成立．类似可证(1.4)式成立．定理6.1.2的更一般的结论是⎰∑⎰∑===baj j nj b a nj j jdx x f k dx x f k)( )(11．其中)(x f j ),,2,1( n j =在],[b a 上可积，)(x k j ),,2,1( n j =为常数．定理6.1.3 (积分对区间的可加性) 设)(x f 是可积函数，则⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()( (1.5)对c b a , ,任何顺序都成立．证 先考虑b c a << 的情形．由于)(x f 在],[b a 上可积，所以不论将区间],[b a 如何划分，介点i ξ如何选取，和式的极限总是存在的．因此，我们把c 始终作为一个分点，并将和式分成两部分：i i i i iix f x f x f ∆+∆=∆∑∑∑21)()()(ξξξ，其中∑∑21,分别为区间],[c a 与],[b c 上的和式．令最长的小区间的长度0→λ，上式两边取极限，即得(1.5)式．对于其它顺序，例如c b a << ，有⎰⎰⎰+=cbb acadx x f dx x f dx x f )()()(，所以⎰⎰⎰-=cbc abadx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bccadx x f dx x f )()(．(1.5)式仍成立．定理6.1.4 (积分的不等式性质) 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上可积，且)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤ba badx x g dx x f )()(． (1.6)证⎰⎰⎰-=-b ababadx x f x g dx x f dx x g )]()([)()(i ni i i x f g ∆-=∑=→1)]()([lim ξξλ．由假设知0)()(≥-i i f g ξξ，且0>∆i x ),,2,1( n i =，所以上式右边的极限值为非负，从而有⎰⎰≥babadx x f dx x g )()(．(1.6)式成立．从定理6.1.4立刻推出推论6.1.1 若)(x f 在],[b a 上可积，且0)(≥x f ，则0)(≥⎰badx x f ．推论 6.1.2 (积分估值) 若)(x f 在],[b a 上可积，且存在常数m 和M ，使对一切],[b a x ∈有M x f m ≤≤)(，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰．推论6.1.3 若)(x f 在],[b a 上可积，则 )( x f 在],[b a 上也可积，且dx x f f(x)dx bab a)( ⎰⎰≤．这里 )( x f 在],[b a 上的可积性可由)(x f 的可积性推出，其证明省略．推论 6.1.4 (严格不等式) 设)(x f 是],[b a 上的连续函数，若在],[b a 上0)(≥x f 且0)(≡x f ，则0)(>⎰badx x f ．证 由假设知，存在),(0b a x ∈使0)(0>x f ，根据)(x f 的连续性，必存在0x 的邻域],[),(00b a x x ⊂+-δδ，使在其中2)()(0x f x f >，从而有⎰⎰⎰⎰++--++=b x x x x abadx x f dx x f dx x f dx x f δδδδ0000)()()()(0)( 22)()(0000>=⋅>≥⎰+-x f x f dx x f x x δδδδ， 所以结论成立．定理6.1.5 (积分中值定理) 若)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ． (1.7)证 因为)(x f 在],[b a 上连续，所以)(x f 在],[b a 上可积，且有最小值m 和最大值M ．于是在],[b a 上，)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰，或M ab dx x f m ba≤-≤⎰)(．根据连续函数的介值定理可知，在],[b a 上至少存在一点ξ，使)()(ξf ab dx x f ba=-⎰所以(1.7)式成立．若)(x f 在],[b a 上连续且非负，则)(x f 在],[b a 上的曲边梯形面积等于与该曲边梯形同底，以ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ为高的矩形面积．通常把)(ξf ，即ab dx x f ba-⎰)(称为函数)(x f 在],[b a 上的积分均值，而这正是算术平均值概念的推广．定理6.1.6 (推广的积分中值定理) 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上连续，且)(x g 在],[b a 上不变号，则在],[b a 上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba badx x g f dx x g x f )()()()(ξ (1.8)证 不妨设在],[b a 上有0)(≥x g ，则0)(≥⎰b adx x g ，且在],[b a 上 )()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，其中M m ,分别为)(x f 在],[b a 上的最小值与最大值．由此推出⎰⎰⎰≤≤bababadx x g M dx x g x f dx x g m )()()()(．若⎰=badx x g 0)(，则由上式知0)()(=⎰badx x g x f ．从而在],[b a 上任取一点作为ξ，(1.8)式都成立．若0)(>⎰b adx x g ，则得M dxx g dxx g x f m baba≤≤⎰⎰)()()(．按连续函数的介值定理推出，在],[b a 上至少存在一点ξ，使)()()()(ξf dxx g dxx g x f baba=⎰⎰所以(1.8)式也成立．§ 6.2 微积分学的基本定理与基本公式若已知)(x f 在] ,[b a 上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的．本节将通过揭示微分和积分的关系，引出一个简捷的定积分的计算公式．1. 微积分学基本定理设函数)(x f 在区间] ,[b a 上可积，则对] ,[b a 中的每个x ，)(x f 在] ,[x a 上的定积分dx t f xa)(⎰都存在，也就是说有唯一确定的积分值与x 对应，从而在] ,[b a 上定义了一个新的函数，它是上限x 的函数，记作)(x Φ，即dt t f x xa )()(⎰=Φ， ] ,[b a x ∈．这个积分通常称为变上限积分．定理6.2.1 设)(x f 在] ,[b a 上可积，则dt t f x xa )()(⎰=Φ是] ,[b a 上的连续函数．证 任取] ,[b a x ∈及0≠∆x ，使] ,[b a x x ∈∆+．根据积分对区间的可加性， dt t f dt t f dt t f x x x xx xx axx a)( )( )()()(⎰⎰⎰∆+∆+=-=Φ-∆+Φ=∆Φ．由于)(x f 在] ,[b a 上连续，从而有界，即存在0>M ，使对一切] ,[b a x ∈有M x f ≤ )( ，于是)( )( x M dt t f x xx x∆≤=Φ⎰∆+．故当0→∆x 时有0)(→∆Φx ．所以)(x Φ在x 连续，由] ,[b a x ∈的任意性即知)(x Φ是] ,[b a 上的连续函数．定理6.2.2 (原函数存在定理) 设)(x f 在] ,[b a 上连续，则dt t f x xa)()(⎰=Φ在],[b a 上可导，且)()(x f x =Φ'， ] ,[b a x ∈， 也就是说)(x Φ是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．证 任取] ,[b a x ∈及0≠∆x ，使] ,[b a x x ∈∆+．应用积分对区间的可加性及积分中值定理，有 x x x f dt t f x x x x x x∆∆+==Φ-∆+Φ=∆Φ⎰∆+) ( )()()(θ，或) (x x f x∆+=∆∆Φθ， )10(≤≤θ． (2.1) 由于)(x f 在] ,[b a 上连续，)() (lim 0x f x x f x =∆+→∆θ．故在(2.1)中令0→∆x 取极限，得)(lim 0x f xx =∆∆Φ→∆．所以)(x Φ在] ,[b a 上可导，且)()(x f x =Φ'．由] ,[b a x ∈的任意性推知)(x Φ就是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．本定理回答了我们自第五章以来一直关心的原函数的存在问题．它明确地告诉我们：连续函数必有原函数，并以变上限积分的形式具体地给出了连续函数)(x f 的一个原函数．回顾微分与不定积分先后作用的结果可能相差一个常数．这里若把)()(x f x =Φ'写成)( )(x f dt t f dx d xa=⎰， 或从 dx x f x d )()(=Φ推得)()( )(x dt t f t d xaxaΦ==Φ⎰⎰，就明显看出微分和变上限积分确为一对互逆的运算．从而使得微分和积分这两个看似互不相干的概念彼此互逆地联系起来，组成一个有机的整体．因此定理6.2.2也被称为微积分学基本定理．推论6.2.1 设)(x f 为连续函数，且存在复合)]([x f ϕ与)]([x f ψ，其中)(x ϕ，)(x ψ皆为可导函数，则)()]([)()]([ )()()(x x f x x f dt t f dxd x x ψψϕϕϕψ'-'=⎰ (2.2) 证 令⎰=Φxadt t f x )()(，a 为)(x f 的连续区间内取定的点．根据积分对区间的可加性，有dt t f dt t f dt t f x ax ax x )( )( )()()()()(⎰⎰⎰-=ψϕϕψ)]([)]([x x ψϕΦ-Φ=．由于)(x f 连续，所以)(x Φ为可导函数，而)(x ϕ和)(x ψ皆可导，故按复合函数导数的链式法则，就有)()]([)()]([ )()()(x x x x dt t f dxd x x ψψϕϕϕψ'Φ'-'Φ'=⎰ )()]([)()]([x x f x x f ψψϕϕ'-'=．所以(2.2)式成立．例1. 证明：若)(x f 在),(+∞-∞内连续，且满足dt t f x f x)()(0⎰=，则0)(≡x f ．证 由假设知dt t f x f x)()(0⎰=在),(+∞-∞内可导，且)()(x f x f ='．令x e x f x F -=)()(， ),(+∞-∞∈x ，则0)()()(=-'='--x x e x f e x f x F ．所以c x F ≡)(，),(+∞-∞∈x ．由于0)0()0(==f F ，可得0)(≡x F ．从而有0)()(≡=x e x F x f ，),(+∞-∞∈x ．例2. 求21cos 02limxdt e xt x ⎰-→．解 应用洛比达法则，原式1cos 0cos 02121sin lim 2)(cos lim22--→-→=⋅='-=e e x x xx e x x x x ． 2. 牛顿——莱布尼兹公式定理6.2.3 设)(x f 在] ,[b a 上连续，若)(x F 是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数，则)()( )(a F b F dx x f ba-=⎰(2.3)证 根据微积分学基本定理，dt t f x a)(⎰是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．因为两个原函数之差是一个常数，所以C x F dt t f xa+=⎰)( )(， ] ,[b a x ∈．上式中令a x =，得)(a F C -=，于是)()( )(a F x F dt t f xa-=⎰．再令b x =，即得(2.3)式．在使用上，公式(2.3)也常写作 b a bax F dx x f )]([ )(=⎰，或b a bax F dx x f )( )(=⎰．公式(2.3)就是著名的牛顿——莱布尼兹公式，简称N —L 公式．它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系：)(x f 在] ,[b a 上的定积分等于它的任一原函数)(x F 在] ,[b a 上的增量，从而为我们计算定积分开辟了一条新的途径．它把定积分的计算转化为求它的被积函数)(x f 的任意一个原函数，或者说转化为求)(x f 的不定积分．在这之前，我们只会从定积分的定义去求定积分的值，那是十分困难的，甚至是不可能的．因此 N —L 公式也被称为微积分学基本公式．例3 计算下列定积分 (1) dx x x 422-⎰； (2))0( 3022≠+⎰a x a dxa；(3)dx x 112⎰-； (4)⎰π20sin dx x ．解 (1) 原式38)4(3120223=--=x ． (2) 原式aa axa a33arctan 1arctan130π===． (3) 原式1022)]1ln(2112[x x x x ++++= )]21ln(2[21++=． (4) 原式⎰⎰-+=πππ20)sin ( sin dx x dx x4cos cos 20=+-=πππxx．例4 设⎩⎨⎧≤<-≤≤+=31,310 ,1)(2x x x x x f ，求⎰30)(dx x f ．解 ⎰⎰⎰-++=311023)3( )1( )(dx x dx x dx x f313)23()3(312103=+++=x x x x ．§ 6.3 定积分的换元积分法与部分积分法有了牛顿——莱布尼兹公式，使人感到有关定积分的计算问题已经完全解决．但是能计算与计算是否简便相比，后者则提出更高的要求．在定积分的计算中，除了应用N —L 公式，我们还可以利用它的一些特有性质，如定积分的值与积分变量无关，积分对区间的可加性等，所以与不定积分相比，使用定积分的换元积分法与分布积分法会更加方便．1. 定积分的换元积分法定理6.3.1 设函数)(x f 在] ,[b a 上连续，函数)(t x ϕ=在I (] ,[βα=I 或] ,[αβ)上有连续的导数，并且a =)(αϕ，b =)(βϕ，)( )(I t b t a ∈≤≤ϕ，则⎰⎰'=badt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)( (3.1)证 由于)(x f 与)()]([t t f ϕϕ'皆为连续函数，所以它们存在原函数，设)(x F 是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数，由复合函数导数的链式法则有)()]([)()()()())]([(t t f t x f t x F t F ϕϕϕϕϕ'='=''='，可见)]([t F ϕ是)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数．利用N —L 公式，即得⎰⎰=-=-=='badx x f a F b F F F t F t t f )()()()]([)]([)]([ )()]([αϕβϕϕϕϕβαβα．所以(3.1)式成立．公式(3.1)称为定积分的换元公式．若从左到右使用公式(代入换元)，换元时应注意同时换积分限．还要求换元)(t x ϕ=应在单调区间上进行．当找到新变量的原函数后不必代回原变量而直接用N —L 公式，这正是定积分换元法的简便之处．若从右到左使用公式(凑微分换元)，则如同不定积分第一换元法，可以不必换元，当然也就不必换积分限．例1 计算下列定积分 (1) ⎰--14311x dx ； (2)dx xx 121022⎰-；(3)dx x x sin cos 25⎰π； (4) dx x x sin sin 053⎰-π．解 (1) 令t x =-1，则21t x -=，dt t dx 2-=，且当t 从0变到21时，x 从1减到43．于是 原式⎰⎰-+=--=021021)111(212dt t t dt t []2ln 21 1 ln 2210-=-+=t t ．(2) 令t x sin =，则dt t dx cos =，且当t 从0变到21时，x 从0增到6π．于是 原式⎰⎰==660202 sin cos cos sin ππdt t dt t tt831242sin 260-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππt t ．(3) 原式616cos cos cos 2265=-=-=⎰ππx x d x ． (4) 原式⎰⎰⎰-+==ππππ22322323 )cos (sin cos sin cos sin 0dx x x dx x x dx x x⎰⎰-=πππ223223sin sin sin sin 0x d x x d x54sin 52sin 522252250==πππx x ．例 2 设)(x f 在],[a a -上连续，证明：⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．特别当)(x f 为奇函数时，0)(=⎰-aadx x f ；当)(x f 为偶函数时，⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．证： 因为⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 00)()()(，在⎰-0)(adx x f 中，令t x -=，得⎰⎰⎰-=--=-aaadx x f dt t f dx x f 000)()()(．所以⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(．当)(x f 为奇函数时，)()(x f x f -=-，故0)()(=-+x f x f ，从而有0)(=⎰-aadx x f ．当)(x f 为偶函数时，)()(x f x f =-，故)(2)()(x f x f x f =-+，从而有⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．例3 设)(x f 为]1 ,0[上的连续函数，证明： (1) dx x f dx x f ⎰⎰=22)(cos )(sin ππ；(2) dx x f dx x f ⎰⎰=20)(sin 2)(sin ππ(3)dx x f dx x xf ⎰⎰=20)(sin )(sin πππ．证： (1) 令t x -=2π，则dt dx -=，且当t 从0 变到2π时，x 从2π减到0．于是dt t f dt t f dx x f ⎰⎰⎰=--=2220020)(cos ])[(sin )(sin ππππdx x f ⎰=2)(cos π．(2)dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰+=ππππ22)(sin )(sin )(sin 0，在dx x f ⎰ππ2)(sin 中，令t x -=π，得dt t f dt t f dx x f ⎰⎰⎰=--=222)(sin ])[(sin )(sin πππππdx x f ⎰=20)(sin π．所以dx x f dx x f ⎰⎰=20)(sin 2)(sin ππ．(3) 令t x -=π，则dt t f t dx x xf )][sin()()(sin 00---=⎰⎰ππππdt t f t )(sin )(0⎰-=ππdx x xf dx x f ⎰⎰-=πππ0)(sin )(sin ．所以dx x f dx x xf ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sindx x f ⎰=2)(sin ππ (利用(2)的结果)．例2和例3的结果今后经常作为公式使用．例如我们可以直接写出 ⎰-=ππ0c o s 3x d x x，ππππ==⎰⎰dx x dx x x 20sin sin ．2. 定积分的分部积分法定理6.3.2 若)(x u ，)(x v 在] ,[b a 上有连续的导数，则 ⎰⎰'-='babab a dx x u x v x v x u dx x v x u )()()()()()(． (3.2)证 因为)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='， b x a ≤≤．所以)()(x v x u 是)()()()(x v x u x v x u '+'在],[b a 上的一个原函数，应用N —L 公式，得⎰='+'bab a x v x u dx x v x u x v x u )()()]()()()([，利用积分的线性性质并移项即得(3.2)式．公式(3.2)称为定积分的分部积分公式，且简单地写作⎰⎰-=babab av d u uv udv(3.3)例4 计算下列定积分：(1) ⎰210arcsin xdx ； (2)⎰eedx x 1 ln ；(3)⎰2sin πxdx e x； (4)⎰-1dx ex．解 (1) 原式dx xx x x ⎰--=21210201arcsin12312121arcsin 21212-+=-+=πx (2) 原式⎰⎰+-=ee xdx dx x e1ln )ln (1⎰⎰-++-=ee dx x dx x x ee1111ln ln 11)11(2e-=．(3)⎰⎰⎰-==2222000cos sin sin sin ππππxdx e x e xde xdx e x xx xx d x e x e e de x e x xxsin cos cos 2222200⎰⎰--=-=πππππxdx e e x sin 122⎰-+=ππ．所以)1(21s i n 22+=⎰ππe x d x e x．(4) 令t x =，则⎰⎰⎰----=⋅=11122t txt d e t d t e dx et d e te tt ⎰--+-=10102 2ee et422211-=--=--． 例5 (1) 证明⎰⎰=22cos sin ππxdx xdx n n(∈x N +)；(2) 求)cos ( sin 220⎰⎰==ππxdx xdx I n nn 的值．解 由例3(1)即知(1)成立． (2) 当3≥n 时dx x x n x x x xd I n n n n ⎰⎰----+-=-=22222011cos sin )1(cos sincos sinπππdx x x n n ⎰--=-222)sin 1(sin )1(πn n I n I n )1()1(2---=-所以2)1(--=n n I nn I ． 于是当3≥n 为奇数时有13254231I n n n n I n ⋅⋅--⋅-=； 当3≥n 为偶数时有243231I n n n n I n ⋅--⋅-= ． 容易得出1sin 201==⎰πxdx I ，442sin 2sin 220022πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰x x xdx I ． 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅--⋅-⋅--⋅-=为正偶数．为正奇数；n n n n n n n n n n I n ,443231 ,3254231π (3.4) 公式(3.4)称为沃利斯(Wallis)积分公式，它在定积分的计算中经常被应用．例 6 求⎰=π1010sin xdx x J 的值．解 4436587109sin 201010ππππ⋅⋅⋅⋅⋅==⎰xdx J 22560315π=．§ 6.4 广义积分我们在前面讨论定积分时，总假定积分区间是有限的，被积函数是有界的．但在理论上或实际问题中往往需要讨论积分区间无限或被积函数为无界函数的情形．因此我们有必要把积分概念就这两种情形加以推广，这种推广后的积分称为广义积分．1. 无穷限的广义积分定义6.4.1 设函数)(x f 在) ,[∞+a 上有定义，且对任何实数a b >，)(x f 在] ,[b a 上可积，则称形式⎰+∞adx x f )( (4.1)为函数)(x f 在) ,[∞+a 上的广义积分．若极限⎰+∞→bab dx x f )(lim)(a b > (4.2)存在，则称广义积分(4.1)收敛，并以这极限值为(4.1)的值，即⎰⎰+∞→+∞=bab adx x f dx x f )(lim)(．若极限(4.2)不存在，则称广义积分(4.1)发散．由定义可知，我们讨论广义积分(4.1)的敛散性，其含义就是考察变上限积分⎰=ba dx x fb F )()( )(a b >当+∞→b 时的极限是否存在．例1 讨论广义积分⎰∞+π2 1sin 12dx x x 的敛散性．解 任取π2>b ，有⎰⎰-==b bx d x dx x x b F ππ2211sin 1sin 1)(22 b x b1cos 1cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=π，因为11cos lim )(lim ==+∞→+∞→bb F b b ， 所以这广义积分收敛，且1 1sin 122=⎰∞+πdx x x ．若)(x f 在) ,[∞+a 上非负，且广义积分(4.1)收敛，则积分(4.1)的值从几何上解释为由曲线(f y =(图6—5中阴影部分)．图6—5类似地利用极限⎰-∞→baa dx x f )(lim)(b a <定义广义积分⎰∞-b dx x f )(的敛散性．广义积分⎰+∞∞-dx x f )(定义为⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f )( )( )( (4.3)其中a 为任一有限实数．它当且仅当右边的两个广义积分皆收敛时才收敛，否则是发散的．根据积分对区间的可加性，易知(4.3)左边的广义积分的敛散性及收敛时积分的值都与实数a 的选取无关．例2 计算广义积分⎰∞+∞-+21x dx的值．解 ⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++=++∞→-∞→∞+∞-∞+∞-b b a a x dx x dx x dx x dx x dx 0202020221lim 1lim 111πππ=+--=+-=+∞→-∞→2)2()(arctan lim )arctan (lim b a b a为了书写的统一与简便，以后在广义积分的讨论中，我们也引用定积分(也称常义积分) N —L 公式的记法．如例2可写成πππ=--==+∞+∞-∞+∞-⎰)2(2arctan 12x x dx ． 例3 计算广义积分dt te pt ⎰+∞-0)0(>p解dt e pe pt tde p dt te ptptpt pt ⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-=000011 2211p e p pt==∞+- 例4 证明广义积分⎰∞+1p xdx当1>p 时收敛，当1≤p 时发散． 证 当1=p 时，+∞===⎰⎰∞+∞+∞+111ln x x dx xdx p ． 当1≠p 时，⎩⎨⎧<∞+>=-=-∞+-∞+⎰1 ,1 ,1111111p p x px dx p p p ．所以此广义积分当1>p 时收敛，其值为p-11；当1≤p 时发散． 2. 无界函数的广义积分定理6.4.2 设)(x f 在] ,(b a 上有定义，而在a 的右邻域内无界．若对任何正数ε，)(x f 在] ,[b a ε+上可积，则称形式⎰badx x f )(． (4.4)为)(x f 在] ,(b a 上的广义积分．若极限 ⎰+→+b a dx x f εε )(lim 0， (4.5)存在，则称广义积分(4.4)收敛，并以这极限值为它的值，即⎰⎰+→+=ba badx x f dx x f εε )(lim )(0．若极限(4.5)不存在，则称广义积分(4.4)发散．与无穷限广义积分一样，记号(4.4)的含义是指考察变下限积分⎰+=b a dx x f F εε )()(， a b -<<ε0当+→0ε时的极限情形．这里a 称为函数)(x f 的瑕点，因此无界函数的广义积分也称为瑕积分．同样也利用极限⎰-→+εεb adx x f )(lim来定义b 为瑕点的广义积分的敛散性．若)(x f 的瑕点c 在闭区间] ,[b a 的内部，即b c a <<，则广义积分⎰ba dx x f )(定义为⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )( )( )(，它当且仅当右边两个积分都收敛时才收敛，否则左边的广义积分发散．例5 计算广义积分⎰-axa dx 022)0(>a ．解 a x =为函数221xa -的瑕点．εεεε-→-→++=-=-⎰⎰a a aa x xa dxx a dx 00022022][arcsin lim lim21arcsin arcsinlim 0πεε==-=+→a a ．例6 讨论广义积分⎰-112x dx的敛散性．解 0=x 为函数21x的瑕点．由于+∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+++→→→⎰εεεεεε11lim 1lim lim010120x x dx ， 所以广义积分⎰102xdx发散，从而推出广义积分⎰-112x dx 发散．注意，如果我们疏忽了0=x 是瑕点，就会得出错误的结果：2111112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--⎰x x dx ． 例7 证明广义积分⎰1qx dx当1<q 时收敛，当1≥q 时发散． 证 当1=q 时，⎰⎰+∞===10101ln x x dx xdx q ． 当1≠q 时，⎪⎩⎪⎨⎧>∞+<-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰1 ,1 ,11111011q q q x q x dx q q． 所以这广义积分当1<q 时收敛，其值为q-11，当1≥q 时发散． 3. 两种广义积分的联系任何无界函数的广义积分都可以化为无穷限广义积分． 设)(x f 在],(b a 内任何闭区间上都可积，a x =是瑕点，则 ⎰⎰+→+=ba badx x f dx x f εε)(lim )(0．若令ax u -=1，就有 ⎰⎰⎰=+=-+εεϕε111)()1()(2k ba du u udu u a f dx x f ab ，其中)1(1)(2u a f u u +=ϕ，a b k -=1．于是⎰⎰⎰+∞→==+kk badu u du u dx x f )()(lim )(1ϕϕεε，这时上式右边是无穷限广义积分．同样，对于无穷限广义积分⎰⎰+∞→+∞=bab adx x f dx x f )(lim)(，只要令xau =，就有 ⎰⎰⎰=-=112)())(()(ba ba du u du u au a f dx x f baψ， 于是⎰⎰⎰==+∞→+∞11)()(lim)(du u du u dx x f bab aψψ．其中)()(2ua f u a u =ψ，0=u 是它的瑕点，即上式右边为无界函数的广义积分．§ 6.5 定积分的应用定积分是具有特定结构的和式的极限．如果从实际问题中产生的量(几何量或物理量)在某区间],[b a 上确定，当把],[b a 分成若干个子区间后，在],[b a 上的量Q 等于各个子区间上所对应的部分量Q ∆之和(称量Q 对区间具有可加性)，我们就可以采用“分割、近似求和、取极限”的方法，通过定积分将量Q 求出．现在我们来简化这个过程：在区间],[b a 上任取一点x ，当x 有增量x ∆(等于它的微分dx )时，相应地量)(x Q Q =就有增量Q ∆，它是Q 分布在子区间],[dx x x +上的部分量．若Q ∆的近似表达式为dQ dx x f Q =≈∆)(， 则以dx x f )(为被积表达式求从a 到b 的定积分．即得所求量 ⎰=ba dx x f Q )(．这里的dx x f dQ )(=称为量Q 的微元，或元素，这种方法称为微元法．它虽然不够严密，但具有直观、简单、方便等特点，且结论正确．因此在实际问题的讨论中常常被采用．本节我们将讲述微元法在几何与物理两方面的应用．1. 平面图形的面积 1) 直角坐标的面积公式根据定积分的几何意义，若)(x f 是区间],[b a 上的非负连续函数，则)(x f 在],[b a 上的曲边梯形(图6—1)的面积为⎰=badx x f A )(． (5.1)若)(x f 在],[b a 上不都是非负的(图6—3)，则所围面积为⎰=ba dx x f A )( ． (5.2)一般地，若函数)(1x f 和)(2x f 在],[b a 上连续且总有)()(21x f x f ≤，则由两条连续曲线)(1x f y =，)(2x f y =与两条直线a x =，b x =所围的平面图形(图6—6)的面积元素为dx x f x f dA )]()([12-=． 所以⎰-=ba dx x f x f A )]()([12． (5.3)图6—6如果连续曲线的方程为)0( )(≥=y x ϕ，则由它与直线c y =，d y =(d c <)及y 轴所围成的平面图形(图6—7)的面积元素为dy y dA )(ϕ=． 所以=ddy y A )(ϕ． (5.4)其它情形也容易写出与公式(5.2)、(5.3)相仿的公式．例1 求由两条抛物线x y =2，2x y =所围图形(图6—8)的面积． 解 联立⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 解得0=x 及1=x ．所围的面积为313132)(10310223=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x A ． 图6—8例2 求由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形(图6—9)的面积． 解 联立⎩⎨⎧-==422x y xy 解得曲线与直线的交点)2,2(-和)4,8(．以x 为积分变量，则所求面积为[][]dx x x dx x x A )4(2 )2(28220⎰⎰--+--= 图6—91842322322282222323=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅=x x x x ．若以y 为积分变量，则18642)24(4232422=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=--⎰y y y dy y y A ．从例2看出，适当选取积分变量，会给计算带来方便．例3 求椭圆12222=+by a x 的面积 (图6—10)．解 由于椭圆关于x 轴与y 轴都是对称的，故它的面积是位于第一象限内的面积的4倍．⎰⎰-==a adx x a abydx A 022044ab a x a x a x a b aπ=⎥⎤⎢⎣⎡+-=222arcsin 224．在例3中，若写出椭圆的参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x s i nc o s )20(π≤≤t ，应用换元公式得 ⎰⎰=-=2220sin 4)sin (sin 4ππtdt ab dt t a t b Aab ab ππ=⋅=44． 图6—10一般地，若曲线由参数方程)( ),(t y t x ψϕ== )(βα≤≤t给出，其中)(),(t t ψϕ及)(t ϕ'在],[βα上连续，记b a ==)(,)(βϕαϕ，则由此曲线与两直线b x a x ==,及x 轴所围图形的面积为dt t t A )( )( ψψβα'=⎰． (5.5)例4 求由摆线)cos 1( ),sin (t a y t t a x -=-=的一拱)20(π≤≤t 与横轴所围图形(图6—11)的面积．解 dt t a t a A )cos 1()cos 1(20⎰-⋅-=π220222s i n 2(⎰=πt a(令θ=2t)⎰⎰==24242s i n 16 sin 8πθθθθπd ad a22344316a a ππ=⋅⋅=． 图6—112) 极坐标的面积公式设围成平面图形的一条曲边由极坐标方程 )(θr r = )(βθα≤≤给出，其中)(θr 在],[βα上连续，παβ2≤-．由曲线)(θr r =与两条射线βθαθ==,所围成的图形称为曲边扇形(图6—12)．试求这曲边扇形的面积．图6—12应用微元法．取极角θ为积分变量，其变化区间为],[βα．相应于任一子区间],[θθθd +的小曲边扇形面积近似于半径为)(θr ，中心角为θd 的圆扇形面积．从而得曲边扇形的面积元素θθd r dA )(212=． 所求面积为⎰=βαθθd r A )(212． (5.6) 例5 求心形线)cos 1(θ-=a r 所围图形(图6—13)的面积． 解 利用对称性，所求面积为 θθπd a A 22)cos 1(⎰-=θθπd a⎰=0422s i n 4 (令t =2θ) 22042234438s i n 82a a dt t a πππ=⋅⋅==⎰．例6 求由两曲线θsin 2=r ，θ2cos 2=r 图 6—13 所围图形(图6—14)的面积． 解 联立⎪⎩⎪⎨⎧==θθ2c o ss i n22r r )0(πθ≤≤解得 61πθ=，652πθ=． 利用对称性，所求面积为图 6—14⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰466 2cos 21)sin 2(21202πππθθθθd d A4662s i n 2142s i n 220πππθθθ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2316-+=π．2. 立体体积1) 已知平行截面面积的立体体积设空间某立体夹在垂直于x 轴的两平面a x =，b x = )(b a <之间(图6—15)图 6—15以)(x A 表示过)(b x a x <<，且垂直于x 轴的截面面积．若)(x A 为已知的连续函数，则相应于] ,[b a 的任一子区间],[dx x x +上的薄片的体积近似于底面积为)(x A ，高为dx 的柱体体积．从而得这立体的体积元素 dx x A dV )(= 所求体积为⎰=ba dx x A V )(． (5.7)例7 设有一截锥体，其高为h ，上下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为a 2，b 2和A 2，B 2，求这截锥体的体积．解 取截锥体的中心线为t 轴 (图6—16)，即取t 为积分变量，其 变化区间为] ,0[h ．在] ,0[h 上任取 一点t ，过t 且垂直于t 轴的截面面积记为xy π．容易算出 图6—16t h a A a x -+=， t hbB b y -+=． 所以这截锥体的体积为⎰-+-+=hdt t hbB b t h a A a V 0))((π )](2[6AB ab Ab aB h+++=π．2) 旋转体的体积旋转体是一类特殊的已知平行截面面积的立体，容易导出它的计算公式．例如 由连续曲线)(x f y =，] ,[b a x ∈绕x 轴旋转一周所得的旋转体(图6—17)．由于过)( b x a x ≤≤,且垂直于x 轴的截面是半径等于)(x f 的圆，截面面积为)()(2x f x A π=． 所以这旋转体的体积为． (5.8)类似地，由连续曲线绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 ． (5.9)例8 求底面半径为，高为的正圆锥体的体积．解 这圆锥体可看作由直线x hry =，] ,0[h x ∈绕x 轴旋转一周而成(图6—18)，所以体积⎰=ba dx x f V )(2π],[ ),(d c y y x ∈=ϕy ⎰=dc dy y V )(2ϕπr h例9 求由椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而产生的旋转体的体积．解 这个旋转椭球体可看作由半个椭圆22x a aby -=绕x 轴旋转一周而成．所以它的体积20222222234 )(2)(ab dx x a a b dx x a a b V a aa πππ=-=-=⎰⎰-．特别当r b a ==时得半径为r 的球体体积 334r V π=球．3. 平面曲线的弧长设有一曲线弧段AB ，它的方程是 )(x f y =， ] ,[b a x ∈．如果)(x f 在] ,[b a 上有连续的导数，则称弧段AB 是光滑的，试求这段光滑曲线的长度．应用定积分，即采用“分割、近似求和、取极限”的方法，可以证明：光滑曲线弧段是可求长的．从而保证我们能用简化的方法，即微元法，来导出计算弧长的公式．如图6—19所示，取x 为积分变量，其变化区间为] ,[b a ．相应于] ,[b a 上任一子区间],[dx x x +的一段弧的长度，可以用曲线在点))(,(x f x 处切线上相应的一直线段的长度来近似代替，这直线段的长度为dx y dy dx 2221)()('+=+，于是得弧长元素(也称弧微分)dx y ds 21'+=， 因此所求的弧长为(5.10)若弧段由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ],[βα∈t给出，其中)(),(t y t x 在],[βα上有连续的导数，且0)]([)]([22≠'+'t y t x ．则弧长元素，即微弧分为dt t y t x ds 22)]([)](['+'=，所以dt t y t x s ⎰'+'=βα22)]([)]([． (5.11)若弧段由极坐标方程)(θr r =， ],[21θθθ∈给出，其中)(θr 在],[21θθ上有连续的导数，则应用极坐标θθsin ,cos r y r x ==，可得θθsin cos r r x -'='， ，利用公式(5.11)推出θβαd r r s ⎰'+=22． (5.12)例10 求悬链线2xx e e y -+=从0=x 到a x =那一段的弧长(图6—20)．解 2xx e e y --='代入公式(5.10)，得dx y s a ⎰'+=021⎰---=+=aaaxx e e dx e e 022． 图6—20例11 在摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=上求分摆线第一拱(图6—11)成1:3的点的坐标．解 设τ=t 时，点的坐标))(),((ττy x 分摆线第一拱成1:3．由于弧微分dt ta dt t a t a ds 2sin 2sin )cos 1(2222=+-=，由公式(5.11)可得⎰⎰=πττ202sin 22sin 23dt ta dt t a ．θθcos sin r r y +'='。
