3.2边缘分布(易)

f ( x, y ) = 1 2π σ 1σ 2 − 1 ( x − µ1 ) 2 exp 2 2 2 1− ρ 2(1 − ρ ) σ 1
( y − µ2 )2 − 2ρ + , 2 σ 1σ 2 σ 2 −∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞,
• 其中µ1,µ2,σ1,σ2,ρ都是常数,且σ1>0,σ2>0, |ρ|<1.称(X,Y)为 服从参数µ1,µ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布, 记为 (X,Y)~N(µ1,µ2,σ12,σ22,ρ). 试求二维正态随机变量的边缘 概率密度.
x →+∞
= F ( ∞， y )
三、离散型随机变量的边缘分布律
对于二维离散型随机变量( X , Y )，已知其联合分布律为
Pij = P { X = xi ， Y = y j }
( i，j = 1， 2， ⋯)
现求随机变量 X 的边缘分布律为：
P{ X = xi } = ∑ pij ,
j =1
∞
+∞ −∞
f ( x, y ) d x
(2.4)
例2 设随机变量X和Y具有联合概率密度 6, x 2 ≤ y ≤ x, f ( x, y ) = 0, 其它. 求边缘概率密度f X ( x), fY ( y ).
y y=x y=x2 o 1
解:
f X ( x) = ∫
∞
y
−∞
f ( x, y ) d y
则分量 X 的边缘分布函数为 FX ( x ) = P { X ≤ x} = P { X ≤ x， Y < ∞}
= lim F ( x， y ) = F ( x， ∞ )

缘分布是不够,而必须将他们作为一 个整体来研究.
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2

e
2 1 2

1

2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,

记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．

盐城工学院概率论与数理统计课题组
§3.2
边际分布与条件分布
一、二维离散型随机变量的边际分布 二、二维连续型随机变量的边际分布 三、条件分布*
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
对于二维随机变量 ( , ) ,我们可以对其中的任何
一个变量 或 进行个别研究,而不管另一个变量取 什么值,这样得到的分布,称为 ( , ) 的边际概率分布.
x 0; 其它 .
§2.10 二维随机变量的边缘分布
盐城工学院概率论与数理统计课题组
( 2) 当 y 0 时, fY ( x) 0;
y
y
yx
当 y 0 时，
fY ( y) f ( x, y)d x

y y
0

y y e . e dx
O
y
x
从而
y e y , y 0 ; fY ( y ) 其它 . 0,
解：(1) 当 x 0 或 x 1 时，

0 x 1,0 y x； 其它.
y
x
O
yx
当 0 x 1 时， x f X ( x) f ( x, y)d y f ( x, y )d y
f X ( x) f ( x, y)d y 0;
x

p ( y j )
0
5 /12
1
7 / 12
将它们写在联合分布表上，即得下表：


0
1/ 12
1
1/ 6
5 /12
7 / 12
p ( xi )
0
1/ 4
1
p ( y j )

f ( x, t )dx dt
y

y

fY (t )dt
例4：设G是平面上的有界区 域，其面积为A，若二维随机变 量(X,Y)具有概率密度
1 A , ( x, y ) G f ( x, y ) 0 , 其他
则称(X,Y)在G上服从均匀分布。
0.2 b
已知：P(Y 1| X 1) 0.5
求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) P( X 1| Y 1)
0.2 又P(Y 1| X 1) 0.3 a 0.2 1 b=0.3 a 0.1， 0.3 a 2
(2) X
解：(1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4


f ( x, y )dy f ( x, y)dx

从而X，Y的边缘分布函数为
FX ( x) F ( x, ) x f (t , y )dy dt
f X (t )dt

x
同理：
FY ( y) F (, y)
解：样本空间S及D,F的取值如下 样本点 1 D F 1 2 2 3 2 4 3 5 2 6 7 8 9 10 4 2 4 3 4
0
1
1
1
1
2 1 1 1
2
D所有可能取值：1,2,3,4
F所有可能取值：0,1,2
求（D,F)取 (i,j),i=1,2,3,4,j=0,1,2的概率
如
P{D=1,F=0}=1/10, P{D=2,F=1}=4/10
从而可求出D和F的联合分 布律及边缘分布律