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第二节边缘分布概率论与数理统计

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概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第3章 随机向量

概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第3章 随机向量

概率论与数理统计
定义3.7 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事
件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随 机变量X与Y相互独立。 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于
这正是参数为
的 分布的概率密度。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
X
X
Y
Y
概率论与数理统计
解: (1)串联情况
X
Y
概率论与数理统计
(2)并联情况
X
Y
感谢聆听 批评指导
概率论与数理统计
二维正态分布 若(X.,Y)的概率密度为
概率论与数理统计
4. n维随机变量
设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e).设随机变量
是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向
量
为n维随机向量或n维随机变量。简记为
设 数
为n维随机变量
是n维随机变量，对于任意实 ,称n元函数
的联合分布函数。
设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,… ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…
称上式为(X,Y)的（联合）概率分布或（联合）分布律.离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律可用表3-1表示.
概率论与数理统计
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示:
记作
或记为
.

02-边缘分布

02-边缘分布

第三章 多维随机变量及其分布第二节 边缘分布【学习目标】1、掌握二维离散型随机变量边缘分布律的概念，会求边缘分布律；2、掌握二维连续型随机变量边缘概率密度的概念，会求边缘概率密度。

【学习重点】边缘分布律、边缘概率密度。

.【学习难点】边缘概率密度的求法。

【学习任务清单】一、课前导学1、对二维随机变量(),X Y 作为整体研究了其分布规律之后，本节主要介绍由联合分布怎样找到X 与Y 各自的分布。

二、学习视频第十五讲 边缘分布（共4个视频，总时长52分11秒）视频1 边缘分布律定义（9分23秒）介绍边缘分布函数()()()()lim ,,lim ,X Y y x F x F x y F y F x y →+∞→+∞== 边缘分布律{}{}11,i i j ij i j j P X x P X x Y y p p +∞+∞========∑∑{}{}11,j i j ij j i i P Y y P X x Y y p p +∞+∞========∑∑视频2 边缘分布律例题（16分00秒）由实际例题给出边缘分布律的具体求法。

例题3个。

例：（掷双骰子）掷两颗骰子，用X 表示两颗骰子点数之和，Y 表示两颗骰子点数只差，求X 与Y 各自的分布律。

解题思路：利用边缘分布律的求法。

例：（电游竞赛）某电游竞赛分初赛与复赛，初赛采用5分制，设某人初赛分数X 等可能地取0,1,2,3,4,5；复赛则可以重复玩，直至出现第一个Y 满足Y X ≥为止，求X 与Y 各自分布律。

解题思路：利用边缘分布律的求法。

例：（昆虫产卵）设某种昆虫产卵数()X P λ，设卵的孵化率为p ，孵化数记为Y ，求（a ）,X Y 的联合分布律；（b ）,X Y 的边缘分布律。

解题思路：利用条件概率，概率的性质求出联合分布律，然后求出边缘分布律。

视频3 边缘密度函数（12分58秒）给出求边缘密度函数的公式及注意事项，例题1个。

边缘概率密度：()()()(),,,X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞+∞-∞-∞==⎰⎰。

概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布

概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布

边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。

《概率论与数理统计》3-3 边缘分布

《概率论与数理统计》3-3 边缘分布
解 F x lim F x, y 1 arctan x X 2 y
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,


f x, y d 1.

y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以


f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2

概率论与数理统计32边缘分布解析

概率论与数理统计32边缘分布解析

y)
lim [
y
1
2
(arctan
x
2
)(arctan
y )]
2
1
2
(arctan
x
)
2
1
arctan
x
1, 2
- x
FY
(
y)
1
arctan
y
1 2
,
- y
设离散型二维随机变量(X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,).
则由联合分布函数与边缘分布函数、联合分布律关
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义：
二维随机变量 (X,Y)作为一个整体, 具有分布函
数 F x, y, 而 X 和 Y 都是随机变量 , 也有各自的分 布函数, 分别记为 FX x, FY y, 依次称为二维随机
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x,
把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
布。
解： （I）有放回摸球
X1
X2 0 1
0
33 55
32 55
1
23 22
5 55 5
PX2 ( y)
3 5
2 5
PX1 ( x)

概率论与数理统计教案(48课时)

概率论与数理统计教案(48课时)

概率论与数理统计教案（48课时）第一章随机事件及其概率本章的教学目标及基本要求(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；(2)掌握随机事件之间的关系与运算，；(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。

了解概率的公理化定义。

(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。

理解事件的独立性。

本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型)2学时第四节条件概率第五节 事件的独立性2学时三.本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系;2）古典概型及概率计算;3）概率的性质;5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四.教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;2）注意让学生理解事件4uB,AuB 、AcB,4-B,4B = ®,A... 的具体含义,理解事件的互斥关系；根定律；4)条件概率, 全概率公式和Bayes 公式 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和1)事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；2)讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回；思考题和习题思考题：1.集合的并运算和差运算-是否存在消去律？2.怎样理解互斥事件和逆事件？3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时三.本章教学内容的重点和难点a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；C）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；四.教学过程中应注意的问题a）注意分布函数F（x） P{X x}的特殊值及左连续性概念的理解；b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X x） 0，其中x为任意实数，同时说明了P（A） 0不能推导A 。

概率论与数理统计课件3-2边际分布和条件分布

概率论与数理统计课件3-2边际分布和条件分布

解
由上述分布律的表格可得
P{ X 1,Y 0} 0.030 , P{Y 0 X 1} 0.045 P{ X 1} P{ X 1,Y 1} 0.010 , P{Y 1 X 1} 0.045 P{ X 1} P{ X 1,Y 2} 0.005 , P{Y 2 X 1} 0.045 P{ X 1}
Y 的条件概率密度为 1 , 0 x y 1, fY X ( y x ) 1 x 0, 其它.
因此 X 和 Y 的联合概率密度为 f ( x , y ) fY X ( y x ) f X ( x )
1 , 0 x y 1, 1 x 0, 其它. 际 故得Y 的边缘概率密度
P { X xi , Y y j } P {Y y j }

pij p j
, i 1, 2,
为在给定Y y j 条件下 X 的条件分布列.
同理，对于一切使P{ X xi } pij pi 0的 xi , 则称
j 1

p j i P{Y y j X xi }
边际分布 联合分布 条件分布 联合分布
设( X , Y ) 在圆域 x 2 y 2 1 上服从均匀分布, 求条 例3 件概率密度 f X Y ( x y ).
解 由题意知随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x 2 y 2 1, f ( x, y) 0, 其它,
二
1.边际分布
边际分布和条件分布
问题：已知二维随机变量 (X, Y) 的分布， 如何求出 X 和 Y 各自的分布？
边际分布函数
已知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，

概率论与数理统计--- 边缘分布

概率论与数理统计--- 边缘分布

即 X 服从参数λ=0.5 的指数分布.
7
二、二维离散型随机变量的边缘分布 二维离散型随机变量(X,Y)的分布律 的分布律 二维离散型随机变量 为: P{X=xi,Y=yj}=pij (i, j=1,2,…) ∞ 则: P{X=xi}=P{X=xi,Y<+∞}
= ∑ P{ X = xi , Y = y j }
x2 a2
x2 + y2 ≤ 1 上的均匀分布, 设(X,Y)服从椭圆域 a 2 ) 上的均匀分布,求 b2
∫−∞
同理可得 2 y2 y ≤ b; − π fY ( y) = b 1 b2 ,
0, y >b.
a

x2 a2
0,
| x| >a，
X 与Y 不服从 均匀分布
a− x
x x 关于X 的边缘概率密度为 则(X,Y = ∫−∞ [∫+(t)dtu y)dy]du 为 )关于 X ∞ f边缘概率密度 F (x) = −∞ f −∞ ( , X
fX (x) = ∫
∞ + f (x, y)dy −∞
(X,Y) 关于 的边缘分布函数为 关于Y
F ( y) = ∫ Y
+ ∞ [ f (x,v)dx]dv −∞ −∞ y
e = 2π
∫
+∞
−∞
1 e 2 1− ρ
( y − ρ x )2 − 2 ( 1− ρ 2 )
dy
y−ρ x = t ,得: 得 令 2 x2 − 1− ρ e 2 f X ( x) = 2π
∫
+∞
−∞
e
t2 − 2
dt
e =
x2 − 2

概率论与数理统计课件-第二节边缘分布

概率论与数理统计课件-第二节边缘分布

2
解：
fX (x)
f (x, y)dy
1
x2y2
e 2 (1 sin x sin y)dy
2
1
x2y2
e 2 dy
1
x2y2
e 2 sin x sin ydy
2
2
1
x2
e 2
2
1
y2
e 2 dy
1
x2
e 2 ( x )
2
2
同理，
fY (y)
1
y2
e 2
有 P{X xi ,Y y j} P{X xi}P{Y y j} 即 pij pi. p. j .
《概率统计》
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例1．已知（X，Y）的邊緣分佈律，且X與Y 相互獨立， 求（X，Y）的聯合分佈律。
X1
2
pi · 1/3
2/3
Y1 . p·j 1/2
23 1/3 1/6
解：由獨立性 p11= p1·p·1 = 1/6 ， p23= p2·p·3= 2/18
x
f X (x)
f (x, y)dy
0dy 0
即
xex ,
f X (x)
0,
0 x 其它
y=x
o
《概率统计》
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结束
例3. 已知隨機向量（Ｘ，Ｙ）的聯合密度函數為
xe y , 0 x y
f (x, y) 0,
其它
求 X ,Y的邊緣概率密度。
解：當y>0時,
當y≤ 0時,
《概率统计》
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四、隨機變數的獨立性
1. 定義 設 （X，Y），F（x，y），FX（x），FY（y）

概率论与数理统计

概率论与数理统计

三
、二维连续型随机变量的边际分布
设X和Y的联合概率密度为 p(x, y) 和 的联合概率密度为 则X与Y 的边际分布函数为 与
FX (x) = ∫ (∫ p(u, v)dv)du
F ( y) = ∫ (∫ p(u, v)du)dv Y
−∞ −∞
x
+∞
−∞ y
−∞ +∞
求导得X与 求导得 与Y 的边际密度函数分别为
X P -1 0 1 Y P 0 0.5 1 0.5
0.25 0.5 0.25
如果P(XY=0) = 1 ,试求 如果 试求 (1). (X,Y)的联合分布列 的联合分布列 (2). X与Y是否独立 是否独立? (P151) 与 是否独立
注: 若两随机变量相互独立 且又有相同 若两随机变量相互独立, 的分布, 不能说这两个随机变量相等. 的分布 不能说这两个随机变量相等 如
F(x, y) = FX (x)F ( y) Y
若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 则称事件 独立
离散型 X与Y 独立 与 对一切 i , j 有 P(X = xi ,Y = yj ) = P(X = xi )P(Y = yj ) 即 pij = pi p j 连续型
p(x, y) = pX (x) pY ( y)
设(X,Y)服从三项分布 M (n, p1 , p2 , p3 ) 服从三项分布 其联合分布列为
n! i P( X = i,Y = j) = p1 p2j (1− p1 − p2 )n−i− j , i! j!(n −i − j)! i, j = 0,1 ,2,..., n, i + j ≤ n
则
X ~ b(n, p1 ), Y ~ b(n, p2 )

概率论与数理统计课件：多维随机变量及其分布

概率论与数理统计课件：多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布
首页 返回 退出2
在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两
个以上的随机变量来描述.
如， 炮弹的弹着点的位置, (X, Y)是一个二维随
机变量.
又如，研究天气变化状况，令X, Y, Z分别表示
温度、湿度、风速，则(X, Y, Z)是一个三维随机变量.
研究多维随机变量有必要将多个变量作为一个整
二元函数
F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P ( X x , Y y )
称为随机变量(X,Y)的联合分布函数。
一维随机变量X的联合分布
函数F ( x ) P ( X x ).
多维随机变量及其分布
首页 返回 退出
F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
y
F ( , y ) 0,
o
F ( x , ) 0,
F ( , ) 0, F ( , ) 1;
4 F ( x , y )关于x和y分别右连续；
x1
F ( x1 , y ) F ( x2 , y )
5 对于任意x1 x2 , y1 y2 , 有矩形公式
…
…
…
…
X
性质： 1 pij 0, i , j 1, 2, ;
2


p
i 1 j 1
多维随机变量及其分布
ij
1.
首页 返回 退出
例1 从1,2,3,4中任取一个数记为X、再从1,2, ⋯ ,
中任取一个数记为Y,求 ( X, Y ) 的联合分布律及P
( X=2Y ).
解：
可以证明，f(x,y)满足联合密度的性质。

概率论与数理统计 韩旭里 3-2,3,4

概率论与数理统计 韩旭里 3-2,3,4
从而，X 的概率密度为
dF X ( x ) f X ( x) dx
x

f ( x , y )dy f ( x , y )dx


同理，Y的概率密度为
dFY ( y ) fY ( y ) dy
分别称 f X ( x ), fY ( y )为( X , Y )关于 X和关于 Y的边缘概率密度.
容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会 很不一样. 例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增 加.
1、二维离散型随机变量的条件分布律 定义 设 ( X ,Y ) 是 二 维 离 散 型 随 机 变 , 量 对于固定
的 j , 若 P{Y y j } 0, 则 称 P{ X x i Y y j } P{ X x i , Y y j } P{Y y j } , i 1,2,L
0
设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y)。且 f(x,y)连续和边缘概率密度fY(y)连续，且fY(y)>0，则有：
FX Y ( x y )

x
f (u, y ) du fY ( y )
若记 f X Y ( x y ) 为条件Y=y下X的条件概率密度，则由上 式知：
例3 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其他. 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
解
f X ( x)

y y x
(1,1)
y x2
O
f ( x, y) d y
f X ( x)
当－1<y<1时有：
1/ 1 2 2 f ( x, y) 2 2 1 y f X Y ( x y) ＝ 1 y fY ( y) 0

概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布第二节边缘分布

概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布第二节边缘分布

24 5
y(2
f
0
x,
x), 0 x 1,0 , 暂时固定其它
ydy
y
x
y
当 x 1或 x 0时,y ,,
x
概率论
y x
都有 f x, y 0,故 fX x 0 . x 0 x 1 x x
当 0 x 1时,
fX
x
0
f
x,
y dy
x
0
f
x,
y dy
x
f
x,
y dy
一、边缘分布函数 (marginal distribution)
概率论
二维随机变量 (X, Y) 作为一个整体, 具有分布函数 F(x, y), 而 X 和 Y 都是随机变量, 也有各自的分布函数, 分别记为 FX(x), FY(y), 依次称为二维随机变量 (X, Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
二、离散型随机变量的边缘分布律
概率论
一般地, 对离散型 r.v. (X,Y ), X 和 Y 的联合分布律为:
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1, 2,
3
13
0 18 38 0 38 0 0 18
概率论
P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8, P{X=1}=P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8, P{X=2}= P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8, P{X=3}=P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8.
则 (X, Y) 关于X 的边缘分布律为:

概率论与数理统计(二维随机变量的边缘分布)

概率论与数理统计(二维随机变量的边缘分布)
其中 x1, x2 ,, xn 为任意实数.
(2) n维随机变量的概率密度函数
若存在非负函数 f ( x1, x2 ,, xn ), 使对于任意 实数 x1, x2 ,, xn 有
F ( x1, x2,, xn )

xn
xn1

x1
f ( x1, x2,, xn ) d x1 d x2 d xn,
f ( x, y)dx 为(X，Y)关于Y的边缘

概率密度．
3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度
【例3.10】设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
为
f
(
x,
y)

1, 0,
0 x 1,| y | x 其它
求边缘概率密如图:

x
6 d y,
x2

0d

y,
0 x1 其他
y (1,1)
y x
6( x x2 ), 0 x 1
0,
其他
O
y x2
x
由于
6( x x2 ),
fX (x)
0,
x
FX ( x) fX ( x)dx


x
0dx,



2 1
所以

fX (x)
f ( x, y)dy


1
e
(
x 1
2
2 1
)2

exp{
1
( y 2 x 1 )2}dy
2 1 2 1 2

2(1 2 ) 2
1
令t 1 ( y 2 x 1 )，则有

概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布

概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布

比如:
概率统计
比如：
1 x y 0
F( x, y) 0 x y 0
对这二元函数来验证第4条性质。
现找 4 个点如下：
( x2 , y2 ) (1, 1); ( x1, y2 ) (1, 1)
( x2 , y1 ) (1, 1); ( x1, y1 ) (1, 1)
F(1,1) F(1,1) F(1, 1) F(1, 1)
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
2,4,8,10,14,16,20这7个 数不能被3整除,但能
被2整除
6,12,18这3个数能被2 整除,又能被3整除
不难验证:
1 1
7473
pi j 0, 0 0 pi j 21 21 21 21 1
概率统计
故 得： (X,Y) 的 联合分布 律为:
XY
0 1
01
7
4
21 21
7
P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 )
如图:
y
y2 L
y1 L M
M
x
0 x1
x2
概率统计
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1 F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:

概率论与数理统计课件 2.6 二维随机变量的边缘分布

概率论与数理统计课件 2.6 二维随机变量的边缘分布

xi
pi1
pi 2
pij
pi
p j
p1
p2
p j
1
例2 设随机变量 X 在数1,2,3,4中等可能取值，另一个随机变量 Y
在1至 X 之间等可能取值，试求二维随机变量 (X ,Y )的联合
分布律与边缘分布律.
1
解
P(X i,Y j) P(X i)P(Y j | X i) ,
§2.6 二维随机变量的边缘分布
一、二维随机变量的边缘分布函数
FX (x) P(X x) P(X x,Y ) F(x, )
二、二维离散型随机变量的边缘分布律

pi P( X xi ) pij , i 1, 2, 3, . j 1
三、二维连续型随机变量的边缘密度函数
若二维随机变量 (X ,Y ) 的联合分布函数为 F(x, y) ，则 (X ,Y )
中随机变量 X 的分布函数称为 (X ,Y )关于 X 的边缘分布函数，
记为
FX (x) P(X x) P(X x,Y ) F(x, )
二维随机变量 (X ,Y )关于随机变量 Y 的边缘分布函数
fY
( y)



f
(x,
y)dx

3(1 0,
y ),
0 y 1, 其它.
均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布
若 D 是矩形区域, 则 (X ,Y) 的边缘分布仍为均匀分布
解 (X ,Y ) 的联合分布律为
关于X 的边缘分布
关于 Y 的边缘分布
几何分布
帕斯卡分布.
例4 已知随机变量 X 和 Y 的分布律分别为

《概率论与数理统计》三

《概率论与数理统计》三
称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
设(X,Y)的所有可能取值:(xi, yj), i,j=1,2…,
P{X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2,)
性
1 0 pij 1,
质
2
pij 1.
j1 i1
分
布
函 F ( x, y) pij
数
xi x yjy
Y X
x1 x2 xi
y1
p1 1 p21
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
22,
)
四、多维随机变量
(1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,...Xn 是定义在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn ) 为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量．
(2)对n个任意实数，令
F(x1, x2 ,, xn ) P{X1 x1, X2 x2 ,Xn xn}
标 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一对数来
表示, 把X, Y看成变量, X 与Y 都是随机变量, (X,Y) 共同刻化试验的结果, 这就是二维随机变量.
例2 考察某地一天的天气情况, 即同时考虑最高气温、 最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量 来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.
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x
x
求得两个边缘分布函数
例1：设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为 解：(1) 由分布函数的性质，可得
由（X, Y）的联合分布函数可得
9 16
3 8
3 8
1 4
1 16
1、二维离散型随机变量的边缘分布
P{X xi ,Y y j} pij ,i, j 1, 2,L
FX (x) F(x, ))
Y
1
2
3
P• j
11
5
18
18
2 18
X
1
2
3
Pi•
1
3
1 3
1 3
2、二维连续型随机变量的边缘分布 设(X,Y)为二维连续型随机向量，具有概率密度f (x,y)， 则 从而知，X为连续型随机变量且概率密度为
同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为
例4 设二维随机向量（X, Y）在区域 D {(x, y) | y2 x y} 上服从均匀分布，求关于X和Y的边缘概率密度 fX (x), fY (y).
pij
xi x j
例2 从三张分别标有1,2,3号的卡片中任意抽取一张， 以X 记其号码，放回之后拿掉三张中号码大于X的卡片 （如果有的话），再从剩下的卡片中任意抽取一张，以
Y 记其号码. 求二维随机变量（X, Y）的联合分布和边 缘分布. 解 由乘法公式，得 （X，Y）的联合分布为
P{X i,Y j} P{X i}P{Y j | X i} (i 1, 2,3).
Y
当|x|>1时, f(x,y)=0,所以, fX(x)=0
当|注x|≤意1时:均, 匀f X分( x布) 的[ 边缘1x密2 度 不11x再x22 是一1x维2 ] 均f ( x匀, 分y)d布y-1
1 x2 1 x2
1
dy
2
1 x2
2
f X ( x)
1 x2 | x | 1
0
| x | 1
y 故（X, Y）的概率密度为
O x
例5 .设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中
D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y).
解:(1)由题意得:
1
f ( x, y)
0
fX ( x)
f ( x, y)dy
x2 y2 1 其它
y 1 x2
第二节 边缘分布
X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关 于X和Y的边缘分布函数，分别记为FX(x), FY(y)。当已知 (X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过
lim P{X x,Y y} lim F(x, y) F(x, )
y
y
lim P{X x,Y y} lim F(x, y) F(, y)
1
1 2
2
其中1, 2为正数。则称( X ,Y )服从参数为
1,
2
,
2 1
,
2 2
,
的二维正态分布，简记为
(
X
,Y
)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
边缘分布分别为
X
~
N
(1
,
2 1
),
Y
~
N
(2
,
2 2
)
解 由乘法公式，得 （X，Y）的联合分布为
P{X i,Y j} P{X i}P{Y j | X i} (i 1, 2,3).
由此可得（X, Y)的联合分布和边缘分布如下：
Y
X
1
2
3
Pi•
1
1
3
1
0
0
3
1
2
6
3
1 9
P• j
11 18
1
1
6
0
3
1
1
1
9
9
3
5
2
18
18
关于X和Y的边缘分布如下：
e x>0时, fX(x)=
f ( x, y)dy
e ydy
x
x
所以,
e x x 0
f
X
(
x
)
0
x0
y=x 1/2
⑵
P{X+Y≤1}=
1/ 2
dx
1 x e y
0
x
1
e
1
2e
1 2
二维正态分布 的联合密度函数为
f
(x,
y)
1
2 1 2
1
2
exp{
1
2(1 2 )
[( x 1 )2 2 x 1 y 2 ( y 2 )2 ]}
同理, 2 fY ( y)
0
1 y2 | y | 1 | y | 1
1 X
y 1 x2
例6 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
e y , f (x, y)
0,
0 x y ⑴ 求随机变量X的密度函数； 其他 ⑵ 求概率P{X+Y≤1}.
解:(1)x≤0时, fX(x)=0;
e y