概率论与数理统计复习
第一章 概率论的基本概念
一.基本概念
随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果.
随机事件(事件):样本空间S的子集.
必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.
二. 事件间的关系和运算
(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.
∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.
3. A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.
4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生.
5. AB= (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.
6. AB=且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .
运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 BABA BABA
三. 概率的定义与性质
1.定义 对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.
(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;
(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A iAj=φ, i≠j, i,j=1,2,…),
P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+…
2.性质
(1) P() = 0 , 注意: A为不可能事件 P(A)=0 .
(2)有限可加性 对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,A n , P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理)
(3)若AB, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) .
第六章 参数估计
6.1 点估计问题概述
习题1
总体X在区间[0,θ]上均匀分布，X1,X2,⋯,Xn是它的样本，则下列估计量θ是θ的一致估计是().
(A)θ=Xn; (B)θ=2Xn;
(C)θ=X¯=1n∑i=1nXi; (D)θ=Max{X1,X2,⋯,Xn}.
解答：
应选(D).
由一致估计的定义，对任意ɛ>0,
P(∣Max{X1,X2,⋯,Xn}-θ∣
=P(-ɛ+θ
=F(ɛ+θ)-F(-ɛ+θ).
因为
FX(x)={0,x<0xθ,0≤x≤θ1,x>θ, 及F(x)=FMax{X1,X2,⋯,Xn}(x)=FX1(x)FX2(x)⋯FXn(x),
所以
F(ɛ+θ)=1, F(-ɛ+θ)=P(Max{X1,X2,⋯,Xn}<-ɛ+θ)=(1-xθ)n,
故
P(∣Max{X1,X2,⋯,Xn}-θ∣
习题2
设σ是总体X的标准差，X1,X2,⋯,Xn是它的样本，则样本标准差S是总体标准差σ的().
(A)矩估计量； (B)最大似然估计量； (C)无偏估计量； (D)相合估计量.
解答：
应选(D).
因为，总体标准差σ的矩估计量和最大似然估计量都是未修正的样本标准差；样本方差是总体方差的无偏估计，但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计.可见，样本标准差S是总体标准差σ的相合估计量.
习题3
设总体X的数学期望为μ,X1,X2,⋯,Xn是来自X的样本，a1,a2,⋯,an是任意常数，验证(∑i=1naiXi)/∑i=1nai (∑i=1nai≠0)是μ的无偏估计量.
解答：
E(X)=μ,
E(∑i=1naiXi∑i=1nai)=1∑i=1nai⋅∑i=1naiE(Xi) (E(Xi)=E(X)=μ)
=μ∑i=1nai∑i=1n=μ,
概率论与数理统计课程教学大纲
概率论与数理统计课程教学大纲
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概率论与数理统计课程教学大纲
《概率论与数理统计》课程教学大纲
（2002年制定 2004年修订）
课程编号：
英 文 名:Probability Theory and Mathematical Statistics
课程类别：学科基础课
前 置 课:高等数学
后 置 课：计量经济学、抽样调查、试验设计、贝叶斯统计、非参数估计、统计分析软件、
时间序列分析、统计预测与决策、多元统计分析、风险理论
学 分：5学分
课 时：85课时
修读对象：统计学专业学生
主讲教师：杨益民等
选定教材：盛骤等，概率论与数理统计,北京：高等教育出版社，2001年(第三版）
课程概述：
本课程是统计学专业的学科基础课,是研究随机现象统计规律性的一门数学课程，其理论及方法与数学其它分支、相互交叉、渗透，已经成为许多自然科学学科、社会与经济科学学科、管理学科重要的理论工具。由于其具有很强的应用性,特别是随着统计应用软件的普及和完善，使其应用面几乎涵盖了自然科学和社会科学的所有领域。本课程是统计专业学生打开统计之门的一把金钥匙,也是经济类各专业研究生招生考试的重要专业基础课。本课程由概率论与数理统计两部分组成。概率论部分侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程问题的方法。其中包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等内容；数理统计部分则是以概率论作为理论基础，研究如何对试验结果进行统计推断。包括数理统计的基本概念、参数统计、假设检验、非参数检验、方差分析和回归分析等。
班级 姓名 班内序号
习题一 样本空间、随机事件、概率
一、填空题．
1．设,,ABC为三事件，用,,ABC的运算关系表示下列各事件．
（1）A发生，B与C不发生：
（2）A与B都发生，而C不发生：
（3）,,ABC中至少有一个发生：
（4）,,ABC都不发生：
（5）,,ABC中不多于一个发生：
（6）,,ABC中不多于两个发生：
（7）,,ABC中至少有两个发生：
2．设,AB为两随机事件且3()7PAB，4()()7PAPB，则()PAB=
3．设AB，(),()PApPBq，则()PAB=
4．判断下列命题的正误．
（1）()ABABB （ ） （2）ABAB （ ）
（3）若,,ABCABC且则（ ） （4）若BAABA，则（ ）
二、计算题．
1．写出下列随机试验的样本空间和下列事件所包含的样本点．
（1）掷一颗骰子，出现奇数点．
（2）掷两颗骰子，A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点”
2．设,AB为两事件且()0.6,()0.7PAPB，问
（1）在什么条件下()PAB取到最大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下()PAB取到最小值，最小值是多少？
3．设,,ABC为三事件，且1()()(),()()04PAPBPCPABPBC，
