S形刃球头立铣刀的数学模型_盛尚雄

S形刃球头立铣刀的数学模型
盛尚雄,吴　卓,马世辉
(兰州理工大学机电工程学院,甘肃兰州　730050)
摘　要:　论述了S形刃球头立铣刀螺旋角及诱导导程的物理意义,建立了螺旋角及诱导导程的数
学模型.通过该模型,分别建立了柱面上、球面上和锥面上球头立铣刀的等导程螺旋线的数学模型.
然后根据加工时前刀面的成形运动,分别计算了圆柱和圆锥球头立铣刀球头部分的刃底曲线数学模
型.模型的建立对球头刀具的设计及加工提供了参考依据.
关键词:　S形刃球头立铣刀;刃形曲线;数学模型;等导程
中图分类号:　T H123.1 文献标志码:　A 文章编号:1004-0366(2009)04-0104-04
Mathematical Model of the Ball-end Cutter with S Shape
Sheng Shang-xio ng,WU Zhuo,MA Shi-hui
(College o f Mechanical and Electronic Engineering,Lanz hou University o f Science and T echnology,L anzhou730050,China)
A bstract:　The phy sical significance o f helix angle and lead on the ball-end cutter is discussed.The m athe-m atical model of helix ang le and lead is built.By using it,the m odel o f equal lead on the cutter can be ap-plied to the cylinder,cone and sphere.In acco rdance w ith the processing o f forming m ovement,the m athe-m atical model of the blade po rtion on the cutter is calculated and it can be applied to the cy linde r and cone. It is im po rtant to the de sign and m achining of ball-end cutters.
Key words:　ball-end cutter w ith S shape;blade-shaped curve;m athematical mo del;equal lead
S形刃球头立铣刀是加工模具和复杂型面的重要刀具,也是数控铣床、加工中心等数控设备最常用的刀具.随着数控技术的广泛采用,该类刀具的需求量不断增加.由于S形刃球头立铣刀的结构复杂,刃磨和制造困难,因此,这种刀具目前在我国主要依靠进口或通过进口昂贵的设备来制造和刃磨.
自1981年S形刃球头立铣刀问世以来,国内外不少学者对其进行过研究,但研究成果过于零散,缺乏系统性.部分文献仅研究球头立铣刀的刃口曲线,或前刀面,或后刀面,或简单的沟槽构造[1]的设计.在实际运用中,也存在各种各样的曲线,这些曲线只是凭经验或根据加工设备的加工能力来设计的,缺乏系统的、有效的理论分析和指导.我们在国内外关于S形刃球头立铣刀设计的研究基础上,针对S形刃球头立铣刀的刃口螺旋线及球头部分刃底曲线的数学模型进行研究.
1　铣刀螺旋角导程的物理意义
球头立铣刀螺旋刃切削相当于斜角切削,从而螺旋角可定义为:刀具刃口曲线上任意一点处的螺旋角,等于刀刃方向(即刀刃在该点处的切线方向)与切削主运动方向夹角的余角,或等于螺旋线在该点处的切线方向与刀具回转表面母线在该点切线方向的夹角[2].
作螺旋运动的点绕回转轴旋转一周时,该点在其上的投影所移动的距离,称为螺旋运动的导程[3].当旋转一弧度时,点沿直线移动的距离为螺旋线的诱导导程.
第21卷　第4期2009年12月
甘肃科学学报
Journal of Gan su S ciences
Vol.21　No.4
Dec.2009
DOI:10.16468/ ki.issn1004-0366.2009.04.016
收稿日期:2009-09-09
2　螺旋线的数学模型
球头立铣刀螺旋线有“等导程螺旋线”和“等螺旋角螺旋线”2种
[4]
,实践中发现等螺旋角切削刃刀
具的性能优于等导程切削刃刀具.但是在刀具的制
造工艺过程中,有些刀具的螺旋槽是在普通机床上按“等导程”方式加工的,因此这些刀具的数控刃磨加工也只能按“等导程”方式进行.所以以下只研究“等导程螺旋线”的数学模型.2.1　柱面上等导程螺旋线
在柱面上,假定点在直线上的移动量为z ,直线绕螺旋轴的转角为Θ,柱面半径为r ,螺旋角为β,诱导导程为P ,则螺旋角β可表示为
tan β=r θ/z ,
诱导导程P 可表示为
P =z /θ,
2式联合可得
tan β=r /P ,
(1)
由式(1)可见,圆柱面上的“等导程螺旋线”即为“等螺旋角螺旋线”.在已知圆柱半径R 0,圆柱长度L ,
以及螺旋角β时,定义坐标原点为圆柱底面圆心,圆柱轴线为Z 轴,向上为Z 轴正向,Θ逆时针为正(如图1),则柱面等导程(等螺旋角)螺旋线的柱坐标方程为
r =R 0,
θ=L ＊tan β/R
0＊180/π＊t ,z =L ＊t ,
(2)
其中t ∈(0～1).
图1　柱面上等导程螺旋线
2.2　球面上的等导程螺旋线
对于S 形刃球头立铣刀,一般要求其S 形刃与主刃(周边刃)光滑连接,即S 形刃与主刃相切,此时S 形刃在切点Q 的刃倾角λSQ 应等于球头立铣刀周齿螺旋角β[5]
(如图2),即球面上的螺旋线和柱面上
的螺旋线等导程,则可根据柱面上的导程来建立球
面上的螺旋线数学模型.其中长度与半径相等,即L =R 0,只需修改柱坐标中r 的值即可(见图3).
由图3可知
r =
R 2
0-z 2
,
(3)其中
z =-R 0＊t ,
(4)可得
r =R 0＊(1-t 2
),
(5)
最终可得球面上的螺旋线的柱坐标方程为
r =R 0＊
(1-t 2),
θ=180＊tan β/π＊t ,z =-R 0＊t ,
(6)
其中t ∈(0～1).
2.3　锥面上的等导程螺旋线
与球面上的等导程螺旋线一样,假定锥面的最
小半径处的螺旋角为β,最小半径为R 0,则只需改变
式中的r 值即可,如图4所示.
由图4可知
r =R 0+z ＊tan α,
(7)
其中
z =L ＊t ,
(8)所以
r =R 0+L ＊tan α＊t .
(9)
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第21卷 盛尚雄等:S 形刃球头立铣刀的数学模型
图4　锥面上的等导程螺旋线最终可得锥面上的等导程螺旋线方程为
r =R 0+L ＊tan α＊t ,θ=L ＊tan β/R 0＊180/π＊t ,
z =L ＊t ,
(10)
其中t ∈(0～1).
3　S 形刃球头部分刃底曲线
球头立铣刀的S 形刃建模时,其建模与S 形刃的刃磨是相关的
[6]
,可以认为是由刃磨生成的.S 形
刃球头立铣刀的刃磨由球面、前刀面和后刀面三大
部分组成.球面刃磨比较简单不必赘述.关键是前刀面和后刀面的刃磨.前、后刀面分别由2种不同的方法刃磨出[7]
,刃磨方法不同则刃磨参数也随之不同.其中球头后刀面的刃磨,砂轮只需沿着球面上的螺旋线,以一定的后刀角进行磨削即可.而前刀面的刃磨砂轮需沿着前刀面的底部曲线,并保证一定的前刀角.前刀面刃磨时底部曲线的确定如下:
前刀面的成形运动如图5
所示,砂轮在铅垂面内偏摆一个角度ρk ,以满足刀具设计主前角γ0的要求[8,9];在起始位置砂轮沿铣刀径向进给一个周齿齿深量D ;铣刀绕机床回转中心O M 以角速度ω1逆
图5　前刀面的成形运动
时针水平转动,同时铣刀绕自身轴线以k 1ω1的角速
度转动,以形成S 形刃口曲线.机床回转中心O M 与铣刀球头球心O 之间有一偏心距K 2+H 2.3.1　圆柱球头铣刀球头部分刃底曲线
对于圆柱球头立铣刀,球头部分和圆柱部分需要相切,则H =0,刃磨前刀面刃底曲线如图6所示.
图6　圆柱球头铣刀的刃底曲线
可求出R 5为
R 5=(R 20+(R 0-D )2
)/(2＊(R 0-D )).
(11)
在球头铣刀当中,以球心为坐标原点,圆柱中心轴为Z 轴,向上为Z 轴正方向,θ逆时针为正,当z =R 0＊t 时,r 的值为
r =R 0-R 5＊[1-1-((R 0/R 5)＊t )2]-D ,
(12)
则圆柱球头立铣刀球头部分前刀面底部的曲线方程为
r =R 0-R 5×[1-1-((R 0/R 5)×t )2
]-D ,θ=180×tan β/π×t ,
z =R 0×t .
(13)
3.2　圆锥球头铣刀球头部分刃底曲线
圆锥球头铣刀的球头部分和圆锥部分同样是相切的,所以H ≠0,刃磨前刀面刃底曲线如图7所示.
图7　圆锥球头铣刀的刃底曲线由于球头部分和圆锥部分的刃底曲线相切,可得
H =(K +R 0-D )＊tan α,
(14)
其中α为锥度角.
又因为刃底曲线经过点(-(R 0-D ),0)和点
(0,R 0),可得方程
R 25=K 2+(R 0+H )2
,
(15)
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甘肃科学学报 2009年　第4期
和
R 25=(K +R 0-D )2
+H 2,由以上3个方程组合可得
　K =(2R 0D +D 2
)tan α-2R 2
0+2R 0D
2R 0-2tan α＊(R 0-D ),
(16)
由图可知
r =
R 25-(H +z )2
-K , (17)
其中z =R 0＊t .
最终,圆锥球头立铣刀球头部分前刀面底部的曲线方程为
K =(2R 0D +D 2)tan α-2R 20+2R 0D 2R 0-2tan α＊(R 0-D ),
H =(K +R 0-D )＊tan α,R 5=K 2
+(R 0+H )2
,r =
R 25
-(H +z )2
-K ,
θ=180×tan β/π×t ,z =R 0＊t .
(18)
4　结论
首先从球头立铣刀的螺旋角及诱导导程的物理意义[10]
出发,确定了柱面上螺旋角和诱导导程间的
数学关系,并根据螺旋线成形理论,分别建立了柱面上、球面上及锥面上的等导程螺旋线的数学模型
[11]
.然后根据加工时前刀面的成形运动,分别计
算了圆柱和圆锥球头立铣刀球头部分的刃底曲线数
学模型.模型的建立为球头刀具的设计及加工都具有重要的作用.
参考文献:
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作者简介:
盛尚雄(1953-)男,甘肃省嘉峪关人,1978年毕业于甘肃工业大学机制专业,现任兰州理工大学机电工程学院副教授,研
究方向为计算机模拟仿真及机械CAD .
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第21卷 盛尚雄等:S 形刃球头立铣刀的数学模型 。