甘肃省天水一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
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甘肃省天水一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 直线√3x +3y −1=0的倾斜角是( ) A. 120° B. 135° C. 150° D. 30°2. 如果圆锥的底面半径为r ，轴截面为等腰直角三角形，那么圆锥的表面积为( )A. √2πr 2B. (√2+1)πr 2C. 13(√2+1)πr 2D. 23πr 2 3. 已知直线l 1:(3+a)x +4y =5−3a 与l 2：2x +(5+a)y =8平行，则a 等于( )A. −7或−1B. 7或1C. −7D. −14. 下列给出的函数中，定义域为R 且在R 上为偶函数的是( )A. f(x)=3x−1B. g(x)=−x|x|C. ℎ(x)=x 12D. φ(x)=lg(x 2+1)5. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. m//α，n//α，则m//nB. m//n ，m//α，则n//αC. m ⊥α，m ⊥β，则α//βD. α⊥γ，β⊥γ，则α//β6. 直线ax −y +2a =0与圆x 2+y 2=1的位置关系是( )A. 相离B. 相交C. 相切D. 不确定 7. 函数f (x )=(12)x −x +2的零点所在的一个区间是( ) A. (0 ,1) B. (1 ,2) C. (2 ,3) D. (3 ,4)8. 在正三棱柱ABC − A 1B 1C 1中(底面是等边三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱)，已知AB =1，D在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为( )A. √64 B. √34 C. √62 D. √729. 已知空间直角坐标系Oxyz 中，点A(1,1，3)关于z 轴的对称点为A′，则A′点的坐标为( )A. (−1,−1,−3)B. (1,−1,−3)C. (−1,−1,3)D. (−1,1，3)10. 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，P 是棱BC 上的动点．记直线A 1P 与平面ABC 所成的角为θ1，与直线BC 所成的角为θ2，则θ1，θ2的大小关系是( )A. θ1=θ2B. θ1>θ2C. θ1<θ2D. 不能确定二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，则三棱锥P−ABC的正(主)视图与俯视图的面积之比的最大值为________．12.已知幂函数f(x)=x a的图象经过点(√2,2)，则f(1−x)的单调增区间为______ ．13.若点P(x,y)在圆C：(x−2)2+y2=3上，则y的最大值是______ ．x14.在三棱柱ABC−A1B1C1中，BA，BC，BB1两两垂直，且BA=1，BC=1，BB1=2，则三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x,y)为圆C上任意一点，求点P(x,y)到直线x−y+1=0的距离的最大值和最小值．16.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，BB1=BC，B1C∩BC1=M，N为A1B的中点．(Ⅰ)求证：直线MN//平面ABC；(Ⅱ)求证：BC1⊥A1C.17.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．(1)证明：MB⊥平面PAD；(2)求点A到平面PMB的距离．18.已知圆M：2x2+2y2−4y=23，直线l0：x+y=8，l0上一点A的横坐标为a，过点A作圆M的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，D为线段BC的中点．(1)当a=0时，求直线l1，l2的方程；(2)当直线l1，l2互相垂直时，求a的值；(3)是否存在点A，使得BC长为√10？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，基本知识的考查．求出直线的斜率．然后求解直线的倾斜角．解：直线√3x+3y−1=0的斜率为：−√33，直线的倾斜角为α，则tanα=−√33，因为倾斜角的范围为［00，1800)∴α=150°．故选C．2.答案：B解析：本题考查圆锥的表面积的求法，属于基础题．由轴截面为等腰直角三角形得到母线长是√2r，代入公式得到结果．解：∵圆锥的底面半径为r，轴截面为等腰直角三角形，∴圆锥的母线为√2r，侧面展开图为半径为√2r，弧长为2πr扇形，S 表=S底+S侧=πr2+12×√2r×2πr=πr2+√2πr2=(√2+1)πr2．故选B．3.答案：C解析：本题考查两条直线的平行关系的运用，属于基础题．运用两条性质的平行条件建立方程即可．解：因为两条直线平行，所以(3+a)(5+a)=8，解答a=−7或−1．当a=−1时，两条直线重合，4.答案：D解析：本题考查了函数的定义域和奇偶性，根据定义域和奇偶性，逐一判定即可结论．解：对于A，f(x)=3x−1的定义域为R，但既不是奇函数也不是偶函数，故A不符合题意；对于B，g(x)=−x|x|的定义域为R，g(−x)=x|x|=−g(x)，所以g(x)为奇函数，故B不符合题意；对于C，ℎ(x)=x12的定义域为[0,+∞)，故C不符合题意；对于D，φ(x)=lg(x2+1)的定义域为R，φ(−x)=lg(x2+1)=φ(x)，是偶函数，故D符合题意，故选D．5.答案：C解析：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是基础题．对每个选项，利用线面平行的关系判断线线平行，线面平行，面面平行的判定方法，可得结论．解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；对于B，m//n，m//α，则n//α或n⊂α，故B不正确；对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．故选C．6.答案：D解析：解：直线ax−y+2a=0，化为(x+2)a−y=0，即直线过定点(−2,0)，显然和圆位置关系不确定．直线过定点(−2,0)在圆外，和圆的位置关系不确定．本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．7.答案：C解析：本题主要考查零点存在性定理的应用，属于基础题．根据函数零点的定义解题即可．解：由函数f(x)=(12)x −x +2，f(x)在R 上单调递减，所以f(2)=(12)2−2+2=14>0,f(3)=(12)3−3+2=−78<0， 则f(2)⋅f(3)<0，根据零点的存在定理，可知函数f(x)=(12)x −x +2的零点所在的一个区间是(2 , 3)．故选C ． 8.答案：A解析：本题考查直线与平面所成的角的求法，属于中档题．利用正三棱柱的性质找出AD 在平面AA 1C 1C 内的射影，进而得到线面角，解直角三角形求出此角的正弦值．解：如图，取C 1A 1、CA 的中点E 、F ，连接B 1E 与BF ，则B 1E ⊥平面CAA 1C 1，过D作DH//B1E，则DH⊥平面CAA1C1，连接AH，则∠DAH为所求的角，DH=B1E=√32，DA=√2，所以sin∠DAH=DHDA =√64．故选A．9.答案：C解析：本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，空间直角坐标系Oxyz中，点(x,y，z)关于z轴的对称点为(−x,−y,z)．解：空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,1，3)关于z轴的对称点为A′，则A′点的坐标为(−1,−1,3)．故选C．10.答案：C解析：本题考查直线与平面所成的角及直线与直线所成的角，由题意得θ1=∠APA1,θ2=∠A1PB，过A1做BC垂线，交点为Q，则△AA1P与△A1PQ均为直角三角形且斜边相同，由于A1A<A1Q，进而即可得到结果．解：由题意得θ1=∠APA1,θ2=∠A1PB，过A1做BC垂线，交点为Q，则△AA1P与△A1PQ均为直角三角形且斜边相同，由于A1A<A1Q，∴θ1<θ2．故选C．11.答案：2解析：本题考查三视图与直观图形的关系，正确处理正射影与射影图形是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．由题意确定棱锥P−ABC的正视图的面积，三棱锥P−ABC的俯视图的面积的最小值，即可求出三棱锥P−ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值．解析：解：由题意可知，P在正视图中的射影是在C 1D 1上，AB在正视图中，在平面CDD 1C 1上的射影是CD，P的射影到CD的距离是AA 1=2，所以三棱锥P−ABC的正视图的面积为12×1×2=1三棱锥P−ABC的俯视图的面积的最小值为12×1×1=12，所以三棱锥P−ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为112=2，故答案为2．12.答案：(1,+∞)解析：解：因为幂函数f(x)=x a的图象经过点(√2,2)，所以(√2)a=2，解得a=2，所以，f(x)=x2，因此f(1−x)=(1−x)2=(x−1)2，其图象为抛物线，且开口向上，对称轴为x=1，所以，函数f(1−x)的单调增区间为(1,+∞)，故答案为：(1,+∞)(也可填：[1,+∞))．先根据图象所过的点求出函数解析式f(x)=x2，再根据二次函数的图象和性质求出函数f(1−x)的单调增区间．本题主要考查了幂函数的单调性与特殊点，涉及二次函数的图象和性质，属于基础题．13.答案：√3解析：解：设k=y，即y=kx，x则∵点P(x,y)在圆C：(x−2)2+y2=3上，∴圆心(2,0)到直线kx−y=0的距离d≤√3，≤√3，即√1+k2平方得4k2≤3+3k2，即k2≤3，解得−√3≤k≤√3，故y的最大值是√3，x故答案为：√3．设k=y，即y=kx，根据直线和圆相切即可得到结论．x本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据点到直线的距离公式和半径之间的关系是解决本题的关键．14.答案：6π解析：解：∵BA，BC，BB1两两垂直，且AB∩BC=B，∴BB1⊥平面ABC，直角△ABC的外接圆直径为AC=√AB2+BC2=√2，所以，该三棱柱ABC−A1B1C1的外接球直径为2R=√BB12+AC2=√6．因此，三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为4πR2=π×(2R)2=6π．故答案为：6π．先证明BB1⊥平面ABC，计算出直角△ABC的外接圆直径AC，然后利用公式2R=√BB12+AC2可计算出外接球的直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．本题考查球体表面积的计算，考查直线与平面垂直的判定，考查计算能力与推理能力，属于中等题．15.答案：解：(1)由题意，结合图(1)可知圆心为(3,0)，r=2，所以圆C的标准方程为(x−3)2+y2=4．(2)如图(2)所示，过点C作CD垂直于直线x−y+1=0，垂足为D．=2√2，由点到直线的距离公式可得|CD|=√2又P(x,y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2．结合图形易知点P到直线x−y+1=0的距离的最大值为2√2+2，最小值为2√2−2．解析：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的转化能力，正确转化是关键．(1)确定圆心坐标与半径，可求圆C的方程；(2)点P到直线x−y+1=0的距离转化为圆心到直线x−y+1=0的距离问题．16.答案：证明(Ⅰ)因为直三棱柱ABC−A1B1C1，则四边形BB1C1C和AA1C1C为平行四边形，即AC//A1C1．在□BB1C1C中，BC1∩B1C=M，则M为BC1的中点，又N为A1B的中点，所以MN为△A1BC1的中位线，故MN//A1C1，又A1C1//AC，所以MN//AC，由MN⊄ABC，AC⊆ABC，所以MN//面ABC．(Ⅱ)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，所以BB1⊥平面A1B1C1．又BB1⊂平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面A1B1C1，又因为AB⊥BC，所以A1B1⊥B1C1．由A1B1⊆平面A1B1C1，B1C1为交线．所以A1B1⊥平面B1BCC1．又BC1⊂平面B1BCC1，所以A1B1⊥BC1．又因为BB1=BC，则侧面B1BCC1为菱形，故B 1C⊥BC1．又A1B1∩B1C=B1，A1B1，B1C⊆面A1B1C.所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C⊆平面A1B1C，所以BC1⊥A1C解析：本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)推导出AC//A1C1，MN为△A1BC1的中位线，MN//A1C1，从而MN//AC，由此能证明MN//平面ABC．(Ⅱ)推导出平面B1BCC1⊥平面A1B1C1，从而A1B1⊥B1C1，进而A1B1⊥平面B1BCC1，A1B1⊥BC1，由侧面B1BCC1为菱形，得B1C⊥BC1，从而BC1⊥平面A1B1C，由此能证明BC1⊥A1C.17.答案：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，MB⊂平面ABCD，∴PD⊥MB，又∵底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，∴MB⊥AD.又AD∩PD=D，∴MB⊥平面PAD．(2)解：∵M是AD中点，∴点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，∵平面PMB⊥平面PAD，∴DH⊥平面PMB．∴DH是点D到平面PMB的距离．∵DH=a2×a√52a=√55a．∴点A到平面PMB的距离为√55a．解析：(1)由已知条件推导出PD⊥MB，MB⊥AD.由此能证明MB⊥平面PAD．(2)过点D作DH⊥PM于H，由已知条件推导出DH是点D到平面PMB的距离．由此能求出点A到平面PMB的距离．本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．18.答案：解：(1)圆M：，圆心为M(0,1)，半径为5√2，A(0,8)，设切线的方程为y=kx+8，圆心距d=7√k2+1=5√2．∴k =±√735， 所求直线l 1，l 2的方程为√73x −5y +40=0或√73x +5y −40=0．(2)当l 1⊥l 2时，四边形MCAB 为正方形，∴AM =√2MB =√2×5√2=5．A(a,8−a)，M(0,1)，则√a 2+(7−a)2=5，即a 2−7a +12=0，∴a =3或a =4．(3)若BC =√10，则BD =√102，MB =√2， ∴MD =√10，又MB 2=MD ·MA ，．∵圆心M 到直线l 0的距离为，∴点A 不存在．解析：【分析】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，即可求直线l 1，l 2的方程；(2)当直线 l 1，l 2互相垂直时，四边形MCAB 为正方形，即可求a 的值；(3)BC =√10，即可求出BD ，MB ，MD ，又利用MB 2=MD ·MA ，求得MA ，利用圆心M 到直线l的距离为，即可得出结论．2。
