2018届黑龙江省齐齐哈尔市五校联谊高三上学期期末联考数学(理)试题(解析版)

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2018届黑龙江省齐齐哈尔市五校联谊高三上学期期末联考数学（理）试题（解析版）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，集合，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意得，

∴．选B．

2. 计算复数的结果是（ ）

A. B.

C.

D.

【答案】D

【解析】．选D．

3.

函数定义域为（ ）

A. B.

C.

D.

【答案】A

【解析】要使函数有意义，需满足，解得，

∴函数定义域为．选A．

4. 对于非零向量是“”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时，向量为相反向量，所以；反之，当时，向量不一定为相反向量．所以是“”的充分不必要条件．选A．

5. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）

A. B. C. D. 页 2第 【答案】C

【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．

由得，平移直线，由图形知，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．

由，解得．

∴点A的坐标为（3,3）．

∴．即目标函数的最大值为15．选C．

6. 下图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】试题分析：易知该几何体的下部是一个棱长为的正方体，体积为，所以上部的体积为，再结合三视图中的B图知道，这是上部是一个四棱锥，其底面与下部的正方体上底面重合，其顶点在底面上的页 3第 射影是正方体的内侧上边棱的中点，则此棱锥的体积为，符合题意，故应选B.

考点：三视图.

7. 等比数列的前三项和，若成等比数列，则公比（ ）

A. 或 B. C. D. 或

【答案】A

【解析】由得．

∵成等差数列，

∴．

∴，解得．

设等比数列的公比为，则，

整理得，

解得或．选A．

8. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】试题分析:从题设中所提供的算法流程图可以看出：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，此时输出，且，即输入的整数的最大值是.故应选C.

考点：算法流程图的识读与理解.

【易错点晴】算法流程图的识读和理解不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从题设中的算法程序框图入手，搞清算法的操作步骤及运算程序，进而按步求解最后算出当时，，此时输出，且，即输入的整数的最大值是，使得问题巧妙获解． 页 4第 9. 有黑、白、红三种颜色的小球各个，都分别标有数字，现取出个，要求这个球数字不相同但三种颜色齐备，则不同的取法种数有（ ）

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【答案】B

【解析】将5个球分为1,1,3和1,2,2两种情况，可得不同的取法种数为

．选B．

10. 过双曲线的右焦点和虚轴的一端点作一条直线，若右顶点到直线的距离等于，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. 或 D.

【答案】D

【解析】由题意得，

∴，

两边平方整理得，

∴，

解得或（舍去）．

∴该双曲线的离心率为．选D．

点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．也可利用，通过求得间的关系求解．

11. 已知函数满足，若在上为偶函数，且其解析式为，则的值为（ ）

A.

B.

C. D.

【答案】B

【解析】∵，

∴， 页 5第 ∴函数的周期为4.

当时，，

∴,

由函数在上为偶函数,

∴．

∴．选B．

12. 设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】由题意令，

则，

∴函数在R上单调递减，

又，

∴，即．选C．

点睛：此类问题主要考查利用函数的单调性判断函数值的大小，解题时要根据所给的含有导函数的不等式构造出满足题意的函数，并进一步判断出所构造的函数的单调性，然后根据所给的范围得到相应的不等式．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.

若为第二象限角，则____________．

【答案】

【解析】∵，

∴．

又为第二象限角，

∴，

∴， 页 6第 ∴．

答案：

14.

的展开式中项的系数为___________．

【答案】

【解析】二项式展开式的通项为，

令，得．

故展开式中项的系数为．

答案：

15. 不难证明：一个边长为，面积为的正三角形的内切圆半径，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为，体积为，则其内切球的半径为_____________．

【答案】

【解析】由题意得，故．

将此方法类比到正四面体，设正四面体内切球的半径为，

则，

∴，即内切球的半径为．

答案：

点睛：类比推理应用的类型及相应方法

(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；

(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；

(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．

16. 在平行四边形中，，边的边长分别为，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是________． 页 7第 【答案】

试题解析：以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，

则B，C（，），D．

令，则

∴

∵，∴．

考点：向量的坐标表示以及运算

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知在中，，且

(1)求角的大小；

(2)设数列满足，前项和为，若，求的值.

【答案】(1) ；(2) 或.

【解析】试题分析：

（1）由题意及三角形内角和定理可得，由余弦定理可得，从而得，故为直角三角形，且，所以．（2）由条件得，分为奇数、偶数两种情况考虑，可得，结合题意可求得，故或．

试题解析：

(1) ∵，,

∴,

在中，由余弦定理得

,

∵, 页 8第 ∴，

∴，

∴为直角三角形，且

∴ ．

综上．

(2)由条件及（1）得

所以，

由题意得，

整理得，

解得，

∴或．

18.

已知从地去地有①或②两条路可走，并且汽车走路①堵车的概率为，汽车走路②堵车的概率为，若现在有两辆汽车走路①，有一辆汽车走路②，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响，

（1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走路②堵车的概率；

（2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数的分布列和数学期望.

【答案】(1) ；(2)分布列见解析；.

【解析】试题分析：

试题解析： (1)由已知条件得，

即，

∴

即走路②堵车的概率为． 页 9第 (2)由题意得的所有可能取值为

，

,

,

∴随机变量的分布列为

所以

点睛：

（1）求随机变量及其分布列的一般步骤

①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；

②利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；

③按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．

（2）求随机变量的期望时，可根据所得到的分布列，根据期望的定义求解即可．

19. 如图所示，平面，点在以为直径的⊙上，，，点在上，且,

(1)求证：平面平面；

(2)设二面角的大小为，求的值.

【答案】(1)见解析；（2）.

【解析】试题分析：

（1）在圆中可得，由平面可得，故可证得平面，从而可得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，求得两向量夹角的余弦值，页 10第 结合图形得到二面角为锐角，故得

试题解析：

（1）证明：点在以为直径的上，

，

∴．

∵平面，平面，

∴，

又,

平面,

∵ 平面，

平面平面.

（2）如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．

,，

延长交于点,

，

，,

故,

∴

设平面的一个法向量为

由，得，

令，得．

同理可求平面的一个法向量为．