专题五 转化与化归的思想方法

专题02第一章 三角函数(知识梳理)

学习目标

1.了解任意角、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.

2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

3.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.

4.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2的单调性.

5.同角三角函数的关系sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x＝tan x.

6.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换(平移变换与伸缩变换).

7.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.

1.任意角三角函数的定义

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：

①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；

②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；

③yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x≠0).

2.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tan α＝sin αcos α α≠kπ＋π2，k∈Z.

3.诱导公式

六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.

4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 R R { x|x∈R，且x≠ kπ＋π2，k∈Z

值域 [－1,1] [－1,1] R

1数学是打开科学大门的钥匙//邦达数学高一讲义

宝剑锋从磨砺出第四讲函数常考知识复习讲义

I本章知识思维导图

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II典型例题

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题型一：求具体函数与抽象函数的定义域

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题型二：求函数的解析式

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题型三：求函数的值域

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题型四：函数的单调性

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1 专题1-1 三角函数重难点、易错点突破

（建议用时：180分钟）

1 同角三角函数关系巧应用

同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧应用.

一、知一求二

例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.

二、“1”的妙用

例2 证明：1－sin6x－cos6x1－sin4x－cos4x＝32.

三、齐次式求值

例3 已知tan α＝2，求值：

(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________；

(2)2sin2α－3cos2α＝________.

2 三角函数的性质总盘点

三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会.

一、定义域

例1 函数y＝cos x－12的定义域为________.

二、值域与最值

例2 函数y＝cos(x＋π3)，x∈(0，π3]的值域是________. 2 三、单调性

例3 已知函数f(x)＝sin(π3－2x)，求：

(1)函数f(x)的单调减区间；

(2)函数f(x)在[－π，0]上的单调减区间.

四、周期性与对称性

例4 已知函数f(x)＝sin(2ωx－π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象的对称轴方程是________.

五、奇偶性

例5 若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0，2π))是偶函数，则φ＝________.

1 善用数学思想——巧解题

一、数形结合思想

例1 在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是________.

二、分类讨论思想

例2 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.

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1 / 3 初中数学细说解一元二次方程中的转化思想

在遇到解具体的一元二次方程时，我们必须认真分析方程的特征，灵活选择解法。公式法是解一元二次方程的通法，配方法是公式法的基础，直接开平方法、分解因式法解决某些特殊的一元二次方程非常简便，掌握各种解法中内在的转化思想才是把握了解方程的根本。

一. 未知向已知的转化——直接开平方法、配方法

例1. 解方程：()x252

分析：方程的左边是关于x的完全平方式，右边是一个非负实数，能运用直接开平方法求解。

解：方程两边同时开平方得：x25或x25，xx122525,

说明：直接开平方法是求解一元二次方程的四种解法中最基本的一种方法，它适用于形如：()()xmnm20的一元二次方程，这种解法充分体现了将方程中的未知数向已知数的成功转化，同时又是后继解法的基础。

例2. 解方程：44302xx

分析：在运用配方法时，一般要求是先将方程的二次项系数化为1，然后再在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。

解：方程两边都除以4得：xx2340，移项得：xx234，两边同时加上14得：xx2141，左边配方得：(),xx1211212或xxx121123212,,。

说明：在配方法的应用中，一方面将方程的形式向直接开平方所要求的形式转化，即实施了式的转化，另一方面也实施了方法上的由已知向未知的转化。

二. 复杂向简单的转化——公式法

例3. 解方程：axbxcabac220040(,)

分析：运用配方法可推导出方程的求根公式。

解：略。

说明：在寻求公式法的过程中，我们也对方程实施了形式、解法的转化，而公式法的运用最终是解决了一元二次方程求解方法从复杂向简单的转化，只要能确定一元二次方程的各项系数，利用公式就可求解方程，从这一点讲也奠定了公式法在求解一元二次方程中的重要地位。 word