第三节连续型随机变量及其概率密度

x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)

解：⑴．P1 X 5 F (5) F (1)
(5 2) (1 2)
3
3
1
1 3
1 1 1
3
0.84134 0.62930 1
0.47064
⑵．PX 2 6 1 PX 2 6
1 P 6 X 2 6
x
令 u t
1
t2 x
e 2 dt
2
1
(2) (0) P( X 0) 1 2
() 1 ;() 0
引理：
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
FY
y
PY
y
P{ X
P{X y} 1
y}
y
e
t 2
2 2
dt
2
作变换
u
t
，du
dt
FY y
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t
指数分布
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件 使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件 概率与从开始使用时算起它至少能使用 t小时的概 率相等，即元件对它使用过 s 小时没有记忆,具有这
一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
(2)若X~N(,2),
P{X x} P{ X x }
( x )
(3) 若X~N(,2),对于任意区间(x1,x2]有
P( x1
X
x2 )
P
x1
X
x2
x2
x1
【例5】 设 随 机 变 量 X ~ N 2， 9 求 ： ⑴ P1 X 5；⑵ PX 2 6；⑶ PX 0．

由 F ( x) = ∫
x
−∞
f ( x)d x 得
0, x < 0, xx ∫ d x , 0 ≤ x < 3, 0 6 F ( x) = 3 x x d x + ( 2 − x ) d x , 3 ≤ x < 4, ∫3 2 ∫0 6 1, x ≥ 4.
x < 0, 0, 2 x , 0 ≤ x < 3, 12 即 F ( x) = x2 − 3 + 2 x − , 3 ≤ x < 4, 4 1, x ≥ 4.
P{ X > a} = 1 − P{ X ≤ a} = 1 − F (a )
= ∫− ∞ f ( x ) d x − ∫− ∞ f ( x ) d x
= ∫a f ( x ) d x .
+∞
+∞
a
(4) 若 f ( x ) 在点 x 处连续 , 则有 F ′( x ) = f ( x ).
物理意义： 物理意义：
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a < x < b, f ( x) = b − a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b ).
均匀分布概率密度函数演示 均匀分布概率密度函数演示
第三节
连续型随机变量及其概率 密度
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、概率密度的概念与性质
1.定义 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) , 若存在 定义
非负可积 函数f ( x ), 使对于任意实数 x 有 F ( x ) = ∫− ∞ f ( t ) d t , 则称 X 为连续型随机变量 , 其中 f ( x ) 称为 X 的概率 密度函数 , 简称概率密度 .

问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x