学案导学 备课精选高中数学 1.5.1二项式定理同步练习(含解析)苏教版选修23
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1 §1.5 二项式定理
1．5.1 二项式定理
课时目标1.掌握二项式定理，掌握通项公式.2.弄清二项式系数与展开式中某项系数的联系和区别.3.能够用二项式定理进行有关的计算和证明．
1．二项式定理
(a＋b)n＝________________________________________________；
二项展开式的通项：Tr＋1＝________________.
2．二项式系数
______(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．
一、填空题
1．在(x2－1x)5的二项展开式中，含x4的项的系数是______．
2．(x－13x)10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是________．
3．如果(3x2－2x3)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为________．
4．(1＋3x)6(1＋14x)10展开式的常数项为________．
5．(ax－1x)8的展开式中x2的系数是70，则实数a的值为________．
6．(xy－yx)6的展开式中，x3的系数为________．
7．已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.
8．(1＋x＋x2)(x－1x)6的展开式中的常数项为______．
二、解答题
9．求230－3除以7的余数．
10．已知(x－2x2)n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1，
(1)证明展开式中没有常数项； 2 (2)求展开式中含x32的项．
能力提升
11．若(x－ax)9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
12．若(x＋124x)n的展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次幂的项；
(2)展开式中所有x的有理项．
1．通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr(n∈N*，r＝0,1,2，…，n)中含有a，b，n，r，Tr＋1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题(如判断和计算二项展开式中的特殊项)．
2．注意二项式系数和系数的不同．
1．5 二项式定理
1．5.1 二项式定理
答案
知识梳理
1．C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*) Crnan－rbr
2．Crn 3 作业设计
1．10
解析 ∵(x2－1x)5的二项展开式的通项
Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(－1x)r＝Cr5·(－1)rx10－3r
令10－3r＝4，∴r＝2.
∴x4的系数是C25(－1)2＝10.
2．2
解析 Tr＋1＝Cr10x10－r2·(－13)r·x－r
＝Cr10(－13)r·x10－3r2.
若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，
∴r可以取0,2，∴项数为2.
3．5
解析 因为Tr＋1＝Crn(3x2)n－r(－2x－3)r＝(－2)r·3n－rCrnx2n－5r，则2n－5r＝0，即5r＝2n，
所以 n＝5r＝2或 n＝10，r＝4，.
故所求正整数n的最小值为5.
4．4 246
解析 (1＋3x)6的展开式有7项，通项为Tr＋1＝Cr6(3x)r＝Cr6xr3(r＝0,1,2，…，6)；(1＋14x)10的展开式有11项，通项为Ts＋1＝Cs10(14x)s＝Cs10x－s4(s＝0,1,2，…，10)；(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式有77项，通项为Cr6xr3Cs10x－s4＝Cr6Cs10x4r－3s12，由4r－3s＝0得 r＝0s＝0或 r＝3s＝4或 r＝6s＝8.故常数项为1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
5．±1
解析 Tr＋1＝Cr8(ax)8－r(－1x)r＝(－1)ra8－r·Cr8x8－r·x－r2，所以(8－r)＋(－r2)＝2，得r＝4，即有a4C48＝70，所以a＝±1.
6．15
解析 设含有x3项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝Cr6·(xy)6－r·(－yx)r＝Cr6·x6－r·yr－62·(－y)r·x－r2
＝Cr6·x6－r－r2·yr－62·(－y)r，
令6－r－r2＝3，即r＝2，
∴T3＝C26·x3·1y2·y2＝C26·x3， 4 系数为C26＝6×52＝15.
7．1
解析
x8是(1＋kx2)6的展开式的第5项，x8的系数为C46k4＝15k4，由已知，得15k4<120，即k4<8，又k是正整数，故k＝1.
8．－5
解析 (1＋x＋x2)(x－1x)6
＝(1＋x＋x2)[C06x6(－1x)0＋C16x5(－1x)1＋C26x4(－1x)2＋C36x3(－1x)3＋C46x2·(－1x)4＋C56x(－1x)5＋C66x0·(－1x)6]＝(1＋x＋x2)·(x6－6x4＋15x2－20＋15x2－6x4＋1x6)，所以常数项为1×(－20)＋x2·15x2＝－5.
9．解 230－3＝(23)10－3＝810－3
＝(7＋1)10－3
＝C010710＋C11079＋…＋C9107＋C1010－3
＝7(C01079＋C11078＋…＋C910)－2
＝7(C01079＋C11078＋…＋C910)－7＋5.
∴余数为5.
10．(1)证明 由题意知第5项的系数为C4n·(－2)4，
第3项的系数为C2n·(－2)2，
则C4n·(－2)4C2n·(－2)2＝101，
解得n＝8，或n＝－3(舍去)．
通项公式Tr＋1＝Cr8(x)8－r·(－2x2)r
＝Cr8(－2)r·x8－5r2.
若Tr＋1为常数项，当且仅当8－5r2＝0，即5r＝8，且r∈N，这是不可能的，所以展开式中没有常数项．
(2)解 由(1)知，展开式中含x32的项需8－5r2＝32，则r＝1，故展开式中含x32的项为
T2＝－16x32.
11．1
解析 由Tr＋1＝Cr9·x9－r·(－ax)r＝(－a)rCr9x9－2r，令9－2r＝3，则r＝3，即(－a)3C39＝－84，
解得a＝1.
12．解 由已知条件得：C0n＋C2n·122＝2C1n·12，
解得n＝8或n＝1(舍去)．
(1)Tr＋1＝Cr8(x)8－r(124x)r＝Cr8·2－r·x4－34r，
令4－34r＝1，得r＝4， 5 ∴含x的一次幂的项为T4＋1＝C48·2－4·x＝358x.
(2)令4－34r∈Z(r≤8)，则只有当r＝0,4,8时，对应的项才是有理项，有理项分别为：
T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x2.
