复数的乘法与除法（精选6篇）
复数的乘法与除法篇1
教学目标
(1)把握复数乘法与除法的运算法则,并能熟练地进行乘、除法的运算;
(2)能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题;
(3)让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法;
(4)通过学习复数乘法与除法的运算法则,培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质.复数的代数形式相乘,与加减法一样,可以按多项式的乘法进行,但必须在所得的结果中把换成-1,并且把实部与虚部分合并.很明显,两个复数的积仍然是一个复数,即在复数集内,乘法是永远可以实施的,同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律.规定复数的除法是乘法的逆运算,它同多项式除法类似,当两个多项式相除,可以写成分式,若分母含有理式时,要进行分母有理化,而两个复数相除时,要使分母实数化,即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数,使分母变成实数.
三、教学建议
1.在学习复数的代数形式相乘时,复数的乘法法则规定按照如下法则进行.设是任意两个复数,那么它们的积:
也就是说.复数的乘法与多项式乘法是类似的,注重有一点不同即必须在所得结果中把换成一1,再把实部,虚部分别合并,而不必去记公式.
2.复数的乘法不仅满足交换律与结合律,实数集r中整数指数幂的运算律,在复数集c中仍然成立,即对任何 , , 及 ,有:
, , ;
对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立.由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义,因此假如把上述法则扩展到分数指数幂内运用,就会得到荒谬的结果。如 ,若由 ,就会得到的错误结论,对此一定要重视。
3.讲解复数的除法,可以按照教材规定它是乘法的逆运算,即求一个复数 ,使它满足 (这里 , 是已知的复数).列出上式后,由乘法法则及两个复数相等的条件得:
,
由此
,
于是
得出商以后,还应当着重向学生指出:假如根据除法的定义,每次都按上述做来法逆运算的办法来求商,这将是很麻烦的.分析一下商的结构,从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法,就是先把它们的商写成分式的形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数,再把结果化简即可.
4.这道例题的目的之一是练习我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作,要求我们做到熟练和准确。从这道例题的运算结果,我们应该看出, 也是1的一个立方根。因此,我们应该修正过去关于“1的立方根是1”的熟悉,想到1至少还有一个虚数根。然后再回顾例2的解题过程,发现其中所有的号都可以改成“±”。这样就能找出1的另一个虚数根。所以1在复数集c内至少有三个根:1, , 。以上对于一道例题或练习题的反思过程,看起来并不难,但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维,拓宽和加深我们的知识,使我们对一个问题的熟悉更加全面。
5.教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式,在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式过程中,要非凡注重等号成立的条件。
示例
复数的乘法
教学目标
1.把握复数的代数形式的乘法运算法则,能熟练地进行复数代数形式的乘法运算;
2.理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律;
3.知道复数的乘法是同复数的积,理解复数集c中正整数幂的运算律,把握i的乘法运算性质.
教学重点难点
复数乘法运算法则及复数的有关性质.
难点是复数乘法运算律的理解.
教学过程设计
1. 引入新课
前面学习了复数的代数形式的加减法,其运算法则与两个多项式相加减的办法一致.那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢?
教学中,可让学生先按此办法计算,然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照,从而引入新课.
2. 提出复数的代数形式的运算法则:
.
指出这一法则也是一种规定,由于它与多项式乘法运算法则一致,因此,不需要记忆这个公式.
3. 引导学生证实复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律.
4. 讲解例1、例2
例1求 .
此例的解答可由学生自己完成.然后,组织讨论,由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质: .
教学过程中,也可以引导学生用以上公式来证实:
.
例2 计算 .
教学中,可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算.比如说第一组按进行计算;第二组按进行计算.讨论其计算结果一致说明了什
么问题?
5. 引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质
教学过程中,可根据学生的情况,考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂.
6. 讲解例3
例3 设 ,求证:(1) ;(2)
讲此例时,应向学生指出:(1)实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立;(2)复数的混合运算也是乘方,乘除,最后加减,有括号应先处括号里面的.
此后引导学生思考:(1)课本中关于(2)小题的注解;(2)假如,则与还成立吗?
7. 课堂练习
课本练习第1、2、3题.
8. 归纳总结
(1)学生填空:
; ==.
设 ,则 =, =, =, =.
设 (或 ),则 , .
(2)对复数乘法、乘方的有关运算进行小结.
9.作业
课本习题5.4第1、3题.
复数的乘法与除法篇2
教学目标
（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算；
（2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；
（3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法；
（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质.复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并.很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律.规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数.
三、教学建议
1.在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则进行.设是任意两个复数，那么它们的积：
也就是说.复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式.
2.复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有：，，；
对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立.由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。
3.讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）.列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：
，
由此
，
于是
得出商以后，还应当着重向学生指出：如果根据除法的定义，每次都按上述做来法逆运算的办法来求商，这将是很麻烦的.分析一下商的结构，从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法，就是先把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可.
4.这道例题的目的之一是训练我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作，要求我们做到熟练和准确。从这道例题的运算结果，我们应该看出，也是-1的一个立方根。因此，我们应该修正过去关于“-1的立方根是-1”的认识，想到-1至少还有一个虚数根。然后再回顾例2的解题过程，发现其中所有的“-”号都可以改成“±”。这样就能找出-1的另一个虚数根。所以-1在复数集C内至少有三个根：-1，，。以上对于一道例题或练习题的反思过程，看起来并不难，但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维，拓宽和加深我们的知识，使我们对一个问题的认识更加全面。
5.教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式，在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式过程中，要特别注意等号成立的条件。
教学设计示例
复数的乘法
教学目标
1.掌握复数的代数形式的乘法运算法则，能熟练地进行复数代数形式的乘法运算；
2.理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律；
3.知道复数的乘法是同复数的积，理解复数集C中正整数幂的运算律，掌握i的乘法运算性质.
教学重点难点
复数乘法运算法则及复数的有关性质.
难点是复数乘法运算律的理解.
教学过程设计
1. 引入新课
前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的办法一致.那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？
教学中，可让学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照，从而引入新课.
2. 提出复数的代数形式的运算法则：
.
指出这一法则也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法则一致，因此，不需要记忆这个公式.
3. 引导学生证明复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律.
4. 讲解例1、例2
例1 求 .
此例的解答可由学生自己完成.然后，组织讨论，由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质： .
教学过程中，也可以引导学生用以上公式来证明：
.
例2 计算 .
教学中，可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算.比如说第一组按进行计算；第二组按进行计算.讨论其计算结果一致说明了什么问题？
5. 引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质
教学过程中，可根据学生的情况，考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂.
6. 讲解例3
例3 设，求证：（1）；（2）
讲此例时，应向学生指出：（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；（2）复数的混合运算也是乘方，乘除，最后加减，有括号
应先处括号里面的.
此后引导学生思考：（1）课本中关于（2）小题的注解；（2）如果，则与还成立吗？
7. 课堂练习
课本练习第1、2、3题.
8. 归纳总结
（1）学生填空：
；＝＝ .
设，则＝，＝，＝，＝ .
设（或），则， .
（2）对复数乘法、乘方的有关运算进行小结.
9.作业
课本习题5.4第1、3题.
复数的乘法与除法篇3
教学目标
（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算；
（2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；
（3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法；
（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质.复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并.很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律.规定复数的除法是
乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数.
三、教学建议
1.在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则进行.设是任意两个复数，那么它们的积：
也就是说.复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式.
2.复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有：，，；
对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立.由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。
3.讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）.列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：
，
由此
，
于是
得出商以后，还应当着重向学生指出：如果根据除法的定义，每次都按上述做来法逆运算的办法来求商，这将是很麻烦的.分析一下商的结构，从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法，就是先把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可.
4.这道例题的目的之一是训练我们对于复数乘法运算、乘方运算
及乘法公式的操作，要求我们做到熟练和准确。从这道例题的运算结果，我们应该看出，也是-1的一个立方根。因此，我们应该修正过去关于“-1的立方根是-1”的认识，想到-1至少还有一个虚数根。然后再回顾例2的解题过程，发现其中所有的“-”号都可以改成“±”。这样就能找出-1的另一个虚数根。所以-1在复数集C内至少有三个根：-1，，。以上对于一道例题或练习题的反思过程，看起来并不难，但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维，拓宽和加深我们的知识，使我们对一个问题的认识更加全面。
5.教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式，在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式过程中，要特别注意等号成立的条件。
教学设计示例
复数的乘法
教学目标
1.掌握复数的代数形式的乘法运算法则，能熟练地进行复数代数形式的乘法运算；
2.理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律；
3.知道复数的乘法是同复数的积，理解复数集C中正整数幂的运算律，掌握i的乘法运算性质.
教学重点难点
复数乘法运算法则及复数的有关性质.
难点是复数乘法运算律的理解.
教学过程设计
1. 引入新课
前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的办法一致.那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？
教学中，可让学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照，从而引入新课.
2. 提出复数的代数形式的运算法则：
.
指出这一法则也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法则一致，因此，不需要记忆这个公式.
3. 引导学生证明复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律.
4. 讲解例1、例2
例1 求 .
此例的解答可由学生自己完成.然后，组织讨论，由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质： .
教学过程中，也可以引导学生用以上公式来证明：
.
例2 计算 .
教学中，可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算.比如说第一组按进行计算；第二组按进行计算.讨论其计算结果一致说明了什么问题？
5. 引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质
教学过程中，可根据学生的情况，考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂.
6. 讲解例3
例3 设，求证：（1）；（2）
讲此例时，应向学生指出：（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；（2）复数的混合运算也是乘方，乘除，最后加减，有括号应先处括号里面的.
此后引导学生思考：（1）课本中关于（2）小题的注解；（2）如果，则与还成立吗？
7. 课堂练习
课本练习第1、2、3题.
8. 归纳总结
（1）学生填空：
；＝＝ .
设，则＝，＝，＝，＝ .
设（或），则， .
（2）对复数乘法、乘方的有关运算进行小结.
9.作业
课本习题5.4第1、3题.
复数的乘法与除法篇4
教学目标
（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算；
（2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；
（3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法；
（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质.复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并.很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律.规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数.
三、教学建议
1.在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则进行.设是任意两个复数，那么它们的积：
也就是说.复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即
必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式.
2.复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有：，，；
对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立.由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。
3.讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）.列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：
，
由此
，
于是
也是-1的一个立方根。因此，我们应该修正过去关于“-1的立方根是-1”的认识，想到-1至少还有一个虚数根。然后再回顾例2的解题过程，发现其中所有的“-”号都可以改成“±”。这样就能找出-1的另一个虚数根。所以-1在复数集C内至少有三个根：-1，，。以上对于一道例题或练习题的反思过程，看起来并不难，但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维，拓宽和加深我们的知识，使我们对一个问题的认识更加全面。
5.教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式，在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式过程中，要特别注意等号成立的条件。
教学设计示例
复数的乘法
教学目标
1.掌握复数的代数形式的乘法运算法则，能熟练地进行复数代数
形式的乘法运算；
2.理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律；
3.知道复数的乘法是同复数的积，理解复数集C中正整数幂的运算律，掌握i的乘法运算性质.
教学重点难点
复数乘法运算法则及复数的有关性质.
难点是复数乘法运算律的理解.
教学过程设计
1. 引入新课
前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的办法一致.那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？
教学中，可让学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照，从而引入新课.
2. 提出复数的代数形式的运算法则：
.
指出这一法则也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法则一致，因此，不需要记忆这个公式.
3. 引导学生证明复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律.
4. 讲解例1、例2
例1 求 .
此例的解答可由学生自己完成.然后，组织讨论，由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质： .
教学过程中，也可以引导学生用以上公式来证明：
.
例2 计算 .
教学中，可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算.比如说第一组按进行计算；第二组按进行计算.讨论其计算结果一致说明了什么问题？
5. 引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质
教学过程中，可根据学生的情况，考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂.
6. 讲解例3
例3 设，求证：（1）；（2）
讲此例时，应向学生指出：（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；（2）复数的混合运算也是乘方，乘除，最后加减，有括号应先处括号里面的.
此后引导学生思考：（1）课本中关于（2）小题的注解；（2）如果，则与还成立吗？
7. 课堂练习
课本练习第1、2、3题.
8. 归纳总结
（1）学生填空：
；＝＝ .
设，则＝，＝，＝，＝ .
设（或），则， .
（2）对复数乘法、乘方的有关运算进行小结.
9.作业
课本习题5.4第1、3题.
复数的乘法与除法篇5
教学目标
（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算；
（2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；
（3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法；
（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质.复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并.很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律.规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数.
三、教学建议
1.在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则进行.设是任意两个复数，那么它们的积：
也就是说.复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式.
2.复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有：，，；
对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立.由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。
3.讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）.列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：
，
由此
，
于是
也是-1的一个立方根。因此，我们应该修正过去关于“-1的立方根是-1”的认识，想到-1至少还有一个虚数根。然后再回顾例2的解题过程，发现其中所有的“-”号都可以改成“±”。这样就能找出-1的另一个虚数根。所以-1在复数集C内至少有三个根：-1，，。以上对于一道例题或练习题的反思过程，看起来并不难，但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维，拓宽和加深我们的知识，使我们对一个问题的认识更加全面。
5.教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式，在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式过程中，要特别注意等号成立的条件。
教学设计示例
复数的乘法
教学目标
1.掌握复数的代数形式的乘法运算法则，能熟练地进行复数代数形式的乘法运算；
2.理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律；
3.知道复数的乘法是同复数的积，理解复数集C中正整数幂的运算律，掌握i的乘法运算性质.
教学重点难点
复数乘法运算法则及复数的有关性质.
难点是复数乘法运算律的理解.
教学过程设计
1. 引入新课
前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的办法一致.那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？
教学中，可让学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照，从而引入新课.
2. 提出复数的代数形式的运算法则：
.
指出这一法则也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法则一致，因此，不需要记忆这个公式.
3. 引导学生证明复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律.
4. 讲解例1、例2
例1 求 .
此例的解答可由学生自己完成.然后，组织讨论，由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质： .
教学过程中，也可以引导学生用以上公式来证明：
.
例2 计算 .
教学中，可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算.比如说第一组按进行计算；第二组按进行计算.讨论其计算结果一致说明了什么问题？
5. 引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质
教学过程中，可根据学生的情况，考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂.
6. 讲解例3
例3 设，求证：（1）；（2）
讲此例时，应向学生指出：（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；（2）复数的混合运算也是乘方，乘除，最后加减，有括号应先处括号里面的.
此后引导学生思考：（1）课本中关于（2）小题的注解；（2）如果，则与还成立吗？
7. 课堂练习
课本练习第1、2、3题.
8. 归纳总结
（1）学生填空：
；＝＝ .
设，则＝，＝，＝，＝ .
设（或），则， .
（2）对复数乘法、乘方的有关运算进行小结.
9.作业
课本习题5.4第1、3题.
复数的乘法与除法篇6
教学目标
（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算；
（2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；
（3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法；
（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质.复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并.很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律.规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数.
三、教学建议
1.在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则进行.设是任意两个复数，那么它们的积：
也就是说.复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式.
2.复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有：，，；
对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立.由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。
3.讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）.列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：
，
由此
，
于是
也是-1的一个立方根。因此，我们应该修正过去关于“-1的立方根是-1”的认识，想到-1至少还有一个虚数根。然后再回顾例2的解题过程，发现其中所有的“-”号都可以改成“±”。这样就能找出-1的另一个虚数根。所以-1在复数集C内至少有三个根：-1，，。以上对于一道例题或练习题的反思过程，看起来并不难，但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维，拓宽和加深我们的知识，使我们对一个问题的认识更加全面。
5.教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式，在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式过程中，要特别注意等号成立的条件。
教学设计示例
复数的乘法
教学目标
1.掌握复数的代数形式的乘法运算法则，能熟练地进行复数代数形式的乘法运算；
2.理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律；
复数的加减乘除 复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成。在初中数学中，我们学 习了复数的加减乘除运算，这些运算不仅在数学中有重要的应用，也在物理、工程等领域中发挥着重要的作用。本文将介绍复数的加减乘除运算，并通过实例来说明其应用。 一、复数的加法 复数的加法运算与实数的加法类似，只需将实部与实部相加，虚部与虚部相加 即可。例如，要计算(3+2i)+(1-4i)，我们只需将实部3和1相加，虚部2i和-4i相加，得到结果4-2i。 复数的加法运算可以用几何方法来理解。我们可以将复数看作是平面上的点， 实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。对于两个复数的加法，可以将它们分别表示为平面上的两个点，然后将这两个点相加，得到的结果就是两个复数的和。 二、复数的减法 复数的减法运算也与实数的减法类似，只需将实部与实部相减，虚部与虚部相 减即可。例如，要计算(3+2i)-(1-4i)，我们只需将实部3和1相减，虚部2i和-4i相减，得到结果2+6i。 复数的减法运算也可以用几何方法来理解。我们可以将复数看作是平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。对于两个复数的减法，可以将它们分别表示为平面上的两个点，然后将这两个点相减，得到的结果就是两个复数的差。 三、复数的乘法 复数的乘法运算是复数运算中最重要的一种运算，它有着广泛的应用。两个复 数的乘法可以通过分配律和乘法公式来计算。例如，要计算(3+2i)×(1-4i)，我们可
以先将分配律应用到实部和虚部上，得到(3×1-3×4i+2i×1-2i×4i)，然后根据乘法公 式化简，得到(3-12i+2i-8i²)，再根据i的定义化简，得到(11-10i)。 复数的乘法运算可以用几何方法来理解。我们可以将复数看作是平面上的点， 实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。对于两个复数的乘法，可以将它们分别表示为平面上的两个点，然后将这两个点相乘，得到的结果就是两个复数的乘积。 四、复数的除法 复数的除法运算是复数运算中最复杂的一种运算，它需要用到共轭复数的概念。两个复数的除法可以通过乘以倒数来计算。例如，要计算(3+2i)/(1-4i)，我们可以 先将分母的共轭复数(1+4i)乘以分子，得到(3+2i)(1+4i)，然后根据乘法公式化简， 得到(-5+14i)。最后，将结果除以分母的模长的平方，得到(-5+14i)/(1²+(-4)²)=(- 5+14i)/17。 复数的除法运算同样可以用几何方法来理解。我们可以将复数看作是平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。对于两个复数的除法，可以将它们分别表示为平面上的两个点，然后将这两个点相除，得到的结果就是两个复数的商。 总结： 复数的加减乘除运算是数学中的重要概念，它们在实际应用中有着广泛的应用。通过了解复数的加减乘除运算规则，并通过几何方法来理解，我们可以更好地应用复数解决实际问题。希望同学们能够掌握复数的加减乘除运算，并能够灵活运用于实际问题中。
复数的乘法与除法 教学目标 （1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地实行乘、除法的运算； （2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地实行解题； （3）让学生领悟到“转化”这个重要数学思想方法； （4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的水平。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的相关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，能够按多项式的乘法实行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远能够实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，能够写成分式，若分母含有理式时，要实行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数． 三、教学建议
1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则实行．设 是任意两个复数，那么它们的积： 也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式． 2．复数的乘法不但满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有： ，，； 对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立．因为我们尚未对复数的分数指数幂实行定 义，所以如果把上述法则扩展到分数指数幂内使用，就会得到荒谬的结果。如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。 3．讲解复数的除法，能够按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足 （这里，是已知的复数）．列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得： ， 由此 ，
复数的乘法与除法（精选6篇） 复数的乘法与除法篇1 教学目标 (1)把握复数乘法与除法的运算法则,并能熟练地进行乘、除法的运算; (2)能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题; (3)让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法; (4)通过学习复数乘法与除法的运算法则,培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质.复数的代数形式相乘,与加减法一样,可以按多项式的乘法进行,但必须在所得的结果中把换成-1,并且把实部与虚部分合并.很明显,两个复数的积仍然是一个复数,即在复数集内,乘法是永远可以实施的,同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律.规定复数的除法是乘法的逆运算,它同多项式除法类似,当两个多项式相除,可以写成分式,若分母含有理式时,要进行分母有理化,而两个复数相除时,要使分母实数化,即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数,使分母变成实数. 三、教学建议 1.在学习复数的代数形式相乘时,复数的乘法法则规定按照如下法则进行.设是任意两个复数,那么它们的积: 也就是说.复数的乘法与多项式乘法是类似的,注重有一点不同即必须在所得结果中把换成一1,再把实部,虚部分别合并,而不必去记公式. 2.复数的乘法不仅满足交换律与结合律,实数集r中整数指数幂的运算律,在复数集c中仍然成立,即对任何 , , 及 ,有: , , ;
对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立.由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义,因此假如把上述法则扩展到分数指数幂内运用,就会得到荒谬的结果。如 ,若由 ,就会得到的错误结论,对此一定要重视。 3.讲解复数的除法,可以按照教材规定它是乘法的逆运算,即求一个复数 ,使它满足 (这里 , 是已知的复数).列出上式后,由乘法法则及两个复数相等的条件得: , 由此 , 于是 得出商以后,还应当着重向学生指出:假如根据除法的定义,每次都按上述做来法逆运算的办法来求商,这将是很麻烦的.分析一下商的结构,从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法,就是先把它们的商写成分式的形式,然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数,再把结果化简即可. 4.这道例题的目的之一是练习我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作,要求我们做到熟练和准确。从这道例题的运算结果,我们应该看出, 也是1的一个立方根。因此,我们应该修正过去关于“1的立方根是1”的熟悉,想到1至少还有一个虚数根。然后再回顾例2的解题过程,发现其中所有的号都可以改成“±”。这样就能找出1的另一个虚数根。所以1在复数集c内至少有三个根:1, , 。以上对于一道例题或练习题的反思过程,看起来并不难,但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以有效地锻炼我们的逆向思维,拓宽和加深我们的知识,使我们对一个问题的熟悉更加全面。 5.教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式,在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式过程中,要非凡注重等号成立的条件。 示例 复数的乘法
复数的乘法与除法规则 复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数构成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。在进行复数的乘法和除法运算时，有 一些规则需要遵循，本文将详细介绍复数的乘法与除法规则。 一、复数的乘法规则 复数的乘法是指两个复数相乘所得的结果。设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，其中a、b、c、d为实数。根据乘法定义，我们可以得到复数的乘法规则如下： 1. 实部与实部相乘，虚部与虚部相乘： (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi² 2. 虚部的平方为-1，即i²=-1，根据此性质可简化乘法运算： (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bd(-1) = (ac - bd) + (ad + bc)i 通过上述规则，我们可以进行复数的乘法运算。下面通过一个例子来说明： 例：计算(3+4i)(2+5i) 根据乘法规则，我们有： (3+4i)(2+5i) = (3*2 - 4*5) + (3*5 + 4*2)i = (6 - 20) + (15 + 8)i = -14 + 23i 因此，(3+4i)(2+5i)的结果为-14+23i。 二、复数的除法规则
复数的除法是指一个复数除以另一个复数所得的结果。设有两个复数z1=a+bi 和z2=c+di，其中a、b、c、d为实数。根据除法定义，我们可以得到复数的除法规则如下： 1. 将除数和被除数都乘以共轭复数的结果： (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) 2. 分子和分母进行乘法运算： (a+bi)(c-di) = ac - adi + bci - bdi² = ac + bd + (bc - ad)i (c+di)(c-di) = c² - cdi + cdi - d²i² = c² + d² 3. 将结果进行合并： (a+bi)/(c+di) = (ac + bd + (bc - ad)i) / (c² + d²) 通过上述规则，我们可以进行复数的除法运算。下面通过一个例子来说明：例：计算(3+4i)/(2+5i) 根据除法规则，我们有： (3+4i)/(2+5i) = (3+4i)(2-5i) / (2+5i)(2-5i) = (6 - 15) + (8 + 10)i / (4 + 25) = -9 + 18i / 29 = -9/29 + 18/29i 因此，(3+4i)/(2+5i)的结果为-9/29 + 18/29i。
复数的乘除运算教案 一、知识目标 1.理解复数的乘法和除法的定义与规则。 2.掌握复数的乘法和除法的计算方法。 3.能够灵活应用复数的乘法和除法解决实际问题。 二、教学重难点 1.掌握复数的乘法和除法的基本知识。 2.能够在解决实际问题中使用复数的乘法和除法。 三、教学过程 1.复习 通过复数的定义和基本运算的讲解，复习复数的加减法、共轭和模的概念和计算方法。 2.乘法 (1)定义：设两个复数分别为z1=a+bi，z2=c+di，乘积为 z=z1×z2=(a+bi)×(c+di)。按照运算法则展开并进行化简，即可得到z=(ac-bd)+(bc+ad)i，这就是复数的乘法公式。 (2)计算：教师给出若干道复数乘法的例题，让学生自主练习，并在黑板上讲解解题方法和答案。 (3)注意点：在乘法中，共轭复数的乘积等于它们的模平方，即：|z1z2|=|z1|×|z2|。 3.除法 (1)定义：设两个复数分别为z1=a+bi，z2=c+di，商为 z=z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)。将分子分母同时乘以共轭数的商，即可得到z=[(a+bi)×(c-di)]÷[(c+di)×(c-di)]。按照运算法则展开并进行化简，即可得到z=[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i，这就是复数的除法公式。 (2)计算：教师给出若干道复数除法的例题，让学生自主练习，并在黑板上讲解解题方法和答案。
(3)注意点：在除法中，一个任意的非零复数的倒数是它的共轭数与模平方的商，即：1/z= z*÷|z|²。 四、实例讲解 教师根据实际问题，构造一些需要使用复数乘、除法进行计算的题目，让学生实际运用所学知识计算，并提高自己的解决实际问题的能力。 五、总结反思 教师对所学知识进行归纳和总结，并让学生进行合作讨论，分享自己的学习体会和感悟，以达到知识的深化和加深。 六、课后作业 教师布置数道和本课学习内容相关的练习题，让学生巩固所学知识，加深对知识点的理解和掌握。同时要求学生思考如何在实际问题中应用所学知识。
复数的乘法与除法 1. 复数的乘法 复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常用以下形式表示：a+bi，其中a表示实数部分，b表示虚数部分。复数的乘法是指两个复数相乘的运算。 1.1 复数的乘法规则 复数的乘法遵循以下规则： •实数部分相乘，虚数部分相加； •实数部分相乘，虚数部分相减。 具体来说，两个复数a+bi和c+di的乘法可以表示为： (a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi2 由于i2=−1，可以继续简化为： (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i 1.2 乘法示例 现在我们来看几个具体的乘法示例： 示例1 计算(2+3i)(4+5i)： $$(2+3i)(4+5i) = (2\\times4 - 3\\times5) + (2\\times5 + 3\\times4)i$$ =(8−15)+(10+12)i=−7+22i 因此，(2+3i)(4+5i)=−7+22i。 示例2 计算(1+i)(1−i)： $$(1+i)(1-i) = (1\\times1 - 1\\times(-1)) + (1\\times(-1) + 1\\times1)i$$ =(1+1)+(−1+1)i=2i
所以，(1+i)(1−i)=2i。 2. 复数的除法 复数的除法是指两个复数相除的运算。 2.1 复数的除法规则 复数的除法规则与乘法规则相似，只是要将除数的虚数部分乘以−1。具体来说，两个复数a+bi和c+di的除法可以表示为： $$\\frac{a+bi}{c+di} = \\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$$ 进一步简化后的结果为： $$\\frac{a+bi}{c+di} = \\frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2 + d^2}$$ 2.2 除法示例 让我们来看几个具体的除法示例： 示例1 计算$\\frac{3+4i}{2+3i}$： $$\\frac{3+4i}{2+3i} = \\frac{(3+4i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}$$ $$= \\frac{(6-9i+8i+12)}{(4+9)}$$ $$= \\frac{18 - i}{13}$$ 所以，$\\frac{3+4i}{2+3i} = \\frac{18 - i}{13}$。 示例2 计算$\\frac{1}{1+i}$： $$\\frac{1}{1+i} = \\frac{1}{1+i} \\times \\frac{1-i}{1-i}$$ $$= \\frac{1-i}{2}$$ 因此，$\\frac{1}{1+i} = \\frac{1-i}{2}$。
复数乘除法教案范文 主题：复数乘除法教学 一、教学目标： 1.理解复数的基本概念和表示方法。 2.掌握复数的乘法和除法的计算方法。 3.能够运用所学的知识解决实际问题。 二、教学内容： 1.复数的概念和表示方法。 a.复数是由实数和虚数组成的数，虚数用i表示。 b. 复数的一般表示形式：a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。 c.实数a可以看作是虚部为零的复数，即a=a+0i。 2.复数的乘法。 a.两个复数相乘，实部相乘后减去虚部相乘后的结果。 b. 乘法公式：(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。 c.示例：(3+2i)×(-1+4i)=(3×-1-2×4)+(3×4+2×-1)i=-11+10i。 3.复数的除法。 a.两个复数相除，实部和虚部分别相除。
b. 除法公式：(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] ÷ (c^2 + d^2)。 c.示例：(5+2i)÷(3-i)=[(5×3+2×-(-1))+(2×3-5×- 1)i]÷(3^2+(-1)^2)=(17+11i)÷10=1.7+1.1i。 三、教学过程： 1.导入新知识。 a.引导学生回顾实数和虚数的定义，并提问：你们知道复数是什么吗？它有什么特点？ b.学生回答后，教师进行解释，引入复数的概念和表示方法。以一个 实数和一个虚数相加为例，解释复数的定义和形式。 2.复习实数和虚数的运算规律。 a.提醒学生回顾实数和虚数的运算规律，如实数加减法的交换律、结 合律等。 b.引导学生思考虚数的平方是负数的概念，并提问：你们知道虚数单 位i的平方是多少吗？ 3.复数的乘法。 a.介绍复数的乘法公式，并用具体的示例进行演示和讲解。 b.让学生在课堂上做一些乘法练习，巩固所学的知识。 4.复数的除法。 a.介绍复数的除法公式，并用具体的示例进行演示和讲解。
复数与复数的乘法与除法 复数是数学中的一种数形式，由实数部分和虚数部分组成。在复数中，实数部分用实数表示，虚数部分用虚数单位i表示。复数可以用 a + bi 的形式表示，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位。 在数学中，我们经常需要进行复数之间的乘法与除法运算。本文将介绍复数与复数的乘法与除法规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。 一、复数乘法规则 两个复数相乘时，可以使用分配律进行计算。 假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1、b1、a2、b2 是实数。 则它们的乘积为： z1 * z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + b1ia2 + b1ib2i^2 根据虚数单位i的定义（i^2 = -1），进一步计算得： z1 * z2 = a1a2 + a1b2i + b1ia2 + b1ib2(-1) = a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i 因此，两个复数的乘积为实数部分的乘积减去虚数部分的乘积，并将实数部分与虚数部分相加。
例如，计算复数 (2 + 3i)(4 + 5i)： 实数部分：2 * 4 - 3 * 5 = 8 - 15 = -7 虚数部分：2 * 5 + 3 * 4 = 10 + 12 = 22 所以，(2 + 3i)(4 + 5i) = -7 + 22i。 二、复数除法规则 两个复数相除时，可以通过乘以共轭复数来进行计算。 假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1、b1、a2、b2 是实数，并且z2 ≠ 0。 则它们的商为： z1 / z2 = (a1 + b1i) / (a2 + b2i) 为了方便计算，我们可以将分子和分母都乘以 z2 的共轭复数，即(a2 - b2i)。 这样，将分子和分母进行乘法运算，得到： z1 / z2 = ((a1 + b1i) * (a2 - b2i)) / ((a2 + b2i) * (a2 - b2i)) (z1 / z2 = (a1a2 - a1b2i + b1ia2 - b1ib2i^2) / (a2a2 - a2b2i + a2b2i - b2b2i^2)) 根据虚数单位i的定义，可进一步计算为： z1 / z2 = ((a1a2 + b1b2) + (b1a2 - a1b2)i) / (a2^2 + b2^2)
复数的乘法与除法 复数是由实数部分和虚数部分构成的数字，可用于解决实际问题， 尤其在数学和物理领域中具有重要的应用。复数的乘法与除法是复数 运算中的两个基本操作，通过这两个操作可以实现复数之间的相乘和 相除运算。本文将详细介绍复数的乘法与除法，并探讨其性质和应用。 一、复数的乘法 复数的乘法可以通过展开括号并应用虚数单位 i 的定义进行计算。 设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数，则它 们的乘积为： z1 * z2 = (a+bi) * (c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad+bc)i 根据乘法的定义，在计算过程中需要注意虚数单位 i 的特性：i^2 = -1。通过展开括号并整理得到的结果为一个新的复数，实部为原复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部为原复数实部和虚部的乘积之和。 二、复数的除法 复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数且z2 ≠ 0，则它们的除法为：z1 / z2 = (a+bi) / (c+di)
为了简化计算，可以将分子和分母同乘以共轭复数的分子，并利用 共轭复数的特性进行化简。共轭复数 z2 的定义为 c-di，则乘以共轭复 数相当于分母中的虚部相互抵消。经过整理得到的结果为：z1 / z2 = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)] = [(a*c + b*d) + (b*c - a*d)i] / (c^2 + d^2) 类似于乘法，除法的计算结果也是一个新的复数，实部为原复数实 部和虚部的乘积之和，虚部为正负交替相乘的结果。 三、复数乘法和除法的性质 1. 乘法交换律：对于任意两个复数 z1 和 z2，满足 z1 * z2 = z2 * z1。 2. 乘法结合律：对于任意三个复数 z1、z2 和 z3，满足 (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2 * z3)。 3. 乘法分配律：对于任意三个复数 z1、z2 和 z3，满足 z1 * (z2 + z3) = z1 * z2 + z1 * z3。 4. 除法的倒数性质：对于任意非零复数 z，其倒数为 1/z。 四、复数乘法与除法的应用 1. 解决复数方程：将复数方程转化为多项式方程，通过乘法和除法 计算得到解，并验证是否满足原方程。 2. 旋转变换：在向量的旋转变换中，复数乘法可以用来表示平面上 向量的旋转和缩放。
复数的乘法公式与除法公式复数是由实部和虚部构成的数学对象，在数学和物理等领域起到了重要的作用。复数的乘法和除法是复数运算中的基本运算，它们有相应的公式和规则。本文将介绍复数的乘法公式与除法公式，并探讨其应用。 一、复数的乘法公式 复数的乘法公式可以通过将两个复数相乘并展开运算得到。设两个复数为$a+bi$和$c+di$，其中$a$、$b$、$c$、$d$为实数，$i$为虚数单位。则它们的乘积可以表示为： $(a+bi)(c+di)$ 通过分配律和虚数单位的性质，展开上述乘法表达式可得： $ac+adi+bci+bdi^2$ 再利用虚数单位的性质$i^2=-1$，可以将$i^2$替换为$-1$得到：$ac+adi+bci-bd$ 将实部和虚部分别提取出来，可以得到乘法公式的最终结果： $(ac-bd)+(ad+bc)i$ 这个结果是一个复数，其中实部部分为$(ac-bd)$，虚部部分为$(ad+bc)$。
乘法公式的应用非常广泛，特别是在电路分析、信号处理和量子力 学等领域。例如，在电路分析中，复数的乘法公式常用于计算电压和 电流的相位关系。 二、复数的除法公式 复数的除法公式可以通过将两个复数相除并化简得到。设两个复数 为$a+bi$和$c+di$，其中$a$、$b$、$c$、$d$为实数，$i$为虚数单位。则它们的除法可以表示为： $\frac{a+bi}{c+di}$ 为了将分母中的虚数单位消去，可以将分子和分母同时乘以分母的 共轭复数$(c-di)$并展开运算： $\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$ 利用分子乘积的展开和虚数单位的性质，可以得到： $\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 将实部和虚部分别提取出来，化简后可以得到除法公式的最终结果：$\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$ 这个结果也是一个复数，其中实部部分为$\frac{ac+bd}{c^2+d^2}$，虚部部分为$\frac{bc-ad}{c^2+d^2}$。 除法公式的应用同样广泛，特别是在信号处理和滤波器设计等领域。例如，在信号处理中，复数的除法公式常用于计算频域上的滤波效果。 三、复数乘法与除法公式的应用举例
复数的乘法与除法运算 复数是由实部和虚部组成的数，它可以表示为a+bi的形式，其中a 和b分别为实数，i为虚数单位。复数的乘法和除法是复数运算中的重 要部分，本文将就复数的乘法与除法运算进行详细介绍。 一、复数的乘法运算 复数的乘法运算是根据乘法公式展开计算得出的。设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的乘法运算可以表 示为： (z1)*(z2) = (a+bi)*(c+di) 使用分配律展开等式右侧的乘法运算，可得： = ac + adi + bci + bdi^2 根据虚数单位的定义，i^2 = -1，将其代入上式中，得： = ac + adi + bci - bd 进一步整理上式，将实部与虚部分开，可得复数乘法运算的结果为：= (ac-bd) + (ad+bc)i 根据上述推导，复数的乘法运算结果的实部为(ac-bd)，虚部为 (ad+bc)i。 二、复数的除法运算
复数的除法运算是将被除数乘以除数的共轭值，然后再除以除数的 模的平方。设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的除法运算可以表示为： z1/z2 = (a+bi)/(c+di) 首先，将分子和分母乘以除数的共轭值(c-di)，得： = [(a+bi)*(c-di)]/[(c+di)*(c-di)] 根据乘法运算的规则展开等式，得： = [(ac+bd) + (bc-ad)i]/[(c^2+d^2)] 根据上式，复数的除法运算结果的实部为(ac+bd)/(c^2+d^2)，虚部 为(bc-ad)/(c^2+d^2)i。 三、复数乘除法运算的应用 复数的乘除法运算在实际应用中有很多重要作用。例如，在电路分 析与设计中，复数常用来表示电阻、电容和电感等元件的阻抗或者阻 抗的频率特性。复数的乘法用于计算各种电路元件的等效阻抗，而复 数的除法则用于计算电路的传输函数和频率响应。 此外，复数的乘除法运算也应用在信号处理、图像处理以及控制系 统等领域。在信号处理中，复数的乘法用于完成频谱分析和滤波操作，而复数的除法则用于计算信号的功率谱密度。
复数的乘除运算 是数学中基础的一部分，也是实际生活中经常会用到的概念。复数是由实数部分和虚数部分构成的。实数部分一般用字母a表示，虚数部分一般用字母b表示，虚数部分带有一个i，即√-1，其中√表示根号。复数通常用z来表示，即z=a+bi。 复数的乘法是指两个复数相乘的运算，公式为： (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，其中a、b、c、d都是实数。 举个例子，假设有两个复数，分别为z1=2+3i和z2=1+4i，求两个复数的乘积。 解法如下，将两个复数代入公式中，得到： z1z2=(2+3i)(1+4i) =(2×1-3×4)+(2×4+3×1)i =-10+11i 因此，z1z2=-10+11i。 复数的除法是指两个复数相除的运算，公式为： z1/z2=(a1+ib1)/(a2+ib2)，其中a1、b1、a2、b2都是实数。 举个例子，假设有两个复数，分别为z1=2+3i和z2=1+4i，求两个复数的商。
解法如下，将两个复数代入公式中，并对分母有理化，得到：z1/z2=(2+3i)/(1+4i) =((2+3i)(1-4i))/((1+4i)(1-4i)) =((2+3i-8i-12)/17 =(-10-6i)/17 因此，z1/z2=-10/17-6i/17。 需要注意的是，复数的除法并不满足乘法的交换律和结合律，因此在计算时需要格外小心。同时，在除数为零的情况下，复数的除法也是不存在的。 总的来说，是数学中基础的一部分，它的应用非常广泛，涵盖了物理、工程、经济等多个领域，在实际生活中也有着广泛的应用。对于学习数学的人来说，深刻理解是非常重要的。
复数乘除法教案范文 教案：复数的乘除法 教学目标： 1.学生通过本节课的学习，能够掌握复数的乘除法的基本概念和运算方法； 2.学生能够应用所学的知识解决实际问题。 教学重点： 1.复数的乘法的概念和运算方法； 2.复数的除法的概念和运算方法。 教学难点： 1.复数的乘法的应用； 2.复数的除法的应用。 教学准备： 1.复数的乘法和除法的定义； 2.复数的运算规则和性质； 3.相应的习题和作业。 教学流程： 步骤一：复习
复习复数的基本概念和基本运算，包括复数的定义、实部与虚部、共轭复数等内容。 步骤二：复数的乘法 1. 复数的乘法：设复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a、b、c、d为实数，那么z1×z2=(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。 2.举例说明：计算(3+2i)×(1-4i)。 步骤三：复数的除法 1. 复数的除法：设复数z1=a+bi，z2=c+di，其中a、b、c、d为实数且z2≠0，那么z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)。 a. 首先，将复数的除法转化为乘法： z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)=(a+bi)×(c-di)÷(c+di)； b.其次，利用分子有理化的方法将复数的除法转化为分数除法。 2.举例说明：计算(5+6i)÷(3-4i)。 步骤四：实际应用 1.将复数乘除法运用于实际问题的解决中，如计算电路中的复阻抗、计算电流相位等问题。 步骤五：小结 总结复数的乘法和除法的基本概念和运算方法。 教学延伸： 1.提供更多的实例让学生进行练习；
2.引导学生应用复数乘除法解决其他实际问题。 教学评价： 1.学生是否能够正确理解并应用复数的乘法和除法； 2.学生是否能够解决实际问题并给出合理的答案。 教学反思： 通过本节课的学习，学生能够理解和掌握复数的乘法和除法的概念和运算方法。对于一些学生来说，这可能是一个相对较难的内容，需要进行多次的练习和巩固。在教学过程中，要让学生进行足够的练习，并引导他们将所学知识运用到实际问题的解决中，以提高他们的学习兴趣和应用能力。另外，教师要耐心引导学生解决问题，鼓励他们提出自己的思考和解决方法，从而培养他们的思维能力和创造力。
正数负数复数的乘法与除法 在数学运算中，我们常常涉及到正数、负数和复数的乘法和除法。 这些运算规则在代数和实际问题中都有着重要的应用。本文将以解释 正数、负数和复数相乘和相除的规则为主题，分别探讨它们的特点和 相应的操作方法。 一、正数相乘和相除 正数相乘的规则很简单，两个正数相乘的结果仍然是正数。例如， 2乘以3等于6，两个正数相乘结果总是大于0。同时，两个正数相除 的结果也是正数。例如，6除以2等于3，除数和被除数都是正数时， 商一定是正数。 二、负数相乘和相除 负数相乘的结果与正数相乘有所不同。两个负数相乘的结果是正数。例如，-2乘以-3等于6，两个负数相乘的结果总是大于0。然而，两个 负数相除的结果却不一定是正数。例如，-6除以-2等于3，但-6除以2 则等于-3。在负数相除的情况下，结果的正负取决于被除数和除数的正负。 三、复数相乘和相除 复数由实部和虚部组成，可以用a + bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。复数的乘法遵循分配律和i的平方等于-1的 规则。
两个复数相乘时，实部和虚部分别相乘，并且虚部带上负号。例如，(2 + i)乘以(3 - 4i)等于2*3 + 2*(-4i) + i*3 + i*(-4i) = 6 - 8i + 3i - 4i^2 = 2 - 5i。结果是一个复数。 复数相除时，我们通常使用共轭复数的概念。共轭复数是指虚部的 符号取相反数的复数。例如，对于复数2 + 3i，它的共轭复数是2 - 3i。当我们将一个复数除以另一个复数时，需要将除数和被除数都乘以除 数的共轭复数的分数形式。例如，(2 + 3i)除以(1 + 2i)可以表示为(2 + 3i)*(1 - 2i)/(1 + 2i)*(1 - 2i)。在计算中，分母的乘积会得到一个实数， 而分子的乘积为一个新的复数。最后，我们可以根据需要将复数结果 写成标准形式。 总结： 正数相乘的结果是正数，负数相乘的结果是正数，负数相除的结果 可能是正数也可能是负数，复数相乘的结果是一个新的复数，复数相 除的结果也是一个新的复数。在进行计算时，需要根据具体情况采取 相应的策略和规则。 以上是关于正数、负数和复数相乘和相除的规则和操作方法的解释。通过理解和掌握这些规则，我们可以更好地应用于数学问题的解决和 实际应用中。数学运算是科学研究和实际生活中必不可少的部分，它 们的正确运用将帮助我们更好地理解和解决各种数学和实际问题。 注：本文仅供参考，请根据实际需求进行核实和验证。
复数的乘法和除法教案 教案：复数的乘法和除法 教学内容： 本节课将讲解复数的乘法和除法。复数是由实数和虚数组成的数，可以用来表示平面上的点或向量。复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，通过学习这些运算，学生将能够更好地理解和应用复数的概念。 教学目标： 1.能够理解复数的乘法和除法的定义； 2.能够使用复数的乘法和除法进行运算； 3.能够应用复数的乘法和除法解决实际问题； 4.能够解释复数乘法和除法的几何意义。 教学准备： 1. PowerPoint课件； 2.白板、黑板、彩色粉笔/白板笔； 3.复数乘法和除法的练习题。 教学过程： Step 1: 引入复数的乘法和除法（10分钟） 1. 使用PowerPoint课件引入复数的乘法和除法的概念。 2.几何概念：复数的乘法和除法对应于平面上的点或向量的运算。
3.解释复数的乘法：实数与虚数的乘积等于虚数，并且实数与实数的乘积仍然是实数。 4.解释复数的除法：将除数乘以其共轭复数，然后将分子和分母都除以复数的模长。 Step 2: 复数乘法的计算方法（20分钟） 1.使用示例展示复数乘法的计算方法。 2. 板书示例，例如：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。 3.解释如何计算乘积的实部和虚部。 示例：计算(2+3i)(4+5i) 解：(2+3i)(4+5i)=2×4+2×5i+3i×4+3i×5i =8+10i+12i+15i² =8+22i-15 =-7+22i 4.更多示例：让学生计算更多的复数乘法示例，以加深对计算方法的理解。 Step 3: 复数除法的计算方法（20分钟） 1.使用示例展示复数除法的计算方法。 2. 板书示例，例如：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)+(bc-ad)i] / (c²+d²)。 3.解释如何计算商的实部和虚部。
复数的乘法与除法教案 教学目标 〔1〕把握复数乘法与除法的运算法则，并能娴熟地进行乘、除法的运算； 〔2〕能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质娴熟地进行解题； 〔3〕让同学领悟到“转化”这一重要数学思想方法； 〔4〕通过学习复数乘法与除法的运算法则，培育同学探究问题、分析问题、解决问题的力量。 教学建议 一、学问结构 二、重点、难点分析 本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必需在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积照旧是一个复数，即在复数集内，乘法是永久可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的支配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数． 三、教学建议 1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定依据如下法则进行．设是任意两个复数，那么它们的积： 也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，留意有一点不同即必需在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式． 2．复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂
的运算律，在复数集C中照旧成立，即对任何，，及，有：，，； 对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立．由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此假如把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。如，若由，就会得到的错误结论，对此确定要重视。 3．讲解复数的除法，可以依据教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足〔这里，是已知的复数〕．列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得： ， 由此 ， 于是 得出商以后，还应当着重向同学指出：假如依据除法的定义，每次都按上述做来法逆运算的方法来求商，这将是很麻烦的．分析一下商的结构，从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法，就是先把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可． 4．这道例题的目的之一是训练我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作，要求我们做到娴熟和精确。从这道例题的运算结果，我们应当看出，也是-1的一个立方根。因此，我们应当修正过去关于“-1的立方根是-1”的生疏，想到-1至少还有一个虚数根。然后再回顾例2的解题过程，觉察其中全部的“-”号都可以改成“±”。这样就能找出-1的另一个虚数根。所以-1在复数集C内至少有三个根：-1，，。以上对于一道例题或练习题的反思过程，看起来并不难，但对我们学习学问和提高力量却格外重要。它可以有效地熬炼我们的逆向思维，拓宽和加深我们的学问，使我们对一个问题的生疏更加全面。 5．教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式，在商量
复数的乘法和除法教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
§3.2.2 复数的乘法和除法 【学情分析】： 学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算是,应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的. 在学习了复数的加减法之后，学生对复数的乘除法以及其与实数乘除法的区别的好奇心自然也呼之欲出。. 【教学目标】： （1）知识目标： 能进行复数代数形式的乘除运算. （2）过程与方法目标： 从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律，通过2 ⋅=实现实数与虚数的转化，培养学生转化的思想。 || z z z （3）情感与能力目标： 通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。 【教学重点】： i的运算和分母实数化。 【教学难点】： 复数除法中的分母实数化。 【课前准备】： powerpoint课件 【教学过程设计】：
=
2(a
1．若复数z 满足方程02=+z ，则=z （ ） A.22± B. 22- C. i 22- D. i 22± 解：Ｄ 2．复数10 (1)16(1) i i +-等于（ ） A ．1i + B 。1i -- C 。 1i - D 。 1i -+ 解：Ｄ 3．i 是虚数单位，=+i i 1（ ） A ．i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2 121-- 解：Ａ 4．已知22003113z z z z i =++++-求的值。 解：2 2003 1z z z +++ +＝20041(1)1z z --，又 320043668131,()1i z z z z +=∴=∴==，所以原式＝0。 522 2004232(123117i i i -+++- 解：1i -。 6．已知,(0),()1a i z a w z z i i -= >=+-复数的虚部减去它的实部所得的差等于3 2 ，求复数w 的模 解：21(1)1,()222 a a i a a a z w z z i i ++-++= ∴=+=+， 2213 ,4,2222 a a a a a ++-=∴==±，930,2,||9542a a w >∴=∴=+=。
3.2.2 复数代数形式的乘除运算 1. 掌握复数的代数形式的乘、除运算 2、重点掌握复数的运算法则；难点是复数相关问题的综合应用 预习导引-------温故才能知新 为课前预习奠基 1、复数的加法： （1）设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么。 ()()()()a bi c di a c b d i +++=+++ 很明显，两个复数的和仍然是 .（是复数） 问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？（满足） （2）复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则） 2、 复数的减法法则为： 设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么 ()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+- 由此可见，两个复数的差是一个确定的复数. 预习自测---------评价预习效果 为突破难点奠基 1、判断下面的命题 (1)()m n m n z z =；(2)m n z z m n =⇒=；(3)22 121200z z z z +=⇔==； (4) 2 2 z z =；(5) z a a z a <⇔-<< 其中正确的是（ ） A: 0个 B ；1个 C ：2个 D ：3个 解析：当C z ∈时，不总是成立的.(1)) ,()(为分数时不成立n m z z mn n m =； (2)) 1(时不成立==⇒=z n m z z n m ； (3)) ,(0021212 2 2 1是虚数时不成立 z z z z z z ==⇔=+； (4)) (2 2 为虚数时不成立 z z z =； (5) ) (为虚数时不成立 z a z a a z <<-⇔< 答案：A 2、 2 (1)i i += （ ）． A ．1i + B ．1i -+ C ．2- D ．2
高中数学复数的乘法与除法教案 高中数学复数的乘法与除法教案 教学目标 （1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除 法的运算； （2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进 行解题； （3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法； （4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但 必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实 施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复 数的除法是乘法的'逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两 个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母 的共轭复数，使分母变成实数． 三、教学建议
1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如 下法则进行．设是任意两个复数，那么它们的积： 也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不 必去记公式． 2．复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数 幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有： 对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立．由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数 幂内运用，就会得到荒谬的结果。如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。 3．讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即 求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）．列出上式后，由 乘法法则及两个复数相等的条件得： 4．这道例题的目的之一是训练我们对于复数乘法运算、乘方运 算及乘法公式的操作，要求我们做到熟练和准确。从这道例题的运 算结果，我们应该看出，也是-1的一个立方根。因此，我们应该修 正过去关于“-1的立方根是-1”的认识，想到-1至少还有一个虚数根。然后再回顾例2的解题过程，发现其中所有的“-”号都可以改 成“±”。这样就能找出-1的另一个虚数根。所以-1在复数集C内 至少有三个根：-1，，。以上对于一道例题或练习题的反思过程， 看起来并不难，但对我们学习知识和提高能力却十分重要。它可以 有效地锻炼我们的逆向思维，拓宽和加深我们的知识，使我们对一 个问题的认识更加全面。 5．教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式，在研 究复数模的最值问题中有着广泛的应用。在应用上述绝对值不等式 过程中，要特别注意等号成立的条件。 复数的乘法 教学目标