罗尔定理在函数零点问题中的应用（可编辑）罗尔定理在函数零点问题中的应用
本科毕业论文
题目罗尔定理在函数零点问题中的应用
系别数学与信息科学学院
专业数学与应用数学
指导教师
评阅教师班级级2班
姓名学号
年 5 月 10 日
目录
摘要…………………………………………………………………………………………………? Abstract……………………………………………………………………………………?
引言………………………………………………………………………………………
(1)
1概念及定理 (1)
2罗尔定理在函数零点问题中的应用 (3)
2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用 (3)
2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应
用 (4)
2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应
用 (5)
2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问
题..........................................52.4.1 Laguerre多项式 (5)
2.4.2 Hermite多项
式....................................................................................6 2.4.3勒让德多项式 (8)
2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应
用 (9)
结束
语………………………………………………………………………………………
(10)
参考文
献………………………………………………………………………………………
(11)
致
谢………………………………………………………………………………………
(12)
摘要:在介绍了罗尔定理的基础上,通过综合应用类比法、分析法、演绎
推理法将罗尔定理在一元实函数中进行了推广,得到了在“任意区间”上罗尔定
理的结论成立,同时得到了在“函数在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷
的
导数外,其他点均有有限导数”的情形下罗尔定理的结论仍然成立.将罗尔定理
在
复变函数(解析函数)中进行了推广,得到了向量值函数中的一个重要结论.结合典型例题,分析、讨论并证明了罗尔定理及推广后的罗尔定理在函数零点问题
中
的实际应用,同时证明了在几何学上的具体应用,用广义罗尔定理证明了三个特殊多项式,说明了罗尔定理不仅具有重要的理论意义,而且还有很好的应用价值.
关键词:函数;函数零点;罗尔定理;应用
Abstract: On the basis of the Rolle theorem, through analogy,
combined application, analysis and deductive reasoning method, the promotion of Rolle theorem in the real function of one dollar. Then
the
conclusion of Rolle Theorem set up in the “free range”. At the
same time,
on the condition of “function in the range of a finite number of points in addition to positive or negative derivative of the infinite,
the other points are limited derivative”, Rolle theorem remain valid. Rolle theorem promote in the complex function analytic functions.
Vector-valued functions has been an important conclusion. Combined with
a typical example, and analysis, discussion and proof of Rolle theorem
and the promoted Rolle are application practically in the function against. At the same time, the specific application in the geometry is
proved. Using the generalized Rolle theorem prove three special polynomial. Rolle theorem shows not only an important theoretical significance, but also very good practical value Key words: function; function against; rolle theorem; application
引言
对函数零点问题的研究一直是微积分理论研究中的一个重要课题,解决
这一问题常用的工具是微积分中的零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中
值定理、柯西中值定理等,对于不同的理论和方法有不同的使用范围和各自的优
缺点.罗尔定理是基于费马定理且能导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的一
个著名定理,因此对罗尔定理的研究一直以来都是微积分理论研究中一个比较活
跃的方向.
根据罗尔定理,若函数在闭区间上连续、开区间内可导,则在端点和的取
值就决定了内某点的微分性质,尽管的取值一般情况下不易求出,但它并不影响罗尔定理的应用.由于它的这个优越性质,将它应用于函数零点问题中就具有明显的优越性.因此,长期以来人们都想削弱罗尔定理的三个限制条件,以便将它用于更加广泛的领域.至今,人们在文献[1]-[5]中将其在一元实函数中进行了推广,将“有限区间”推广到了“任意区间、任意端值”上,并且将“处处可导”推广到了“在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷的导数外,均有有限导数”,削弱了严格的限制,同时讨论了一些函数的零点问题.在罗尔定理的应用中,构造辅助函数十分重要.2003年,文献[6]利用找原函数的思想,通过不定积分的过程来寻求辅助函数,
得到了应用罗尔定理构造辅助函数的一种方法.但罗尔定理只能用于一元实函数,能否将它推广到多元函数中呢?1995年Furi与Martelli经过研究将其推广到了向量值函数中,并将其应用到了几何学上.这样罗尔定理不仅可以用于实函数,也可以用于复变函数的零点问题中.
本文根据大量的文献整理与综合,首先给出了罗尔定理及其推广形式,进而应用这些结论分析讨论了其在实函数和复变函数零点问题中的具体应用.
1 概念及定理
1.1 函数零点的定义
如果存在实数,使得,则称为函数的零点. 函数的零点又称为方程的实根.
讨论函数零点的存在性,确定函数零点的个数,证明函数零点的唯一性的问题,统称为函数的零点问题.
1.2 罗尔定理[7]
若函数满足如下条件:
1 在闭区间上连续;
2在开区间内可导;
3,
则在内至少存在一点,使得.
罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.
1.3 推广的罗尔定理
推广1:若函数在有限区间或无限区间内满足:
1可导;
2 .
则在内至少存在一点,使得.
推广2:若函数满足:
1在上连续;
2在内除有限个点处存在正无穷或负无穷的导数外,均有有限导数;
3.
则在中至少存在一点,使得.
推广3(广义罗尔定理):设函数在有限或无穷的区间中的任意一点处有有限的导数,且,则在中至少存在一点,使得.
推广4向量值函数中的推广:设, (1)上连续; (2)内可微; (3)存在非零向量,使得对任意的成立
; (4)存在非零向量,使得对任意的,恒为常数; (5)存在非零向量,使得对任意的,不变号.
若除满足(1)(2)两个条件外,还满足(3)(4)(5)中的任意一个,则至少存
在一点,使得(注意到为矩阵),
即与向量组正交.罗尔定理仅仅适用于连续的一元实函数,推广1、2和3是对它在实函数中的进一步推广,这样可以让罗尔定理摆脱太严格的限制,同时推广的罗尔定理就可以在任意区间、任意端值上使用了,从而使其在实函数中的应用更加广阔.但是罗尔定理的最大缺陷就是只能用于一元连续实函数,因此推广4将其从本质上推广到了向量值函数中,从而能将罗尔定理从代数学中推广到几何学中,与日常的生产生活联系更加紧密.
2 罗尔定理在函数零点问题中的应用
零点问题就是指零点的存在性、唯一性以及个数的问题,这一问题的解决可以采用高等数学中的零点定理、费马定理、拉格朗日中值定理等微积分方法,不同的方法在不同的环境中有各自的优越性.罗尔定理在函数零点问题中的应用十分广泛,无论是零点的存在性、唯一性还是个数问题,应用罗尔定理都能得到很好的解决.
2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用
在数学学科中,函数零点的存在性问题始终都是人们研究的热点课题.虽然这一
问题的解决可以用零点定理,但在难以认定正负值点的时候,就需要换一种方法,其
中罗尔定理就是一种很好的方法.用罗尔定理讨论函数零点问题时可以采用以下方法.
对函数的原函数使用罗尔定理:若在闭区间上,并且,则在上至少存在一点,使得. 例1 设函数是定义在闭区间上的连续函数,且,证明存在,使得. 分析:如果用零点
定理,则令,但的值是正还是负,难以确定,因此考虑改用罗尔定理.
证明:令,则.那么 (因为)
,
所以.又因为,所以由罗尔定理可知,存在,使得
. 针对难以确定正负值点的函数零点存在性问题,采用罗尔定理能方便而又快
速的给我们提供解决方法,因为它并不要求求出区间内的端点值或者说判断端点值
的正负,而只需要知道它是否连续、可微就可以了.针对这一类问题,通常采用的方
法就是对函数的原函数使用罗尔定理.但由于罗尔定理的限制太严格了,它要求三个限制条件必须同时满足,只要有一个条件不满足,罗尔定理就不一定成立,这就大大
的限制了罗尔定理的使用范围,因此在难以确定函数是否连续、可微时直接使用罗
尔定理反而会增加解题的难度,加大计算量.
2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应用在数学学习和生产生活中,零点的
个数问题始终是一个重要的问题.讨论一个函数到底有几个零点,通常可以采用先确定至多有几个零点,再确定至少有几个零点,从而得出零点的个数,在这过程中罗尔
定理就显示出了它的优越性.
例2 讨论方程的零点个数. 解:设函数,显然在定义域内是连续函数.分别令
得
所以在区间各至少有一个零点,即方程至少有三个实根.
令,这个函数在区间上连续且单调递增,,所以在有唯一的零点,所以由罗尔定理可知在至多有两个零点.
同理可知在至多有三个零点.
综上所述,方程在恰好有三个零点.
将方程转化为函数,再利用微积分的方法解决问题,这是一种重要的思想,即化
归的思想,是一种常用的解题策略.
2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应用在函数零点问题中,讨论某个函数的零点是否唯一,是一种常见的题型,并且在实际生活中也具有重要的意义.罗尔定理为这类题型提供了一个有力的工具.
例3 已知在上二阶可微,,,,则在内只有一个实根.
证明:首先证明存在性.
过定点做曲线的切线:
,
则切线与轴的交点
,
由(向上凸的),显然有.
下面采用反证法证明唯一性.若存在使得,则由罗尔定理可知,存在使得.这与是矛盾的.所以只有一点,使得.
唯一性的证明通常都比较困难,一般从正面入手很难解决问题,然而从反面思考,往往有“柳暗花明又一村”的感觉.在零点唯一性的证明中,罗尔定理能较好地发挥它独特的性质.
2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问题在研究有关多项式的问
题时,多项式的零点分布是经常遇到并且非常重要的问题之一.在解决的方法中,罗
尔定理是一个很好的工具,但是罗尔定理的要求非常严格,三个条件必须同时满足,定理才成立.因此我们利用推广的罗尔定理解决这个问题.以下就是用罗尔定理解决三种特殊多项式的例子.
2.4.1 Laguerre多项式
在区间上带权函数的正交多项式序列中的多项式称为Laguerre多项式,
其表达式为
.
例4 证明多项式所有的根都是正根. 证明:因为, ,
依此类推可知是次多项式.可见,至多只有个实根.
设函数,则
.
由广义罗尔定理知,存在,使得.
现设至少有个零点
,
且.
分析的结构易知,是一个与一个次多项式的乘积,即 ,
其中是一个多项式.则
,
由广义罗尔定理知,存在
,
使得
.根据数学归纳法,至少有个正根.又由于恒不为零,所以至少有个正根.由前面可知最多只能有个实根,所以只有个实根,且都是正实根.
2.4.2 Hermite多项式
在实际生活中,函数在某区间上存在,但函数往往很复杂,甚至没有明显的解析
表达式,因此常用插值法去构造一个既能反映函数特征又便于计算的较为简单的函数以替代函数.不同的实际问题,选用的插值函数也会不同.Hermite多项式就经常被选为插值函数.
在区间上带权函数的正交多项式序列中的多项式称为Hermite多项式,其表达
式为
.
例5 证明多项式所有的根都是实数. 证明:显然是一个次多项式. 设函数,则, ,
可见有一个实数根,有两个相异的实数根. 现假设有个相异的实根,并记作.分
析的结构可知.
因为有个相异的实根,因此可令
,
即
,
其中为一个非零常数.又由于
,
根据罗尔定理得,存在使得,即在之间至少存在个相异实根.
又由于
,
根据广义罗尔定理可知,必存在,使得.
同理,,由广义罗尔定理知必存在,使得
.
综上所述,至少有个实根.所以由数学归纳法知至少有个相异的实根.从而至少
有个相异的实根.但是是的一个次多项式,故恰有个根(实根或复根),即的所有根都是实根.
2.4.3 勒让德多项式
伴随勒让德多项式(Associated Legendre polynomials)有时被简称为勒让德
多项式.数学上,勒让德函数指以下勒让德微分方程的解:
为求解方便一般也写成如下斯图姆-刘维尔形式(Sturm-Liouville form): 上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里?勒让德而得名.勒让德方程
是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程.当试图在球坐标系中求解三维拉普拉斯方程(或相关的其他偏微分方程)时,问题便会归结为勒让德方程的求解. 例6 证明勒让德多项式的一切零点都是实数且含于区间中.
证明:设,因为是次多项式,且恒不为0,所以是次多项式,由代数定理可知它至多只有个实零点.
由于
,
由广义罗尔定理知,至少存在一点,使得.
假设至少有个实零点
.
分析的结构可将写为以下结构 ,
其中为次多项式. 因为,由罗尔定理可知存在
,
使得
,
即至少有个零点,并且全部在区间之间. 由数学归纳法可知至少有个实零点,且全部介于区间之间.
由于恒不为0,所以至少有个实零点.而由前面知道是次多项式,它至多有个实零点.所以恰有个实零点,且全部介于区间之间.
勒让德多项式的应用十分广泛,但如何证明它的零点是一个难点,以上例子就提供了一种很好的方法.
2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应用
在微积分学中,关于多变元映像(从多元函数到向量值函数)的极限(包括连续性)、微分、积分及其性质,一般都是考虑一元函数的性质能否平移或推广过来.但罗尔定理的不足之处就是对向量值函数不成立,因此1995年Marden[8],1992年Evard 与Jafari[9]在复变(解析函数)情形下揭示了罗尔定理的本质,1995年Furi 与Martelli[10]对向量值函数进行了推广:在闭域上连续,开域内可微的向量值函数,罗尔定理情形下的边界函数值确定了开域内某点的微分性质.这样该结果就可以应用于几何学.
例7 设定义为,并满足下列条件:
在上连续;
在内可微;
存在中的平面,对任意的.
.
则存在.使得在曲面上处的切平面平行于平面.这里表示的值域,或者表示的曲面.
证明:设,则表示平面的法向量.由条件3)可知,对任意的
,
都有与正交.由罗尔定理的推广4知,存在,使得与向量组正交.
又因为,在上处的切平面向量式参数方程为
.
这里,为参数.所以,切平面的法线与平行,从而切平面平行于平面. 罗尔定理仅仅适用于一元函数,这样就在很大程度上限制了罗尔定理的应用范围.但它的良好本质却能启发我们将其推广到向量值函数中,从而就能解决一类几何问题,为数学问题的解决提供了更多的工具.
结束语
利用罗尔定理的理论和方法,可以较细致的研究函数零点问题.根据罗尔定理的意义,可以将其从限制条件上和本质上进行多方位的推广,从而扩大应用领域. 通过对罗尔定理的简单分析探究,掌握了该定理的结构形式,学习了运用类比的思维方法推广该定理的过程,分析讨论了罗尔定理的实际应用.
首先将罗尔定理在一元函数中进行推广,削弱了罗尔定理的限制条件.紧接着利用罗尔定理的实质将其在向量值函数中进行了推广,得到“在闭域上连续、开域内可微的向量值函数,罗尔定理情形下的边界函数值确定了开域内某点的微分性质”,从而将结果应用于几何学.最后,应用罗尔定理及其推广形式举例说明了它们在证明函数零点存在性、函数零点个数、函数零点唯一性、三类特殊多项式函数的零点分布问题,并举例说明了多变元情形下的罗尔定理在几何学上的应用.
至于如何应用罗尔定理构造辅助函数,以及解决函数零点问题的各种微
积分方法(如费马定理、拉格中值定理等)的优缺点比较这两个问题未做讨论.
参考文献
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[10] Furi M,Martelli M.A multidimensional version of Rolle's
theorem[J].Amer.Math.Monthly,1995,102:243-249.
致谢时光荏苒,岁月如梭,转眼毕业将至.值此论文完成之际,我谨向所有关
心、爱护、帮助过我的人表示最诚挚的感谢与最美好的祝愿. 通过毕业论文的写作,我真正体会到了科学的严谨性.任何一门科学,我们都必须以认真严谨的态度去对待它,不能以自己的主观臆断去评判真理,而应以真理去认识客观世界.在论文写作过程中,我熟悉了电脑的一些基本操作,学会了论文的排版格式.经过一、二、三稿的整理和修改,我明白了一个道理??踏踏实实做人,明明白白做事.
在这四年里,无论成功还是失败,许多长辈和朋友都给了我一如既往的支持与鼓励.在这里我要首先感谢我的父母、我的亲人朋友们,他们给了我无微不至的关怀,陪我一起度过二十多年的酸甜苦辣,对他们的感激之情,不知该如何表达,千言万语,
只能化成实际行动,让我用一生报答他们!其次我要感谢内江师范学院可敬的老师们,尤其是我的导师――吕晓亚,她用为人师表的高尚品格和渊博深厚的学术造诣,为我们树立了的崇高的榜样,开启了人类智慧的大门.最后,衷心感谢程冲、邓平等寝室朋友们在学习时给予我的关心和帮助!
精心整理内容概要
习题3-1 ★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 ξ。 （1） ]511[32)(2.,,x x x f ---=； （2） ]30[3)(,,x x x f -=。 知识点：罗尔中值定理。 思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。 解： )5.即为所（2∴ f (f '★2.思路 解 ∴5(01)12,ξ±?= ，使(1)(0) ()10 f f f ξ-'=-，验证完毕。 ★3.已知函数 4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。 解：要使 (2)(1)()21 f f f ξ-'=-，只要3 415ξξ=?=(12)ξ,= 即为满足定理的ξ。 ★★4.试证明对函数 r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
证明：不妨设所讨论的区间为][a,b ，则函数r qx px y ++=2在][a,b 上连续，在) (a,b 内可导，从而有 ()() ()f b f a f ξb a -'= -，即a b r qa pa r qb pb q ξ-++-++=+)()(222， 解得2 a b ξ += ，结论成立。 ★5.函数 3)(x x f =与1)(2+=x x g 在区间]21[,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。 知识点：柯西中值定理。 思路解，所以满 ★★★6.存在ξ思路，然后再证明)0(F ()()()0F ξf ξξf ξ''=+=，即() ()f ξf ξξ '=- 。 注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使() ()f x f x x '=- ，只要 ∴只要设辅助函数)() (x xf x F = ★★7.若函数 )(x f 在)(a,b 内具有二阶导函数，且)()()(321x f x f x f ==
罗尔定理 如果函数满足 1.在闭区间上连续； 2.在开区间内可导； 3.在区间端点处的函数值相等，即， 那么在内至少有一点，使得。这个定理称为罗尔定理。 证明 首先，因为在闭区间上连续，根据极值定理，在上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点或处取得，由于，显然是一个常数函数。那么对于任一点，我们都有。现在假设在处取得最大值。我们只需证明在该点导数为零。
取，由最大值定义，那么。令，则。因为在处可导，所以我们有 。 取，那么。这时令，则有 ，所以。 于是，。 在处取得最小值的情况同理。 例子 第一个例子 半径为r的半圆 考虑函数
（其中r > 0。）它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[?r,r]内连续，在开区间(?r,r)内可导（但在终点?r和r处不可导）。由于f(?r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。 第二个例子 绝对值函数的图像 如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a > 0，考虑绝对值函数： 那么f(?a) = f(a)，但?a和a之间不存在导数为零的点。这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x = 0不可导。注意f的导数在x = 0从-1变为1，但不取得值0。 推广形式 第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式： 考虑一个实值，在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b). 如果对开区间(a,b)内的任意x，右极限 而左极限
在扩展的实数轴 [?∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限和 中其中一个≥ 0，另一个≤ 0 (在扩展的实数轴上)。如果对任何x左极限和右极限都相同, 那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。
罗尔定理的条件区间 罗尔定理是微积分中的重要定理之一，它在求解函数的根、极值等问题中具有广泛的应用。然而，罗尔定理的适用条件并非是所有函数都可以满足的，需要满足一定的条件区间。因此，本文将详细介绍罗尔定理的条件区间以及其证明过程。 一、罗尔定理的定义 罗尔定理是指：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等，则在$(a,b)$内至少存在一点$xi$，使得$f'(xi)=0$。 该定理的意义在于，它保证了在满足一定条件下，函数在某些点处的导数为零，即函数存在极值或拐点。因此，罗尔定理在求解函数极值、拐点等问题中具有重要的应用。 二、条件区间的确定 罗尔定理的条件区间是指函数$f(x)$在哪些区间上满足罗尔定理的条件，即$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。 首先，我们需要确定$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续的条件。一般来说，函数在闭区间上连续的条件为函数在该区间上无间断点、无跳跃点，并且函数的左右极限相等。 其次，我们需要确定$f(x)$在开区间$(a,b)$内可导的条件。根据导数的定义，函数在某一点可导的条件为该点的左右极限存在且相等。因此，在开区间内可导的条件为函数在该区间内的每一点的
左右极限都存在且相等。 最后，我们需要确定函数在$a,b$处的函数值相等的条件。这意味着函数在$a,b$处存在连续性，即$a,b$处的左右极限存在且相等。 综上所述，罗尔定理的条件区间为：函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。 三、证明过程 下面我们来证明罗尔定理的条件区间为函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。 假设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。我们需要证明，在$(a,b)$内至少存在一点$xi$，使得$f'(xi)=0$。 由于函数$f(x)$在开区间$(a,b)$内可导，因此在该区间内任取一点$x_0$，存在一点$xi_1$，使得： $$lim_{xto x_0}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(xi_1)$$ 又因为函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，因此在该区间内任取一点$x_1$，存在一点$xi_2$，使得： $$lim_{xto x_1}f(x)=f(xi_2)$$ 由于函数在$a,b$处的函数值相等，因此 $f(a)=f(b)=f(xi_2)$。因此，我们可以将$x_0$取为$a$，$x_1$取
罗尔定理在函数零点问题中的应用（可编辑）罗尔定理在函数零点问题中的应用 本科毕业论文 题目罗尔定理在函数零点问题中的应用 系别数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 指导教师 评阅教师班级级2班 姓名学号 年 5 月 10 日 目录 摘要…………………………………………………………………………………………………? Abstract……………………………………………………………………………………? 引言……………………………………………………………………………………… (1) 1概念及定理 (1) 2罗尔定理在函数零点问题中的应用 (3) 2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用 (3)
2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应 用 (4) 2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应 用 (5) 2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问 题..........................................52.4.1 Laguerre多项式 (5) 2.4.2 Hermite多项 式....................................................................................6 2.4.3勒让德多项式 (8) 2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应 用 (9) 结束 语……………………………………………………………………………………… (10) 参考文 献……………………………………………………………………………………… (11) 致 谢……………………………………………………………………………………… (12) 摘要:在介绍了罗尔定理的基础上,通过综合应用类比法、分析法、演绎 推理法将罗尔定理在一元实函数中进行了推广,得到了在“任意区间”上罗尔定
罗尔定理练习题 罗尔定理练习题 在微积分学中，罗尔定理是一项重要的定理，它与函数的导数和函数的零点有关。罗尔定理是法国数学家米歇尔·罗尔在17世纪中叶提出的，它为我们解决一些函数问题提供了有力的工具。在本文中，我们将通过一些练习题来更好地理解和应用罗尔定理。 首先，让我们回顾一下罗尔定理的表述。罗尔定理指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，并且在a和b两点的函数值相等，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得函数的导数在c处等于零。 现在，我们来看几个练习题，以更好地理解和应用罗尔定理。 练习题1：证明函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-1, 1]上满足罗尔定理的条件，并找出满足罗尔定理的点c的值。 解答：首先，我们检查函数f(x)在闭区间[-1, 1]上是否连续。由于多项式函数在整个实数域上都是连续的，所以f(x)在[-1, 1]上连续。 接下来，我们检查函数f(x)在开区间(-1, 1)上是否可导。计算f'(x) = 3x^2 - 3，我们可以看到f'(x)在整个实数域上都是可导的，因此在(-1, 1)上也是可导的。最后，我们检查函数f(x)在a和b两点的函数值是否相等。计算f(-1) = -2和 f(1) = -2，我们可以看到f(-1) = f(1)。 因此，根据罗尔定理，存在一个点c在(-1, 1)上，使得f'(c) = 0。我们来解方程f'(c) = 0，得到3c^2 - 3 = 0，进一步化简得到c^2 = 1，解得c = ±1。 所以，满足罗尔定理的点c的值为c = ±1。 练习题2：证明函数f(x) = sin(x)在闭区间[0, π]上满足罗尔定理的条件，并找出
罗尔定理构造辅助函数 罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它与函数的导数和积分之间的关系密切相关。在本文中，我们将探讨如何通过构造辅助函数来应用罗尔定理。 让我们回顾一下罗尔定理的表述。罗尔定理指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在a和b处取相同的函数值，则在开区间(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数在该点处为零。 为了更好地理解罗尔定理的应用，我们需要学会如何构造辅助函数。辅助函数是一个在闭区间[a, b]上满足一定条件的函数，通过构造这个函数，我们可以利用罗尔定理来证明一些问题。 假设我们要证明一个函数f(x)在某个区间上的导数恒为零，我们可以构造一个辅助函数g(x)，使得g(x)在闭区间[a, b]上满足以下条件： 1. g(x)在闭区间[a, b]上连续； 2. g(x)在开区间(a, b)上可导； 3. g(x)在闭区间[a, b]的两个端点处取相同的函数值。 构造辅助函数的关键是要满足上述三个条件。通过选择不同的函数形式和参数，我们可以得到不同的辅助函数，从而应用罗尔定理来解决不同类型的问题。
举个例子来说明如何构造辅助函数。假设我们要证明函数f(x) = x^3 - x 在闭区间[-1, 1]上的某个点处的导数为零。我们可以构造辅助函数g(x) = x^3 - x，在闭区间[-1, 1]上满足上述三个条件。我们可以观察到g(x)在闭区间[-1, 1]上是连续的。其次，g(x)在开区间(-1, 1)上可导，因为它是一个多项式函数。最后，我们可以验证g(-1) = g(1) = 0，即g(x)在闭区间[-1, 1]的两个端点处取相同的函数值。 根据罗尔定理，我们知道在开区间(-1, 1)内至少存在一个点c，使得g'(c) = 0。由于g'(x) = 3x^2 - 1，我们可以求得g'(c) = 3c^2 - 1 = 0。解这个方程可以得到c = ±1/√3。 因此，我们证明了在闭区间[-1, 1]上函数f(x) = x^3 - x 的导数在点c = ±1/√3处为零。 通过这个例子，我们可以看到如何通过构造辅助函数来应用罗尔定理。我们可以根据具体的问题选择不同的函数形式和参数，以满足罗尔定理的条件，并最终得到所需的结论。 总结一下，罗尔定理是微积分中的一个重要定理，通过构造辅助函数，我们可以利用罗尔定理来解决一些问题。在构造辅助函数时，我们需要满足函数连续、可导以及在闭区间两个端点处取相同函数值的条件。通过选择不同的函数形式和参数，我们可以得到不同的
罗尔定理例题 罗尔定理是微积分中的一种基本定理，它可以帮助我们求解一些特定的函数的零点。在此，我们将通过一些例题来了解罗尔定理的应用。 例题1： 求函数 $f(x)=x^2-4x+3$ 在区间 $[1,3]$ 内的一个零点。 首先，我们需要证明该函数在该区间内是连续的。由于 $f(x)$ 是一个二次函数，它在整个实数轴上都是连续的，因此它在区间 $[1,3]$ 内也是连续的。 接下来，我们需要证明在该区间内 $f(x)$ 的导数存在且连续。我们有： $$f'(x)=2x-4$$ $f'(x)$ 是一个一次函数，因此它在整个实数轴上都是连续的，因此它在区间 $[1,3]$ 内也是连续的。 现在，我们可以使用罗尔定理来求解 $f(x)$ 在区间 $[1,3]$ 内的一个零点。由于 $f(1)=0$，$f(3)=-2$，因此在该区间内存在一个 $c$ 满足 $f'(c)=0$。我们有： $$f'(c)=2c-4=0$$ 解得 $c=2$，因此 $f(x)$ 在区间 $[1,3]$ 内存在一个零点$x=2$。 例题2： 求函数 $f(x)=x^3-6x^2+11x-6$ 在区间 $[1,3]$ 内的所有零
点。 同样地，我们需要证明该函数在该区间内是连续的，并且 $f'(x)$ 在该区间内存在且连续。我们有： $$f'(x)=3x^2-12x+11$$ $f'(x)$ 是一个二次函数，它的判别式为 $(-12)^2-4cdot3cdot11=-8<0$，因此 $f'(x)$ 在整个实数轴上都存在且连续。因此，在区间 $[1,3]$ 内，$f(x)$ 的导数也存在且连续。 现在，我们可以使用罗尔定理来求解 $f(x)$ 在区间 $[1,3]$ 内的所有零点。由于 $f(1)=0$，$f(3)=0$，因此在该区间内存在一个 $c_1$ 满足 $f'(c_1)=0$。我们有： $$f'(c_1)=3c_1^2-12c_1+11=0$$ 解得 $c_1=frac{4+sqrt{2}}{3}$ 或 $c_1=frac{4-sqrt{2}}{3}$。因此，$f(x)$ 在区间 $[1,3]$ 内存在两个零点： $$x_1=frac{4+sqrt{2}}{3}$$ $$x_2=frac{4-sqrt{2}}{3}$$ 例题3： 求函数 $f(x)=sin x$ 在区间 $[0,pi]$ 内的一个零点。 同样地，我们需要证明该函数在该区间内是连续的，并且 $f'(x)$ 在该区间内存在且连续。由于 $sin x$ 在整个实数轴上都是连续的，因此它在区间 $[0,pi]$ 内也是连续的。此外，$f'(x)=cos x$ 在该区间内存在且连续。
习题3-1
★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 ξ。 （1） ]511[32)(2.,,x x x f ---=； （2） ]30[3)(,,x x x f -=。 知识点：罗尔中值定理。 思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。 解：（1）∵32)(2 --=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ， ∴ 32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。令()410f ξξ'=-=得 )511(4 1 .,ξ-∈= 即为所求。 （2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴ x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。令 ()0 f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。 ★2.验证拉格朗日中值定理对函数 25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。 知识点：拉格朗日中值定理。 思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0) ()10 f f f ξ-'= -，若得到的根]10[, ξ∈则可验证定理的正确性。 解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在 区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。又 2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+， ∴要使 (1)(0) ()010 f f f ξ-'= =-，只要：(01),ξ= ， ∴(01),ξ∃= ，使(1)(0) ()10 f f f ξ-'=-，验证完毕。 ★3.已知函数 4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。 解：要使 (2)(1)()21 f f f ξ-'=-，只要3 415ξξ=⇒=(12)ξ,= 即为满足定理的ξ。
本科毕业论文（设计）题目罗尔定理应用和推广研究 学院数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2009级 学号*************** 姓名郑世凤 指导教师杜文久 成绩中 2013年5月12日
目录 1 罗尔定理的基本性质及应用 (2) 1.1 罗尔(Rolle)中值定理 (2) 1.2几何意义 (2) 1.3 罗尔定理证明 (3) 1.4 在简单函数中讨论罗尔定理条件 (4) 1.5 利用罗尔定理证明Lagrange、Cauchy中值定理 (6) 1.6 利用罗尔定理解决零点问题 (8) 2 关于罗尔定理的进一步讨论 (11) 2.1 多元函数的的罗尔中值定理 (11) 2.2 任意区间和端点值上的罗尔定理 (13) 2.4 广义罗尔在高中数学中的应用 (16) 结语 (18) 参考文献： (19) 致谢 (19) I
罗尔定理应用和推广研究 郑世凤 数学与统计学院，重庆 400715 摘要：本论文探讨了罗尔定理的基本性质，并应用罗尔定理解决实际问题。同时近一步讨论罗尔定理，将其推广到更广泛的适用范围，并证明其可行性，最后运用推广的罗尔定理解决问题。 关键词：罗尔定理；性质；应用；广义罗尔定理； Rolle theorem and its application research ShifengZheng School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: This paper discusses the basic properties of Rolle's theorem,then use Rolle's theorem to solve practical problems and applications. Rolle's theorem further discussion at the same time, will it spread to the broader scope of application, and prove its feasibility,finally using the promotion of Rolle's theorem to solve the problem. Keywords:Rolle's theorem; Properties; Applications; Generalized rolle's theorem; 引言 微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导 数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯 第1页共19页
高数罗尔定理典型例题 例1 验证函数()f x =[0,1]上满足罗尔定理的条件． 解 因()f x 是在[0,1]上有定义的初等函数，所以()f x 在[0,1]上连续，且 2 1 2 23 3 212()3(1)x f x x x -'=⋅- 在(0,1)内存在；(0)(1)0f f ==．故()f x 在[0,1]上满足罗尔定理的条件，由定理知至少存在一点(0,1)ξ∈使()0f ξ'=．即2120ξ-= ，于是解得ξ= (0,1)∈． 例2 已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，求证在(0,1)内至少存 在一点ξ使等式() ()f f ξξξ'=- 成立． 分析 要证() ()f f ξξξ '=-成立，即证()()0f f ξξξ'+=，即[()]0x xf x ξ='=，作辅助函数 ()()F x xf x =，对()F x 在区间[0,1]上应用罗尔定理． 证明 设()()F x xf x =，则它在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0F F ==．由罗 尔定理知至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ'=，即() ()f f ξξξ '=- ．证毕． 例3 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明对于任意实数λ，在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξλξ'=-． 分析 要证()()0f f ξλξ'+=，即证[()()]0e f f λξξλξ'+=，即 [(()())]|0x x e f x f x λξλ='+=， 即证[()]|0x x e f x λξ='=，作辅助函数()()x F x e f x λ=，并对()F x 在区间[,]a b 上应用罗尔定理． 证明 令()()x F x e f x λ=，易知()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且 ()()0F a F b ==， 由罗尔定理知，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即[()()]0e f f λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故()()0f f ξλξ'+=，即()()f f ξλξ'=-，(,)a b ξ∈．证毕． 注 证明至少存在一点满足抽象函数一阶或二阶导数的关系式，且题中没有给出函数关系式的命题时，用罗尔定理证明的方法和步骤： （1）把要证的中值等式改写成右端为零的等式，改写后常见的等式有 ()()0f f ξξξ'+=， ()()()()0f g f g ξξξξ''+=， ()()0f f ξξξ'-=， ()()0f kf ξξξ'-=， ()()()()0f g f g ξξξξ''-=， ()()()()0f g f g ξξξξ''''-=， ()()0f f ξλξ'±=， ()()()0f f g ξξξ''±=
学士学位论文题目浅谈函数的零点问题
浅谈函数的零点问题 摘要：浅谈函数零点问题实质上就是说，函数零点的存在性，零点唯一性，零点的个数问题及其应用的问题。本文运用零点定理、罗尔定理及其推广和微分中值定理、介值定理等多个重要定理对函数零点存在性、唯一性、个数问题进行多方面的解答，结合典型例题分析、讨论并证明相关问题，得出解决此类问题的解决方法，使得今后在学习函数零点的过程中得到了简便、全面的答题策略。 关键词：函数零点定理 罗尔定理 唯一性 存在性 零点个数 一、预备知识 1. 概念及定理 函数零点定义：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点。 二、零点的存在性问题 2.1 在数学学习中，函数零点的存在性问题始终都是人们研究的热点可课题。可以用零点定理解决，也能用罗尔定理、函数最值、函数的幂级数展开式及微分中值定理解决此问题。 （1）零点定理 ：若函数在区间[,]a b 上的图像时连续不断的一条曲线，且满足 ()()0f a f b < ，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =。这个c 也就是方程()0f x =的实根。 零点定理的证明： 不妨设()0,()0.f a f b <> 令{|()0,[,]}.E x f x x a b =<∈ 由()0f a <知,E ≠∅ 且b 为E 的一个上界， 于是 根据确界存在原理， 存在sup [,]E a b ξ=∈ ，下证 ()0f ξ=（注意到()0,()0,f a f b ≠≠ 故此时必有(),a b ξ∈）
用零点定理和罗尔定理证明 证明：设$f(x)$是奇函数，则$f(x)=-f(-x)$， 设$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$是f(x)的n个不同零点，有 $$ \begin{aligned} & f(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots(x-a_{n})g(x)\\ & g(a_{i})=\frac{f(a_{i})}{(a_{i}-a_{1})(a_{i}-a_{2})\cdots(a_{i}-a_{n})}\end{aligned} $$ 由于f(x)是奇函数，有$f(-a_{i})=-f(a_{i})$， 于是有： $$ \begin{aligned} & g(-a_{i})=\frac{f(-a_{i})}{(-a_{i}-a_{1})(-a_{i}-a_{2})\cdots(-a_{i}-a_{n})}\\ & =\frac{-f(a_{i})}{(-a_{i}-a_{1})(-a_{i}-a_{2})\cdots(-a_{i}-a_{n})}\\ & =\frac{f(a_{i})}{(a_{i}-a_{1})(a_{i}-a_{2})\cdots(a_{i}-a_{n})}=g(a_{i})\end{aligned} $$ 也就是说，g(x)在f(x)的每一个零点处取得相同的值， 根据罗尔定理，g(x)在区间[-a,a]上是常数， 即$g(x)=K$， 于是$f(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots(x-a_{n})K$， 即f(x)的n个零点$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$的乘积等于K， 即证明了零点定理。
零点定理,积分中值定理,罗尔定理,拉格朗日, 介值定理 在数学中，有几个重要的定理可以帮助我们更深入地理解函数和 曲线的性质。这些定理包括零点定理、积分中值定理、罗尔定理、拉 格朗日定理和介值定理。 首先，让我们来看看零点定理。它告诉我们，如果一个函数在某 个区间内连续，并且在这个区间的两个端点的函数值符号不同，那么 在这个区间内，这个函数至少有一个零点。这个定理对于解决一些数 学问题非常有用，比如寻找一个函数的根或计算函数的拐点。 接下来，我们来看看积分中值定理。它告诉我们，如果一个函数 在某个区间内连续，那么在这个区间内，这个函数的积分一定等于该 函数在该区间内某点的函数值与积分区间两端点的函数值之差的乘积。这个定理在计算定积分的时候非常有用。 接着，我们来看看罗尔定理。这个定理告诉我们，如果一个函数 在某个区间内连续，并且在这个区间的两个端点的函数值相等，那么 在这个区间内，这个函数至少有一个极值点。这个定理在求解一些函 数的导数和极值点时非常有用。 再来，我们来看看拉格朗日定理。这个定理告诉我们，如果一个 函数在某个区间内连续并且可导，那么在这个区间内，这个函数在两 个不同的点之间至少有一个点，其导数等于该函数在两个端点的函数
值之差与两个点之差的商。这个定理在求解一些函数的导数和曲线斜率时非常有用。 最后，我们来看看介值定理。这个定理告诉我们，如果一个函数在某个区间内连续，并且在该区间两个端点的函数值不同，那么在这个区间内，这个函数取到从该区间的最小函数值到最大函数值之间的任何值。这个定理在求解一些函数的最大值和最小值时非常有用。 总的来说，这些数学定理都可以用来帮助我们更好地理解函数、曲线和导数的性质。通过学习这些定理，我们可以更深入地了解数学的本质，而这些定理也可以帮助我们在数学问题中找到解决方案。
任意区间上连续函数的罗尔定理 Rolle定理（Rolle's Theorem）是泰勒二阶展开的重要单元，也是中学微积 分里极值问题的典型例子。它由法国数学家特里斯瓦・罗尔（特里斯朗·罗尔，特里斯朗·罗爾）开始提出，并由拉格朗日从另一个角度定义。该定理被定义为任意区间上连续函数，如果在该区间上满足某种条件，则定理可以成立。其中，著名的Rolle定理表明：如果一个连续函数在区间[a, b]上满足f（a）=f（b），且该函 数在该区间上是可导的，则该函数在区间[a,b]上存在某一个点c，使f'（c）=0。 Rolle定理可以通俗的理解为：在满足特定条件的连续函数中，在起始点和终 止点处具有相同值，则函数中必定存在恒等式零点，使其导数为零。罗尔定理在高等数学中具有极其重要的意义，它是函数最值问题的基本解决思路，例如它可以用来解决解析函数的单调性和极值问题，也具有重要的实际应用意义。 目前网上很多数学解释都从物理和几何的角度进行说明，但实际上Rolle定理 最直观的解释是通过推导无穷小推导出来的，并通过求导计算找出最值的极限值。Rolle定理涉及的重要概念——无穷小内容中，又分为紧确无穷小、运算无穷小、 外延原理（连续函数、可分函数、函数不变性）以及函数增减根据；因此，Rolle 定理对于学习深入理解函数微分和极值问题有很强的理论指导意义。 如今，互联网上提供的教育服务也以Rolle定理为核心，采用精心设计的在线 教育课程，不仅能够有效的培训出精英人才，还能够让更多的学子接触更多的学科，从而挖掘学生的潜力，培养学生运用Rolle定理的能力，利用有效的教学方法，更加全面的把握科学知识，为学生们学习Rolle定理等深入学习和实际应用奠定了基础。 总而言之，虽然科学日新月异，但Rolle定理作为一种独特的数学理论，却在 科学发展史上有着不可磨灭的
零点定理介值定理 零点定理是数学中一个重要的定理，它的全称是罗尔定理或零点定理。它的主要内容是：如果一函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，在(a,b)内 是可导的，且f(a) = f(b)，那么一定存在一点c∈(a,b)，使得f′(c) = 0。 换而言之，零点定理说明了在这样的情况下，一定会存在一点使得函 数的一阶导数为零。这个点被称为该函数在[a,b]上的一个转折点或极 值点。而这样的点在物理或经济学等领域中经常出现，因此这个定理 在实际中有很多应用。 而介值定理也是数学中一个重要的定理，它的全称是零的介值定理。 它通常被描述为：“如果f(x)在区间[a,b]上为连续的，并且f(a)和f(b)异号，那么在(a,b)内至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c) = 0。” 这个定理是建立在零点定理的基础之上的，它的主要内容是：如果一 函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，并且两个端点数值异号，那么在这 个区间内一定会存在一个零点。 介值定理和零点定理都是基本分析学中的重要定理，它们的核心思想 是函数在一个区间背后内必然有一些相关的特点。零点定理关注的是 导数的特性，而介值定理则关注函数值的特性。而这些特性往往在实
际问题中是非常有用的。 例如，在经济领域中，零点定理可以用来研究生产函数的转折点或极值点，以便更好地理解哪些因素对经济生产效率的提高有贡献。而介值定理则可以用来解决一些预测性问题，比如预测股票价格、汇率等变化的趋势。 总之，零点定理和介值定理在不同领域中都有着重要的应用。它们的建立给我们提供了一种研究函数本质特征和在某一区间内的行为的方法。在实际工作中，这些定理经常被用来揭示问题的本质特征，为我们的决策提供了一定的指导作用。