三角形中 的不等关系1

第三讲三角形的角与边一、基础知识本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系.1.边与边的关系(1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）；(2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.2.角与角的关系(1)三角形的内角和为180︒；(2)直角三角形中两锐角互余;(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和.3.边和角的关系(1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边;(2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大.4.不等式变形时常用的性质(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d;(2)若a>b,c>d,则a-d>b-c;(3)若a>b,c>0,则ac>bc;若a>b,c<0,则ac<bc;(4)若a>b>0,则11 a b <;(5)总量大于任何一个部分量.5.三角形中的不等关系根源:(1)两点之间线段最短;(2)垂线段最短.二、例题第一部分边的问题例1. (★★希望杯训练题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的所有不同的三角形.例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形或等腰三角形例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A.31 4k<<B.113k<<C.12k<< D.112k<<例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( )A.17cmB.5cmC.17cm或5cmD.无法确定例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点,求证:1()2AB AC BC PA PB PC AB AC BC++<++<++.例6. (★★★第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.例7. (★★★)若三角形ABC 的三边长是a,b,c,且满足:444224442244422,,a b c b c b c a a c c a b a b =+-=+-=+-,则ABC ∆是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形第二部分 角的问题例8. (★★)如图3-4,在三角形ABC 中,042A ∠= ,ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D,E,求BDC ∠的度数.例9. (★★★1999年重庆市竞赛题)三角形的三个内角分别为,,αβγ,且αβγ≥≥,2αγ=.则β的取值范围是( )A.003645β≤≤B.004560β≤≤C.006090β≤≤D.004572β≤≤例10. (★★★)如图3-7,延长四边形ABCD 对边AD,BC 交于F ；DC,AB 交于E,若AED ∠,AFB ∠平分线交于O,求证:1()2EOF EAF BCD ∠=∠+∠第三部分边角综合24,例11. (★★★ 2000年江苏省竞赛题)在锐角三角形ABC中,AB>BC>AC,且最大内角比最小内角大0 的取值范围是( ).则A例12. (★★★★)如图3-2,在三角形ABC中，AB>AC>BC,P为三角形内任意一点,连结AP并延长交BC于点D.求证:(1)AB+AC>AD+BC;(2)AB+AC>AP+BP+CP.例13. （★★★★）如图，在三角形ABC中，角A=90度，AD垂直于BC，求证：AB+AC<AD+BC例14.（★★★★）如图，在三角形ABC中，AC>AB,在CA上截取CD=AB,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF 并延长交BA的延长线于G,求证：AF=AG例15. (★★★★★)设三角形的三个内角度数分别为A,B,C,相应的对边长分别为a,b,c,求证:60 aA bB cCa b c︒++≥++三、练习题1. (★★)设m,n,p均为自然数,满足m n p≤≤,且m+n+p=15,试问以m,n,p为边长的三角形有多少个?2.(★★ 1998年山东省竞赛题) 已知三角形三边的长均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形周长为奇数,则第三边长的最小值为( )** B.7 C.6 D.43.(★★★)一个三角形的周长为偶数,其中的两条边长分别为4和2003,则满足上述条件的三角形的个数为( )A.1个B.3个C.5个D.7个4.（★ 2002，云南省中考题）两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是acm，则a的取值范围是( ).5. (★)ABC 的一个内角的大小是040,且A B ∠=∠,那么C ∠的外角的大小是( )A.140︒B.80︒或100︒C.100︒或140︒D.80︒或140︒6. (★★★)如图3-5,在ABC ∆中,90ACB ︒∠=,D,E 为AB 上的两点,若AE=AC,45DCE ︒∠=则图中与BC 等长的线段是( ) A.CD B.BD C.CE D.AE-BE7. (★★★)如图3-6,在ABC ∆中,B ∠的平分线与C ∠的外角平分线相交于D,40D ︒∠=.则A ∠等于( )A.50︒B. 60︒C. 70︒D.80︒8. (★★ 第12届希望杯竞赛题)如图3-9,127.5︒∠=,295︒∠=,338.5︒∠=求4∠的大小.9. (★★★第5届希望杯竞赛题)如图3-8,BE 是ABD ∠的平分线,CF 是ACD ∠的平分线,BE 与CF 交于G,若140BDC ︒∠=,110BGC ︒∠=,求A ∠的度数.10. （★★★★）如图，三角形ABC 中，AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE 相交于P,BQ 垂直于AD 于Q ，求证：BP=2PQ课外小故事五枚金币有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出5枚硬币，把一枚硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴格的手上，说：“人生有5枚金币，童年、少年、青年、中年、老年各有一枚，你现在才用了一枚，就是埋在草地里的那一枚，你不能把5枚都扔在草原里，你要一点点地用，每一次都用出不同来，这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原，你将来也一定要走出草原.世界很大，人活着，就要多走些地方，多看看，不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下，那天阿巴格走出了草原.长大后，阿巴格离开了家乡，成了一名优秀的船长.珍惜生命，就能走出挫折的沼泽.。

２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀应用基本不等式,破解三角形最值◉河南省固始县高级中学㊀沈玉洁㊀㊀利用基本不等式破解三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积以及相应代数式等的最值及其综合应用问题,一直是高考命题中的一个重点与难点,交汇点多,综合性强,难度较大,灵活多样,备受各方关注．本文中结合实例,合理通过基本不等式的巧妙放缩,得以确定相应的最值．１角的最值问题利用基本不等式求解三角形中角的最值问题,是高考的一个考点．解决这类问题的关键是,利用正㊁余弦定理及基本不等式求出三角形中相应内角的某一三角函数值的取值范围或进一步利用三角函数的单调性求出角的最值等．例１㊀在әA B C 中,已知０＜A ＜π２,０＜B ＜π２,２s i n A ＝c o s (A ＋B )s i n B ,则t a n A 的最大值为．解析:由２s i n A ＝c o s (A ＋B )s i n B ＝－c o s C s i n B 及正弦定理和余弦定理,可得２a ＝－a ２＋b ２－c２２a bˑb ,化简可得５a ２＋b ２＝c ２．而t a n ２A ＝s i n ２A c o s ２A ＝１c o s ２A－１,又A 为锐角,可得c o s A ＞０,t a n A ＞０,因此只要求出c o s A 的最小值,就可求得t a n A 的最大值．结合基本不等式,利用余弦定理有c o s A ＝b ２＋c ２－a ２２b c ＝３b ２＋２c ２５b c ȡ２３b ２ˑ２c ２５b c ＝２６５,当且仅当３b ２＝２c２,即c ＝６２b 时等号成立,所以t a n ２A ＝１c o s ２A －１ɤ１(２６５)２－１＝１２４,解得t a n A ɤ６１２,则t a n A 的最大值为６１２．点评:解决本题的关键是利用正弦定理㊁余弦定理化角为边的关系式,并结合基本不等式与余弦定理求出角A 的余弦值的取值范围,然后利用三角关系式的变形与转化,以及不等式的性质来确定角A 的正切值的平方的最值,进而获解．２边的最值问题求解三角形中边(或对应的线段长度等)的最值问题是高考的一个基本考点,解决这类问题的关键是利用余弦定理表示出所要求的边,然后利用基本不等式或三角形的三边关系等条件求出边的最值．例２㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知３a c o s C －a s i n C ＝３b ．(１)求角A 的大小;(２)若D 为B C 的中点,且A D ＝２,求a 的最大值．解析:(１)由３a c o s C －a s i n C ＝３b ,结合正弦定理,可得３s i n A c o s C －s i n A s i n C ＝３s i n B ＝３s i n (A ＋C ),整理可得－s i n A s i n C ＝３c o s A s i n C ,即t a n A ＝－３．又A ɪ(０,π),所以A ＝２π３．(２)由于D 为B C 的中点,可得２A D ң＝A B ң＋A C ң,式子两边同时平方,有４A D ң２＝AB ң２＋２A Bң A C ң＋A C ң２,又A D ＝２,所以１６＝c ２＋b ２＋２b c c o s A ＝c ２＋b ２－b c ,即b ２＋c ２＝１６＋b c ．而结合余弦定理,可得a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝b ２＋c ２＋b c ＝１６＋２b c ．由基本不等式,可得２b c ɤb ２＋c ２＝１６＋b c ,解得b c ɤ１６,当且仅当b ＝c 时等号成立,所以２b c ＋１６ɤ４８,即a ２＝１６＋２b c ɤ４８,解得a ɤ４３,当且仅当b ＝c ,即әA B C为等腰三角形时,等号成立．所以a 的最大值为４３．点评:利用平面向量的线性关系的两边平方处理以及余弦定理的应用,用b ２＋c ２及b c 的线性关系式表示出a ２是解决本题的关键,同时注意利用基本不等式来合理放缩b ２＋c ２与b c 之间的不等关系,为确定边的最值奠定基础．３三角形周长的最值问题三角形周长的最值问题是高考的一个热点与常见题型,这类问题一般可以求出一条边(或已知一边),然后利用余弦定理表示出另两条边满足的关系式,最后利用基本不等式求出周长的最值．例３㊀在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知c o s B a b ＋c o s C a c ＋２c o s Ab c＝０．５４学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀(１)求A ;(２)若a ＝２３,求әA B C 周长的取值范围．解析:(１)由c o s B a b ＋c o s C a c ＋２c o s Ab c＝０及正弦定理,可得c o s B s i n A s i n B ＋c o s C s i n A s i n C ＋２c o s A s i n B s i n C＝０．整理得s i n C c o s B ＋s i n B c o s C ＋２s i n A c o s A ＝０,即s i n (B ＋C )＝－２s i n A c o s A ．在әA B C 中,s i n (B ＋C )＝s i n A ʂ０,所以可得c o s A ＝－１２,而A ɪ(０,π),可得A ＝２π３．(２)由(１)及余弦定理可得a ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ＝(b ＋c )２－２b c ＋b c ＝(b ＋c )２－b c ,合理变形并结合基本不等式,可得(b ＋c )２＝a ２＋b c ɤa ２＋(b ＋c２)２,当且仅当b ＝c 时等号成立,所以(b ＋c )２ɤ４３a ２＝４３ˑ(２３)２＝１６,解得b ＋c ɤ４．又利用三角形的基本性质有b ＋c ＞a ＝２３,即b ＋c ɪ(２３,４]．所以әA B C 周长的取值范围为(４３,４＋２３]．点评:涉及三角形周长的最值问题,经常在已知或已求得其中一边的基础上,通过另外两边之和的最值转化来综合,而这时往往需要借助基本不等式来合理放缩与应用,同时也离不开三角形的基本性质等．４三角形面积的最值问题三角形面积的最值问题一直是高考命题的一个热点,解决这类问题的关键是找出两边(这两边的夹角往往已知或可求)之积满足的不等关系式,借助基本不等式合理放缩,再利用三角形面积公式解决问题．例４㊀在әA B C 中,D ,E 分别是线段A C ,B D 的中点,øB A C ＝１２０ʎ,A E ＝４,则әA B C 面积的最大值为．(３２３)解析:略．点评:解决本题的关键是利用余弦定理,或利用平面向量中的线性运算,或利用坐标运算等表示出b ,c 满足的关系式,然后利用基本不等式求出b c 满足的不等关系,最后利用三角形面积公式解决问题．５涉及角或边的代数式的最值问题关于三角形中的边长或角的代数式的最值问题是新课标高考的一个新趋向,创新新颖,变化多端,解决这类问题的关键是消元 消边或消角,对元素进行统一化处理,然后利用基本不等式求出最值即可．例５㊀记әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c o s A １＋s i n A ＝s i n ２B１＋c o s ２B．(１)若C ＝２π３,求B ;(２)求a ２＋b ２c２的最小值．解析:(１)利用二倍角公式,可得c o s A１＋s i n A＝s i n ２B １＋c o s ２B ＝２s i n B c o s B ２c o s ２B ＝s i n Bc o s B ,则有s i n B ＝c o s A c o s B －s i n A s i n B ＝c o s (A ＋B )＝－c o s C ＝－c o s ２π３＝１２,而０＜B ＜π３,所以B ＝π６．(２)由(１)可得－c o s C ＝s i n B ＞０,则知c o s C ＜０,则有C ɪ(π２,π),于是有B ＝C －π２,可得s i n A ＝s i n (B ＋C )＝s i n (２C －π２)＝－c o s ２C ．结合基本不等式,利用正弦定理可得㊀㊀㊀㊀a ２＋b ２c ２＝s i n ２A ＋s i n ２Bs i n ２C＝c o s ２２C ＋c o s ２C s i n ２C＝(１－２s i n ２C )２＋(１－s i n ２C )s i n ２C＝４s i n ４C －５s i n ２C ＋２s i n ２C＝４s i n ２C ＋２s i n ２C－５ȡ２４s i n ２C ˑ２s i n ２C －５＝４２－５,当且仅当４s i n ２C ＝２s i n ２C ,即s i n C ＝１４２时,等号成立．所以a ２＋b ２c ２的最小值为４２－５．点评:解决本题中涉及边的代数式的最值问题的关键在于利用正弦定理化边为角,结合诱导公式与二倍角公式的转化,综合三角关系式的恒等变形,利用基本不等式来确定相应的最值问题．当然,除了巧妙利用基本不等式的放缩来确定三角形中的角㊁边㊁周长㊁面积以及相应的代数式等的最值及其综合应用,还可以利用平面几何图形的直观性质㊁三角函数的有界性㊁函数与方程的基本性质以及导数等相关知识来解决．而这当中基本不等式的放缩与应用是最简单有效的一种方法,也是最常见的,要结合问题的实质加以合理转化,巧妙构建 一正㊁二定㊁三相等 的条件,为利用基本不等式来处理三角形最值问题提供条件．Z６４。

三角形边角不等式关系练习题一、边的不等关系证明1、如图1，在△ABC 的边AB 上截取AD=AC ，连结CD ， （1）说明2AD ＞CD 的理由（填空）；解：∵AD+AC ＞CD （ ） 又∵AD=AC （ ） ∴AD+AD＞CD（ ） ∴2AD ＞CD（2）说明BD ＜BC 的理由。

解：∵_______＜BC （ ）又∵AD=AC （ ）∴AB –AD ＜BC （ ） 而AB –AD=BD∴BD ＜BC （ ）2、如图2，△ABC 中，AB=BC ，D 是AB 延长线上的点，说明AD ＞DC 的理由。

2、如图3，已知P 是△ABC 内任意一点，则有AB+AC ＞PB+PC.3. 如图所示，在△ABC 中，D 是BA 上一点，则AB+2CD>AC+BC 成立吗？•说明你的理由．4.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 的延长线上．求证：BD －BC ＜AD －AB ．AB CDAB C D图3 图2图15．如图，△ABC 中，D 是AB 上一点．求证：（1）AB ＋BC ＋CA ＞2CD ；（2）AB ＋2CD ＞AC ＋BC ．6.在右图中，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，求证：AB+AE+12BC>AD+AC 证明：∵AD ⊥BC( )∴AB ＞AD( ) 在△AEC 中，AE+EC>AC( )又∵AE 为中线( )∴EC=12BC( )即AE+12BC>AC( ) ∴AB+AE+12BC ＞AD+AC7.已知如图：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE. 参考答案2.解：延长BP 交AC 于E ，在△PEC 中，PE+EC ＞PC∴BP+EP+EC ＞BP+PC 即BE+EC ＞BP+PC.在△ABE 中，AE+AB ＞BE ∴AE+EC+AB ＞BE+EC ， 即AC+AB ＞BE+EC ，∴AB+AC ＞PB+PC4.AD －AB ＝AC ＋CD －AB ＝CD ，∵ BD －BC ＜CD ，∴ BD －BC ＜AD －AB ．5.（1）AC ＋AD ＞CD ，BC ＋BD ＞CD ，两式相加：AB ＋BC ＋CA ＞2CD ．ACEP B（2）AD＋CD＞AC，BD＋CD＞BC，两式相加：AB＋2CD＞AC＋BC．7.（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM＋AN ＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

三角形不等式的应用举例根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、> 证明:作角∠120AOB = ，∠120BOC = ，则∠120AOC = ， 设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、> 证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).>++ 证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++ DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和.另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=知原不等式成立.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy ≥+即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤ 而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,44A ，3(,)44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的.但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。