第三章多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量分布函数分布律概率密度边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度条件分布函数条件分布律条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度Z=Y/X及Z=XY的概率密度M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的概率密度例：研究某一地区学龄儿童的发育情况。
仅研究身高H 的分布或仅研究体重W 的分布是不够的。
需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间（即某地区全部学龄前儿童）的两个随机变量。
问题的提出实际中，某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量描述例：研究某种型号炮弹的弹着点分布。
每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。
一、二维随机变量的定义设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。
S ey()()(),X e Y ex(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，还依赖于X,Y间的相互关系，需将(X,Y)作为整体研究二、二维随机变量的分布函数设(X ,Y )是二维随机变量，对于任意实数x , y ，二元函数称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
{}(,)()()(,)F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤==≤≤ 记成1、定义：若将(X ,Y )看成平面上随机点的坐标，则F (x ,y )在(x ,y )处的函数值即为随机点落在(x ,y )左下方无穷域内的概率2、几何意义：(X ,Y )落在矩形区域[x 1<x ≤x 2, y 1<y ≤y 2]上的概率为x 1x 2yy 1y 20xy(x,y )1212(,)P x x x y y y <≤<≤()()()()22211211,,,,F x y F x y F x y F x y --+=3、性质：1212,(,)(,)y x x F x y F x y <⇒≤任意固定当x 1x 2(x 1,y )(x 2,y )yy 2xy 1(x ,y 1)(x ,y 2)1212,(,)(,)x y y F x y F x y <⇒≤任意固定0(,)1F x y ≤≤ (,)0 (,)0(,)0,(,)1y F y x F x F F -∞=-∞=-∞-∞=+∞+∞=对任意固定，对任意固定，(1) 不减性:F (x , y )关于x , y 单调不减，即(2) 有界性:且(3) 右连续性0(,)(,)lim F x y F x y εε+→+=0(,)(,)lim F x y F x y εε+→+=(),,F x y x y 关于右连续，即：()222112111212(,)(,)(,)(,),0F x y F x y F x y F x y P x X x y Y y --+=<≤<≤≥ 1x 2x 1y 2y 01212,,x x y y <<若则22211211(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥(4)三、二维离散型随机变量及其分布律1、定义：,,,,21m x x x X 的可能值为设,,,,21n y y y Y 的可能值为中心问题：(X ,Y )取这些可能值的概率分别为多少？若二维随机变量（X ,Y ）所有可能的取值是有限对或可列无限对，则称（X ,Y ）是二维离散型随机变量。
