2018年高中数学高考二轮复习：三角恒等变换与解三角形(精炼基础,链接高考)

专题检测（十二） 三角恒等变换与解三角形A 卷——夯基保分专练一、选择题1．(2018届高三·合肥调研)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A.13B ．－13C ．3D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2， ∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.2．(2017·张掖一诊)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A.74B.34C.73D.13解析：选A 由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74.3．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ的值为( )A.23 B.43 C.34D.32解析：选D 法一：由sin θ－cos θ＝－144， 得sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝74. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以π4－θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34，故2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝32. 法二：因为sin θ－cos θ＝－144， 两边平方，整理得2sin θcos θ＝18，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝98.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ>0，cos θ>0， 所以sin θ＋cos θ＝324. 所以2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos 2θ－sin 2θ22(cos θ－sin θ)＝2(cos θ＋sin θ)＝32.4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选A 根据正弦定理得c b ＝sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ， 整理得sin A cos B <0.又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π，∴△ABC 为钝角三角形．6．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63解析：选C 依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A ，由此解得cos A ＝64. 二、填空题7．(2017·洛阳统考)若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝________. 解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫142－1＝－78. 答案：－788．已知△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于D ，则BDCD 的值为________．解析：在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ，即28＝16＋AB 2－4AB ，解得AB ＝6，则cos ∠ABC ＝28＋36－162×27×6＝27，所以BD ＝AB ·cos ∠ABC ＝6×27＝127， CD ＝BC －BD ＝27－127＝27，所以BD CD ＝6.答案：69．(2017·福州质检)在距离塔底分别为80 m,160 m ，240 m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.解析：设塔高为h m ．依题意得，tan α＝h 80，tan β＝h 160，tan γ＝h240.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝sin (90°－γ)sin γcos (90°－γ)cos γ＝cos γsin γsin γcos γ＝1，所以tan α＋tan β1－tan αtan β·tan γ＝1，所以h 80＋h1601－h 80·h 160·h 240＝1，解得h ＝80，所以塔高为80 m.答案：80 三、解答题10．(2017·郑州第二次质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝2C,2b ＝3c .(1)求cos C ；(2)若c ＝4，求△ABC 的面积． 解：(1)由正弦定理得，2sin B ＝3sin C .∵B ＝2C ，∴2sin 2C ＝3sin C ，∴4sin C cos C ＝3sin C ， ∵C ∈(0，π)，sin C ≠0，∴cos C ＝34.(2)由题意得，c ＝4，b ＝6.∵C ∈(0，π)，∴sin C ＝1－cos 2C ＝74， sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝378， cos B ＝cos 2C ＝cos 2C －sin 2C ＝18，∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝378×34＋18×74＝5716.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×4×5716＝1574.11．(2017·东北四市高考模拟)已知点P (3，1)，Q (cos x ，sin x )，O 为坐标原点，函数f (x )＝OP ―→·QP ―→.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )＝4，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． 解：(1)由已知，得OP ―→＝(3，1)，QP ―→＝(3－cos x,1－sin x )， 所以f (x )＝3－3cos x ＋1－sin x ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 所以函数f (x )的最小正周期为2π. (2)因为f (A )＝4，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝0， 又0<A <π，所以π3<A ＋π3<4π3，A ＝2π3.因为BC ＝3，所以由正弦定理，得AC ＝23sin B ，AB ＝23sin C ，所以△ABC 的周长为3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. 因为0<B <π3，所以π3<B ＋π3<2π3，所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π6时，△ABC 的周长取得最大值，为3＋2 3.12．如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 分别表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ， ∴3x ＋325x＝25x ， 解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D (图略)，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131， ∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421. 故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．B 卷——大题增分专练1．(2018届高三·天津五区县联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8 sin 2A ＋B 2－2cos 2C ＝7.(1)求tan C 的值；(2)若c ＝3，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值． 解：(1)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B 2＝π2－C 2，则sin A ＋B 2＝cos C 2.由8sin 2A ＋B 2－2cos 2C ＝7，得8cos 2C 2－2cos 2C ＝7，所以4(1＋cos C )－2(2cos 2C －1)＝7， 即(2cos C －1)2＝0，所以cos C ＝12.因为0＜C ＜π，所以C ＝π3，于是tan C ＝tan π3＝ 3.(2)由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a .①又c ＝3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3.②联立①②，解得a ＝1，b ＝2.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值． 解：(1)∵a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， ∴由正弦定理得sin A ＝－sin ⎝⎛⎫A ＋π3，即sin A ＝－12sin A －32cos A ，化简得tan A ＝－33，∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6. (2)∵A ＝5π6，∴sin A ＝12，由S ＝34c 2＝12bc sin A ＝14bc ，得b ＝3c ， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝7c 2，则a ＝7c ， 由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝714. 3．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值． 解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数， 又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6， 又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6， 从而cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45. 所以cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310. 4．在△ABC 中，B ＝π3，点D 在边AB 上，BD ＝1，且DA ＝DC .(1)若△BCD 的面积为3，求CD ； (2)若AC ＝3，求∠DCA .解：(1)因为S △BCD ＝3，即12BC ·BD ·sin B ＝3，又B ＝π3，BD ＝1，所以BC ＝4.在△BDC 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ， 即CD 2＝16＋1－2×4×1×12＝13，解得CD ＝13.(2)在△ACD 中，DA ＝DC ，可设∠A ＝∠DCA ＝θ， 则∠ADC ＝π－2θ，又AC ＝3， 由正弦定理，得AC sin 2θ＝CD sin θ，所以CD ＝32cos θ. 在△BDC 中，∠BDC ＝2θ，∠BCD ＝2π3－2θ，由正弦定理，得CD sin B ＝BD sin ∠BCD ，即32cos θsinπ3＝1sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ，化简得cos θ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ， 于是sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ. 因为0＜θ＜π2，所以0＜π2－θ＜π2，－π3＜2π3－2θ＜2π3，所以π2－θ＝2π3－2θ或π2－θ＋2π3－2θ＝π，解得θ＝π6或θ＝π18，故∠DCA ＝π6或∠DCA ＝π18.。

第二讲 三角恒等变换与解三角形[考情分析]三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A ·sin C －sin A ·cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0，因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin Aa ＝2×222＝12，又0<C <π4，所以C ＝π6.故选B. 答案：B2．(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45解析：先利用二倍角公式展开，再进行“1”的代换， 转化为关于tan θ的关系式进行求解． ∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ，又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45. 答案：D3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π2)，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：∵α∈(0，π2)，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55，∴cos(α－π4)＝cos αcosπ4＋sin αsin π4＝22×(255＋55)＝31010. 答案：31010三角恒等变换[方法结论]三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45° 等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．[题组突破]1．若tan α＝－22，且α是第四象限角，则cos 2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：通解：因为α是第四象限角，tan α＝－22，故sin αcos α＝－22，由sin 2 α＋cos 2 α＝1可得cos 2 α＝23，cos α＝63，sin α＝－33.cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝sin 2α＋sin αcos α＋22cos 2α＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×63＋23＝13，故选D. 优解：因为α是第四象限角，tan α＝－22，故cos 2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝sin 2α＋sin αcos α＋22cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋22cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α＋22tan 2α＋1＝1232＝13，故选D. 答案：D2．(2017·蚌埠模拟)已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin 2α＋sin 2α＝________.解析：由sin 2α－2＝2cos 2α得sin 2α＝2＋2cos 2α，即2sin αcos α＝4 cos 2α，即cos α＝0或tan α＝2.当cos α＝0时，sin 2α＋sin 2α＝1；当tan α＝2时，sin 2α＋sin 2α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85. 综上，sin 2α＋sin 2α＝1或85.答案：1或853．(2017·合肥检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解析：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32.所以sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2 α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3212＝2 3. [误区警示]三角函数求值问题易出错的是忽视角的范围，导致结果增解．解三角形[方法结论]正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .[典例](2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD .(1)求AD 的长； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)在△ABC 中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝52x.在△ACD 中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，则cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝x 2＋52－322×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，即x 2＋52－322×x ×5＝－52x.解得x ＝5.所以AD 的长为5.(2)由(1)求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BC BD ＝32，从而sin ∠CBD ＝12. 所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.[类题通法]等价转化思想在解三角形中的应用利用正、余弦定理解三角形关键利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sinA ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sinC ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c 2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等． [演练冲关]1．(2017·合肥模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9πD ．36π解析：c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C. 答案：C2．(2017·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A ．14 hB ．15 hC ．16 hD ．17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得6002＋400t 2－2×20t ×600×22≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以Δt ＝302＋152－302－152＝15(h)，故选B. 答案：B3．(2017·海口模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cosB －cos A )．(1)求sin Bsin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C ·(3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A ＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.解三角形与其他知识的交汇问题解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．[典例](1)在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为( ) A.21B.3214C.212D ．321解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，∴bc cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A2，∴cos A ≥25，∴0＜sin A ≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.答案：B(2)(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2B －C2－sin B ·sinC ＝2－24. ①求角A ；②若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． 解析：①由cos2B －C2－sin B ·sin C ＝2－24，得cos B －C 2－sin B ·sin C ＝－24， ∴cos(B ＋C )＝－22， ∴cos A ＝22(0＜A ＜π)，∴A ＝π4. ②由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－2bc ≥(2－2)bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，即bc ≤8(2＋2)．∴S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤4(2＋1)，即△ABC 面积的最大值为4(2＋1)．[类题通法]化归与转化能力思想是求解三角与其他知识交汇问题的核心，分析交汇知识点，利用其间的联系可找出突破口，从而解决问题．[演练冲关]1．(2017·沈阳模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，求S 的最大值． 解析：由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin(A ＋π4)＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8.2．(2017·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值． 解析：(1)由b 2＋c 2－a 2＝bc ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)∵AM 是BC 边上的中线，∴在△ABM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos∠AMB ＝c 2，①在△ACM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos∠AMC ＝b 2，②又∠AMB ＝π－∠AMC ，∴cos ∠AMB ＝－cos ∠AMC ，即cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0， ①＋②得AM 2＝b 2＋c 22－34.又a ＝3，∴b 2＋c 2－3＝bc ≤b 2＋c 22，∴b 2＋c 2≤6， ∴AM 2＝b 2＋c 22－34≤94，即AM ≤32， ∴BC 边上的中线AM 的最大值为32.。

由已知及余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝7，
故 a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC 的周长为 5＋ 7.
考点三 三角恒等变换与解三角形的综合问题
试题 解析
考点一 考点二 考点三
5．(2016·高考山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.已知 2(tan A＋tan B)＝tcaons BA＋tcaons AB. (1)证明：a＋b＝2c； (2)求 cos C 的最小值．
试题 解析
(1)证明：根据正弦定理，可设sina A＝sinb B＝sinc C＝k(k>0)． 则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C， 代入coas A＋cobs B＝sinc C中，有kcsoisnAA＋kcsoisnBB＝kssiinnCC，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)． 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π， 有 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以 sin Asin B＝sin C.
试题 解析
考点三
考点一 考点二 考点三
根据上面所做题目，请填写诊断评价
错因(在相应错因中画√)
考点 错题题号
诊
知识性 方法性 运算性 审题性
断 考点一
评 价 考点二
考点三
※ 用自己的方式诊断记录 减少失误从此不再出错
考点一 三角恒等变换
考点一 考点二 考点三
[经典结论·全通关] 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等； (2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α， α＝(α－β)＋β 等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．

1t＋anta2nα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝－121.
[规律方法] 1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)， 化简求值． 2．解决条件求值问题的三个关注点： (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知 角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已 知角的三角函数值来表示．
因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝295，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－275.
(2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π)．
又因为 cos(α＋β)＝－ 55.
所以 sin(α＋β)＝
1－cos2（α＋β）＝2
5
5 .
因此 tan(α＋β)＝－2.
因为 tan α＝43，所以 tan 2α＝1－2tatannα2α＝－274， 因 此 ， tan(α － β) ＝ tan[2α － (α ＋ β)] ＝
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin α sin β .
(3)tan(α±β)＝1∓ttaann
α±tan β α tan β
.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α －sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
所以 S＝12ac·sin B≤12×3× 23＝343.
所以△ABC
面积的最大值为3
4
3 .
命题视角 应用正、余弦定理解决实际问题 【例 2－2】 某气象仪器研究所按以下方案测试一 种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在 C 处(点 C 在水平地面下方，O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点) 进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点 A，B 两 地相距 100 米，∠BAC＝60°，其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米．A 地测得该仪器在 C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点 H 的仰角为∠HAO＝30°，则该 仪器的垂直弹射高度 CH 为( )