2018年湖北省恩施州中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（3分）﹣8的倒数是（）A．﹣8 B．8 C．﹣D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a4+a5=a9B．（2a2b3）2=4a4b6C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b23．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）A．8.23×10﹣6B．8.23×10﹣7C．8.23×106 D．8.23×1075．（3分）已知一组数据1、2、3、x、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°7．（3分）64的立方根为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣48．（3分）关于x的不等式的解集为x＞3，那么a的取值范围为（）A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤39．（3分）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，则小正方体的个数不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．810．（3分）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（）A．不盈不亏 B．盈利20元C．亏损10元D．亏损30元11．（3分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．1212．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）13．（3分）因式分解：8a3﹣2ab2=．14．（3分）函数y=的自变量x的取值范围是．15．（3分）在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为．（结果不取近似值）16．（3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为个．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（8分）先化简，再求值：•（1+）÷，其中x=2﹣1．18．（8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．19．（8分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a=，b=，c=；（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为度；（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．20．（8分）如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据≈1.41，≈1.73）21．（8分）如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C．（1）求k的值及C点坐标；（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y=交于D、E两点，求△CDE 的面积．22．（10分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？23．（10分）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．（1）求证：DE为⊙O切线；（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．24．（12分）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．2018年湖北省恩施州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（3分）﹣8的倒数是（）A．﹣8 B．8 C．﹣D．【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，﹣8×（﹣）=1，即可解答．【解答】解：根据倒数的定义得：﹣8×（﹣）=1，因此﹣8的倒数是﹣．故选：C．【点评】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a4+a5=a9B．（2a2b3）2=4a4b6C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算．【解答】解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确；C、﹣2a（a+3）=﹣2a2﹣6a，故本选项错误；D、（2a﹣b）2=4a2﹣4ab+b2，故本选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（3分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）A．8.23×10﹣6B．8.23×10﹣7C．8.23×106 D．8.23×107【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000823=8.23×10﹣7．故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．（3分）已知一组数据1、2、3、x、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先由平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算．【解答】解：∵数据1、2、3、x、5的平均数是3，∴=3，解得：x=4，则数据为1、2、3、4、5，∴方差为×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2，故选：B．【点评】本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义．6．（3分）如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°【分析】如图求出∠5即可解决问题．【解答】解：∵a∥b，∴∠1=∠4=35°，∵∠2=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠5=55°，∴∠3=180°﹣∠5=125°，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．7．（3分）64的立方根为（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．【解答】解：64的立方根是4．故选：C．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．8．（3分）关于x的不等式的解集为x＞3，那么a的取值范围为（）A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3【分析】先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，则利用同大取大可得到a的范围．【解答】解：解不等式2（x﹣1）＞4，得：x＞3，解不等式a﹣x＜0，得：x＞a，∵不等式组的解集为x＞3，∴a≤3，故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．9．（3分）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，则小正方体的个数不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】直接利用左视图以及俯视图进而分析得出答案．【解答】解：由左视图可得，第2层上至少一个小立方体，第1层一共有5个小立方体，故小正方体的个数最少为：6个，故小正方体的个数不可能是5个．故选：A．【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确想象出最少时几何体的形状是解题关键．10．（3分）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（）A．不盈不亏 B．盈利20元C．亏损10元D．亏损30元【分析】设两件衣服的进价分别为x、y元，根据利润=销售收入﹣进价，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再用240﹣两件衣服的进价后即可找出结论．【解答】解：设两件衣服的进价分别为x、y元，根据题意得：120﹣x=20%x，y﹣120=20%y，解得：x=100，y=150，∴120+120﹣100﹣150=﹣10（元）．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．11．（3分）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．12．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵抛物线对称轴x=﹣1，经过（1，0），∴﹣=﹣1，a+b+c=0，∴b=2a，c=﹣3a，∵a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误，∵抛物线与x轴有交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确，∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，故③正确，∵点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，﹣1.5＞﹣2，则y1＜y2；故④错误，∵5a﹣2b+c=5a﹣4a﹣3a=﹣2a＜0，故⑤正确，故选：B．【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）13．（3分）因式分解：8a3﹣2ab2=2a（2a+b）（2a﹣b）．【分析】首先提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：8a3﹣2ab2=2a（4a2﹣b2）=2a（2a+b）（2a﹣b）．故答案为：2a（2a+b）（2a﹣b）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14．（3分）函数y=的自变量x的取值范围是x≥﹣且x≠3．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．【解答】解：根据题意得2x+1≥0，x﹣3≠0，解得x≥﹣且x≠3．故答案为：x≥﹣且x≠3．【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定，根据分母不等于0，被开方数大于等于0列式计算即可，是基础题，比较简单．15．（3分）在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为π．（结果不取近似值）【分析】先得到∠ACB=30°，BC=，利用旋转的性质可得到点B路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长，然后根据扇形的面积公式计算点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，∴∠ACB=30°，BC=，将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，点B路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长；∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积=+=．故答案为π．【点评】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量．16．（3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为1946个．【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为2、0×6、3×6×6、2×6×6×6、1×6×6×6×6，然后把它们相加即可．【解答】解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1946，故答案为：1946．【点评】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（8分）先化简，再求值：•（1+）÷，其中x=2﹣1．【分析】直接分解因式，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：•（1+）÷=••=，把x=2﹣1代入得，原式===．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．18．（8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE 是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．【解答】证明：如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．19．（8分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a=2，b=45，c=20；（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为72度；（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．【分析】（1）根据A等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以D等次百分比可得a的值，再用B、C等次人数除以总人数可得b、c的值；（2）用360°乘以C等次百分比可得；（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）本次调查的总人数为12÷30%=40人，∴a=40×5%=2，b=×100=45，c=×100=20，故答案为：2、45、20；（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%=72°，故答案为：72；（3）画树状图，如图所示：共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）==．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．20．（8分）如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据≈1.41，≈1.73）【分析】先根据题目给出的方向角．求出三角形各个内角的度数，过点B作BE⊥AC构造直角三角形．利用三角函数求出AE、BE，再求和即可．【解答】解：由题意知：∠WAC=30°，∠NBC=15°，∴∠BAC=60°，∠ABC=75°，∴∠C=45°过点B作BE⊥AC，垂足为E．在Rt△AEB中，∵∠BAC=60°，AB=100米∴AE=cos∠BAC×AB=×100=50（米）BE=sin∠BAC×AB=×100=50（米）在Rt△CEB中，∵∠C=45°，BE=50（米）∴CE=BE=50=86.5（米）∴AC=AE+CE=50+86.5=136.5（米）≈137米答：旗台与图书馆之间的距离约为137米．【点评】本题考查了方向角和解直角三角形．题目难度不大，过点B作AC的垂线构造直角三角形是解决本题的关键．21．（8分）如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C．（1）求k的值及C点坐标；（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y=交于D、E两点，求△CDE 的面积．【分析】（1）令﹣2x+4=，则2x2﹣4x+k=0，依据直线y=﹣2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C，即可得到k的值，进而得出点C的坐标；（2）依据D（3，2），可得CD=2，依据直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，即可得到直线l为y=2x﹣4，再根据=2x﹣4，即可得到E（﹣1，﹣6），进而得出△CDE的面积=×2×（6+2）=8．【解答】解：（1）令﹣2x+4=，则2x2﹣4x+k=0，∵直线y=﹣2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C，∴△=16﹣8k=0，解得k=2，∴2x2﹣4x+2=0，解得x=1，∴y=2，即C（1，2）；（2）当y=2时，2=，即x=3，∴D（3，2），∴CD=3﹣1=2，∵直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，∴A（2，0），B'（0，﹣4），∴直线l为y=2x﹣4，令=2x﹣4，则x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴E（﹣1，﹣6），∴△CDE的面积=×2×（6+2）=8．【点评】此题属于反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了解一元二次方程，坐标与图形性质以及三角形面积公式的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．22．（10分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．【解答】解：（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，，解得，，答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30﹣a）台，，解得，10≤a≤12，∴a=10、11、12，共有三种采购方案，方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；（3）设总费用为w元，w=9000a+6000（30﹣a）=3000a+180000，∴当a=10时，w取得最小值，此时w=210000，即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．23．（10分）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．（1）求证：DE为⊙O切线；（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．【分析】（1）如图1，连接OD、BD，根据圆周角定理得：∠ADB=90°，则AD⊥BD，OE⊥BD，由垂径定理得：BM=DM，证明△BOE≌△DOE，则∠ODE=∠OBE=90°，可得结论；（2）设AP=a，根据三角函数得：AD=3a，由勾股定理得：PD=2a，在直角△OPD中，根据勾股定理列方程可得：32=（3﹣a）2+（2a）2，解出a的值可得AD的值；（3）先证明△APF∽△ABE，得，由△ADP∽△OEB，得，可得PD=2PF，可得结论．【解答】证明：（1）如图1，连接OD、BD，BD交OE于M，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，AD⊥BD，∵OE∥AD，∴OE⊥BD，∴BM=DM，∵OB=OD，∴∠BOM=∠DOM，∵OE=OE，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE=∠OBE=90°，∴DE为⊙O切线；（2）设AP=a，∵sin∠ADP==，∴AD=3a，∴PD===2a，∵OP=3﹣a，∴OD2=OP2+PD2，∴32=（3﹣a）2+（2a）2，9=9﹣6a+a2+8a2，a 1=，a2=0（舍），当a=时，AD=3a=2，∴AD=2；（3）PF=FD，理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE，∴△APF∽△ABE，∴，∴PF=，∵OE∥AD，∴∠BOE=∠PAD，∵∠OBE=∠APD=90°，∴△ADP∽△OEB，∴，∴PD=，∵AB=2OB，∴PD=2PF，∴PF=FD．【点评】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，难度适中，连接BD构造直角三角形是解题的关键．24．（12分）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．【分析】（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可．【解答】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；（2）抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+，∴D（1，），当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；（3）设直线BC解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴y=﹣x+2，设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b，联立得：，消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，解得：b=，即y=﹣x+，此时交点M 1坐标为（，）；可得出两平行线间的距离为，同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+，联立解得：M 2（，﹣），M3（，﹣﹣），此时S=1．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。
中考数学湖北省恩施州试卷及答案2018年中考数学试卷及答案1. 2的相反数是A. B. C. D.2. 天文单位是天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球与太阳之间的平均距离，即__0m，约为__-__0km. 将数__-__0用科学记数法表示为A. B. C. D. 3. 在下列图形中是轴对称图形的是 A B C D 4. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 5. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%. 小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85.则小桐这学期的体育成绩是 A.88.5 B.86.5 C.90 D.90.5 6. 如图1，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为A.60° B.65° C.70° D.75° 7. 函数中，自变量的取值范围是 A. B. C. D. 8. 桌上摆放着一个由相同正方体组成的组合体，其俯视图如图2所示，图中数字为该位置小正方体的个数，则这个组合体的左视图为9. 某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利__元，4月份盈利__元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是A.8% B.9% C.10% D.11% 10. 已知关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围为 A. B. C. D. 11. 如图3，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF. 把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，得到折痕BM. 若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为A. B. C.8 D. 12. 抛物线的对称轴是直线，且过点（1，0）. 顶点位于第二象限，其部分图像如图4所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则. 其中正确的个数有A.5个B.4个C.3个D.2个二、填空题（本大题共有小题，每小题分，共分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）13. 0.01的平方根是▲ . 14. 因式分解：▲ . 15. 如图5，在△ABC中，AB=4，若将△ABC绕点B顺时针旋转60°，点A的对应点为点A’，点C的对应点为点C’，点D为A’B的中点，连接AD. 则点A的运动路径与线段AD、A’D围成的阴影部分面积是▲ . 16. 观察下列一组数的排列规律：。
湖北省恩施州2018年中考数学真题试题一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 3分，共36分.在每小题给岀的四个选项中，只有 项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1.（ 3分）-8的倒数是（ ）-：-• .—. 8C DA .- 8 B2 . （ 3分）下列计算正确的是（ ）45923246=4abb . (2a ) A. a+a=a B 2222b . a+3) = - 2a+6a D4.（ 3分）已知某新型感冒病毒的直径约为 0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示 为（）-6 -767x 1 0 D. 8.23 X 10 8.23 X C.X A . 8.2310 8.2310B . 5 . （3 分）已知一组数据1、2、3、X 、5, 它们的平均数是3,则这一组数据的方差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46 （ 3分）如图所示，直线a // b ，Z 仁35°,/ 2=90 °，则/ 3的度数为（A. 125 ° B . 135° C . 145 ° D . 155° 7. ( 3分)64的立方根为( )A . 8B. - 8 C . 4下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（B . CDA.(2a - b ) =4a -( C .- 2a 3 . ( 3 分)在D . - 4 1刊＜。
2的不等式分）关于 x . 8 （3 ,那么的解集为 x > 3a 的取值范围为（）A . a > 3 B . a v 3 C . a > 3 D . a < 39. （ 3分）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，1A. 5B. 6C. 7D. 8 10. （ 3分）一商店在某一时间以每件 120元的价格卖岀两件衣服，其中一件盈利20%另一件亏 损20%在这次买卖中，这家商店（ ）A. 不盈不亏 B .盈利20元C .亏损10元D .亏损30元11.（ 3分）如图所示，在正方形 ABC 冲，G 为CD 边中点，连接 AG 并延长交BC 边的延长线于 E 点，对角线BD 交AG 于F 点•已知FG=2,则线段 AE 的长度为（）A. 6B. 8C. 10 D . 12212. （ 3分）抛物线y=ax+bx+c 的对称轴为直线 x= - 1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc > 0 ；2; 4ac > 0b ②-；-3b+c=09a ③；y > y ）均在抛物线上，贝0（ - y ④若点（-0.5 ,）, 2,. 2b+c-v 05a ⑤）其中正确的个数有（则小正方体的个数不可能是（IIU.4 DB . 3 A . 2 C .不要求写出解答过程，请把答案直分，共12.分二、填空题（本大题共有 4小题，每小题3接填x-3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，（.满六进一，即“结绳记数” •如图，.共72分个小题，（本大题共有三、解答题 8 ）说明、证明过程或演算步骤 .3分）如图，点 B 、F 、C 、E 在一条直线上， FB=CE AB// ED ，AC// FD, AD 交 BE 于O.写在答题卷相应位置上）2331 3.（分）因式分解：8a - 2ab=分）函数y=的自变量x 的取值范围是（14. ___________ IABC 沿直线AB=1, / A=60°, / ABC=90， 如图所示将 Rt △分）在15. （ 3Rt △ ABC 中，所围成的封闭图形的面积 I ，则点DEFB 所经过的路径与直线无滑动地滚动至Rt △（结果不取近似值）•为 _________316用 个.+ ,其中17 . （ 8分）先化简，再求值: (1+18 . (8 请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字 x=2 - 1 .)19. （ 8分）为了解某校九年级男生 1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测 试成绩分为D 、C B 、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1） --------------------------------------- a= ，b= ，c= ； ------- （2） 扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为度； _________（3） 学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率.20. （ 8分）如图所示，为测量旗台 A 与图书馆C 之间的直线距离，小明在 A 处测得C 在北偏东 30°方向上，然后向正东方向前进 100米至B 处，测得此时C 在北偏西15°方向上, -1.73 ） 1.411求旗台与图书馆之间的距离.（结果精确到米，参考数据~4'y=的图象轴于点 B ，与反比例函数轴于点 2x+4交xA ，交y21 . （8分）如图，直线 y=-有唯一的公共点C .求证：AD 与BE 互相平分.1(1 )求k的值及C点坐标；・y=交于D y轴交于点B'，与双曲线E轴对称，且与(2)直线丨与直线y= - 2x+4关于x两点,22. (10分)某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元.(1 )求A型空调和B型空调每台各需多少元；(2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？23. (10分)如图，AB为O O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD连接AD,作BE丄AB, OE// AD交BE于E点，连接AE、DE AE交CD于F点.丄(1)求证：DE为O O切线；ADP=求ADZ 3，sin ；的半径为)若O( 20 ( 3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明.,),0点，轴于CA点坐标为(-1轴于24. (12分)如图，已知抛物线交xA、B两点，交y为抛物线的顶点.，点DOC=2 OB=31 ()求抛物线的解析式；点坐标；P、P为顶点的四边形是平行四边形，求B) P为坐标平面内一点，以、 C D2 (，SBC △ M的面积均为定值BCBCIM 3 () 若抛物线上有且仅有三个点MM使得△ M A MU这三个点的坐标.、M及、MMS求岀定值阮参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 12个小题，每小题 3分，共36分.在每小题给岀的四个选项中，只有 项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上)1. （ 3分）-8的倒数是（ ..-D . - 8 B . 8CA- X(-) =1,即可解答.【分析】 根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1,- 8 - X(-)=1，【解答】 解：根据倒数的定义得：- 8^的倒数是-.8因此-故选：C .【点评】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义: 是1,我们就称这两个数互为倒数. 2. ( 3分)下列计算正确的是()45923246=4ab ). (2ab+aA . a=a B 2222() = - 2a+6a D . 2a - b ) =4a - ba+3C .- 2a (单项式乘多项式法则以及完全平方公式进根据合并同类项、幕的乘方与积的乘方、 【分析】行计算.54不是同类项，不能合并，故本选项错误；解：【解答】A a 与a62234B 、(2a ,故本选项正确；=4abb ) 2，故本选项错误；6a2a=2aC 、- (a+3) -- 2224ab+b=4ab2a 、D(-)-，故本选项错误； B 故选：.单 项式乘多项式法则以幕的乘方与积的乘方、本题主要考查了合并同类项的法则、【点评】及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键..3分)在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(3 ()根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】 解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误;B 、 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D 是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确. 故选：D.若两个数的乘积D . B . AC .【分析】【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.4. ( 3分)已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为()X. C8.23 X 10. A8.23 X 10 . B8.23 X 10"-【分析】绝对值小于1 的正数也可-6 -767 1 0D . 8.23以利用科学记数法表示，一般形式为a x 10,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.-7 X 0.000000823=8.2310 .【解答】解：故选：B. n|a|1 << 10，【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a X 10，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.)，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为( 、已知一组数据.5 ( 3分)1、23、X54C. 3D. . A. 1B2【分析】先由平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算.【解答】解：•••数据1、2、3、X、5的平均数是3，'=3，8解得：x=4，1_则数据为1、2、3、4、5，L'22222， (5 - 3) ]=2+32 ( - 3) + (3-)+ (4- 3) 3[二方差为X( 1-) + 故选：B. 【点评】本A. 125 °B. 135°C. 145 °D. 155°【分析】如图求岀/ 5即可解决问题.【解答】解：A&•/ a II b ,:丄 1= / 4=35 ° , •••/ 2=90 ° , :丄 4+ / 5=90 ° , :丄 5=55 ° ,:丄 3=180 ° -Z 5=125 ° , 故选：A.【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.7. （ 3分）64的立方根为（）9A. 8 B . - 8 C . 4 D . - 4【分析】利用立方根定义计算即可得到结果. 【解答】解：64的立方根是4. 故选：C.【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键.I < Q的不等式的解集为 x > 3,那么a 的取值范围为（38 .（分）关于x ）3 D . a <>> A. a3 B . a v 3 C . a ,则利用同大取大可得 3x >x 【分析】 先解第一个不等式得到> 3 ,由于不等式组的解集为 a 的范围.到3x 【解答】解：解不等式2（- 1） > 4,得：x >,解 不等式a - x v, x >a0,得：> 3, x •不等式组的解集为 ，3： a < .故选：D 一般先求岀其中各不等本题考查了解一元一次不等式组：【点评】 解一元一次不等式组时，解集的式的解集，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.再求岀这些解集的公共部分， 规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.C. 7D. 8【分析】直接利用左视图以及俯视图进而分析得岀答案. 【解答】 解：由左视图可得，第 2层上至少一个小立方体， 第1层一共有5个小立方体，故小正方体的个数最少为：6个，故小正方体的个数不可能是10I□ □ □□□左蚯惟發图小正方体的个数不可能是（ ） 由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形,.9（ 3分）则它的左视图和俯视图如图所示,==2, 5个. 故选：A.【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确想象岀最少时几何体的形状是解题关键.10. （ 3分）一商店在某一时间以每件 120元的价格卖岀两件衣服， 其中一件盈利20%另一件亏损20%在这次买卖中，这家商店（）A.不盈不亏 B .盈利20元C .亏损10元D .亏损30元【分析】 设两件衣服的进价分别为 x 、y 元，根据利润=销售收入-进价，即可分别得岀关于 x 、 y 的一元一次方程，解之即可得岀x 、y 的值，再用240 -两件衣服的进价后即可找岀结论.【解答】 解：设两件衣服的进价分别为 x 、y 元， 根据题意得：120 - x=20%x, y - 120=20%y , 解得：x=100，y=150，••• 120+120 - 100 - 150=- 10 （元）. 故选：C.【点评】本题考查了一元一次方程的应用， 找准等量关系，正确列岀一元一次方程是解题的关键.11. （ 3分）如图所示，在正方形 ABC 冲，G 为CD 边中点，连接 AG 并延长交BC 边的延长线于 点，对角线BD 交AG 于F 点•已知FG=2,则线段 AE 的长度为（ ）A. 6B. 8C. 10 D . 12婕AB【分析】根据正方形的性质可得岀 AB// CD,进而可得岀△ ABF^^ GDF 根据相似三角形的 ■' ==2，结合FG=2可求岀AF 、AG 的长度，由 CG// AB AB=2CG 可得岀性质可得岀 EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求岀AE 的长度，此题得解.【解答】 解：•••四边形 ABCD 为正方形，11• AB=CD AB// CD•••/ ABF=Z GDF / BAF=Z DGF ，•••△ ABF ^A GDF ，GF GD• AF=2GF=4, ==2,不要求写出解答过程，请把答案直.分分，共小题，每小题二、填空题（本大题共有4312接填••• AG=6.•••CG// AB, AB=2CG •EAB 的中位线,• AE=2AG=1221，部分图象如图所示，下列判断中： +bx+c 的对称轴为直线 x= - y=ax12 . （3分）抛物线0 ；①abc >2 > 0；-② b4ac 3b+c=0 ；-③ 9a >y ；）均在抛物线上,5.4 DB. 3 C . . A2根据二次函数的性质一一判断即可.【分析】，0） 1,经过（1, x=【解答】解：••抛物线对称轴—2白 a+b+c=0 , , ••- = - 1 3a , b=2a , c= — • 0 , • a > 0 ,, c <• b >0 0 ,故①错误，• abc < 轴有交点，••抛物线与 X 2> 0,故②正确，• b — 4ac ）,3丁抛物线与 x 轴交于（—,0 3b+c=0 , 故③正确，• 9a —）均在抛物线上，（-2, y ）••点（-0.5 , y , 21, 1.5 >— 2— < y ;故④错 误，贝U y 21,故⑤正确，-3a=2a < 0 —• 5a — 2b+c=5a4a —.故选：B 解题的关键是灵 【点评】 本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征， 活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、 角形的性质求岀 AF 的长度是解题的关正方形的性质以及三角形的中位线， 利用相似三则 2)④若点(-0.5 , y ,(-,)12故选:写在答题卷相应位置上)1332) .) 2a (2a+b (2a - b13 . ( 3 分)因式分解： 8a - 2ab= ____________________________首先提取公因式 2a ,再利用平方差公式分解因式得岀答案.【分析】2223b ) (4a -解：【解答】8a - 2ab=2a . - b ) 2a=2a ( 2a+b ) ( . - b )故答案为：2a (2a+b ) (2a 正确应用公式是解题【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式， 关键. '工的自变量 y=x 的取值范围是 x3 .》-且14. (3分)函数x _________________ ________ _ 【分 析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式求解即可.【解答】 解：根据题意得 2x+1 > 0, x - 3工0,》-且x 工3.解得x 2 》-且x 工3•故答案为：x【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定，根据分母不等于 0,被开方数大于等于0列式计算即可，是基础题，比较简单.15. （ 3 分）在 Rt △ ABC 中，AB=1,Z A=60°,Z ABC=90，如图所示将 Rt △ ABC 沿直线 I19n .(结果不取近似值)BC=利用旋转的性质可得到点 CB=30°, 的直角顶点为圆心，以直角三角形为半径， 的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为 过的路径与直线l 所围成的封闭图形的面积._ 【解答】解：J Rt △ ABC 中，/ A=60°,Z ABC=90 , . :■:BC= •••/ ACB=30 ,将Rt △ ABC 沿直线l 无滑动地滚动至 Rt △ DEF,点B 路径分部分：第一部分为以直角三角形 14k*60°第二部分为以直角三角形为半径，圆心角为150°的弧长；30°的直角顶点为圆心，120°的弧长；的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为积面形的的封闭图成过经的路径与直线l150■兀■ WF* lgQ ■兀■ 3? 19兀19所围B.••点所…--1 -1-= . +=故答案为n.然后利用几何性质计算相利用特殊几何图形描述点运动的轨迹， 【点评】本题考查了轨迹：应的几何量.分)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量， (316 •用来记录一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，即“结绳记数” •如图，1946个•采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为----------无滑AB 路径分部分：第一部分为 【分析】先得到/ '：； 圆心角为150 °的弧长；第二部分为以直角三角形120 °的弧长，然后根据扇形的面积公式计算点 I ；30 ° 60 ° 动地滚动至 Rt △ DEF ,则点02、【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为 ，然后把它们相加即可. 6 X 6X 6 X 6 X 、、3X 6X 62 X 6X 6 X 61 X 6、6=1946，6X 6X 6X 6XX 6+1 X 6X 6+26+3【解答】解：2+0 XX 6X 1946 .故答案为：按满六进一计数，运用了类比的方法，根 据图本题是以古代“结绳计数”为背景，【点评】 另一方面也考查一方面让学生了解了古代的数学知识，中的数学列式计算；本题题型新颖， 了学生的思维能力.请在答题卷指定区域内作答，解答应写岀文字分.共（本大题共有 8个小题，72三、解答题.）18. （ 8 分）如图，点 B 、F 、C 、E 在一条直线上， FB=CE AB// ED, AC// FD, AD 交 BE 于 O.【分析】 连接BD, AE,判定△ ABC^^ DEF （ASA ），可得AB=DE 依据AB// DE ，即可得岀四边形 ABDE 是平行四边形，进而得到AD 与BE 互相平分.【解答】 证明：如图，连接 BD, AE , •/ FB=CE ••• BC=EF ,又••• AB // ED, AC// FD,•••/ ABC=Z DEF / ACB=/ DFE,[x+21 5x 2-1 X 2+2K +1 虫T.（分）先化简，再 再利用分式的混合运算法则计算得岀答案.1X +23 x-1）-?（【解答】1+解： 1x +2r+l（x+1 ）2Cl+1）（K-1） s+21y-1 ?=? ■-门5-1+1需=.1代入得，原式 化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键.==把x=2 -【点评】 此题主要考查了分式的求证：AD 与BE 互相平分.说明、证明过程或演算步骤.口 1 -.,其中 8. 17求值：？（ 1 + ）- x=2直接分解因式,【分析】15fZABC=ZPEFBC=EF在厶ABC和厶DEF中，［ZACB=Zl)FE•••△ABC^A DEF (ASA ,••• AB=DE又:AB// DE,•四边形ABDE是平行四边形，• AD与BE互相平分.解决问题的关键是依据全等三角形的对本题主要考查了平行四边形的判定与性质，【点评】应边相等得出结论.米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并分)为了解某校九年级男生1000819 .(四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下、A、C、B把测试成绩分为D列问题：20 ; 45，c= (1) a= 2 ，b= ----------------------- -------------- -----------度；等次的扇形所对的圆心角的度数为72 ( 2)扇形统计图中表示 C ___________ 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 A ( 3)学校决定从米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率. 1000的值，aD等次百分比可得)根据A等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以【分析】(1c的值；C等次人数除以总人数可得b、B再用、C等次百分比可得；2)用360 °乘以()画岀树状图，由概率公式即可得岀答案. (3_3_118|人，+ 30%=40)本次调查的总人数为【解答】解：(112°°40 ，c= X 100=20 a=405%=2, b=X 100=45，20 ;、故答案为：245、360 ° X 20%=72°，C2 ()扇形统计图中表示等次的扇形所对的圆心角的度数为17故答案为：72;丄共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，1 ：''=.（选中的两名同学恰好是甲、乙）=故P【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握.20. （8分）如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，.：:;， -1.73 - 1.41 ）求旗台与图书馆之间的距离. （结果精确到1米，参考数据（3 ）画树状图，如图所示:【分析】先根据题目给岀的方向角•求岀三角形各个内角的度数，过点角形•利用三角函数求岀A E、BE,再求和即可.【解答】解：由题意知：/ WAC=30，/ NBC=15，•••/ BAC=60°，Z ABC=75，:丄 C=45°B作BE丄AC构造直角三过点B作BE丄AC,垂足为E.在Rt △ AEB 中，•••/ BAC=60, AB=100米--AE=cos / BAC^ AB181_2 100=50 （米）/ C=45°,（米）V3=x AB BAC x BE=sin / 二BE=50 .:（米）•：=86.5CE=BE=50AC=AE+CE：=50+86.5100=50= X（米）CEB 中，在Rt △「'（米）=136.5米~ 137答：旗台与图书馆之间的距离约为137的垂线构造直角 ACB 作【点评】 本题考查了方向角和解直角三角形•题目隹度不大，过点 三角X 形是解决本题的关键.X的图象B ,与反比例函数 y=A 交x 轴于点，交y 轴于点2X+4821 .(分)如图，直线 y=-.有唯§一的公共点C C 点坐标；k (1)求的值及父E 、y=交于DB'yx2x+4y=l2 ()直线与直线-关于轴 对称，且与轴交于点，与双曲线的面积•两点，求△ CDE 9而得岀点C 的坐标；有唯一的公共点 C ，即可得到k 轴对称，即可得到直关于 xy=，依据直线l 与直线-2x+4 (2)依据D( 3，2)，可得CD=£ 工2=，进而得岀厶CDE 的面积X 4=2x -,即可 得到E (- 1，- 6为线ly=2x - 4)，再根据.6+2 X()=須22x - 4x+k=0【解答】 解：(1)令k-,2x+4=，则■:的图象有唯一的公共点C.•直线y= - 2x+4与反比例函数，y= - 8k=0，二△=16 k=2，解得 2，.•. 2x - 4x+2=0，解得 x=1 二 y=2，，2) ; 1 即 C (,，即卩 2 ()当 y=2 时，x=32=,)二 D (3，2，二 CD=3- 1=2 2x+4 关于轴对称，xy= •••直线l的图象与反比例函数y= - 2x4x+k=0，依据直线y=-【分析】(1)令-2x+42x+4=，则 的值，进V —2x-M与直线-0,- 4,) (，02A.(，) B' y=2xl .直线为-，4201 円X 2 —3=0,—4，贝U x —2x 令=2x —1, x=3 , x=解得习),E (- 1,—6 A2 =8 . 2X( 6+2)坐标与主要考查了解一元二次方程，【点评】此题属于反比例函数与一次函数的交点问题，把两个函数关求反比例函数与一次函数的交点坐标，图形性质以及三角形面积公式的运用，系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.型台A、B两种型号的空调，已知采购322 . （10分）某学校为改善办学条件，计划采购A元.B台型空调的费用多6000元；4台A型空调比539000空调和2台B型空调，需费用型空调每台各需多少元；A型空调和B（ 1）求型空调的一BA型空调的台数不少于、B两种型号空调共30台，且A （2）若学校计划采购元，该校共有哪几种采购方案？半，两种型号空调的采购总费用不超过217000 2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？）在（（3 1）根据题意可以列岀相应的方程组，从而可以解答本题；【分析】（2 ）根据题意可以列岀相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；（）中的结果，可以解答本题.2（ 3）根据题意和（元，元、yA）设型空调和B型空调每台各需x解：【解答】（1［仏咗尸6000 1尸6000 ，解得，，元；9000元、6000型空调和答：AB型空调每台各需）台，-型空调（台，则购买型空调）设购买（2AaB30a21a>^-（30-a> 山（30-a）<21 TC'OC ，3 12 <a w,解得，10 12,共有三种采购方案，a=10、t9000a+600011、二20台，台，B型空调方案一：采购A型空调10 19台，台，B型空调方案二：采购A型空调11 18台；台，B型空调方案三：采购A型空调12元，3）设总费用为w（ , a）=3000a+180000w=9000a+6000 （30 — , w取得最小值，此时w=210000 •••当a=10 时，元.台可使总费用最低，最低费用是21000020型空调10台，B型空调即采购 A 一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解本题考查一次函数的应用、【点评】答本题的关键是明确题意，找岀所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答.点作与PA点的一个点，过0A上异于0点和分）如图，.（10AB为O O直径，P点为半径23CDAE 交、DE、E// AD交BE于点，连接AEABAB直径垂直的弦CD,连接AD,作BE丄，OE F点•于切线；DE）求证：为O O （1：；ADP=求3, sin / ADO（ 2）若。
湖北省恩施州2018年中考数学试题卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2018湖北恩施州，1，3分） －8的倒数是（ ）A ．－8B ． 8C ．18-D ．18 【答案】C ，【解析】两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数，在这里－8的倒数是18- 2．（2018湖北恩施州，2，3分） 下列计算正确的是（ ） A ．459a a a += B ．()2234624a b a b = C ．()22326a a a a -+=-+ D ．()22224a b a b -=-【答案】B ，【解析】A 选项不是同类项，不能合并；C 选项符号没有全都改变；D 选项忘记了两项之积的两倍．3．（2018湖北恩施州，3，3分）在下列图形中，既是轴对称图图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D【答案】D ，【解析】根据轴对称和中心对称图形的定义可知A 不是轴对称图形；B 不是中心对称图形；C 不是轴对称图形．4．（2018湖北恩施州，4，3分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）A ． 68.2310-⨯B ． 78.2310-⨯C ． 68.2310⨯D ． 78.2310⨯ 【答案】B ，【解析】科学计数法是将一个数字表示成10n a ⨯（1≤|a|<10，n 为整数）的形式，在这里0.000000823用科学记数法表示为78.2310-⨯5．（2018湖北恩施州，5，3分）已知一组数据据1、2、3、x 、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B ，【解析】方差＝（每个数据－平均数）的平方和；根据平均数为3，可求得x 的值为4，则方差为()()()()()222221323334353-+-+-+-+-＝2． 6．（2018湖北恩施州，6，3分）如图1所示，直线a ∥b ，∠1＝35°，∠2＝90°，则∠3的度数为（ ）A ．125°B ．135°C ．145°D ．155°【答案】A ，【解析】∠1＋∠3的补角＝90°，所以∠3＝()00001809035125--=7．（2018湖北恩施州，7，3分）64的立方根为（ ）A ．8B ．－8C ．4D ．－4 【答案】C ，【解析】43＝64，所以64的立方根为48．（2018湖北恩施州，8，3分）关于x 的不等式组()2140x a x ->⎧⎪⎨-<⎪⎩的解集为x ＞3，那么a 的取值范围为（ ）A ． 3a >B ． 3a <C ．3a ≥D ．3a ≤ 【答案】D ，【解析】由第一个式子可得x ＞3，由第一个式子可得x ＞a ，要使不等式组的解集为x ＞3，则a 应该小于等于3．9．（2018湖北恩施州，9，3分）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图2 所示，则小正方体的个数不可能．．．是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．89．【答案】A 【解析】本题考查的是由立方体组合成的不同的组合体的视图，解题的关键是就在于知晓俯视图的第一行对应左视图的第一列，俯视图的第二行对应左视图的第二列，所以，在俯视图中，第一行至少有一个标注数字2，最多有三个标注数字2，第二行标注1，所以小正方体的个数为1＋1＋1＋1＋2＝6或＋1＋1＋2＋2＝7，1＋1＋2＋2＋2＝8，不可能是5，故选A ．10．（2018湖北恩施州，10，3分）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20％，另一件亏损20％，在这次买卖中，这家商店（ ）A ．不盈不亏B ． 盈利20元C ．亏损10元D ． 亏损30 元10．【答案】C 【解析】第一件成本： 120÷（1＋20%）＝120÷120%＝100（元）赚了：120－100＝20（元）；第二件成本： 120÷（1－20%）＝120÷80%＝150（元）；亏了：150－120＝30（元）；20＜30；一共亏了： 30－20＝10（元）故选C ．11．（2018湖北恩施州，11，3分） 如图3所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点，已知 FG ＝２，则线段 AE 的长度为（ ）A ．6B ． 8C ．10D ．1211．【答案】D 【解析】∵正方形 ABCD ，G 为 CD 边中点，∴AB ：DG ＝2:1，∵AB ∥CD ，∴AB ：DG ＝AF ：FG ，∵FG ＝2，∴AF ＝4，又∵△ADG ≌△ECG ，∴AD ＝CE ，AD ：BE ＝1:2，∵AD ∥BE ，∴AF ：FE ＝AD ：BE ，∴EF ＝8，∴AE ＝12，故选D12．（2018湖北恩施州，12，3分） 抛物线 ｙ ＝ ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝－1，部分图象如图4所示，下列判断中：①abc ＞0；②b 2－4ac ＞０； ③9a －3b ＋b ＝0；④若点(－0.5，y 1 )，(－2，y 2)均在抛物线上，则y 1＞y 2；⑤5a －2b ＋c ＜0，其中正确的个数有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512． 【答案】B 【解析】根据二次函数的图象与系数的关系可得：a > 0，b >0，c <0 ，∴abc <0，①错误；∵二次函数与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac >0，②正确；∵抛物线的对称轴为x ＝－1，与x 轴的一个交点的坐标为(1，0)，根据抛物线的对称性，另一个交点的坐标为(－3，0)，把（－3，0）代入二次函数表达式，可得9a －3b ＋c ＝0，③正确；点( －0．5，ｙ １ )关于对称轴对称的点的坐标为（0，y 1），抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝－1，在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，由－0.5<0，则y 1＜y 2，故④错误．－2b a＝－1，b ＝2a ， 二、填空题（本大题共有4小题，每小题 3 分，共12 分． 不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）13．（2018湖北恩施州，13，3分） 因式分【解答过程】8a 3 －2ab 2 ＝ ______________．13． 【答案】2(2a ＋b )(2a －b ) 【解析】先提公因式，再用平方差公式可得，8a 3 －2ab 2 ＝2a (4a 2－b 2)＝ 2(2a＋b )(2a －b )14．（2018湖北恩施州，14，3分） 函数21x y +=x 的取值范围是 _________．14．【答案】12x ≥-，且x ≠3 【解析】要使函数有意义，则自变量x 必须满足被开方数大于等于0，分母不为零：2x ＋1≥0且x －3≠0，∴12x ≥-，且x ≠3． ∴ 自变量x 的取值范围是x ≥12，且x ≠3． 15．（2018湖北恩施州，15，3分）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠A ＝60°，∠ABC ＝90°，如图5所示将Rt △ABC 沿直线l 无滑动地滚动至Rt △DEF ，则点B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积为_________．（结果不取近似值∙∙∙∙∙ ）15．【答案】231219+π 【解析】 在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠A ＝60°∴BC ＝3，∠ACB ′＝150°， ∠B ′A ′E ＝1200，第一次滚动的路径为3 ，根据扇形面积公式2360n R S π=︒5=4π，第二次滚动之半径为1，故扇形面积120=3603ππ⨯=；△ABC 的面积为1313=22⨯⨯，所以总面积为5+4π3π3+2＝19+12π32． A' E F D B''B'C B A16．（2018湖北恩施州，16，3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图６，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个．【答案】1838．【解析】本题为探索规律型，由题意可知，因为满六进一，从右到左依次排列的绳子分别代表绳结束乘以6的0次幂，6的1幂，6的2次幂，6的3次幂，6的4次幂．她一共采集到的野果数量为1838个．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17． （2018湖北恩施州，17，8分）先化简，再求值：1213112122-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅++x x x x x ，其中152-=x ．【思路分析】化简分式时先把分母进行因式分解，然后计算括号里的分式加法，把除法变为乘法，最后从左往右依次进行，做分式的乘法需要因式分解后进行约分化简．最后将数代入化简后的代数式求其值．【解答过程】1213112122-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅++x x x x x ， ＝2)1)(1(12)1(12+-+⋅-+⋅+x x x x x x ＝11+x ． 当152-=x 时原式＝11521+-＝105． 18．（2018湖北恩施州，18，8分）如图7，点 B ，F ，C ，E 在一条直线上，FB ＝CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，AD 交 BE 于O ．求证：AD 与BE 互相平分．【思路分析】先根据已知条件证明△ACB ≌ △DFE 得出AB ＝DE ．然后证明四边形ABDE 是平行四边形，即可证明AD 与BE 互相平分．证明：连接 BD ，AE ．∵AB ∥ED ，∴∠ABC ＝∠DEF ．∵AC ∥FD ，∴∠ACB ＝∠DFE ．∵ FB ＝CE ，∴BC ＝EF ．在△ACB 和 △DFE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠.,,DFE ACB EF BC DEF ABC ∴△ACB ≌ △DFE (ASA )．∴ AB ＝DE ．∵AB ∥ED ，∴四边形ABDE 是平行四边形．∴AD 与BE 互相平分．19．（2018湖北恩施州，19，8分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D ，C ，B ，A 四个等次绘制成如图8所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；（2）扇形统计图中表示C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 度；（3）学校决定从A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．【思路分析】（1）仔细观察条形图和扇形图，从中读取有用信息：用A 等次的人数除以所占的百分数可以求出参加测试男生的总人数，然后用相关等次的人数除以总人数，即可求出相对应的字母的取值．（2）用360°乘以C 等次对应的百分数即可求解．（3）根据题意画出树状图，然后利用概率公式即可求解．【答案】（1）12，45，20；【解析】12÷30%＝40，40×30%＝12，∴a ＝12；18100%40⨯＝45%，∴b ＝45；8100%40⨯＝20%，∴c ＝20． （2）72；【解析】360°×20%＝72°．（3）根据题意，画树状图，得甲 乙 丙 丁乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙由上图可知，共有12种等可能的结果数，其中甲乙两名男生同时被选中占两种，所以甲乙两名男生同时被选中的概率是122＝61．20．（2018湖北恩施州，20，8分）如图9所示，为测量旗台A 与图书馆C 之间的直线距离，小明在A 处测得C 在北偏东30°方向上，然后向正东方向前行100米至B 处，测得此时C 在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据2≈1．41，≈31．73）【思路分析】这是一个有关三角形的实际应用问题，考虑用勾股定理．而勾股定理的应用前提是在直角三角形中，因此必须在三角形内作垂线，构造出直角三角形．过点B 作BD ⊥AC ，这样就得到等腰直角△BCD 和一个角为o30的Rt △ABD ，各边边长迎刃而解．【解答过程】过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ．∵∠ABD ＝30°，AB ＝100m ，∴AD ＝50m ，BD ＝350，又∵△BDC 为等腰直角三角形，∴CD ＝BD ＝350m ，∴AC ＝AD ＋CD ＝35050+m即旗台与图书馆之间的距离为(35050+)m ． A B CD21．（2018湖北恩施州，21，8分）如图10，直线y ＝－2x ＋4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，与反比例函数xk y =的图象有唯一的公共点C ． （1）k 的值及C 点坐标 （2）直线l 与直线y ＝－2x ＋4关于x 轴对称，且与y 轴交于点B ’，与双曲线x y 6=交于D 、E 两点，求△CDE 的面积．【思路分析】（1）联立反比例函数和一次函数解析式，得到一个关于x 的二次函数，因为交点只有一个，所以0=∆，即得k 值．这样两个函数都是已知的，交点C 很容易求得．（2）由题意易知l 解析式为y ＝－2x ＋4，所以l 与xy 6=的交点D ，E 可求，分别为(3，2），（－1，－6），发现CD 恰好平行于x 轴．这样△CDE 可看作以CD 为底，点D 和点E 纵坐标的差为高．【解答过程】（1）由⎪⎩⎪⎨⎧+-==42x y x k y 得0422=-+-k x x∵只有一个公共点C ，0816=-=∆∴k 解k ＝2．．将2=k 代入⎪⎩⎪⎨⎧+-==42x y x k y ，解得⎩⎨⎧==21y x ，C 点坐标为（1，2）． （2）设l :＝＝kx ＋b （k ≠0），将)4,0('-B ，A (2，0)代入得⎩⎨⎧=-=24k b ∴l :y ＝2x －4 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 642得⎩⎨⎧==23y x 或⎩⎨⎧-=-=61y x ∴D (3，2)，E (－1，－6)．∴S △CDE ＝12×2×8＝8． 22．（2018湖北恩施州，22，8分）某学校为改善办学条件，计划采购A 、B 两种型号的空调，已知采购3台A 型空调和2台B 型空调，需费用39000元；4台A 型空调比5台B 型空调的费用多6000元．（1）求A 型空调和B 型空调每台各需多少元；（2）若学校计划采购A 、B 两种型号空调共30台，且A 型空调的台数不少于B 型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？【思路分析】（1）根据题意寻找等量关系，然后布列二元一次方程组即可求解．（2）根据题意要求列不等式，计算出A 型空调可以采购的台数．总的空调的数目是一定的，因此B 型空调采购的台数也可求．（3）要使费用最低，应尽量少采购单价较高的空调类型，尽量多的采购单价低的空调类型．【解答过程】（1）设A 型空调每台x 元，B 型空调每台y 元．由题意得，⎩⎨⎧=-=+6000543900023y x y x 解得⎩⎨⎧==60009000y x ∴A 型空调每台9000元，B 型空调每台6000元．（3）设A 型空调购买x 台，则B 型空调购买)30(x -台 由题意，⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≥217000)30(60009000230x x x x 解得33710≤≤x ∵x 只能取整数，∴x 可取10，11，12因此，共有3种采购方案：①购买10台A 型空调，20台B 型空调．②购买11台A 型空调，19台B 型空调．③购买12台A 型空调，18台B 型空调．（3）要使费用最低，应尽可能少的购买A 型空调，尽可能多的购买B 型空调．因此方案①的费用最低．23．（2018湖北恩施州，23，10分）如图，AB 为⊙O 直径，P 点为半径OA 上异于O 点和A 点的一个点，过P 点作与直径AB 垂直的弦CD ，连接AD ，作BE AB ⊥，//OE AD 交BE 于E 点，连接AE 、DE 、E 交CD 于F 点．（1）求证：DE 为⊙O 切线；（2）若⊙O 的半径为3，1sin 3ADP ∠=，求AD ； （3）请猜想PF 与FD 的数量关系，并加以证明．23．【思路分析】（1）要证DE 为O e 切线，只需证明∠ODE ＝90°． 由OE ∥AD 得，∠BOE ＝∠DOE ，证明△BOE ≌△DOE ．（2）由相似得△APD ∽△ADB 易得．（3）△APF ∽△ABE 得AP BE PF AB ⋅=；△APD ∽△OBE 得AP BE PD OB ⋅=． 从而PF ＝21PD ＝FD ．【解答过程】（1）证明：连接OD ∵ OA ＝OD∴∠OAD ＝∠ODA∵OE ∥AD∴∠OAD ＝∠BOE ，∠OAD ＝∠ODA ， ∴ ∠BOE ＝∠DOE ，在△BOE 和△DOE 中OB OD BOE DOE OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BOE ≌△DOE∴ ∠OBE ＝∠ODE ，∵ BE ⊥AB∴ ∠OBE ＝90°，∴ ∠ODE ＝90°，∴ DE 是O e 的切线．（2）连接BD∵ AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ∴ »»AC AD =，∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＝∠ADP ，∴ 1sin sin 3AD ABD ADP AB ∠==∠= ∴ 123AD AB == （3）答：猜想PF ＝FD证明：∵ CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，∴CD ∥BE //CD BE∴ △APF ∽△ABE∴ PF AP BE AB =，∴ AP BE PF AB ⋅= 在 △APD 和 △OBE 中，∠APD ＝∠OBE ，∠PAD ＝∠BOE ，∴ △APD ∽△OBE∴ PD AP BE OB =，∴ AP BE PD OB⋅= ∵ AB ＝2OB∴ 12PF PD = ∴PF ＝FD ．24．（2018湖北恩施州，24，12分）如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为(1,0)-，2OC =，3OB =，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点1M 、2M 、3M 使得1M BC ∆、2M BC ∆、3M BC ∆的面积均为定值S ，求出定值S 及1M 、2M 、3M 这三个点的坐标．24． 【思路分析】（1）用待定系数法，找出抛物线上的三点坐标即可求解；（2）分类讨论，以坐标平移规律定出P 点坐标；（3）对任意的面积S ，抛物线位于直线BC 下方的部分一定存在两个点使得与B 、C 所围成的三角形的面积为S ．∴ 抛物线位于直线BC 上方的部分有且仅有一个点使得与B 、C 所围成的三角形的面积为S ．平移直线BC 与抛物线交于一点，联立求点1M 的坐标．利用平移规律求另两个点的坐标．【解答过程】（1）∵ OC ＝2，OB ＝3，∴ C 为(0，2)，B 为(3，0)设抛物线的解析式为22y ax bx =++，将A (－1，0)，B (3，0)代入得209320a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，抛物线的解析式为224233y x x =-++ （2）∵ D 为224233y x x =-++的顶点，∴ D 为(1，38) ∵ C 为(0，2)，B 为(3，0)① 当四边形DCBP 1为平行四边形时，BP 1可由CD 平移得到，由点C 到点D 横坐标加1个单位，纵坐标加23个单位，P 为24,3⎛⎫ ⎪⎝⎭； ② 当四边形DP 2CB 为平行四边形时，CP 2可由BD 平移得到，由点B 到点D 横坐标减2个单位，纵坐标加83个单位，P 为142,3⎛⎫- ⎪⎝⎭； ③ 当四边形CP 3BD 为平行四边形时，BP 3可由DC 平移得到，由点B 到点D 横坐标减1个单位，纵坐标减23个单位，P 为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． 综上所述，当P 为142,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或24,3⎛⎫ ⎪⎝⎭时，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形． （3）∵ 对任意的面积S ，抛物线位于直线BC 下方的部分一定存在两个点使得与B 、C 所围成的三角形的面积为S∴ 抛物线位于直线BC 上方的部分有且仅有一个点使得与B 、C 所围成的三角形的面积为S∴ 作直线BC 的平行线L 使得它与抛物线有且仅一个交点，设1l ：223y x m =-++ ∴ 224222333x x x m -++=-++ 令，0∆= 解得，32m =， ∴直线l 1是由直线BC 向上平移32个单位得到，M 1为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵ C 为()0,2，B 为()3,0，M 1为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭可得，94MBC S ∆=． 则由直线BC 向下平移32个单位得到直线2l ：2132y x =-+，联立得2242123332x x x -++=-+解得，1x =，2x =，代入到直线2l 的解析式中得到212M -⎝，312M -⎝．综上，94S =，1M 35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，212M -⎝，312M -⎝．。
