用因式分解法解一元二次方程教案

2.4 用因式分解法求解一元二次方程教学过程设计第2课时 二次根式的运算【上节知识回顾】1．关于二次根式的概念，要注意以下几点： （1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。

如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数； （4）像“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。

2．二次根式的主要性质（1）； （2）； （3）；（4）积的算术平方根的性质：；（5）商的算术平方根的性质：；（6）若，则。

3．注意与的运用。

【新授】一、二次根式的乘法 一、复习引入1．填空 （14949⨯=______； （21625=_______1625⨯． （31003610036⨯． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．4949⨯16251625⨯1003610036⨯ 一般地，对二次根式的乘法规定为 a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来:ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1（2二、二次根式的除法1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空=________；（2=________；（1（3=________；（4=________．一般地，对二次根式的除法规定：例1．计算：（1（2（3（4（1（2（3（4=，且x为偶数，求（1+x例3．三、分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。

知识讲解：1.因式分解x 2-5x ；； 2x(x-3)-5(x-3); 25y 2-16； x 2+12x+36；4x 2+4x+1分析：复习因式分解知识，，为学习本节新知识作铺垫.2.若ab=0,则可以得到什么结论？分析：由积为0，得到a 或b 为0，为下面用因式分解法解方程作铺垫.3.试求下列方程的根 ：x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2 =0; (2x-3)2=0.分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.4. 试求下列方程的根○14x 2-11x =0; x(x-2)+ (x-2)=0; (x-2)2 -(2x-4)=0 ○225y 2-16=0; (3x+1)2 -(2x-1)2 =0; (2x-1)2 =(2-x)2 ○3x 2+10x+25=0; 9x 2-24x+16=0; ○45x 2-2x-41= x 2-2x+43; 2x 2+12x+18=0; 分析：观察○1○2○3三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.○4中的方程结构较复杂，需要先整理. 5.选用合适方法解方程x 2+x+41=0；x 2+x-2=0；(x-2)2 =2-x ；2x 2-3=0.分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.课堂练习：考点一：用提公因式法解一元二次方程【例题】 1、用因式分解法解一元二次方程0)1(2)1(=---x x x ，正确的步骤是（ ）A ．0)2)(1(=++x xB ．0)2)(1(=-+x xC ．0)2)(1(=--x xD ．0)2)(1(=+-x x2、一元二次方程x 2=3x 的解是：【答案】1、D【解析】根据题意，可将方程化为x(x-1)+2(x-1)=0，提公因式（x-1）,有（x-1）（x+2）=0.试题分析：因式分解的一般步骤是：第一，看能不能用提公因式法；第二，公式法，平方差公式和完全平方公式；第三步，对于二次三项式，看能不能用十字相乘法.考点：因式分解.2、x 1=0，x 2=3．【解析】试题分析：利用因式分解法解方程．试题解析：x 2=3x ，x 2-3x=0，x （x-3）=0，x 1=0，x 2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法．【练习】1、方程x(x-2)=2-x 的根是（ ）A ．x=-1B ．x=2C ．120,2x x == D ．121,2x x =-=2、解方程2(2)3(2)x x +=+【答案】1、D 2、122,1x x =-=考点二：用乘法公式解一元二次方程【例题】1、一元二次方程(2x －1)2＝(3－x)2的解是_______________________．2、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。

用因式分解法解一元二次方程教学设计
教学设计一
嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们要来一起玩玩因式分解法解一元二次方程哟！
咱们先从简单的例子开始，比如说方程x² 5x = 0 。

这时候咱们可以把左边的式子因式分解一下，变成 x(x 5) = 0 。

再来看个难一点点的，比如2x² + 3x 2 = 0 。

咱们可以把它变成 (2x 1)(x + 2) = 0 。

然后呢，同样的道理，2x 1 = 0 或者 x + 2 = 0 ，就能算出 x 的值啦。

练习的时候，大家可别粗心哟！要认真地把式子分解好，找到答案。

怎么样，小伙伴们，是不是觉得因式分解法很有趣呀？
教学设计二
嘿，同学们！今天咱们要走进因式分解法解一元二次方程的奇妙世界啦！
一开始，咱们先回忆一下什么是因式分解，比如说x² 4 ，可以分解成 (x + 2)(x 2) ，对不对？
那好啦，看这个方程x² 3x = 0 ，咱们把 x 提出来，就变成了x(x 3) = 0 。

这意味着啥？就是 x 等于 0 或者 x 3 等于 0 ，那x 不就等于 0 或者 3 嘛。

再瞧瞧这个，3x² 6x + 3 = 0 ，先提取个 3 出来，变成3(x² 2x + 1) = 0 ，然后x² 2x + 1 又可以变成(x 1)² ，所以 3(x 1)² = 0 ，那 x 就只能是 1 啦。

做练习的时候，大家多想想，多试试，别怕出错。

我相信你们都能掌握这个厉害的方法！
加油哟，小伙伴们，让我们在数学的海洋里快乐地畅游！。

4 用因式分解法求解一元二次方程课标要求【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法．【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．【情感态度】通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法．【教学重点】用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．教学过程一、情景导入，初步认识复习：将下列各式分解因式(1)5x 2－4x ；(2)x 2－4x ＋4；(3)4x (x －1)－2＋2x ；(4)x 2－4；(5)(2x －1)2－x 2.【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度．二、思考探究，获取新知一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程．当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法．【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．三、运用新知，深化理解1．解方程5x 2＝4x .解：原方程可变形为x (5x －4)＝0……第一步∴x ＝0或5x －4＝0……第二步∴x 1＝0，x 2＝45. 【教学说明】教师提问、板书，学生回答．分析步骤(一)第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤(二)对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．2．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2＋3x ＝0；(2)7x (3－x )＝4(x －3)；(3)9(x －2)2＝4(x ＋1)2.分析：(1)左边＝x (5x ＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，即7x (3－x )－4(x －3)＝0，找出(3－x )与(x －3)的关系；(3)应用平方差公式．解：(1)因式分解，得x (5x ＋3)＝0，于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35； (2)原方程化为7x (3－x )－4(x －3)＝0，因式分解，得(x －3)(－7x －4)＝0，于是得x －3＝0或－7x －4＝0，x 1＝3，x 2＝－47； (3)原方程化为9(x －2)2－4(x ＋1)2＝0，因式分解，得[3(x －2)＋2(x ＋1)][3(x －2)－2(x ＋1)]＝0，即(5x －4)(x －8)＝0，于是得5x －4＝0或x －8＝0，x 1＝45，x 2＝8.【教学说明】(1)用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．(2)对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．3．选择合适的方法解下列方程．(1)2x 2－5x ＋2＝0；(2)(1－x )(x ＋4)＝(x －1)(1－2x )；(3)3(x －2)2＝x 2－2x .分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x )与(x －1)的关系用因式分解法；(3)3(x －2)2＝x ·(x －2)用因式分解法．解：(1)a ＝2，b ＝－5，c ＝2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，x ＝－（－5）±92×2＝5±34， x 1＝2，x 2＝12； (2)原方程化为(1－x )(x ＋4)＋(1－x )(1－2x )＝0，因式分解，得(1－x )(5－x )＝0，即(x －1)(x －5)＝0，x －1＝0或x －5＝0，x 1＝1，x 2＝5；(3)原方程变形为3(x －2)2－x (x －2)＝0，因式分解，得(x －2)(2x －6)＝0，x －2＝0或2x －6＝0，x 1＝2，x 2＝3.【教学说明】解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑配方法，而公式法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．4．已知(a 2＋b 2)2－(a 2＋b 2)－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把(a 2＋b 2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a 2＋b 2)为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0.a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2. 即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不符合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3.【教学说明】(1)整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．(2)在做题时要注意隐含条件．5．用一根长40 cm 的铁丝围成一个面积为91 cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？解：设长为x cm ，则宽为(402－x ) cm ，x ·(402－x )＝91， 解这个方程，得x 1＝7，x 2＝13.当x ＝7 cm 时，402－x ＝20－7＝13(cm)(舍去)；当x ＝13 cm 时，402－x ＝20－13＝7(cm)． 当围成正方形时，它的边长为404＝10(cm)，面积为102＝100( cm 2)． 【教学说明】应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．四、师生互动，课堂小结1．本节课我们学习了哪些知识？2．因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？【教学说明】对某些方程而言因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再考虑其它方法．课后作业1．布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题．2．完成练习册中本课时练习．教学反思这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法．。