2015年福建省福州市文博中学八年级上学期期末数学试卷与解析答案

福州市重点中学八年级上学期期末考试数学试卷（一）一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，满分20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．9的平方根是（）A．±3 B．3 C．81 D．±812．一组数据1、2、4、4、3的众数为4，则这组数据的中位数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣1，3）D．（3，1）4．下列各式中，不能与合并的是（）A． B． C．D．5．能说明命题“对于任何实数a，a2≥a”是假命题的一个反例可以是（）A．a=﹣2 B．a=1 C．a=0 D．a=0.26．下列四组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．30，40，50 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，137．我国古代数学名著《孙子算经》记载一道题，大意为：100个和尚吃了100个馒头，已知1个大和尚吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问有几个大和尚，几个小和尚？若设有m个大和尚，n个小和尚，那么可列方程组为（）A．B．C．D．8．若实数k、b满足k+b=0，且k＜b，则一次函数y=kx+b的图象可能是（）A． B．C． D．9．如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α的度数为（）A．75°B．45°C．30°D．15°，以CD为斜边作等腰直角三角形，10．正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，…按此规以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2律继续下去，则S的值为（）9A．B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，计18分；请把答案填在题中的横线上11．化简： = ．12．在直角坐标系中，有点P（﹣2，3），则点P到x轴的距离是．13．已知一组数据的0，x，1，1，2的极差为3，则x= ．14．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=40°，∠ACE=60°，则∠A= 度．15．已知二元一次方程组的解是则在同一平面直角坐标系中，直线y=x﹣5与直线y=﹣x+1的交点坐标为．16．请写出一个一次函数的表达式，它的图象过点（0，﹣2），且y的值随x值增大而减小，这表达式为：．三、解答题：本大题共9小题，计62分，解答题应写出文字说明，说理过程或演算步骤． 17．计算：（+1）（﹣1）﹣．18．解方程组：．19．已知，如图所示，在长方形ABCD 中，AB=4，BC=3．（1）建立适当的平面直角坐标系，直接写出顶点A 、B 、C 、D 的坐标； （2）写出顶点C 关于直线AB 对称的点E 的坐标．20．如图，已知BC 与DE 相交于点O ，EF ∥BC ，∠B=70°，∠E=70°，请说明AB ∥DE ．21．甲、乙两名学生参加数学素质测试（有四项），每项测试成绩采用百分制，成绩如表： 学生 数与代数 空间与图形 统计与概率 综合与实践 平均成绩 方差甲8793918589乙8996918013（1）请计算甲的四项成绩的方差和乙的平均成绩；（2）若数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按4：3：2：1计算，哪个学生数学综合素质测试成绩更好？请说明理由．22．某校计划购进A、B两种花卉，两次购进的花卉的数量与每次总费用如表所示：花卉数量（株）总费用（元）A B第1次购买10 25 225第2次购买20 15 275（1）你从表格中获取了什么信息？请用自己的简练言，写出一条．这条信息为：（2）求A、B两种花卉每株的价格分别是多少元？23．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8（1）求对角线AC的长；（2）点E是线段CD上的一点，把△ADE沿着直线AE折叠．点D恰好落在线段AC上，点F重合，求线段DE的长．24．我们已学习平行线的判定与性质，涉及概念同位角、内错角、同旁内角，学习该部分内容按“定义﹣﹣判定﹣﹣性质”三步进行．如图①，在“三线八角”中，类比内错角，具有∠1与∠8这样位置关系的角称为“外错角”，你可类比有关知识，完成涉及“外错角”的探究．（1）探究定义：如图①，请另找出一对“外错角”：；（2）探究判定：请你用已学过的平行线的判定，证明命题：外错角相等，两直线平行．请完善证明过程．已知：如图②，∠1与∠2是直线a、b被直线c截出的外错角，且∠1=∠2求证：a∥b证明：（3）探究性质：请你用已学过的平行线的判定，证明命题：两直线平行，外错角相等．根据图②，写出已知，求证，并证明已知：如图②，求证：证明：25．在平面直角坐标系xOy中，有一点C，过点C分别作CA⊥x轴，CB⊥y轴，点A、B是垂足．定义：若长方形OACB的周长与面积的数值相等，则点C是平面直角坐标系中的平衡点．（1）请判断下列是平面直角坐标系中的平衡点的是；（填序号）①E（1，2）②F（﹣4，4）（2）若在第一象限中有一个平衡点N（4，m）恰好在一次函数y=﹣x+b（b为常数）的图象上；①求m、b的值；②一次函数y=﹣x+b（b为常数）与y轴交于点D，问：在这函数图象上，是否存在点M，使S△OMD =3S△OND，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）过点P（0，﹣2），且平行于x轴的直线上有平衡点Q吗？若有，请求出平衡点Q的坐标；若没有，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，满分20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．9的平方根是（）A．±3 B．3 C．81 D．±81【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【解答】解：∵（±3）2=9，∴9的平方根是±3，故选（A）2．一组数据1、2、4、4、3的众数为4，则这组数据的中位数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数的定义直接解答即可．【解答】解：把这些数从小到大排列为：1、2、3、4、4，最中间的数是3，则这组数据的中位数是3；故选C．3．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，1）C．（﹣1，3）D．（3，1）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点P（3，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（3，1）故选：D．4．下列各式中，不能与合并的是（）A． B． C．D．【考点】同类二次根式；立方根．【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，然后找出被开方数不是2的二次根式即可．【解答】解：A、=，故与能合并，故A与要求不符；B、不能化简，故与不能合并，故B与要求相符；C、=，故能与合并，故C与要求不符；D、=2，故与能合并，故D与要求不符．故选B．5．能说明命题“对于任何实数a，a2≥a”是假命题的一个反例可以是（）A．a=﹣2 B．a=1 C．a=0 D．a=0.2【考点】命题与定理．【分析】根据题意、乘方的意义举例即可．【解答】解：当a=0.2时，a2=0.04，∴a2＜a，故选：D．6．下列四组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．30，40，50 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13【考点】勾股数．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、32+42=52，能构成直角三角形，是正整数，不符合题意；B、302+402=502，能构成直角三角形，是整数，不符合题意；C、0.32+0.42=0.52，但是三边不是整数，符合题意；D、52+122=132，能构成直角三角形，是正整数，不符合题意．故选C．7．我国古代数学名著《孙子算经》记载一道题，大意为：100个和尚吃了100个馒头，已知1个大和尚吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问有几个大和尚，几个小和尚？若设有m个大和尚，n个小和尚，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设有m个大和尚，n个小和尚，题中有2个等量关系：100个和尚吃了100个馒头，大和尚吃的馒头+小和尚吃的馒头=100．【解答】解：设有m个大和尚，n个小和尚，依题意得：．故选：D．8．若实数k、b满足k+b=0，且k＜b，则一次函数y=kx+b的图象可能是（）A． B．C． D．【考点】一次函数的图象．【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．【解答】解：因为实数k、b满足k+b=0，且k＜b，所以k＜0，b＞0，所以它的图象经过一二四象限，故选C9．如图是一副三角尺叠放的示意图，则∠α的度数为（）A．75°B．45°C．30°D．15°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠1=45°，∴∠2=90°﹣45°=45°，∴∠α=45°+30°=75°，故选A．10．正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则S9的值为（）A．B．C． D．【考点】正方形的性质；等腰直角三角形．【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn=（）n﹣1，依此规律即可得出结论．【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察，发现规律：S1=12=1，S2=S1=，S3=S2=，S4=S3=，…，∴Sn=（）n﹣1．当n=9时，S9=（）9﹣1=（）8，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，计18分；请把答案填在题中的横线上11．化简： = ．【考点】分母有理化．【分析】分子、分母同乘，计算即可求出结果．【解答】解： ==．故答案为．12．在直角坐标系中，有点P（﹣2，3），则点P到x轴的距离是 3 ．【考点】点的坐标．【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．【解答】解：点P（﹣2，3）到x轴的距离是3．故答案为：3．13．已知一组数据的0，x，1，1，2的极差为3，则x= ﹣1或3 ．【考点】极差．【分析】分两种情况讨论，当x是数据中最小的数时和当x是数据中最大的数时，根据极差的定义解答即可．【解答】解：当x是数据中最小的数时，x=2﹣3=﹣1；当x是数据中最大的数时x=0+3=3．则x=﹣1或3；故答案为：﹣1或3．14．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=40°，∠ACE=60°，则∠A= 80 度．【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】根据角平分线定义求出∠ACD，根据三角形的外角性质得出∠ACD=∠A+∠B，即可求出答案．【解答】解：∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=40°，∴∠A=∠ACD﹣∠B=80°，故答案为：8015．已知二元一次方程组的解是则在同一平面直角坐标系中，直线y=x﹣5与直线y=﹣x+1的交点坐标为（3，﹣2）．【考点】一次函数与二元一次方程（组）．【分析】要求两直线的交点，只需要联立解析式求出方程组的解即可．【解答】解：联立，上式化为，∴方程组的解为，∴直线y=x﹣5与直线y=﹣x+1的交点坐标为（3，﹣2）故答案为：（3，﹣2）16．请写出一个一次函数的表达式，它的图象过点（0，﹣2），且y的值随x值增大而减小，这表达式为：y=﹣x﹣2 ．【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质．【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，根据一次函数的性质，k可取﹣1，然后把（0，﹣2）代入y=﹣x+b求出b的值即可得到一个满足条件的一次函数解析式．【解答】解：设一次函数解析式为y=kx+b，∵函数值y随自变量x的增大而减小的，∴k可取﹣1，把（0，﹣2）代入y=﹣x+b得b=﹣2，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣2．故答案为y=﹣x﹣2．三、解答题：本大题共9小题，计62分，解答题应写出文字说明，说理过程或演算步骤．17．计算：（+1）（﹣1）﹣．【考点】实数的运算．【分析】原式利用平方差公式及立方根定义计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣1﹣2=﹣1．18．解方程组：．【考点】解二元一次方程组．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x=15，解得：x=5，把x=5代入②得：y=﹣1，则方程组的解为．19．已知，如图所示，在长方形ABCD中，AB=4，BC=3．（1）建立适当的平面直角坐标系，直接写出顶点A、B、C、D的坐标；（2）写出顶点C关于直线AB对称的点E的坐标．【考点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称．【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，然后写出各点的坐标即可；（2）根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答．【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图，A（0，0），B（4，0），C（4，3），D（0，3）；（2）E（4，﹣3）．20．如图，已知BC与DE相交于点O，EF∥BC，∠B=70°，∠E=70°，请说明AB ∥DE．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据平行线的性质求出∠DOC=∠E=70°，求出∠DOC=∠B，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：∵EF∥BC，∠E=70°，∴∠DOC=∠E=70°，∵∠B=70°，∴∠DOC=∠B，AB∥DE．21．甲、乙两名学生参加数学素质测试（有四项），每项测试成绩采用百分制，成绩如表：学生数与代数空间与图形统计与概率综合与实践平均成绩方差甲87 93 91 85 8910乙89 96 91 808913 （1）请计算甲的四项成绩的方差和乙的平均成绩；（2）若数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按4：3：2：1计算，哪个学生数学综合素质测试成绩更好？请说明理由．【考点】方差；统计表；加权平均数．【分析】根据平均数和方差及加权成绩的概念计算．【解答】解：（1）甲的平均成绩=（87+93+91+85）÷4=89；乙的平均成绩（89+96+91+80）÷4=89；2= [（87﹣89）2+（93﹣89）2+（91﹣89）2+（85﹣89）2]=×（16+4+4+16）甲的方差S甲=10；2= [（89﹣89）2+（96﹣89）2+（91﹣89）2+（80﹣89）2]=×（0+49+4+81）乙的方差S乙=33.5；（2）若按4：3：2：1计分，则乙应当选；理由如下：甲的分数=×87+×93+×91+×85=89.4；乙的分数=×89+×96+×91+×80=90.6．故应选乙；故答案为：89；10．22．某校计划购进A、B两种花卉，两次购进的花卉的数量与每次总费用如表所示：花卉数量（株）总费用（元）A B第1次购买10 25 225第2次购买20 15 275（1）你从表格中获取了什么信息？请用自己的简练言，写出一条．这条信息为：购买A种花卉10株和B种花卉25株共花费225元（2）求A、B两种花卉每株的价格分别是多少元？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】（1）答案不唯一，根据表格可得购买A种花卉10株和B种花卉25株共花费225元；（2）设A种花卉每株x元，B种花卉每株y元，根据题意可得A种花卉10株的花费+B种花卉25株的花费=225元，A种花卉20株的花费+B种花卉15株的花费=275元，根据等量关系列出方程组，再解即可．【解答】解：（1）购买A种花卉10株和B种花卉25株共花费225元，故答案为：购买A种花卉10株和B种花卉25株共花费225元；（2）设A种花卉每株x元，B种花卉每株y元，由题意得：，解得：，答：A种花卉每株10元，B种花卉每株5元．23．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8（1）求对角线AC的长；（2）点E是线段CD上的一点，把△ADE沿着直线AE折叠．点D恰好落在线段AC上，点F重合，求线段DE的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】（1）在直角△ABC中利用勾股定理即可求得AC的长；（2）在直角△CEF中利用勾股定理即可列方程求解．【解答】解：（1）在直角△ABC中，AC===10；（2）根据题意得AF=AD=BC=8，DE=EF，FC=AC﹣AF=10﹣8=2．设DE=x，则EC=CD﹣DE=6﹣x，EF=DE=x．在直角△CEF中，EF2+FC2=EC2，则x2+4=（6﹣x）2，解得x=．24．我们已学习平行线的判定与性质，涉及概念同位角、内错角、同旁内角，学习该部分内容按“定义﹣﹣判定﹣﹣性质”三步进行．如图①，在“三线八角”中，类比内错角，具有∠1与∠8这样位置关系的角称为“外错角”，你可类比有关知识，完成涉及“外错角”的探究．（1）探究定义：如图①，请另找出一对“外错角”：∠2和∠7 ；（2）探究判定：请你用已学过的平行线的判定，证明命题：外错角相等，两直线平行．请完善证明过程．已知：如图②，∠1与∠2是直线a、b被直线c截出的外错角，且∠1=∠2求证：a∥b证明：（3）探究性质：请你用已学过的平行线的判定，证明命题：两直线平行，外错角相等．根据图②，写出已知，求证，并证明已知：如图②，求证：证明：【考点】平行线的判定与性质．【分析】（1）根据“外错角”的定义结合图形即可得出结论；（2）根据对顶角相等即可得出∠1=∠3，结合∠1=∠2即可得出∠2=∠3，再根据“同位角相等，两直线平行”即可证出a∥b；（3）模仿（2）写出已知及求证，由a∥b利用“两直线平行，同位角相等”即可得出∠2=∠3，再由对顶角相等可得出∠1=∠3，由此即可证出∠1=∠2．【解答】解：（1）∵∠1与∠8这样位置关系的角称为“外错角”，∴∠2和∠7也为“外错角”．故答案为：∠2和∠7．（2）证明：∵∠1=∠3（对顶角相等），∠1=∠2（已知），∴∠2=∠3（等量替换），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．（3）已知：如图②，∠1与∠2是直线a、b被直线c截出的外错角，且a∥b．求证：∠1=∠2．证明：∵a∥b（已知），∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1=∠3（对顶角相等），∴∠1=∠2（等量替换）．25．在平面直角坐标系xOy中，有一点C，过点C分别作CA⊥x轴，CB⊥y轴，点A、B是垂足．定义：若长方形OACB的周长与面积的数值相等，则点C是平面直角坐标系中的平衡点．（1）请判断下列是平面直角坐标系中的平衡点的是②；（填序号）①E（1，2）②F（﹣4，4）（2）若在第一象限中有一个平衡点N（4，m）恰好在一次函数y=﹣x+b（b为常数）的图象上；①求m、b的值；②一次函数y=﹣x+b（b为常数）与y轴交于点D，问：在这函数图象上，是否存在点M，使S△OMD =3S△OND，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）过点P（0，﹣2），且平行于x轴的直线上有平衡点Q吗？若有，请求出平衡点Q的坐标；若没有，说明理由．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）计算1×2≠2×（|﹣1|+2），4×4=2×（4+4）即可求得答案；（2）①（4+m）×2=4m，可求出m，把N点坐标代入一次函数解析式可求得b；②由一次函数解析式可求得D点坐标，则可求得△OND的面积，由条件则可求得点M到y轴的距离，则可求得M点的坐标；（3）可设Q点坐标为（x，﹣2），由平衡点的定义可得到关于x的方程，解方程进行判断即可．【解答】解：（1）∵1×2≠2×（|﹣1|+2），4×4=2×（|﹣4|+4），∴点E不是平衡点，点N是平衡点，故答案为：②；（2）①∵N是第一象限中的平衡点，∴4m=2（4+m），解得m=4，∴N（4，4），∵N点在y=﹣x+b的图象上，∴4=﹣4+b，解得b=8；②由①可知一次函数解析式为y=﹣x+8，∴D（0，8），∴OD=8，且N（4，4），∴S△OND=×4×8=16，∴S△OMD =3S△OND=3×16=48，设M坐标为（t，﹣t+8），则M到y轴的距离为|t|，∴×8×|t|=48，解得t=12或t=﹣12，当t=12时，﹣t+8=﹣4，当t=﹣12时，﹣t+8=20，∴存在满足条件的点M，其坐标为（12，﹣4）或（﹣12，20）；（3）∵PQ∥x轴，且P（0，﹣2），∴可设点Q坐标为（x，﹣2），∵点Q为平衡点，∴2|x|=2（|x|+2），该方程无解，∴不存在满足条件的Q点．福州市重点中学八年级上学期期末考试数学试卷（二）一、精心选一选（共10题，每题4分，共40分，每题的四个选项中，有且只有一个是正确的.）1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．在△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若（a﹣1）2+|b﹣|+ =0，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形3．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC4．如果□×3a=﹣3a2b，则“□”内应填的代数式是（）A．﹣ab B．﹣3ab C．a D．﹣3a5．如图，在长方形纸片ABCD中，AB=2，BC=1，点E、F分别在AB、CD上，将纸片沿EF折叠，使点A、D分别落在点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（）A．3 B．4 C．5 D．66．化简﹣的结果是（）A．a+b B．C．D．a﹣b7．下列运算正确的是（）A． =1+ B．（﹣2x2）3=﹣6x6 C．（）﹣2=4 D．（x﹣1）2=x2﹣128．若a2+（m﹣3）a+4是一个完全平方式，则m的值是（）A．1或5 B．1 C．﹣1或7 D．﹣19．如图，∠MON=30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q．若点P 到OM的距离为2，则OQ的长为（）A．1 B．2 C．3 D．410．在平面直角坐标系中，有A（1，2），B（4，3）两点，现另取一点C（a，1），满足：AC+BC的值最小．则a的值为（）A．1 B．2 C．D．3二、细心填一填（共6题，每题4分，共24分.）11．若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．用科学记数法表示0.000 000 201 7= ．13．分解因式：a﹣a3= ．14．已知 x=+，y=﹣．则x2﹣xy+y2= ．15．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的面积分别为2，5，1，10．则正方形D 的面积是．16．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，△ADC的周长为9cm，△ABC的周长为13cm，则AE= ．三、耐心做一做（共9大题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．计算：|﹣1|﹣+（2﹣π）0．18．解分式方程：﹣1=．19．先化简，再求值：÷（x+1﹣），其中x=﹣2．20．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A、B、C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．△ABC关于直线 l：x=﹣1对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；（1）请在图中画出△A1B1C1，并写出点的坐标：A1（，）、B1（，）、C1（，）．（2）计算△A1B1C1的面积为．21．如图：已知△ABC中，AD是中线，且∠1=∠2，求证：AB=AC．22．莆田中山中学荔兴楼需要在规定时间内改造完成，以备迎接新学期的开学．在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如图：（部分信息）甲：（1）施工一天，需付甲工程队工程款2.1万元；（2）单独完成这项工程可以提前2天完成．乙：（1）施工一天，需付乙工程队工程款1万元；（2）单独完成这项工程会延期8天，才可以完成．学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队单独施工；②由乙工程队单独施工；校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算以及工期安排，提出了新的方案③：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：（1）学校规定的期限是多少天？（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．23．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C＜90°．点E、F分别是BC、CD上的动点，满足：△AEF的周长最小．（1）请在图中作出E、F（要求保留痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若∠C=45°，且∠AEB=60°，请求的值．24．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点．【建立模型】（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°．试探索AE与AB+DE 之间的数量关系．小明同学提出：在AE上截取AF=AB，可证：△ABC≌△AFC，进一步可证△DCE≌△FCE；聪明的你一定知道AE与AB+DE之间的数量关系为．【延伸探究】（2）如图（2），若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°．求证AB+DE+BD=AE．【拓展应用】（3）如图（3），若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，BD=8，AB=2，DE=8，且∠ACE=135°，则线段AE长度是（直接写出答案）．25．如图1，A（a，0），B（0，b），满足：a+b=+．（1）求A、B的坐标．（2）如图1，点D是A点左侧的x轴上一点，连接BD，以BD为直角边作等腰直角△BDE．连接AB、BE、EA，EA交BD于点G：①试判断△ABE的形状，并证明你的结论．②如图2，若EA平分∠BED，试求EG的长．参考答案与试题解析一、精心选一选（共10题，每题4分，共40分，每题的四个选项中，有且只有一个是正确的.）1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选D．2．在△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若（a﹣1）2+|b﹣|+ =0，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【考点】23：非负数的性质：算术平方根；1F：非负数的性质：偶次方．【分析】依据非负数的性质求得a、b、c的值，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：∵（a﹣1）2+|b﹣|+=0，∴a=1，b=，c=2．∴a2+b2=c2．∴△ABC为直角三角形．故选：B．3．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．4．如果□×3a=﹣3a2b，则“□”内应填的代数式是（）A．﹣ab B．﹣3ab C．a D．﹣3a【考点】49：单项式乘单项式．【分析】已知积和其中一个因式，求另外一个因式，可用积除以已知因式，得所求因式．【解答】解：∵﹣3a2b÷3a=﹣ab，∴□=﹣ab．故选A．5．如图，在长方形纸片ABCD中，AB=2，BC=1，点E、F分别在AB、CD上，将纸片沿EF折叠，使点A、D分别落在点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长．【解答】解：根据折叠的性质，得A 1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF．则阴影部分的周长=矩形的周长=2×（2+1）=6．故选：D．6．化简﹣的结果是（）A．a+b B．C．D．a﹣b【考点】6B：分式的加减法．【分析】先将分母化为a﹣b，然后利用分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：原式=+==a﹣b故选（D）7．下列运算正确的是（）A． =1+ B．（﹣2x2）3=﹣6x6 C．（）﹣2=4 D．（x﹣1）2=x2﹣12【考点】47：幂的乘方与积的乘方；22：算术平方根；4C：完全平方公式；6F：负整数指数幂．【分析】分别根据算术平方根的定义、幂的乘方与积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则、完全平方公式对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、==≠1+，故本选项错误；B、（﹣2x2）3=﹣8x6≠﹣6x6，故本选项错误；C、（）﹣2==4，故本选项正确；D、（x﹣1）2=x2+1﹣2x≠x2﹣12，故本选项错误．故选C．8．若a2+（m﹣3）a+4是一个完全平方式，则m的值是（）A．1或5 B．1 C．﹣1或7 D．﹣1【考点】4E：完全平方式．【分析】根据完全平方式的结构a2±2ab+b2，即可列方程求解．【解答】解：根据题意得：（m﹣3）a=±2a×2，则m﹣3=±4，解得：m=7或﹣1．故选C．9．如图，∠MON=30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q．若点P 到OM的距离为2，则OQ的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；JA：平行线的性质；KF：角平分线的性质．【分析】过P作PF⊥OM，PE⊥ON，根据角平分线的性质得到OE=OF，∠1=∠2，根据平行线的性质得到∠1=∠3，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过P作PF⊥OM，PE⊥ON，∵OP平分∠MON，∴OE=OF，∠1=∠2，∵PQ∥OM，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3=∠MON=15°，∴OQ=PQ，∠4=30°，∴PQ=2PE=4∴OQ=PQ=4．故选D．10．在平面直角坐标系中，有A（1，2），B（4，3）两点，现另取一点C（a，1），满足：AC+BC的值最小．则a的值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；D5：坐标与图形性质．【分析】A关于直线y=1的对称点是A'（1，0），求得直线A'B的解析式，然后令y=1求得a的值．【解答】解：A关于直线y=1的对称点是A'（1，0），设直线A'B的解析式是y=kx+b，则，解得，则直线A'B的解析式是y=x﹣1当y=1时，a=2．故选B．二、细心填一填（共6题，每题4分，共24分.）11．若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1 ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．12．用科学记数法表示0.000 000 201 7= 2.017×10﹣7．【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法表示0.000 000 201 7=2.017×10﹣7，故答案为：2.017×10﹣7．13．分解因式：a﹣a3= a（1+a）（1﹣a）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可求解．【解答】解：a﹣a3=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+1）（a﹣1）．14．已知 x=+，y=﹣．则x2﹣xy+y2= 14 ．【考点】76：分母有理化．【分析】原式可化为（x+y）2﹣3xy，再代入计算即可．【解答】解：原式=（x+y）2﹣3xy=（++﹣）2﹣3（+）（﹣）=20﹣6=14，故答案为14．15．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的面积分别为2，5，1，10．则正方形D 的面积是 2 ．【考点】KQ：勾股定理．【分析】分别设中间两个正方形和正方形D的面积为x，y，z，由勾股定理即可。

2023-2024学年福建省福州十八中八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列运算正确的是( )A. B. C. D.2.下列各组线段能构成直角三角形的是( )A. 1，2，3B. 6，8，10C. 5，5，6D. 3，4，63.下列式子从左至右变形不正确的是( )A. B. C. D.4.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，5.最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是( )A. B. C. D.6.下列分式是最简分式的是( )A. B. C. D.7.下列命题中，为真命题的是( )对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是菱形；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形A. B. C. D.8.已知，则化简二次根式的正确结果是( )A. B. C. D.9.如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为( )A. 2B.C. 4D. 610.按一定规律排列的代数式：2，，，，，……，第n个代数式是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______.12.如图，菱形ABCD中，边AB的中点为M，对角线交于点O，，则菱形ABCD的周长为__________.13.若，则__________.14.直角三角形两直角边长分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长为______.15.如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为__________16.如图，长方形两边长，，两顶点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动，则顶点D到原点O的距离最大值是______.三、解答题：本题共9小题，共86分。

一、选择题1．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > 2．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．73．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点，B 点，分别以点A ，点B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于P 点，若点P 的坐标为(m ，n)，则下列结论正确的是（ ）A ．m ＝2nB ．2m ＝nC ．m ＝nD ．m ＝－n 4．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA5．如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）A ．BD +ED ＝BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD 7．下列说法正确的是（ ）①近似数232.610⨯精确到十分位；②在2，()2--，38-，2--中，最小的是38-；③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-+；④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；⑤如图，在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点．A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，且DE 所在直线是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若3DE =，则BC 的长为（ ）．A ．6B ．7C ．8D ．99．下列命题中，假命题是（ ）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等10．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（ ）A ．OA =OB B ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2 11．下列说法正确的是 （ ）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等 12．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE BF =；②ACE △和CDE △面积相；③//BF CE ；④BDF CDE ≌．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．如图，四边形ABCD 中，AC BC =，90ACB ADC ∠=∠=︒，10CD =，则BCD ∆的面积为______．14．如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD=AE ，请添加一个条件，使得ABE ≌ACD ．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为BC 上一点，连接AD ，过D 点作DE ⊥AB ，且DE =DC ．若AB =5，AC =3，则EB =____．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，且AE ＝AC ，DE ⊥AB ．若∠ADC ＝61°，则∠B 的度数为_____．17．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD AC =，DE AB ⊥，交BC 于点E ．若26B ∠=︒，则AEC ∠=______︒．18．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，P 为线段AD 上的一个动点，PE AD ⊥交直线BC 于点E ．若35B ∠=︒，85ACB ∠=︒，则E ∠的度数为______．19．如图，已知ABC DCB ∠=∠，则需添加的一个条件是______可使ACB DBC ≌．（只写一个即可，不添加辅助线）．20．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB=∠DBC=90°，E 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为F ，AB=DE ．若BD=8cm ，则AC 的长为_________．三、解答题21．作图题：已知∠α，线段m 、n ，请按下列步骤完成作图（不需要写作法，保留作图痕迹）（1）作∠MON ＝∠α（2）在边OM 上截取OA ＝m ，在边ON 上截取OB ＝n ．（3）作直线AB ．22．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．23．如图，直角梯形ABCD 中，//,,AD BC AB BC E ⊥是AB 上的点，且,DE CE DE CE =⊥，（1）证明：AB AD BC =+．（2）若已知AB a ，求梯形ABCD 的面积．24．（教材呈现）数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：试一试如图，AOB ∠为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出AOB ∠的平分线.第一步：在射线OA 、OB 上，分别截取OD 、OE ，使0;OD E =第二步：分别以点D 和点E 为圆心，适当长(大于线段DE 长的一半)为半径作圆弧，在AOB ∠内，两弧交于点C ；第三步：作射线OC .射线OC 就是所要求作的AOB ∠的平分线（问题1）赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是__________________．（问题2）小明发现只利用直角三角板也可以作AOB ∠的角平分线，方法如下： 步骤：①利用三角板上的刻度，在OA 、OB 上分别截取OM 、ON ，使OM ON =． ②分别过点M 、N 作OM 、ON 的垂线，交于点P ．③作射线OP ，则OP 为AOB ∠的平分线．请根据小明的作法，求证OP 为AOB ∠的平分线．25．如图，点E 在线段BD 上，已知,,AB AC AD AE BE CD ===．（1）求证：BAC EAD ∠=∠．（2）写出123∠∠∠、、之间的数量关系，并予以证明．26．按要求作图（1）如图，已知线段,a b ，用尺规做一条线段，使它等于+a b （不要求写作法，只保留作图痕迹）（2）已知：∠α，求作∠AOB=∠α（要求：直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，可确定取值范围．【详解】解：若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则C 点唯一即可，当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x >a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有一个交点，x =a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有两个交点，一个与A 重合， 所以，当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，故选为：A ．【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 2．C解析：C【分析】先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．3．D解析：D【分析】根据角平分线的性质及第二象限内点的坐标特点即可得出结论．【详解】解：∵由题意可知，点C 在∠AOB 的平分线上，∴m=-n ．故选：D ．【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法及其性质是解答此题的关键． 4．C解析：C【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.5．C解析：C【分析】要使△ABC ≌△DEF 的条件必须满足SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，可据此进行判断．【详解】解：第①组满足SSS ，能证明△ABC ≌△DEF ．第②组满足SAS ，能证明△ABC ≌△DEF ．第③组满足ASA ，能证明△ABC ≌△DEF ．第④组只是SSA ，不能证明△ABC ≌△DEF ．所以有3组能证明△ABC ≌△DEF ．故符合条件的有3组．故选：C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．6．B解析：B【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE ＝DC ，然后利用AAS 证明△ACD ≌△AED ，再对各选项分析判断后利用排除法．【详解】解：∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DC ，A 、BD +ED ＝BD +DC ＝BC ，故本选项正确；在△ACD 与△AED 中，90DAC DAE ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴∠ADC ＝∠ADE ，∴AD 平分∠EDC ，故C 选项正确；但∠ADE 与∠BDE 不一定相等，故B 选项错误；D 、∵△ACD ≌△AED ，∴AE ＝AC ，∴ED +AC ＝ED +AE ＞AD （三角形任意两边之和大于第三边），故本选项正确．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，证明ACD AED △≌△是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据近似数的精确度定义，可判断①；根据实数的大小比较，可判断②；根据点在数轴上所对应的实数，即可判断③；根据反证法的概念，可判断④；根据角平分线的性质，可判断⑤．【详解】①近似数232.610⨯精确到十位，故本小题错误；()22--=2=-，-=③在数轴上点P 所表示的数为1-+④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角或三个钝角”，故本小题错误；⑤在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点，故本小题正确．故选B【点睛】本题主要考查近似数的精确度定义，实数的大小比较，点在数轴上所对应的实数，反证法的概念，角平分线的性质，熟练掌握上述知识点，是解题的关键．8．D解析：D【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，【详解】解：∵DE 垂直平分AB ，∴DA=DB ，∴∠B=∠DAB ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD=∠DAB ，∵∠C=90°，∴3∠EAD=90°，∴∠EAD=30°，∵∠AED=90°，∴DA=BD=2DE ，∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，CD ⊥AC ，∴CD=DE=3，∴DA=BD=6，∴BC=BD+CD=6+3=9，【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；B、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；D、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．B解析：B【分析】根据题意可以得到∠AOC=∠BOC，OC=OC，然后即可判断各个选项中条件是否能判定△AOC≌△BOC，从而可以解答本题．【详解】解：由已知可得，∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴若添加条件OA=OB，则△AOC≌△BOC（SAS），故选项A不符合题意；若添加条件AC=BC，则无法判断△AOC≌△BOC，故选项B符合题意；若添加条件∠A=∠B，则△AOC≌△BOC（AAS），故选项C不符合题意；若添加条件∠1=∠2，则∠ACO=∠BCO，则△AOC≌△BOC（ASA），故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．C解析：C根据全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL定理针对四个选项分别进行判断即可．【详解】A. 一直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；B. 斜边相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；C. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等，对应角相等，根据AAS即可证明全等，故此选项正确；D. 一边长相等的两个等腰直角三角形不一定全等，必须说明是对应边相等，故此选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握证明三角形全等的条件尤其是必须含有边这个条件是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据“SAS”可证明△CDE≌△BDF，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判断；由于AE和DE不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到∠ECD=∠FBD，则利用平行线的判定方法可对③进行判断；【详解】∵ AD是△ABC的中线，∴ CD=BD，∵ DE=DF，∠CDE=∠BDF，∴△CDE≌△BDF(SAS)，所以④正确；∴ CE=BF，所以①正确；∵ AE与DE不能确定相等，∴△ACE和△CDE面积不一定相等，所以②错误；∵△CDE≌△BDF，∴∠ECD=∠FBD，∴BF∥CE，所以③正确；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．二、填空题13．50【分析】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 先证明∠CBE=∠ACD 从而证明∆ACD ≅∆CBE 进而即可求解【详解】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ∵BE ⊥CE ∴∠BEC=∠CDA=90°解析：50【分析】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，先证明∠CBE=∠ACD ，从而证明∆ ACD ≅∆ CBE ，进而即可求解．【详解】过点B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC=∠CDA=90°，∴∠CBE+∠BCE=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD ，在∆ ACD 与∆ CBE 中，∵CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ ACD ≅∆ CBE （AAS ），∴BE=CD=10，∴BCD ∆的面积=12CD∙BE=12×10×10=50， 故答案是50．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造“一线三垂直”模型，是解题的关键． 14．∠B=∠C （或∠ADC=∠AEB 或AB=AC ）【分析】根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠AAD=AE 两个条件对应相等故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌ACD【详解】∵∠A=∠解析：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）【分析】根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠A，AD=AE两个条件对应相等，故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌ACD．【详解】∵∠A=∠A，AD=AE，∴当∠B=∠C时，可利用AAS证明ABE≌ACD；当∠ADC=∠AEB时，可利用ASA证明ABE≌ACD；当AB=AC时，可利用SAS证明ABE≌ACD；故答案为：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）．【点睛】此题考查添加一个条件证明三角形全等，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．15．2【分析】先证明△AED≌△ACD得到AE=AC=3最后根据线段的和差即可解答【详解】解：∵∠C=90°DE⊥AB∴△AED和△ACD都是直角三角形在Rt△AED 和Rt△ACD中DE=DCAD=AD解析：2【分析】先证明△AED≌△ACD得到AE=AC=3，最后根据线段的和差即可解答．【详解】解：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴△AED和△ACD都是直角三角形，在Rt△AED和Rt△ACD中，DE=DC,AD=AD，∴△AED≌△ACD（HL），∴AE=AC=3，∴BE=AB-AC=5-3=2．故填：2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用HL证明三角形全等是解答本题的关键．16．32°【分析】由HL可证明△ADE≌△ADC得出∠ADE＝∠ADC＝61°再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论【详解】解：∵DE⊥AB∴∠AED＝90°＝∠DEB在Rt△ADE和Rt△ADC中∴解析：32°【分析】由HL可证明△ADE≌△ADC，得出∠ADE＝∠ADC＝61°，再根据直角三角形两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°＝∠DEB ，在Rt △ADE 和Rt △ADC 中，AD AD AE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADC （HL ），∴∠ADE ＝∠ADC ＝61°，∴∠BDE ＝180°﹣61°×2＝58°，∴∠B ＝90°﹣58°＝32°．故答案为：32°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形的判定及性质．17．58【分析】根据∠C=90°AD=AC 证明Rt △CAE ≌Rt △DAE ∠CAE=∠DAE=∠CAB 再由∠C=90°∠B=26°求出∠CAB 的度数然后即可求出∠AEC 的度数【详解】解：∵在△ABC 中∠C解析：58【分析】根据∠C=90°，AD=AC 证明Rt △CAE ≌Rt △DAE ，∠CAE=∠DAE=12∠CAB ，再由∠C=90°，∠B=26°，求出∠CAB 的度数，然后即可求出∠AEC 的度数．【详解】解：∵在△ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 交BC 于点E ，∴∠ADE=∠C=90°，在Rt △ACE 和Rt △ADE 中， ∵AC AD AE AE ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △CAE ≌Rt △DAE ，∴∠CAE=∠DAE=12∠CAB ， ∵∠B+∠CAB=90°，∠B=26°，∴∠CAB=90°-26°=64°，∵∠AEC=90°-12∠CAB=90°-32°=58°． 故答案为：58．【点睛】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证Rt △CAE ≌Rt △DAE ．18．25°【分析】利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数进而得出∠ADC的度数再利用三角形内角和定理和外角性质得出即可【详解】解：∵∠B=35°∠ACB=85°∴∠BAC=60°∵AD平分∠BAC∴∠B解析：25°【分析】利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数，进而得出∠ADC的度数，再利用三角形内角和定理和外角性质得出即可．【详解】解：∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠ADC=35°+30°=65°，∵∠EPD=90°，∴∠E的度数为：90°-65°=25°．故答案为：25°．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质和三角形外角的性质，根据已知得出∠BAD度数是解题关键．19．AB=DC（答案不唯一）【分析】因为和公共边BC根据全等证明方法即可求得【详解】当AB=DC时根据全等证明方法SAS可证故答案为：AB=DC（答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等的判定条件掌握五种解析：AB=DC（答案不唯一）【分析】∠=∠和公共边BC，根据全等证明方法即可求得．因为ABC DCB【详解】当AB=DC时≌根据全等证明方法SAS可证ACB DBC故答案为：AB=DC（答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等的判定条件，掌握五种全等证明方法是解题的关键．20．4cm【分析】由DE⊥AB可得∠BFE=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠DEB=90°由∠ACB=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠A=90°根据同角的余角相等可得∠A=∠DE解析：4cm．【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断△ABC ≌△EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC ，AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=12BC=12BD=4． 【详解】解：∵DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，∴∠ABC+∠DEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠DEB ，在△ABC 和△EDB 中， ACB DBC A DEBAB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），∴BD=BC ，AC=BE ，∵E 是BC 的中点，BD=8cm ，∴BE=12BC=12BD=4cm ， ∴AC=4cm ．故答案为：4cm ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先画一条射线ON ，以∠α的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，交∠α的两个边于两个点，这两个点的距离记为a ，接着以点O 为圆心，同样的长度为半径画弧，交ON 于一个点，以这个点为圆心，a 为半径画弧，与刚刚画的弧有一个交点，连接这个点和点O ，得到射线OM ，即可得到∠MON ＝∠α；（2）以点O 为圆心，m 为半径画弧，交OM 于点A ，以点O 为圆心，n 为半径画弧，交ON 于点B ；（3）连接AB ，线段AB 所在的直线即直线AB ．【详解】解：（1）如图所示，（2）如图所示，（3）如图所示，【点睛】本题考查尺规作图，解题的关键是掌握作已知角度的方法，截取线段和画直线的方法． 22．（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD ∠=∠，又有90PAD C ∠=∠=︒，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF ∠=∠，又因为90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．【详解】（1）证明：PD BD ⊥，90PDB ∴∠=︒，即90BDC PDA ∠+∠=︒又90C ∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒ PDA CBD ∴∠=∠又AE AC ⊥，90PAD ∴∠=︒90PAD C ∴∠=∠=︒又6cm BC =，6cm AD =AD BC ∴= 在PAD △和DCB 中PAD C AD CBPDA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()PDA DBC ASA ∴△≌△（2）PD AB ⊥，90AFD AFP ∴∠=∠=︒，即90PAF APF ∠+∠=︒又AE AC ⊥， 90PAF DAF ∴∠+∠=︒APF DAF ∴∠=∠又90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =在APD △和CAB △中APD CAB PAD C AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAD ACB AAS ∴△≌△8cm AP AC ∴==即8t =秒．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．23．（1）见解析；（2）12a 2 【分析】（1）由DE 垂直于EC ，得到一个角为直角，利用平角的定义得到一对角互余，又三角形BEC 为直角三角形，根据直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等及DE ＝CE ，利用AAS 可得出三角形AED 与三角形BCE 全等，根据全等三角形的对应边相等得到AD ＝EB ，AE ＝BC ，由AB ＝AE +EB ，等量代换可得证；（2）由第一问的结论AB ＝AD +BC ，根据AB ＝a ，得出此直角梯形的上下底之和为a ，高为a ，利用梯形的面积公式即可求出梯形ABCD 的面积．【详解】解：（1）证明：∵DE ⊥EC ，∴∠DEC ＝90°，∴∠AED +∠BEC ＝90°，又AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°，∴∠BCE +∠BEC ＝90°，∴∠AED ＝∠BCE ，又AD ∥BC ，∴∠A +∠B ＝180°，∴∠A ＝∠B ＝90°，在△AED 和△CBE 中，A B AED BCE ED CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AED ≌△CBE （AAS ），∴AD ＝EB ，AE ＝BC ，则AB ＝AE +EB ＝BC +AD ；（2）由AB ＝a ，及（1）得：AB ＝BC +AD ＝a ，则S 直角梯形ABCD ＝12AB •（BC +AD ）＝12a 2． 【点睛】此题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，以及梯形的面积公式，利用了转化的思想，灵活运用全等三角形的判定与性质是解本题的关键，本题在做第二问时注意运用第一问的结论．24．【问题1】边边边（或SSS ）；【问题2】见解析【分析】问题1：根据三角形全等的SSS 定理解答；问题2：证明Rt △ONP ≌Rt △OMP ，根据全等三角形的性质证明即可．【详解】解：问题1：张老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS ， 故答案为：SSS ；问题2：由作图得： OM ON =，PN OB ⊥，PM OA ⊥．∴90PNO PMO ∠=∠=︒．∴PNO 和PMO △是直角三角形．∵OP OP =，∴ONP OMP ≌．∴AOP BOP ∠=∠．∴OP 为AOB ∠的平分线．【点睛】本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答．25．（1）证明见解析；（2）312∠=∠+∠，证明见解析．【分析】（1）根据SSS 证BAE CAD ≅，推出 1BAE ∠=∠即可；（2）根据全等三角形性质推出1BAE ∠=∠，2ABE ∠=∠，代入 3BAE ABE ∠=∠+∠求出即可．【详解】证明：（1）∵在BAE △和CAD 中AE AD AB AC BE DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()BAE CAD SSS ≌， ∴1BAE ∠=∠，∴1BAE EAC EAC ∠+∠=∠+∠，∴BAC EAD ∠=∠．（2）312∠=∠+∠，证明：∵BAE CAD △≌△，∴1BAE ∠=∠，2ABE ∠=∠，∵3BAE ABE ∠=∠+∠，∴312∠=∠+∠．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形外角性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等．26．（1）作图见解析；（2）作图见解析．【分析】（1）根据题意，作一条长射线，在射线上连续截取a 和b 即可；（2）作射线OA ，通过截取角度即可得解．【详解】（1）作射线CF ，在射线上顺次截取CD=a ，DE=b ，如下图所示，线段CE 即为所求：（2）首先作射线OA ，如下图所示，∠AOB 即为所求：【点睛】本题主要考查了尺规作图，属于基础题，熟练掌握尺规作图的相关方法是解决本题的关键．。

福建省福州文博中学2014-2015学年八年级数学上学期期中试题（完卷时间：120分钟，总分：100分）注意事项：1、考生在答题卡上用黑色的0.5mm 签字笔填写左边的相关信息。

2、解答题用黑色的签字笔将答案写在规定区域内，不要超过黑色框，否则答案无效，请保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 1、下列四个图案中，是轴对称图形的是 （ ）2、计算（﹣a 2）3的结果是（ ）A ．a 5B ． ﹣a 5C ．a 6D ． ﹣a 63、已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( ) A. 5 B. 6 C. 11 D. 164、若MNP MNQ ∆≅∆，且8MN =，7NP =，6PM =，则MQ 的长为（ ）． A ．8 B ．7 C ．6 D ．55、一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ）A ． 4 B. 5 C.6 D ．76、若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ） A ． 5 B ． 7 C ． 5或7 D ． 67、点M （－1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．（－1，－2）B ．（－1，2）C ．（1，－2）D ．（2，－1） 8、如图8，已知ND MB =，NDC MBA ∠=∠，下列条件中不能．．判定△ABM ≌△CDN 的是（ ） A ．N M ∠=∠ B ．CD AB = C ．CN AM =D ．AM ∥CN9、如图9：Rt △ABC 中，∠C=90°，DE 是AB 的垂直平分线， ∠CAD ：∠DAB=2：1，则∠B 的度数为（ ）A ．20°B ．22.5°C ．25°D ．30° 10、已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且ac b cb c a b a -++=+，第8题图A B DCMN第9题图第16题图第17题图则△ABC 一定（ ）A ．等边三角形B ．腰长为a 的等腰三角形C ．底边长为a 的等腰三角形D ．等腰直角三角形二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）11、如11,∠1=∠2，由AAS 判定△ABD≌△ACD，则需添加的条件是__________. 12、对于一个锐角三角形，甲测得边长分别是5cm ，6cm ，11cm ，乙测得三个内角分别为33°，49°，78°，丙测得三个内角分别为33°，59°，88°，其中只有一个人测得结果是正确的，此人是 ． 13、计算（﹣0.125）2009×82010= ．14、如图14，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ．15、在Rt △ABC 中，已知AB=4，BC=10，∠B=30°，那么S △ABC = ． 16、如图16，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ，已知PE ＝3，则点P 到AB 的距离是 _________ ．17．如图17，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距 ．18、如图18，在正方形ABCD 所在的平面内求一点P ，使△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PAD 都是等腰三角形，具有这性质的点P 有 个．三、用心答一答（本大题有7小题, 共56分，解答要求写出文字说明, 证明过程或计算步骤） 19.计算（4分⨯2）（1） 332(2)()(4)a b ab -÷- （2）()()22m n m mn n -++20.先化简，再求值：（6分）()()23(3)3x y x y x y -+---+，其中x=2,y=-121. （8分）如图所示： （1）作出△ABC 关于y 轴对称的△C B A '''，并写出△C B A '''三个顶点的坐标．（2）在x 轴上画出点P ，使PA+PB 最小．第14题图 第11题图 21DC B A _ B _ C _ A _D 第18题图 第21题图22.（6分） 如图22，在△ABC ，AD 是高线，AE 、BF 是角平分线， 它们相交于点O ，∠BAC=50°，∠C=70°,求∠DAC 与∠BOA 的度数。