点到直线的距离公式的七种推导法一--法7

3.3.3点到直线的距离教学目标：(一)知识目标：点到直线的距离公式.(二)能力目标：理解点到直线距离公式的推导；点到直线距离公式的简单应用. (三)德育目标：认识事物之间在一定条件下的转化；用联系的观点看问题.教学重点：点到直线的距离公式.教学难点：理解点到直线距离公式的推导.教学方法：探究讨论式在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生探究讨论点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，培养学生的发散性思维，进而逐一推导，培养学生研究问题、分析问题、解决问题的能力.教学过程：(课前教师板书标题“点到直线的距离”)课题导入：前面两节课，我们一起研究学习了两直线平行和垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数手段研究几何问题的思想方法.这一节课，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离问题.思考题：(引导学生探究、讨论；每一种方法都要总结方法)求点(2,1)P 到直线:210L x y +-=的距离().师：首先申明现成的公式暂时不能用，请大家想想看利用我们学过的知识可以怎样解决这个问题？ 做做看…(教师板书(2,1)P ，:210L x y +-=)…师：点到直线的距离是怎么定义的？做好的举手示意…(等到学生基本做好)师：答案是多少？…叫一个学生站起详细回答…师：还有没有其它方法？…好好想想，打开你的想象之门，看看还有没有其它的方法可以解决…同桌可以相互启发…师： 请大家总结一下⨯⨯⨯的解题方法，他是用什么方法解决这个问题的？是从哪个层面？师：好了！大家的方法层出不穷，这个题就先到这儿解法一：两点间距离法解：过点P 作直线:210L x y +-=的垂线1:20L x y -=，再求L 与1L 的交点21(,)55Q ，则点(2,1)P 到直线:210L x y +-=的距离即为：PQ =解法二：最小值法解：设(,)M x y 是直线:210L x y +-=上的任意一点，则12y x =-，得：PM===当25x =时，即21(,)55M 时，minPM=，这个值就是点P 到直线L 的距离. 解法三：三角形法 解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作PQ L ⊥于点Q ，过点P 作1//L y 轴交L 于点(2,3)A -，4AP =，在R t P Q A∆中，cos cos PQ AP APQ AP α=⋅∠=⋅=.解法四：三角形法 解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作PQ L ⊥于点Q ，过点P 作1//L x 轴交L 于点(0,1)B ，2BP =，在R t P Q B ∆中，cos sin PQ BP BPQ BP α=⋅∠=⋅==xx解法五：三角形法解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作直线1//L L ，有1:250L x y +-=，L 与1L 距离即为所求.设1L 、L 与y 轴分别交于点21,P Q ，则21(0,5),(0,1)P Q ，214P Q =，过点1Q 作11//PQ PQ交L 于1P ，则1121211cos PQ PQ P Q P Q P ==⋅∠21cos P Q α=⋅==解法六：面积法解：过点P 作1//L x 轴交L 于点(0,1)B ，2BP =，过点P 作2//Ly 轴交L 于点(2,3)A -，4AP =，在Rt ABP ∆中，AB =，由三角形面积公式可知d AB BP AP ⋅=⋅d ⇒=. 解法七：向量法 解：由方向向量的知识得与直线L 垂直的向量(2,1)n =.在直线L 上任取一点(1,1)Q -，向量QP 在向量n上的投影的绝对值就是点P 到直线L 的距离，有c o sd Q P θ=⋅，cos n QP n QP θ⋅=⋅⋅，n QP d n ⋅∴====. 进入主题：师：对照思考题，我们一起来看一个更具一般性的问题.在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ,直线l 的方程是++=0A x B y C ，求点P 到直线l 的距离.师：点和直线都以字母形式给出，象刚才一样，有这么多方法，我们是能够解决，如果每一次都这样求，会不会太麻烦？其中是否有一般性的结论？可以直接当公式来用.我们一起来推推看.师：首先大家说说解决这个问题有哪些思路？学生：刚才用到的两点间距离法、最小值法、三角形法、面积法、向量法应该都可以解决这个问题.师：很好！能够看清问题的本质，那我们就挑一种书本上没有详细解释的方法来试试……还有其它方法请同学们课后再思考一下.解决方案：方案一：根据定义，点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长.解题思路：一求垂线PQ的方程，二求Q点坐标，三求PQ长度.详细过程：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q.先考虑0A≠由PQ l⊥00:()PQBl y y x xA⇒-=-即00Bx Ay Bx Ay-=-，解方程组00Ax By CBx Ay Bx Ay++=⎧⎨-=-⎩20022B x ABy ACxA B--⇒=+即点Q 的横坐标，2220000022B x ABy AC A x B xx xA B----∴-=+0022()A Ax By CA B++=-+000022()()B Ax By CBy y x xA A B++-=-=-+d∴==；0A=要验证过才行.方案二：直接用两点间距离公式推导.解题思路：设出Q坐标，列出满足条件，由距离公式求出距离.详细过程：设点11(,)Q x y，则111010(0)Ax By Cy y BAx x A++=⎧⎪-⎨=≠⎪-⎩1010001010()()()()()0A x xB y y Ax By CB x x A y y-+-=-++⎧⇒⎨---=⎩(1)(2)(1)(2)平方相加2222222101000()()()()()A B x x B A y y Ax By C⇒+-++-=++22200101022()()()Ax By Cx x y yA B++⇒-+-=+d⇒=0A=也满足.方案三：过点P分别作x、y轴的平行线，交已知直线于R，S两点，从而构成一个直角三角形，用勾股定理求出RS，再利用三角形等积求d.解题思路：一求R 、S 坐标，二求PR 、PS ，三求RS 长度，四求距离d .详细过程：设0,0A B ≠≠，这时l 与x 轴、y 轴都相交.过P 作x 轴的平行线，交l 于点10(,)R x y ；作y 轴的平行线，交l 于点02(,)S x y .由100200Ax By C Ax By C ++=++=得0012,By C Ax Cx y A B----==0001Ax By C PR x x A ++⇒=-=；0002Ax By CPS y y B++=-=00RS By C ++，由三角形面积公式d RS PR PS ⋅=⋅得=d ；0,0A B ≠≠也满足.方案四：利用向量的有关知识推导.解题思路：一找直线l 的垂直向量n ，二在直线l 上任取点Q ，三求向量QP 在向量n上的投影的绝对值即为所求.详细过程：设0,0A B ≠≠，由方向向量的知识得与直线l 垂直的向量(,)n A B =.在直线l 上任取一点(,)Q x y ，向量QP 在向量n上的投影的绝对值就是点P 到直线l 的距离，有cos d QP θ=⋅ ，cos n QP n QP θ⋅=⋅⋅，n QP d n ⋅∴===； (因为++=0Ax By C ，所以--=Ax By C )0,0A B ≠≠也满足. 方案五：三角函数法.解题思路：构造一个易求斜边的直角三角形，利用斜边与直角边的关系求出直角边即点到直线的距离作y 轴的平行线PM 交直线l 于点01(,)M x y ，满足010Ax By C ++=01Ax Cy B+⇒=-0001Ax By CPM y y B++∴=-=，记MPQ β∠=，则始终有cos cos βα=，而222222211cos 1tan 1B A A B B αα===+++，cos α∴=，cos PQ PM β∴=⋅=；0,0A B ≠≠也满足.方案六：最小值法.解题思路：在直线上任取一点(,)Q x y ，则min d PQ =. 详细过程：设0,0A B ≠≠，在直线l 上任取一点(,)Q x y ，满足++=0Ax By C +⇒=-Ax Cy B，则PQ =当""2bx a=-时，mind PQ ==⇒=d 0,0A B ≠≠也满足.结论：点P 00(,)x y 到直线l ：++=0Ax By C的距离公式为=d .注意细节：假如P 在直线上呢？0d =照样适用；当A=0或B=0时，该公式也适用，当然此时可以不用该公式而直接求出距离.若知点P 00(,)x y 和直线l ：=1x x ，则点P 到直线l的距离10d x x =-；若知点P 00(,)x y 和直线l ：=1y y ，则点P 到直线l 的距离10d y y =-.师：有了这个公式，求点到直线的距离就十分方便了. 下面我们通过例题来熟悉一下这个公式.例题讲解：例1.求点(1,2)P -到下列直线的距离：(1)2100x y +-=；(2)32x =.解：d =25(1)33d =--=. 例 2.已知点(,6)A a 到直线342x y -=的距离d 取下列各值，求a 的值：(1)4d =；(2)4d >解：(1)4d =2a ⇒=或463a =；(2) 4d =>2a ⇒<或463a >. 巩固练习：(其中3，4，5为备用题)1.求原点到下列直线的距离：(1)32260x y +-=；(2)x y =.答案：(1)(2)0.2.求点(1,1)B -到直线y =. 答案：12. 3.求点(,)P m n m --到直线1x ym n+=的距离.4.点P 为直线32260x y +-=上的任意一点，O 为坐标原点，求OP 的最小值.答案：5.点(,)P x y 到直线512130x y -+=和直线3450x y -+=的距离相等，则点P 的坐标应满足什么关系式？答案：3256650740x y x y -+=+=或. 师：好了，今天的课就到这儿，我们小结一下.课堂小结：通过本节课的学习，要求大家理解点到直线距离公式的推导过程，并能简单应用公式解决问题；使用点到直线的距离公式时，应该注意以下几点：①若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式再用公式；②若点在直线上，有0d=，公式仍然适用；③点P到平行于坐标轴的特殊直线的距离要能直接写出来.课后作业：名师1个课时；公式的推导(一题多解)(做书上)；书本54页13，15，16(做作业本上).板书设计：。

法、哪些解法本质是一样的•让学生在比较中深化认识、优化思维、固化优解，学会今后处理此类问题时灵活选择方法，真正快速地一题一解！而不至于走入一题多解的迷雾.（五）培养思想、提升素养是多解型作业讲评的归宿点数学思想方法影响思维的方式.要提升学生善于变通问题的思考能力，须关注解法是否反映出数学问题的本质，能否体现出不同数学思想方法的运用•本案例5种方法紧紧围绕方程与函数思想，数形结合思想展开，在多解探究中让学生洞察其背后的深刻与必然，感受使用思想方法解题的魅力，只有从问题中寻找解题的更高背景，从思想层面去引领，才能将学生的思维触角延伸到更深的层次、更广的方向.这对提升学生的数学素养，学科思维的发展大有好处，真正让学生终身受益.多解型作业讲评要以学生的能力为基点，学生的发展为指向，学生的活动为依托，彰显解题的优化功能，才能联系更多知识，变通思维方式，迁移解题方法，让学生成为解题的智者.点到直线距离公式的深入探究天津市天津外国语学校天津市第七中学(300230)高成龙(300162)刘春红课程标准的教学要求是探索并掌握点到直线的距离公式,在推导点到直线距离公式的教学中，教师应该从多角度引导学生思考，加强知识间的相互联系，培养学生的探索能力和创新意识•本文先给出教材（人教A版数学必修2）中的直线距离推导方法，再逐一给出其它证明方法，从多个角度来进行推导证明.一、教材中的推导教材中提供了两种思路来证明点到直线距离公式，即定义法和构造直角三角形法.思路1:（定义法）所谓定义法是指过点P作直线2的垂线，垂足为Q,则线段PQ的长度就叫做点P 到直线I的距离.关于定义法,教材中只提供了思路并没有给出详细证明，下面给出具体证明过程：如图1,过点（l,y<>）作>'*已知直线l-.Ax+By+C=0（A-B#0）的垂线，垂足为Q,将直线PQ与直线2的解析式联立求得点Q的坐标，然后利用两点间距离公式求得PQ的长度，即为点P（%,y。

《点到直线的距离公式》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是“点到直线的距离公式”。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“点到直线的距离公式”是人教版高中数学必修 2 第三章“直线与方程”中的重要内容。

在此之前，学生已经学习了直线的方程、两直线的位置关系等知识，为本节课的学习奠定了基础。

同时，点到直线的距离公式在解决几何问题、优化问题以及实际生活中的许多问题中都有着广泛的应用。

本节课的学习不仅有助于学生加深对直线方程的理解，提高数学运算能力和逻辑推理能力，还为后续学习圆锥曲线等知识打下坚实的基础。

二、学情分析授课对象是高二年级的学生，他们已经具备了一定的数学基础知识和思维能力。

通过之前的学习，学生对直线的方程和相关概念有了一定的了解，但对于如何推导点到直线的距离公式以及如何灵活运用公式解决问题，可能还存在一定的困难。

在教学过程中，要注重引导学生思考，鼓励学生自主探究和合作交流，帮助学生克服困难，提高学习效果。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解点到直线的距离公式的推导过程。

（2）掌握点到直线的距离公式，并能熟练运用公式解决相关问题。

2、过程与方法目标（1）通过对公式的推导，培养学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

（2）通过例题和练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在探索过程中体验数学的严谨性和科学性，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。

（2）通过实际问题的解决，让学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

四、教学重难点1、教学重点点到直线的距离公式的推导及应用。

2、教学难点点到直线的距离公式的推导过程中思路的构建。

五、教法与学法1、教法根据本节课的教学内容和学生的实际情况，我将采用讲授法、启发式教学法和多媒体辅助教学法相结合的教学方法。

通过讲授法，让学生系统地掌握知识；通过启发式教学法，引导学生思考问题，培养学生的思维能力；通过多媒体辅助教学法，直观形象地展示教学内容，提高教学效果。

课 题：7.3两条直线的位置关系（四）―点到直线的距离公式教学目的：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题 教学重点：点到直线的距离公式教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离.在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力.在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解 教学过程：一、复习引入：1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直2．斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A1l ∥2l 的充要条件是212121C C B B A A ≠= ⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是1k 和2k ，则这两条直线垂直的充要条件是121-=k k ．已知直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．3.直线1l 到2l 的角的定义及公式：直线1l 按逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角,叫做1l 到2l 的角. 1l 到2l 的角θ：0°＜θ＜1８0°， 如果.2,1,012121πθ=-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ，12121tan k k k k +-=θ4．直线1l 与2l 的夹角定义及公式:1l 到2l 的角是1θ, 2l 到1l 的角是π-1θ,当1l 与2l 相交但不垂直时, 1θ和π-1θ仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线1l ⊥2l 时,直线1l 与2l 的夹角是2π.夹角α：0°＜α≤90°.如果.2,1,012121πα=-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ，12121tan k k k k +-=α.5．两条直线是否相交的判断两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 是否有惟一解 二、讲解新课：1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=（1）提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线l 的方程是0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?（2）解决方案方案一：根据定义，点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长. 设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为AB（A ≠0），根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点),(01y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点),(20y x S ，由⎩⎨⎧=++=++0020011C By Ax C By x A 得B CAx y A C By x --=--=0201,.所以，｜P Ｒ｜＝｜10x x -｜＝ACBy Ax ++00｜PS ｜＝｜20y y -｜＝BCBy Ax ++00｜ＲS ｜＝ABB A PS PR 2222+=+×｜C By Ax ++00｜由三角形面积公式可知：d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜所以2200BA CBy Ax d +++=可证明，当A ＝0或B ＝0时，以上公式仍适用 2．两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=证明：设),(000y x P 是直线02=++C By Ax 上任一点，则点P 0到直线01=++C By Ax 的距离为22100BA C By Ax d +++=又 0200=++C By Ax即200C By Ax -=+，∴d ＝2221BA C C +-三、讲解范例：例1 求点)2,1(0-P 到下列直线的距离. (1)0102=-+y x ；(2)23=x解：(1)根据点到直线的距离公式得5212102)1(222=+-+-⨯=d(2)因为直线23=x 平行于y 轴，所以35|)1(32|=--=d 评述：此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式.例2 求两平行线1l ：0832=-+y x ，2l ：01032=-+y x 的距离. 解法一：在直线1l 上取一点P (４，0），因为1l ∥2l ，所以点P 到2l 的距离等于1l 与2l 的距离.于是131321323210034222==++⨯-⨯=d 解法二：1l ∥2l 又10,821-=-=C C .由两平行线间的距离公式得133232)10(822=+---=d 四、课堂练习： 课本P 53练习1.求原点到下列直线的距离：(1)3x ＋2y －26＝0；(2) x ＝y解：(1)132232622=+-=d .(2)∵原点在直线y ＝x 上，∴d ＝02.求下列点到直线的距离：(1)A （－2，3），3x ＋４y ＋3＝0；(2)B （1，0），3x ＋y －3＝0； (3)C （1，－2），４x ＋3y ＝0. 解：(1);5943334)2(322=++⨯+-⨯=d (2);01)3(332=+-=d(3)5234)2(31422=+-⨯+⨯=d 3.求下列两条平行线的距离：(1)2x ＋3y －８＝0，2x ＋3y ＋1８＝0， (2)3x ＋４y ＝10，3x ＋４y ＝0.解：(1)在直线2x ＋3y －８＝0上取一点P （４，0），则点P 到直线2x ＋3y ＋1８的距离就是两平行线的距离，∴d ＝13232184222=++⨯(2)在直线3x ＋４y ＝0上取一点O （0，0），则点O 到直线3x ＋４y ＝10的距离就是两平行线的距离，∴224310+=d ＝2五、小结 ：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 六、课后作业： 课本P 53习题7.313.求点P (－5，7）到直线12x ＋5y －3＝0的距离.解：1328512375)5(1222=+-⨯+-⨯=d14.已知点A （a ，6）到直线3x －４y ＝2的距离d 取下列各值，求a 的值：(1)d ＝４，（2）d ＞４解：(1)22)4(32643-+-⨯-=a d ＝４，解得a ＝2或a ＝346(2)22)4(32643-+-⨯+=a d ＞４，解得a ＜2或a ＞346 15.已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=证明：设),(000y x P 是直线02=++C By Ax 上任一点，则点P 0到直线01=++C By Ax 的距离为22100BA C By Ax d +++=又 0200=++C By Ax即200C By Ax -=+，∴d ＝2221BA C C +-16.求两条平行线3x －2y －1＝0和3x －2y ＋1＝0的距离解：在直线3x －2y －1＝0上任取一点P (0，－21），则点P 到直线3x －2y ＋1＝0的距离就是两平行线间距离，13132231)21(222=++-⨯-=d 七、板书设计（略）八、课后记：。