高数2课件9-8

2. 关系 可微 方向导数存在
偏导数存在 3. 梯度 • 三元函数 在点 处的梯度为
f f f grad f f , , x y z
• 梯度的特点
方向: f 变化率最大的方向
f grad f el l
模: f 的最大变化率之值
§8. 多元函数的极值 问题的提出
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤： f x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) 0 第一步 解方程组 求出实数解，得驻点及不可导点.
第二步 对于每一个极值可疑点( x 0 , y0 ) ，
极值可 疑点
进一步判定.对驻点,求出二阶偏导数的值 A，B，C. 2 第三步 对二阶偏导存在的驻点，定出AC B 的符 号，再判定是否取得极值，取得极值时，是极 大值还是极小值.
1 1 1 1 , ) 和( , ) , 得驻点( 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 z( , ) , z( , ) , 2 2 2 2 2 2
x y 0 因为lim 2 2 x x y 1 y
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) , 2 Nhomakorabea2 2极大值、极小值统称为极值. 极大值点、极小值点统称为极值点.
例1 函数 z 3 x 2 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值．
2 2 函数 z x y 例２ 在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
2、多元函数取得极值的必要条件
定理 1 （必要条件） 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该

目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (5)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)12一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A 、B 、C 、……表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示集合中的元素。

如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作：a ∈A ，否则就说a 不属于A ，记作：a A 。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N +或N +。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z 。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q 。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R 。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A 、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作AB （或B A ）。

⑵相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A ＝B 。

⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A ，我们称集合A 是集合B 的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

u y
f y
f z z y
xy
2yex2y2z22zex2y2z2 x2 cosy 2 (y x 4 sy ic n y o )e x 2 s y 2 x 4 s2 iy n
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例 4 设z arcsin xy， x set ， y t 2，
18
求 z 和z . s t
1
多元函数的极限存在、连续、可偏导、可微、 偏导数连续之间的关系
极限存在
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
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二、可微的条件
2
1、【必要条件】
(1)【定理 1】若z f ( x, y)在点( x, y)可微分，则函数 在点( x, y)的偏导数 z 、z 必存在，且函数在点( x, y)
3.【中间变量既有一元又有多元函数的情形】
16
【定理3 】 zf(u ,x,y)其中 u(x,y) u
x y
即 z f[(x ,y )x ,y ]变,量关系为： z x
zf uf, x u x x
两者的区别
y
z f uf .
区 别
y u y y 类
似
把 z f (u, x, y)中
的u及 y 看作不变而 把复合函数 z f [ ( x, y), x, y] 对 x的偏导数 中的 y看作不变而对 x的偏导数
y z2
)
y z2
f 2
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29
P130 题 11 zf(u ,x,y),uxey
z, z
x
z x
f1 e y
f2
ux y
2z x y

Wi P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi .
n
W Wi
近似值
i 1
n
[P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi ].
i 1
n
取极限
W
lim
0
[P(i ,i ) xi
i 1
Q(i ,i ) yi ].
精确值
2.第二型曲线积分的定义 定义9.2 设C为xOy面内从点A到点B的一条有向光 滑曲线弧，函数 P(x,y)、Q(x,y) 在C上有界。在C上沿
n
Q(
x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q(i
,i
,
i
)
yi
.
n
R( x,
y,
z)dz
lim
0
i 1
R(i ,i ,
i
)zi .
依次为:
P( x, y, z) 在曲线弧 上对坐标 x 的曲线积分，
Q( x, y, z) 在曲线弧 上对坐标 y 的曲线积分，
R( x, y, z)在曲线弧 上对坐标 z 的曲线积分.
0
2π(πb2 a2 ).
z
⑵ C2 的参数方程为 x a, y 0, z t,0 ≤ t ≤ 2πb. • B(a,0,2πb)
D(a,0, πb)
2πb
W 0 (a t)dt
2πb(a πb).
C2 O
C1
•
x A(a,0,0)
y
9.2.2 第二型曲线积分计算
2.沿有向闭曲线的积分 ●对平面闭曲线 C，其上任一点都可看作既是起点， 又是终点.约定逆时针方向（图 9.5（a））称为 C 的正向， 顺时针方向（图 9.5（b））称为 C 的负向.