韶关市2024届高三综合测试（二）数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前、考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、学校和班级填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内和应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}116,07A x x B x x ⎧⎫=<≤=<⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=ð（）A.{1x x ≤或}67x ≤≤B.{1x x ≤或}67x <<C.{1x x <或}67x ≤< D.{1x x <或}67x <≤【答案】B 【解析】【分析】先利用题给条件求得集合R A ð和集合B ，进而求得()A B R ð.【详解】{}16A x x =<≤，则{R 1A x x =≤ð或}6x >，又{}1077B xx x x ⎧⎫=<=<⎨⎬-⎩⎭，则()R A B ⋂=ð{1x x ≤或}6x >{}7x x ⋂<={1x x ≤或}67x <<.故选：B2.设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A.若//m α，//m β，则//αβB.若//m α，//n α，则//m nC.若m α⊥，m β⊥，则//αβD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】利用空间中点线面之间的位置关系即可对每个选项做出判断，从而选出正确选项.【详解】对于选项A ：若//m α，//m β，则α与β平行或相交，故选项A 不正确；对于选项B ：若//m α，//n α，则m 与n 可平行、异面、或相交；故选项B 不正确；对于选项C ：若m α⊥，m β⊥，则//αβ,由垂直于同一条直线的两个平面平行，知故选项C 正确；对于选项D ：若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，故选项D 不正确；故选：C【点睛】本题主要考查了线线平行、面面平行的判断，属于中档题.3.已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，将剩下的数据与原数据相比，则（）A.极差不变B.平均数不变C.方差不变D.上四分位数不变【答案】D 【解析】【分析】根据原数据和现数据的相关数字特征计算即可对选项一一判断.【详解】在这组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45中去掉12和45后，得到16，22，24，25，31，33，35，显然极差由451233-=变成了351619-=，故A 项错误；原平均数为121622242537412343()13329595x ===++++++++，现平均数为162224253133351186()2777x '==≠++++++，故B 项错误；原方差为222222222221216222425391824[1333542799]5s ++++⨯=-=++++，现方差为222222222186162224253133357()11916[]7497s ++'+-⨯==+++，显然方差不同，故C 项错误；对于D 项，由19 2.254⨯=，知原数据的上四分位数是第三个数据22，又由17 1.754⨯=，知现数据的上四分位数是第二个数据22，即D 项正确.故选：D.4.过点()2,3P -作斜率为2-的直线，若光线沿该直线传播经x 轴反射后与圆222:(3)(2)(0)C x y r r -+-=>相切，则r =（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】如图，根据直线的点斜式方程求出直线PA ，进而求出点A ，利用反射光线的性质求出直线BA ，结合点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】如图，设经过点P 的直线交x 轴于点A ，反射直线与圆C 相切于点B ，直线:32(2)PA y x -=-+，即21y x =--，令0y =，解得12x =-，即1(,0)2A -，又0PA BA k k +=，所以2BA k =，所以直线1:02()2BA y x -=+，即210x y -+=，则点C (3,2)到直线直线:210BA x y -+=的距离为d ==，即r =.故选：D5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W （单位：平方米）的计算公式是()()44W =+⨯+长宽，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）A.10000 B.10480C.10816D.10818【答案】C 【解析】【分析】设矩形场地的长为x 米，则40000410016W x x=++，结合基本不等式计算即可求解.【详解】设矩形场地的长为x 米，则宽为10000x米，1000040000(4)(4)4100161001610816W x x x x =++=++≥=，当且仅当400004x x=，即100x =时，等号成立.所以平整这块场地所需的最少费用为11081610816⨯=元.故选：C6.在ABC 中，13tan ,tan 45A B ==．若ABC．则最短边的长为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】求出tan 10C=-<，C 为钝角，故c =a b <，求出sin sin A C ,，由正弦定理求出答案.【详解】因为()13tan tan 45tan tan 10131tan tan 145A B C A B A B ++=-+=-=-=-<--⨯，又tan 0,tan 0A B >>，故,A B 为锐角，C 为钝角，故c =因为tan y x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，tan tan A B <，故A B <，所以a b <，又sin 1tan cos 4A A A ==，22sin cos 1AA +=，解得sin A =2sin 2C =，由正弦定理得sin sin a c A C=，即122a =，解得a =.故选：A7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 的直线:340l x y m ++=与y 轴交于点B ，与双曲线C 交于点A （A 在y 轴右侧）．若B 是线段AF的中点，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.33y x =±B.12y x =±C.y =D.2y x=±【答案】C 【解析】【分析】利用题给条件得到,a b 的关系，进而得到双曲线C 的渐近线方程.【详解】设双曲线右焦点为2F ，连接2AF .又2AFF 中，2,FO OF FB BA ==，则22//,=2AF OB AF OB ,由直线:340l x y m ++=可得,0,0,34m m F B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,32m m A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>可得2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2,32m b m c a =-=-，则有232b c a =，即232b ac=又222c a b =+，则有44224990b a a b --=，整理得223430b b a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解之得ba =则双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y =.故选：C 8.定义{}{},,max ,,min ,,,a a b b a ba b a b b a b a a b ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩，对于任意实数0,0x y >>，则2211min max 2,3,49x y x y ⎧⎫⎧⎫+⎨⎨⎩⎭⎩⎭的值是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设2211max{2,3,}49x y M x y +=，则2211323(2)(3)M x y x y ≥+++，构造函数21()(0)f x x x x=+>，利用导数求出函数()f x 的最小值进而得23632M ≥，化简即可求解.【详解】设2211max{2,3,}49x y M x y +=，则22112,3,49M x M y M x y ≥≥≥+，得222211113232349(2)(3)M x y x y x y x y ≥+++=+++，设21()(0)f x x x x =+>，则33322()1x f x x x-'=-=，令()00f x x '<⇒<<()0f x x '>⇒>所以函数()f x在上单调递减，在)+∞上单调递增，故min 233()2f x f ==，即233()2f x ≥，得223333(2),(3)22f x f y ≥≥，所以2222233311336323(2)(3)(2)(3)222M x y f x f y x y ≥+++=+≥+=，得2322M ≥=，即2211min{max{2,3,}}49x y x y +=.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用，本题解题的关键是由222211113232349(2)(3)M x y x y x y x y ≥+++=+++构造函数21()(0)f x x x x=+>，利用导数求得M ≥即为题意所求.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数12,z z ，则下列命题正确的是（）A.若12=z z ，则12=±z z B.若21z z =，则2121z z z =C.若1z 是非零复数，且2112z z z =，则12z z =D.若1z 是非零复数，则1110z z +≠【答案】BC 【解析】【分析】对于A 项，可以举反例说明；对于B 项，可以设1i z a b =+，则2i z a b =-，代入等式两边验证即可判定；对于C 项，可将题设条件等价转化，分析即得；对于D 项，可通过举反例1i z =对结论进行否定.【详解】对于A 项，若11i z =+，2z =，显然满足12=z z ，但12=±z z ，故A 项错误；对于B 项，设()1i ,R z a b a b =+∈，则2i z a b =-，2212(i)(i)=z z a b a b a b =+-+，故2212||z z a b =+而2221||z a b =+，故B 项正确；对于C 项，由2112z z z =可得：2112112()0z z z z z z =--=，因1z 是非零复数，故120z z -=，即12z z =，故C 项正确；对于D 项，当1i z =时，1z 是非零复数，但1111i i i 0iz z ==-++=，故D 项错误.故选：BC.10.设函数()22sin 3sin 1f x x x =-+，则（）A.()f x 是偶函数B.()f x 在[]2π,2π-上有6个零点C.()f x 的是小值为18- D.()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABC 【解析】【分析】求得()f x 的奇偶性判断选项A ；求得()f x 在[]2π,2π-上的零点个数判断选项B ；求得()f x 的最小值判断选项C ；举特例否定选项D.【详解】选项A ：函数()f x 定义域为R ，由()()()222sin3sin 12sin 3sin 1f x x x x x f x -=---+=-+=，可得()f x 是偶函数.判断正确；选项B ：当0x ≥时，()22sin 3sin 1f x x x =-+，由22sin 3sin 10x x -+=，可得1sin 2x =，或sin 1x =，则当[]0,2πx ∈时，π6x =或π2x =或5π6x =，又()f x 是偶函数，则当[]2π,0x ∈-时，π6x =-或π2x =-或5π6x =-，则()f x 在[]2π,2π-上有6个零点.判断正确；选项C ：当0x ≥时，()22312sin 3sin 12sin 48f x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，则当3sin 4x =时()f x 取得最小值18-，又()f x 是偶函数，则()f x 的最小值为18-.判断正确；选项D ：2πππ2sin 3sin 1111444f ⎛⎫⎛⎫⎛-=---+=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，()202sin 03sin 011f =-+=则()π04f f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调递减.判断错误.故选：ABC11.已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导函数分别为()(),f x g x ''，且()()4f x f x =-，()()()()14,10f x g x f x g x ''+-=++=，则（）A.()g x 关于直线1x =对称 B.()31g '=C.()f x '的周期为4 D.()()()0f n g n n ''⋅=∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A ；利用导数求导可得()(2)g x g x ''=--、(1)()0f x g x ''+-=，通过合理赋值即可判断BCD.【详解】由()(4)f x f x =-，得(1)(3)f x f x +=-①，(1)()4f x g x +-=②，得(3)(2)4f x g x ---=③，由①②③，得()(2)g x g x =-，所以函数()g x 图象关于直线1x =对称，故A 正确；由()(2)g x g x =-，得()(2)g x g x ''=--，令1x =，得(1)0g '=；由(1)()4f x g x +-=，得(1)()0f x g x ''+-=，令1x =，得(2)(1)0f g ''==，∴(2)(1)0f x g x ''+-+=④，又()(1)0f x g x ''++=⑤，令2x =，得(2)(3)0f g ''==，故B 错误；④⑤两式相加，得(2)()0f x f x ''++=，得(4)(2)0f x f x ''+++=，所以()(4)f x f x ''=+，即函数()f x '的周期为4，故C 正确；由(2)()0f x f x ''++=，令2x =，得(4)(2)0f f ''+=，所以(4)0f '=，所以(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)()()0()f g f g f g f g f n g n n ====''''''''=''=∈Z ，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式()(2)g x g x =-、(2)(1)0f x g x ''+-+=和(2)()0f x f x ''++=是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路.三、填空题：本题共3小题、每小题5分、共15分．12.二项式()2nx -的展开式中，2x 项的系数是常数项的2.5倍，则n =___．【答案】5【解析】【分析】利用题给条件列出关于n 的方程，解之即可求得n 的值.【详解】二项式()2nx -的展开式通项为C 2(1)rn rr r n x --，则2x 项的系数是22C 2n n -，常数项是0C 2nn ，由题意得2205C 2C 22n nn n -=，即2(1)52222n n n n --⋅=⋅，整理得2200n n --=，解之得5n =或n =-4（舍）故答案为：513.已知平面向量a b c 、、均为单位向量，且||1a b += ，则向量a 与b 的夹角为______，()()a b b c+⋅- 的最小值为______．【答案】①.2π3##120︒②.12-##0.5-【解析】【分析】由21a b += 可得12a b ⋅=- ，根据平面向量数量积的定义即可求出a 与b 的夹角；根据数量积的运算律可得1()()cos ,2a b b c b c +⋅-=-+ ，结合cos ,a b c + 的取值范围即可求解.【详解】由题意知，1a b c ===，由22221a b a a b b +=+⋅+= ，得12a b ⋅=- ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==-，又,],0π[a b ∈ ，所以2π,3a b = ，即a 与b 的夹角为2π3；211()()()cos ,cos ,22a b b c a b b a b c a b c a b c a b c +⋅-=⋅+-+⋅=-++=-+ ，又cos ,[1,1]a b c +∈- ，所以11cos ,22a b c -+≥- ，当且仅当a b + 与c同向时，等号成立.所以()()a b b c +⋅-的最小值为12-.故答案为：2π3；12-14.在三棱锥-P ABC 中，侧面所在平面与平面ABC 的夹角均为π4，若2,4=+=AB CA CB ，且ABC 是直角三角形，则三棱锥-P ABC 的体积为______．【答案】14或12或34或32【解析】【分析】过P 作PO ⊥面ABC 于O ，过O 作,,OE AC OD BC OF AB ⊥⊥⊥，根据题设可得π4OEP ∠=，ππ,44PFO PDO ∠=∠=，分O 为三角形的内心或旁心讨论，设ABC S t = ，利用几何关系得到V ，再根据条件得到C 在以,A B 为焦点的椭圆上，再利用ABC 是直角三角形，即可求出结果.【详解】如图，过P 作PO ⊥面ABC 于O ，过O 作,,OE AC OD BC OF AB ⊥⊥⊥，因为PO ⊥面ABC ，AC ⊂面ABC ，所以PO AC ⊥，又OE PO O ⋂=，,OE PO ⊂面POE ，所以AC ⊥面POE ，又PE ⊂面POE ，所以AC PE ⊥，故PEO ∠为二面角的平面角，由题知，π4OEP ∠=，同理可得ππ,44PFO PDO ∠=∠=，当O 在三角形ABC 内部时，由OE OF OD ==，即O 为三角形的内心，设ABC S t = ，则1()32t AB BC AC OD OD =++⋅=，得到3t OD =，所以3t OP OD ==，三棱锥-P ABC 的体积为21139ABC V S OP t == ；又因为42CA CB AB +=>=，所以点C 在以,A B 为焦点的椭圆上，如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，由题知，椭圆中的1,2,3===c a b 22143x y +=，设(,)C x y ，因为ABC 是直角三角形，当π2A =时，易知=1x -，此时32AC =，所以1322t AB AC =⋅=，得到21194V t ==，当π2B =时，易知1x =，此时32AC =，所以1322t AB BC =⋅=，得到21194V t ==，又因为3,1b c ==，故以O 为圆心，1为半径的圆与椭圆没有交点，即π2C ≠，综上所述，14V =；同理，当O 在三角形ABC 外部时，由OE OF OD ==，即O 为三角形的旁心，设ABC S t = ，则13()22t AB BC AC OD OD =+-⋅=，得到23t OD =，所以23t OP OD ==，三棱锥-P ABC 的体积为2121392ABC V S OP t === ；或1()2t BC AC AB OD OD =+-⋅=，得到OD t =，所以OP OD t ==，三棱锥-P ABC 的体积为2113334ABC V S OP t === ；或11()22t AC AB BC OD OD =+-⋅=，得到2OD t =，所以2OP OD t ==，三棱锥-P ABC 的体积为2123332ABC V S OP t === .故答案为：14或12或34或32.【点睛】关键点点晴：本题的关键点在于，设出ABC S t = 后，得出219V t =，再将问题转化到以,A B 为焦点的椭圆上来求ABC 的面积，即可解决问题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()32ln f x ax x x=++在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴．（1）求实数a ；（2）求()f x 的单调区间和极值．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，依题意只需使()10f '=即可求得实数a ；（2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值.【小问1详解】由()32ln f x ax x x =++可得：()232f x a x x'=-+，由题意，()110f a -'==，解得1a =；【小问2详解】由（1）得()32ln f x x x x =++，(0)x >，则()22223223(3)(1)1x x x x f x x x x x+-+-=-+'==，当01x <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,1)上是减函数；当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上是增函数.故1x =时，函数()f x 有极小值为(1)4f =，无极大值.故函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，递减区间为(0,1)，函数有极小值为(1)4f =，无极大值.16.小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是13，击中区域乙的概率是14，击中区域丙的概率是18，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．（1）求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；（2）小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X ，求X 分布列和数学期望．【答案】（1）1124（2）分布列见解析；()1E X =【解析】【分析】（1）根据概率已知条件记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A ；射击一次获得一等奖为事件B ；射击一次获得一等奖为事件C ，分析可知A B C = ，利用互斥事件的概率加法计算公式所以求()P B C ⋃即可.（2）根据题意判断144X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，，根据二项分布求概率、期望公式计算即可.【小问1详解】记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A ；射击一次获得一等奖为事件B ；射击一次获得一等奖为事件C ，所以有A B C = ，所以()13P B =，()111428P C =⨯=，所以()()()()11113824P A P B C P B P C =⋃=+=+=.【小问2详解】获得三等奖的次数为X ，X 的可能取值为0，1，2，3，4；记“获得三等奖”为事件D ，所以()11118424P D =+⨯=，所以()04413810C 44256P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()131413271C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22241354272C 44256128P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()334131233C 4425664P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()441314C 44256P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X1234P812562764271283641256显然144X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，，()1414E X =⨯=.17.如图，圆柱1OO 内有一个直三棱柱111ABC A B C -，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱1OO的轴截面是边长为6的正方形，AB AC ==P 在线段1OO 上运动．（1）证明：1BC PA ⊥；（2）当1PA PB =时，求BC 与平面1A PB 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析.（2）1111.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量BC 和1A P的坐标，由10A P BC ⋅= 得到1BC PA ⊥；（2）先由1PA PB =，得到点P 是线段1O O 的中点，求出BC 的一个方向向量和平面1A PB 的一个法向量的坐标夹角余弦的绝对值，即为BC 与平面1A PB 所成角的正弦值.【小问1详解】连接AO 并延长，交BC 于M ，交圆柱侧面于N ，1111A O B C ⊥ ，1OO 为圆柱的高，11111A O B C OO ∴、、两两垂直，以1O 为原点，过点1O 做11B C 平行线为x 轴，以11AO 为y 轴，以1O O 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系1O xyz -，116OO AA AN ===，30AB AC ==在ABC 中，由射影定理得2305AC AM AN AM =⋅=⇒=，2OM AM AO =-=，从而()223055CM BM ==-=，())()()10,3,0,5,2,6,5,2,6,5,0,0A B C BC ∴-∴=-，设()0,0,P λ，()10,3,A P λ∴=，10A P BC ∴⋅=，1BC PA ∴⊥.【小问2详解】由（1）可得，()5,2,6BP λ=--，()21,9546A P BP λλ∴=+++- ，得3λ=，即点P 是线段1O O 的中点，()10,3,3A P ∴=，()5,2,3BP =-- ，设平面1A PB 的一个法向量为(),,n x y z =，则330230y z y z +=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取1y =，得,1,15n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设BC 的一个方向向量为()1,0,0m =，于是得：11cos ,11n m ==，设BC 与平面1A PB 所成角为θ，则11sin cos ,11n m θ==，所以BC 与平面1A PB 所成角的正弦值为1111.18.记R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()()*1n n n n f x x x n f x +=-'∈N 的数列{}n x 称为函数()f x 的“牛顿数列”.已知数列{}n x 为函数()2f x x x =-的牛顿数列，且数列{}n a 满足12,ln,11nn n n x a a x x ==>-.（1）求2a ；（2）证明数列{}n a 是等比数列并求n a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2(1)14n nn tS S -⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，求t 的取值范围.【答案】（1）4（2）证明见解析，2n n a =（3）2593t -≤≤【解析】【分析】（1）求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可；（2）对递推式变形结合对数运算求得12n na a +=，利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通项公式；（3）先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为14(1)nn nt S S -⋅≤+对任意的n *∈N 恒成立，令()14g x x x=+，()0,x ∞∈+，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据n 的奇偶性分别求解范围即可.【小问1详解】因为()2f x x x =-，则()21f x x '=-，从而有()()2212121n n n nn n n n n n f x x x x x x x f x x x +'-=-=-=--，由12,ln1n n n x a a x ==-，则112ln 1x x =-，则211e 1x x =-，解得212e e 1x =-则有124124e 2e 11x x x ==--，所以21221ln 2ln 411x x a x x ===--；【小问2详解】由2121nn n x x x +=-，则2221221211211121nn n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x ++⎛⎫-=== ⎪--+-⎝⎭--，所以2111ln ln 2ln 2(1)111n n n n n n n n n x x xa a x x x x +++⎛⎫====> ⎪---⎝⎭，故12n na a +=（非零常数），且120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n n n a -=⨯=；【小问3详解】由等比数列的前n 项和公式得：()12122212n n nS +-==--，因为不等式2(1)14n n n tS S -⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，又0n S >且n S 单调递增，所以14(1)nn n t S S -⋅≤+对任意的n *∈N 恒成立，令()14g x x x=+，()0,x ∞∈+，则()22214141x g x x x-=-='，当(x ∈时，()0g x '<，()g x 是减函数，当)x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 是增函数，又1226S S =<<=，且()29g =，()2563g =，()()62g g <，则()()min 2563g x g ==，当n 为偶数时，原式化简为14n n t S S ≤+，所以当2n =时，253t ≤；当n 为奇数时，原式化简为14n nt S S -≤+，所以当1n =时，9t -≤，所以9t ≥-；综上可知，2593t -≤≤.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，长轴长为4，,A B 是其左、右顶点，F 是其右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设()()000,0P x y y >是椭圆C 上一点，PFB ∠的角平分线与直线AP 交于点T ．①求点T 的轨迹方程；②若TPF △面积为94，求0x ．【答案】（1）22143x y +=（2）014(0)21x y x =>= ；【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率和长轴的概念建立方程组，解之即可求解；（2）①易知当01x =时()4,3T ；当01x ≠时，利用两点表示斜率公式和点斜式方程表示出直线FT 、AT 方程，联立方程组，化简计算求出点T 的坐标，即可求解点T 的轨迹方程；②利用面积公式建立关于0x 的方程，化简计算即可求解.【小问1详解】由题意知，2221224c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】①：由（1）知，00(2,0),(2,0),(1,0),(,)A B F P x y -，设BFT θ∠=，则2PFB θ∠=，易知当01x =时，3(1,2P ，1FT k =，此时1:1,:12AP y x FT y x =+=-，由1121y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，即()4,3T ；当01x ≠时，00tan 21FP y k x θ==-，0sin 2y PF θ==，设直线FT 的斜率为k ，则00003(2)1cos 211tan sin 2sin 2tan 22x k y θθθθθ--===-=，所以直线FT方程为003(2)(1)2x y x y -=-，又直线AT 方程为00(2)2y y x x =++，由00003(2)(1)2(2)2x y x y y y x x -⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪+⎩，得00003(2)(1)(2)22x y x x y x --=++，即22000000003(4)23(4)42(2)2(2)x y x y x x y x y ---+=++，解得22220000022220000031234(3)3(4)42(123)44313(4)21232(3)(123)42x x x y x x x y x x x -+--+-====------，将4x =代入直线AT 方程，得0062y y x =+，即06(4,)2y T x +，又000,22y x >-<<，所以0602y x >+，故点T 的轨迹方程为4(0)x y =>；②：由3AF =，得00000066113(22222TPF TAF PAF y y S S S AF y AF y x x =-=-⋅=-++ ，又94TPF S =，所以000693()422y y x =-+，得0006322y y x =-+，整理得0003(2)82x y x +=-，又0y =003(2)82x x +=-整理得320001035260x x x -+-=，即2000(1)(926)0x x x --+=，由022x -<<，解得01x =.【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、动点得轨迹方程以及面积问题，第二问关键是寻找点00(,)P x y 与直线FT 的斜率之间的关系，即003(2)2x k y -=是求出直线FT 方程的解题关键，表示出T x 的代数式，需要扎实的计算能力才可以化简求解.。
